Vektorový a afinný priestor

Analytická geometria 1.

Stručná osnova predmetu

1. Vektorový priestor. Skalárny súčin vektorov a jeho vlastnosti. Norma vektora, normovaný vektor. Schwartzova nerovnosť.
2. Uhol dvoch vektorov. Ortogonálne a ortonormálne vektory. Schmidtov ortogonalizačný proces. Totálne kolmé a kolmé podpriestory.
3. Vonkajší súčin v $\small n$-rozmernom vektorovom priestore. Vektorový súčin v 3-rozmernom vektorovom priestore. Ortogonálny doplnok vektorov.
4. Afinný priestor a jeho vlastnosti. Lineárna sústava súradníc. Transformácia lineárnej sústavy súradníc. Deliaci pomer, stred dvojice bodov.
5. Podpriestory afinného priestoru, parametrické vyjadrenie afinného podpriestoru, vzájomná poloha afinných podpriestorov.
6. Priečka mimobežiek, určenie priečky daným bodom a daným smerom.
7. Spojenie afinných podpriestorov. Všeobecná rovnica nadroviny. Zväzok priamok a zväzok rovín.
8. Euklidovský priestor. Karteziánska súradnicová sústava. Normálový vektor nadroviny. Vzdialenosť dvoch bodov (bodu od podpriestoru).
9. Vzájomná poloha podpriestorov v n-rozmernom euklidovskom priestore. Vzdialenosť dvoch mimobežných podpriestorov. Odchýlka dvoch podpriestorov.
10. Afinné zobrazenie a jeho anylytické vyjadrenie. 

Analytická geometria 2.

Stručná osnova predmetu

1. Analytické vyjadrenie zhodného zobrazenia. Samodružné prvky zhodnosti. Grupa zhodností.
2. Posunutie a rovnoľahlosť ako afinné zobrazenie.
3. Zhodné zobrazenia v rovine, ich analytické vyjadrenie. Stredová súmernosť. Otočenie.
4. Osová súmernosť, jej analytické vyjadrenie.
5. Klasifikácia zhodností euklidovskej roviny a v euklidovskom priestore. Skladanie zhodných zobrazení.
6. Podobné zobrazenie. Samodružné prvky podobnosti. Analytické vyjadrenie podobnosti euklidovskej roviny.
7. Úlohy riešené s využitím programu GeoGebra.
8. Zhodné a podobné zobrazenia v rovine a v priestore v učive ZŠ a SŠ.
9. Rovnoľahlosť v školskej matematike. Rovnoľahlosť kružníc. Využitie rovnoľahlosti.

Syntetický (geometrický) prístup

1. Orientovaná úsečka je úsečka, ktorej krajné body majú určené poradie (pripúšťame aj nulovú orientovanú úsečku). Ak $\small \overrightarrow{AB}$ je orientovaná úsečka, bod $\small A$ sa nazýva jej začiatočný bod, bod $\small B$ jej koncový bod.
2. Hovoríme, že orientované úsečky $\small \overrightarrow{AB} , \small \overrightarrow{CD}$ sú súhlasne orientované (rovnobežné, majú ten istý smer), ak polpriamky $\small \overrightarrow{AB}, \small \overrightarrow{CD}$ incidujú s priamkami tej istej osnovy a zároveň:
   • jedna z polpriamok je časťou druhej alebo
   • obe polpriamky ležia v tej istej polrovine určenej priamkou $\small AB$ .
   • V opačnom prípade sa orientované úsečky nazývajú nesúhlasne orientované. Symbolický zápis pre súhlasne orientované úsečky $\small AB \uparrow \uparrow CD$ a nesúhlasne orientované $\small AB \uparrow \downarrow CD$.
3. Orientované úsečky $\small \overrightarrow{AB}, \small \overrightarrow{CD}$ sú ekvivalentné ak stredy úsečiek $\small AD,BC$ sú totožné.
• Množina všetkých orientovaných úsečiek ekvivalentných s $\small \overrightarrow{AB}, A \neq B$ sa nazýva geometrický vektor.
• Orientovaná úsečka $\small \overrightarrow{AB}$ sa nazýva reprezentant (umiestnenie) vektora $\vec u$, zapisujeme $\small \vec u =\overrightarrow{AB}$.
• Geometrický vektor sa nazýva aj voľný vektor (množina všetkých orientovaných úsečiek) a konkrétna orientovaná úsečka sa nazýva viazaný vektor.
4. Orientovaná úsečka $\small \overrightarrow{BA}$ je reprezentuje opačný vektor k vektoru $\vec u$ a označujeme ho $-\vec u$.

   Otvorte si applet Tu.

Cvičenie - [Mon 1.1.16 b]. Nezabudnite na nulové vektory.

Východiskové definície
Vo všeobecnosti vektor je množina všetkých navzájom zhodných, súhlasne orientovaných úsečiek.
Umiestnením vektora sa nazýva každá orientovaná úsečka, ktorá tento vektor určuje. Umiestnením vektora do bodu sa nazýva také jeho umiestnenie, ktorého začiatočným bodom je daný bod.
Vektor určený orientovanou úsečkou $\small \overrightarrow{AB}$ označíme tiež ako rozdiel bodov: $\small B-A$. Otvorte si applet Tu.
"Slovo vektor je prevzaté z latinského slova vector („nositeľ“, …). Vektor vznikol z potrieb fyziky (kde napr. vektor interpretujeme ako silu), do matematiky zaviedol vektory v r. 1853 írsky matematik a fyzik W. R. Hamilton (1805 – 1865). Takmer súčasnú podobu dal „vektorovému počtu“ na konci 19. storočia americký fyzik J. W. Gibbs (1839 – 1903)." Prevzaté z práce (Vranková).

Okruh $\small (O, +, ·)$ s jednotkou $1 \in \small O$$\;\;(1 \neq0 \in \small O$), v ktorom každý nenulový prvok má vzhľadom na násobenie inverzný prvok, nazývame telesom. Komutatívne teleso, v ktorom násobenie je komutatívna operácia, nazývame pole.

Nech sú dané
• neprázdna množina $\small V$, ktorej prvky nazývame vektory,
• pole $\small P$, ktorého prvky nazývame skaláry,
• zobrazenie $+:\; \small V \times \small V \to \small V$, ktoré nazývame sčítanie vektorov,
• zobrazenie $\cdot :\; \small P \times \to V$, ktoré nazývame násobenie vektora skalárom (prvkom z telesa $\small P$).

Definícia.
Vektorový priestor nad poľom¹⁾ $\small P$ je množina $\small V$ spolu s dvoma binárnymi operáciami ( $+, \cdot$) práve vtedy, keď súčasne platia vzťahy:

1. $\small ( V,+)$ je abelovská grupa.
Vektorové axiómy
2. asociatívnosť pre násobenie vektora skalárom: $a \cdot (b \cdot \vec v ) = (ab) \cdot \vec v$
3. invariancia vektora pri vynásobení jednotkovým prvkom poľa:                     $1 \cdot \vec v =\vec v$,
   kde $1$ označuje multiplikatívnu identitu vo $\small P$
4. distributívnosť (skalárneho) násobenia k sčítaniu vektorov:              $a \cdot (\vec u +\vec v) = a \cdot \vec u + a \cdot \vec v$
5. distributívnosť násobenia vektora $\vec v$, ku sčítaniu skalárov $a,b$:          $(a + b) \cdot \vec v = a \cdot \vec v + b \cdot \vec v$

Na zopakovanie základných pojmov a vlastností algebraickej štruktúry "Vektorový priestor" odporúčame okrem práce od profesora Haviara aj e-knihu venovanú vektorovým priestorom od  RNDr. Edity Vrankovej z Trnavskej univerzity v Trnave. Tiež na zopakovanie operácií s vektormi odporúčame prácu "Vektory v geometrii" od PaedDr. Miroslava Tisoňa, PhD., ktorá je dostupná Tu.
Interpretujte vzťahy uvedené v definícii vektorového priestoru v prostredí GeoGebra!

Analytický (algebraický) prístup

V predchádzajúcej kapitole sme pri definícii vektorového priestoru uviedli, že dvojica $\small (V,+)$ je Abelova komutatívna grupa. To znamená, že binárna operácia "+" je komutatívna a asociatívna. Zároveň sme definovali násobenie skalárom. Pomocou týchto dvoch operácií pripomenieme pojmy: lineárna kombinácia, závislosť a nezávislosť vektorov, ktoré sú dôležité a potrebné pri geometrickej manipulácii s vektormi.

Lineárna kombinácia.
Nech je daných $n$ vektorov $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n$. Každý vektor $\pmb v$ vyjadrený v tvare $\pmb v = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n$ , kde $c_1, c_2, …, c_n$ sú reálne čísla, sa nazýva lineárna kombinácia vektorov $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n$.

Príklady.

1. V rovine je daný pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$. Nech $\small \pmb u = D - A,\pmb v = B - D,\pmb w = F - B$. Určte lineárnu kombináciu (vektor) $\pmb u + \pmb v +\pmb w$ pomocou vrcholov 6-uholníka.

Riešenie Tu.
2. V rovine je daný šesťuholník, ktorého vrcholy sú určené vzťahmi:
   $\small A,\; A + \pmb u,\; A + 2 \pmb u + \pmb v, \; A + 2 \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb v$.
   Dokážte, že tento šesťuholník je súmerný podľa stredu $\small S = A + u + v$. Zadanie Tu. Riešenie Tu.

Lineárna závislosť.
Vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1$ voláme lineárne závislé, ak rovnica
$\vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n$
je splnená tak, že aspoň jedno z čísel $c_1, c_2, …, c_n$ je rôzne od nuly.

Veta.
Ak sú vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n$ lineárne závislé, tak aspoň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných.

Lineárna nezávislosť.
Vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1$ voláme lineárne nezávislé, ak rovnica
$\vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n$
je splnená len pre $c_1= c_2= …= c_n=0$.

Príklady.

1. Nech vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, , \pmb v_3$ sú lineárne nezávislé, potom aj vektory $\pmb v_1, \pmb v_1+\pmb v_2, \pmb v_2+ \pmb v_3$ sú nezávislé. Dokážte to. Riešenie Tu.
2. Je daný pravidelný 6-uholník. Určte vektor: $\pmb w= \small 3 \cdot \overrightarrow{AB}+2 \cdot \overrightarrow{CD} +\overrightarrow{EF}$. Riešenie Tu.
3. Zistite lineárnu (ne)závislosť vektorov, ak
   • $\pmb v_1=(1,1,1), \pmb v_2=(1,1,0) , \pmb v_3=(1,0,0)$,
   • $\pmb v_1=(-1,2,1), \pmb v_2=(1,0,-1) , \pmb v_3=(1,1,-1)$ . str178   r
   Využite Matrix calculator Tu.

Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme zadefinovať lineárny obal $r$ vektorov a pridať niektoré vektorové axiómy. V ďalšom budeme uvažovať vektorový priestor $\small V$ nad telesom $\small T$ .

Definícia.
Nech $\small V$ je vektorový priestor nad telesom $\small T$ a nech sú dané vektory $\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} ∈ V$. Potom množinu všetkých vektorov
$\small M = \lbrace a_1 \cdot \pmb {v_1} + a_2 \cdot \pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot +a_r \cdot \pmb {v_r};\;a_i \in T,\; v_i \in V \rbrace$
nazývame lineárny obal vektorov $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$ alebo podpriestor generovaný vektormi $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$. Označujeme ho
$\small M =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb]$.
Ak platí $\small \pmb[\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb ]= V$, hovoríme, že vektory $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$ generujú vektorový priestor $\small V$.

Cvičenie.

1. Zistite, či vektor $\small \pmb {u}=(1,1,-1)$ patrí do lineárneho obalu množiny $\small M= \lbrace{(1;2;3),(1;0;2),(-2;1;0)}\rbrace$.
   Dokážte, že ľubovoľný vektor $\small \pmb {u}=(a, b, c) ∈ \mathbb R^3$ leží v lineárnom obale množiny $\small M$ pre ľubovoľnú trojicu $\small (a, b, c)$ reálnych čísel.
2. Je daná množina $\small M= \lbrace{(2,0,3),(4,1,4),(3,2,2)}⊂\mathbb{\pmb Z^3_5}\rbrace$. Rozhodnite, či je vektor $\small \pmb {u}=(1,2,3)$ prvkom lineárneho obalu množiny $\small M$.
   Množina obsahuje trojice prvkov telesa $\small \mathbb{\pmb Z_5}$ zvyškových tried modulo 5.
3. Zistite, či vektor $\small \pmb {u}=(7,2,-2)$ patrí do lineárneho obalu množiny $\small M= \lbrace{(1;0;-1),(2;1;0),(0;1;2),(5;2;-1)}\rbrace$. Ďalšie úlohy na Tu.

Riešenie
Cvičenie 1
Hľadajme koeficienty $\small α, β, γ$, pre ktoré platí rovnosť
$\small (a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0)$.
Po úprave a porovnaní jednotlivých zložiek dostávame sústavu
$\small \; α + β − 2γ = a\\ \small 2α+\;\; \;\;\; \;γ = b\\ \small 3α + 2β \;\; \;\;= c.$
Napríklad Gaussovou eliminačnou metódou zistíme, že sústava má riešenie pre všetky $\small a, b, c ∈ R$. Nájdite toto riešenie. Pozrite si prácu [Olšák, str. 24].
Cvičenie 2

• Lineárny obal množiny $\small M$ priestoru $\small V$ je množina všetkých lineárnych kombinácií vektorov množiny $\small M$ s koeficientmi z poľa. Teda stačí zistiť, či je možné vektor $\small \pmb {u}=(1,2,3)$ zapísať ako lineárnu kombináciu vektorov množiny $\small M$.
• Vektor $\small \pmb {u}=(1,2,3)$ patrí do lineárneho obalu množiny $\small M$ ak existujú prvky $\small a,b,c \in \mathbb{\pmb Z_5}$ tak, aby
  $\small a⋅(2,0,3)+b⋅(4,1,4)+c⋅(3,2,2)=(1,2,3)$.
  Pre každú vektorovú zložku získame rovnicu. Trojica nasledujúcich rovníc tvorí sústavu, ktorú vyriešime. Pozor – sústavu riešime nad $\small \mathbb{\pmb Z_5}$!
  $\small 2a+4b+3c=1\\ \small \;\;\;\;\;\;\;\;b+2c=2\\\small 3a+4b+2c=1.$ Sčítaním prvej a druhej rovnice dostaneme
  $\small 2a=3,$
  lebo $\small 4b+1b=0 (mod \;5),3c+2c=0 (mod \; 5)$ a sčítaním 3.r.+2.r. dostanme
  $\small 3a+4c=0$
  odkiaľ $\small a=4, c=3a=2,b=2+3c=3$. Sústava má v poli $\small \mathbb{\pmb Z_5}$ riešenie. Vektor $\small \pmb {u}=(1,3,2)$ je lineárnou kombináciou vektorov množiny $\small M$. Preto $\small \pmb {u} \in [M]$.

Nech $\small V$ je vektorový priestor nad telesom $\small T$. Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť sme zadefinovali lineárny obal ako množinu všetkých lineárnych kombinácií kde $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$ sú vopred dané vektory priestoru $\small V$.
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.

Axiómy dimenzie - rozmeru

1. Nech vo vektorovom priestore $\small V$ existuje maximálne $n$ lineárne nezávislých vektorov, kde $n$ je prirodzené číslo. Číslo $n$ nazývame dimenzia vektorového priestoru.
2. Každá $\small (n+1)$ - tica vektorov je už lineárne závislá.
3. Podmnožina $\small M$ vektorového priestoru $\small V$ je jeho báza práve vtedy, keď každý vektor $\small \pmb v \in V$ možno práve jediným spôsobom vyjadriť ako lineárnu kombináciu $\small a_1\pmb {v_1} +a_2\pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot + a_n\pmb {v_n}$ navzájom rôznych vektorov množiny $\small M$.
4. Koeficienty $\small a_1,…,a_n$ nazývame súradnice vektora v vzhľadom na bázu $\small M$. Označujeme $\small ⟨v⟩_M$ a čítame „súradnice vektora $\small \pmb v$ vzhľadom na bázu $\small M$.

Definícia.
Vektorový priestor $\small V$ nad telesom $\small T$ je konečno-rozmerný, ak existuje taká konečná množina vektorov $\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n} ∈ V$, že platí
$\small V =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}\pmb]$.
Báza je množina $\lbrace{\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}}\rbrace$ lineárne nezávislých vektorov, ktorá generuje celý priestor $\small V$.

1. Vektorový priestor $\small V$ o dimenzii $n$ nad telesom $\small T$ budeme označovať symbolom $\small V_n(T)$.
2. Vektorový priestor, ktorý sa skladá z práve jedného vektora (obsahuje len nulový vektor) označíme $\small V_0$

Príklad.
Majme množinu $\small V_2(\mathbb R)$ všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel a operácie:
$\small \oplus: \; (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2 ) =(a_1+b_1,a_2+b_2)$ - sčítanie po zložkách.
$\small \odot : \;k \odot (a_1,a_2) =(k.a_1,k.a_2)$ - násobenie skalárom $\small k \in \mathbb R$,
kde $\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)$ sú ľubovoľné usporiadané dvojice reálnych čísel. Ukážte, že množina $\small V_2(\mathbb R)$ spolu s operáciami $\small \oplus, \odot$ je 2-rozmerný vektorový priestor. Nájdite aspoň jednu jeho bázu.

Poznámky.

1. Vektorový priestor $\small V_2(\mathbb R)= \lbrace{(x, y); x, y \in \mathbb R}\rbrace$ je reprezentovaný množinou všetkých orientovaných úsečiek, ktoré sú určené ľubovoľnou usporiadanou dvojicou bodov v klasickej euklidovskej rovine.
2. Ak využijeme pravouhlý súradnicový systém s osami $\small o_x, o_y$ a počiatkom $\small O$, tak jedno z umiestnení vektora $\small \pmb a= (a_1, a_2)$ môžeme znázorniť ako orientovanú úsečku $\small \overrightarrow{OA}$, kde bod $\small A$ má súradnice $\small [a_1, a_2]$. Všimnite si, že budeme rozlišovať zápis usporiadanej dvojice (okrúhle zátvorky) a súradnice bodu v rovine (hranaté zátvorky).
3. V stredoškolskej matematike sa vektor priamo definuje ako orientovaná úsečka so šípkou smerujúcou od počiatku $\small [0, 0]$ súradnicového systému k bodu $\small [a_1, a_2]$. Šípkou sa označuje “orientácia” vektora $\small \pmb a$.
4. V písomnom texte budeme vektor $\small \pmb a$ označovať symbolom $\small \vec{a}$.

V pravouhlom súradnicovom systéme usporiadané dvojice $\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)$ reprezentujú tiež dva body $\small A,B$ v euklidovskej rovine. Označme $\small \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}$. Potom vektor $\small \vec{u}=\overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD}$ je zrejme súčtom vektorov $\small \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$. Toto tvrdenie vyplýva zo zhodnosti trojuholníkov $\small \triangle ABC \simeq \triangle ODE$. Súradnice vektora $\vec{u}$ určeného orientovanou úsečkou $\small \overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD}$, kde $\small A = [a_1, a_2], B = [b_1, b_2]$ určíme ako rozdiely súradníc bodov $\small B,A$ tj. $(b_1 -a_1, b_2-a_2)$. Vytvorili sme operáciu: odčítavanie bodov, pričom:
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou $\small \overrightarrow{AB}$ môžeme zapísať aj ako $\small B-A$.

Cvičenie.
Daný je vektorový priestor
$\small W=[(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]⊂\mathbb{\pmb Z^4_7}$.
Nájdite nejakú bázu $\small B$ priestoru $\small W$ a určite jeho dimenziu, ak
$\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)$.
Priestor $\small W$ obsahuje štvorice prvkov telesa $\small \mathbb{\pmb Z_7}$ zvyškových tried modulo 7.

Poznámka k cvičeniu.
Zápis $\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)$ hovorí, že súradnice vektora $\pmb x$ voči kanonickej báze sú $\small (1,2,1,1)$. Súradnice vektora $\pmb x$ voči kanonickej báze sú koeficienty lineárnej kombinácie vektorov kanonickej bázy dávajúcej vektor $\pmb x$, tj.
$\small \pmb x=1⋅(1,0,0,0)+2⋅(0,1,0,0)+1⋅(0,0,1,0)+1⋅(0,0,0,1)= (1,2,1,1)$.
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky $\small (1,2,1,1)$ vektora $\pmb x$.

Riešenie.

1. Máme nájsť bázu vektorového priestoru $\small W$, ktorý je daný ako lineárny obal množiny generátorov
   $\small [(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]$.
   Aby množina vektorov bola bázou, musí byť ešte lineárne nezávislá.
2. Ak teda nájdeme bázu $\small B=\left\langle \pmb b_1,\pmb b_2,\pmb b_3,\pmb b_4\right\rangle$ musí pre súradnice vektora $\small \pmb x$ platiť
   $\small \pmb x=(1,2,1,1)=x_1⋅\pmb b_1+x_2⋅\pmb b_2+x_3⋅\pmb b_3+x_4⋅\pmb b_4$.
   Z tejto vektorovej rovnice vypočítame súradnice $\small x_1,x_2, ...$. Najskôr treba upraviť maticu
   $\small \left(\begin{matrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right)$
   na trojuholníkový tvar (Pozor, pracujeme nad telesom resp. poľom $\small \mathbb{\pmb Z_7}$ zvyškových tried modulo 7!) Po prvej iterácii $\small  (IV.r.+2.II.r.; III.r.+?; II.r. + 2 \cdot I.r.)$ dostanme
   $\small \left(\begin{matrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 6 & 4 \\ 0 & 6 & 2 & 6 \end{matrix}\right)$.
   Urobte ešte dve iterácie tak, aby ste dostali maticu
   $\small \left(\begin{matrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$.
3. Hodnosť matice je rovná 2, preto pre lineárny obal platí $\small [(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)] =[(6,1,0,2),(0,5,4,5)]$.
   Dimenzia je rovná 2 a aspoň jedna báza je určená lineárne nezávislou množinou vektorov
   $\small B=\left\langle (6,1,0,2),(0,5,4,5)\right\rangle$
4. Určte súradnice vektora $\small \pmb x=(1,2,1,1)$ v tejto báze. Výpočet súradníc nájdete Tu.

Veta - existencia bázy.
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.

Z vlastností hodnosti matíc ľahko odvodíme tvrdenie. Dôkaz nájdete napríklad v práci [Hasek:Linearni algebra a geometrie, str. 45-46].

1. Bázu vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$ tvorí ľubovoľná $n$-tica lineárne nezávislých vektorov $\small \vec{a_1},\vec{a_2}, ...,\vec{a_n}$.
2. Bázu $\small V_n(\mathbb R)$, ktorú tvoria $n$-tice reálnych čísel
   $\small (\vec {e_1}=(1,0,...,0),\vec{e_2}=(0,1,0,...,0), ...,\vec{e_n}=(0,0,...,1))$,
   budeme nazývať jednotková (ortonormálna) báza. Dokážte, že vektory $\small \vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n}$ sú nezávislé.
3. Ľubovoľný vektor $\small \small \vec v \in V_n(\mathbb R): \vec v=(v_1,v_2,...,v_n$ je lineárnou kombináciou vektorov $\small \vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n}$, lebo platí
   $\small (v_1,v_2, ...,v_n) =v_1 \cdot (1,0,...,0) \oplus v_2 \cdot (0,1,0,...,0) \oplus v_n \cdot (0,0,...,1)$

Definícia.
Nech $\small \vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n}$ je jednotková báza a $\small \vec{a_1},\vec{a_2}, ...,\vec{a_n}$ je iná báza vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$.

• Čísla $\small v_1,v_2, ...,v_n$ nazývame súradnice vektora $\small \vec v$ v jednotkovej báze $\small (\vec{e_1},\vec{e_2}, ...,\vec{e_n} )$ a zapisujeme ako usporiadanú n-ticu čísel
  $\small {(v_1,v_2,...,v_n)}=v_1 \cdot (1,0,...,0) \oplus v_2 \cdot (0,1,0,...,0) \oplus v_n \cdot (0,0,...,1)$.
• Súradnice $\small w_1,w_2, ...,w_n$ v báze $\small \vec{a_1},\vec{a_2}, ...,\vec{a_n}$ budeme zapisovať pomocou dolného indexu
  $\small {(w_1,w_2,...,w_n)}_{({a_1},{a_2}, ...,{a_n} )}=w_1 \cdot \vec{a_1} \oplus w_2 \cdot\vec{a_2} \oplus ...\oplus w_n \cdot \vec{a_n}$.

Príklad.

• Nech $\small S =(\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3))$ je báza priestoru $\small V_3(\mathbb R)$. Nájdite vektor vo $\small V_3(\mathbb R)$, ktorého súradnice vzhľadom k báze $\small S$ sú $\small (-1, 3, 2)$.
• ♥ Nájdite súradnice vektora $\small u = (5, −1, 9)$ vzhľadom k báze $\small S$.

Riešenie.

1. Zrejme
   $\small \vec v = (-1).(1, 1, 2) + 3(2, 3, 4) + 2.(1, 2, 3) = (7, 12, 16)$.
   Toto sú súradnice vektora $\small \vec v$ vzhľadom k jednotkovej báze. Je dôležité dodržať poradie prvkov bázy $\small S$.


2. Určiť súradnice vzhľadom k báze $\small S$ znamená vektor $\small \vec u$ vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov bázy $\small S$. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť $\small r, s, t \in \mathbb R$, pre ktoré platí:
   ( i) $\small \vec u = r.(1, 1, 2) + s.(2, 3, 4) + t.(1, 2, 3)$ resp.
   ( ii): $\small (5, -1, 9) = r.(1, 1, 2) + s.(2, 3, 4) + t.(1, 2, 3)$.
   Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
   (iii): $\small \begin{array}{ccc} 5= \\ -1= \\ 9= \end{array} \begin{array}{ccc} 1.r\;+\;2.s;\;+\;1.t \\ 1.r\;+\;3.s\;+\;2.t \\ 2.r\;+\;4.s\;+\;3.t\end{array}$
   alebo rovnosť (ii) prepíšeme na maticový tvar (vektory bázy zapisujeme do stĺpcov! Prečo?) takto:
   (iv): $\small \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 5 \\ -1 \\ 9 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1&2&1 \\ 1&3&2 \\ 2&4&3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} r \\ s \\ t \end{array}\right)$
   Vyjadriť vektor $\small (r, s, t)^T$ (transponovaný zápis vektora) môžeme tak, že obe strany rovnice (iv) vynásobíme zľava inverznou maticou
          $\small \left(\begin{array}{rrr}1&-2&1\\1&1&-1\\-2&0&1\\ \end{array}\right)$.
   Inverznú maticu určíme napríklad pomocou programu GeoGebra, otvorte si applet "inverzná matica" Tu. Po vynásobení zľava obidvoch strán rovnice (iv) dostaneme
          $\small \left(\begin{array}{rrr}1&-2&1\\1&1&-1\\-2&0&1\\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 5 \\ -1 \\ 9 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} r \\ s \\ t \end{array}\right)$.
   
   Riešením je vektor $\small (r, s, t)^T =(16, -5, -1)^T$. Otvorte si výpočty v GeoGebre Tu.

Nasledujúci applet demonštruje určenie súradníc vektora $\small \vec u = (0,0,2)$ v báze $\small (1, 2,2) ;(1,2,1);(-1, 1,0)$ Riešením sú súradnice $\small (1,-1,0)$. Vypočítajte ich pomocou maticového tvaru, pričom využite program Matrix calculator.

♥ Príklad.
Je dané lineárne zobrazenie $\small \varphi:V_3\to V_3$, ktoré jednotkovú bázu $\small (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3} )$ zobrazí na bázu $\small (\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3))$ priestoru $\small V_3(\mathbb R)$. Nájdite obraz $\small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3)$ vektora $\small \vec u = (5, −1, 9)$ v tomto zobrazení.

Poznámka
Nech $\small V,W$ sú vektorové priestory nad telesom $\small \mathbb R$. Zobrazenie $\small \varphi:V\to W$ sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
$\small \begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\vec u+\vec v)=\varphi(\vec u)+\varphi(\vec v)\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\vec u)=\alpha\cdot\varphi(\vec u)\end{array}$
kde $\small \vec u,\vec v \in V$ a $\small \varphi \in \mathbb R$.

Riešenie.
Vektor $\small \vec u = (5, −1, 9)$ vyjadríme ako lineárnu kombináciu $\small \vec u = 5\vec{e_1}-1\vec{e_2}+9\vec{e_3}$ vektorov jednotkovej bázy. Keďže zobrazenie zobrazenie $\small \varphi$ je lineárne, tak musí platiť
$\small \vec u' = \varphi \vec u =$ $\small =\varphi[ 5\vec{e_1})-1(\vec{e_2})+9(\vec{e_3}) ]$$\small = \varphi[5.(1,0,0) + (-1)(0,1,0) + 9.(0,0, 1)]$ $\small =5\varphi(\vec{e_1})-1\varphi(\vec{e_2})+9\varphi(\vec{e_3})$.
Po úprave dostaneme:
$\small \vec u' = 5.(1, 1, 2) -1.(2, 3, 4) + 9.(1, 2, 3)$.
Rovnosť prepíšeme do maticového tvaru (vektory bázy zapisujeme do stĺpcov!) takto:
$\small \left(\begin{array}{ccc}u'_1\\u'_2\\u'_3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 1&2&1 \\ 1&3&2 \\ 2&4&3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 5 \\ -1 \\ 9 \end{array}\right)$.
Riešením je vektor $\small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3) =(12, 20, 33)^T$.

Definícia, vlastnosti (zopakovanie z Lineárnej algebry).

Definícia.
Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Zobrazenie (operáciu)
$\cdot$: $\rightarrow V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R$
nazveme skalárny súčin na $\small V_n(\mathbb R)$, ak pre každé $\pmb a, \pmb b, \pmb c \in \small  {V ,r \in \mathbb R }$ sú splnené tieto podmienky:

1. $\pmb a \cdot \pmb b = \pmb b \cdot \pmb a$
2. $(\pmb a+\pmb b) \cdot \pmb c=\pmb a \cdot \pmb c + \pmb b \cdot \pmb c$
3. $(r.\pmb a) \cdot \pmb b = r (\pmb a \cdot \pmb b)$
4. pre každý vektor $\pmb a \neq \vec 0$ je $\pmb a \cdot \pmb a > 0$.

Poznámky.

1. Vlastnosti (ii) a (iii) nastavujú požiadavku na linearitu v prvej zložke. Vlastnosť (i) žiada symetriu, tj linearita prvej zložky sa prenáša do zložky druhej. Tieto vlastnosti má symetrická bilineárna forma. Viac o bilineárnych formách nájdete Tu.
2. Vlastnosť (iv) hovorí, že forma musí byť pozitívne definitívna.
3. Skalárny súčin na reálnom priestore je teda symetrická pozitívne definitná bilineárna forma na danom priestore.
4. Takto definovaný skalárny súčin sa často v literatúre označuje ako vážený skalárny súčin.
5. Pre skalárny súčin na reálnom priestore budeme namiesto označenia $\small \pmb a \cdot \pmb b$ používať len symbol pre násobenie $\small \pmb a . \pmb b$ alebo symbol usporiadanej dvojice $\small (\pmb a , \pmb b)$.

Vážený skalárny súčin je oproti „stredoškolskému skalárnemu súčinu“ oveľa všeobecnejší. Stredoškolsky definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj ako euklidovský skalárny súčin) na priestore $\small V_3(\mathbb R)$ je zavedený nasledovne. Ak $\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3]$, tak
$\small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3$
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
$(f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx.$

Cvičenie.
Ukážte, že operácia $\small \bullet$ definovaná na $\small \mathbb R^3$ takto:
$\small \pmb x \bullet \pmb y = x_1 y_1+x_2 y_2+x_2 y_3+x_3 y_2+2x_3 y_3$.
pre $\small \pmb x = [x_1, x_2, x_3], \pmb y = [y_1, y_2, y_3] \in \mathbb R^3$ spĺňa podmienky skalárneho súčinu.

Riešenie.
Dosadením súradníc vektorov $\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3], \pmb c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3$ do definície skalárneho súčinu, ľahko overíme, že jednotlivé podmienky v definícii sú splnené.
Riešenie pomocou bilineárnych foriem nájdete Tu.

Veta - ďalšie vlastnosti skalárneho súcinu.

Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor so skalárnym súčinom, nechaj $\small \pmb u, \pmb v, \pmb w \in V ,c \in \mathbb R$. Potom

1. $\small \pmb w . (\pmb u+\pmb v) = \pmb w . \pmb u+ \pmb w . \pmb v$. Dokážte toto tvrdenie.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí aj zovšeobecnený distributívny zákon.
2. $\small \pmb u.(r.\pmb v) = r.(\pmb u.\pmb v)$
3. $\small 0.\pmb u = 0$. Dokážte tieto tvrdenia.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí $\small \pmb u.\pmb u = 0 \Leftrightarrow \pmb u = \pmb 0$.

Veta - určenie euklidovského skalárneho súčinu.
Nech $\small B = \left\langle \pmb u_1, \pmb u_2, . . . , \pmb u_n \right\rangle$ je ortonormálna báza vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small \pmb a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \pmb b = (b_1, b_2, . . . ,b_n)$ sú súradnice vektorov $\small \pmb a,\pmb b$ v báze $\small B$. Potom
$\small (\pmb a,\pmb b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n)$.

Dôkaz.
Nech  $\small \pmb a = (a_1\pmb u_1+ a_2.\pmb u_2+ . . . +a_n\pmb u_n), \pmb b = (b_1\pmb u_1+ b_2.\pmb u_2+ . . . +b_n\pmb u_n)$ sú súradnice vektorov v báze $\small B$. Definujme euklidovský skalárny súčin ako súčin mnohočlenov
$\small {(\pmb a,\pmb b) =\\=a_1.b_1\pmb u_1\pmb u_1+ a_1.b_2\pmb u_1\pmb u_2+ . . . +a_1.b_n\pmb u_1\pmb u_n+\\ +\;a_2.b_1\pmb u_2\pmb u_1+ a_2.b_2\pmb u_2\pmb u_2+ . . . +a_2.b_n\pmb u_2\pmb u_n+\\ +\;... \\ +\;a_n.b_1\pmb u_n\pmb u_1+ a_n.b_2\pmb u_n\pmb u_2+ . . . +a_n.b_n\pmb u_n\pmb u_n}$.

Využitím symetrie, distributívnosti a linearity skalárneho súčinu, vzťahov  $\small \pmb u_i.\pmb u_j = 0 ,i \neq j$;$\small \;\;\pmb u_i.\pmb u_i = 1$ a využitím komutatívnosti, distributívnosti násobenia a sčítania reálnych čísel dostaneme požadovaný výsledok.

Vektorový priestor $\small V_n(\mathbb R)$ s vyššie definovaným skalárnym súčinom nazývame Euklidovský (vektorový) priestor

Definície - norma vektora, uhol vektorov na reálnom vektorovom priestore $\small V(\mathbb R)$ so skalárnym súčinom $\small (\pmb u . \pmb v)$.

1. Pod normou (veľkosťou) vektora rozumieme druhú odmocninu skalárneho súčinu vektora $\pmb u$ samého so sebou. Normu vektora budeme označovať $\small ||\pmb u||$, teda
   $\small ∥\pmb u∥ = \sqrt{\pmb u.\pmb u}$
2. Uhlom nenulových vektorov $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$ rozumieme číslo $\phi$, pre ktoré platí
   $\cos \phi = \large {\frac{(\pmb u .\pmb v)}{∥\pmb u∥ .∥\pmb v||}}$,$\small 0 \leq \phi \leq \pi$
   Ku korektnosti definície je nutné ukázať, že $\small {-1} \leq \large {\frac{(\pmb u .\pmb v)}{∥\pmb u∥ .∥\pmb v∥}} \leq \small {1}$. Dokážte to s využitím Cauchy-Schwarzovej nerovnosti.

Tvrdenia.

1. Cauchy-Schwarzova nerovnosť
   Pre ľubovoľné dva vektory $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$ platí
   $\small |(\pmb u,\pmb v)| ≤ ∥\pmb u∥ . ∥\pmb v∥$,
   pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory $\small \pmb v,\pmb u$ sú lineárne závislé (tj. jeden z nich je násobkom toho druhého).
2. Nulový vektor $\small \vec 0 ∈ \small \mathbb R^n$ je kolmý na ľubovoľný vektor $\small \pmb v ∈ \small \mathbb R^n$. Vektory štandardnej bázy $\small \left\langle \pmb e_1, . . . , \pmb e_n \right\rangle$ sú navzájom kolmé.

Dôkaz - Cauchy-Schwarzovej nerovnosti.

1. Pre lineárne závislé vektory $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$ musí existovať nenulové reálne číslo $\small a$, pre ktoré platí $\small \pmb u= a\pmb v$. Ak sú vektory nezávislé tak, pre každé nenulové reálne číslo $\small a$ vektor $\small \pmb u - a\pmb v$ je nenulový. Zrejme druhá mocnina jeho normy je $\small {∥\pmb u-a\pmb v∥}^2>0$ a nie je rovná nule. Podľa definície normy rozpíšeme ľavú stranu nerovnosti ako
   $\small (\pmb u-a\pmb v).(\pmb u-a\pmb v)>0$
   Skalárny súčin je symetrický a distributívny, preto po úprave dostaneme kvadratickú nerovnicu .
   $\small (\pmb u.\pmb u)-2a.(\pmb u.\pmb v)+a^2(\pmb v.\pmb v)>0$
   Ľavá strana nerovnice predstavuje kvadratický trojčlen v premennej $\small a$, ktorý nemá reálne korene (pre ľubovoľnú hodnotu $\small a$ je trojčlen > 0). Jej diskriminant musí byť záporný, teda platí
   $\small D= [−2(\pmb u.\pmb v)]^2−4∥\pmb u∥^2∥\pmb v∥|^2 < 0$
   Odtiaľ už ľahko dostaneme $\small [−2(\pmb u.\pmb v)]^2 < 4∥\pmb u∥^2∥\pmb v∥^2$ a po odmocnení $\small |(\pmb u.\pmb v)| < ∥\pmb u∥.∥\pmb v∥$.
2. Dôkaz pre lineárne závislé vektory prenechávame čitateľovi. Zrejme bude platiť rovnosť strán.

Tvrdenia.
Nech $\small V(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom.

1. Trojuholníková nerovnosť.
   $\small \forall \pmb u,\pmb v \in V(\mathbb R): ∥\pmb u+\pmb v∥ \leq ∥\pmb u∥∥\pmb v∥$,
   pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory $\small \pmb v,\pmb u$ sú lineárne závislé (tj. jeden z nich je násobkom toho druhého).
2. Pytagorova veta.
   $\small \forall \pmb u,\pmb v \in V(\mathbb R): ∥\pmb u+\pmb v∥^2 = ∥\pmb u∥^2+∥\pmb v∥^2$.
3. Kosínusová veta.
   Pre ľubovoľné dva vektory $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$, ktorých uhol je $\phi$ platí
   $\small ∥\pmb u+\pmb v∥^2 = ∥\pmb u∥^2+∥\pmb v∥^2-2∥\pmb u∥∥\pmb v∥\cos \phi$.

Dôkazy.

1. Na úrovni VŠ použite Cauchy-Schwarzovu nerovnosť. Podrobné dôkazy nájdete v
   "Sbírce řešených úloh Katedřy didaktiky fyziky Matematicko-fyzikální fakulty UK Praha". Tu.
   Vezmite normu (druhú mocninu normy) na ľavej strane nerovnosti a prepíšte ju podľa definície pomocou skalárneho súčinu. Výraz zjednodušte vďaka linearite a symetrii skalárneho súčinu.
   Napr. pre trojuholníkovú nerovnosť upravte na: $\small ∥\pmb u+\pmb v∥^2=∥\pmb u∥^2+2(\pmb u.\pmb v)+∥\pmb v∥^2$.
   Ďalej aplikujte nerovnosť $\small \forall a \in \mathbb R :a \leq |a|$, následne použite Cauchy-Schwarzovú nerovnosť a nakoniec odmocnite.
2. Na úrovni SŠ použite Cauchy-Schwarzovu nerovnosť ale pre prípad vektorového priestoru $\small V_3(\mathbb R)$ so štandardnou ortonormálnou bázou $\small \left\langle e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1) \right\rangle$. Pre vektory $\small \pmb u =(u_1,u_2,u_3), \pmb v=(v_1,v_2v_3) \in V(\mathbb R)$ je skalárny súčin definovaný ako
   $\small (\pmb u . \pmb v)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$.

Cvičenie.

1. Skalárny súčin je definovaný na $\small \mathbb R^3$ takto:
   $\small (\pmb x . \pmb y) = 3x_1 y_1+2x_2 y_2+x_3 y_3$.
   pre $\small \pmb x = [x_1, x_2, x_3], \pmb y = [y_1, y_2, y_3] \in \mathbb R^3$. Určte číslo $\small a \in R$ tak, aby vektory $\small \pmb x = [a-1, 3, a+1], \pmb y = [-4, -a, 3a]$ boli na seba kolmé v zmysle definície kolmosti vektorov. Aký reálny uhol zvierajú tieto vektory v euklidovskom 3-rozmernom priestore? (Ukážte, že táto operácia spĺňa podmienky skalárneho súčinu).
2. Body $\small A[-3,2],B[2,4]$ sú susedné vrcholy štvorca. Pomocou skalárneho súčinu určte súradnice jeho zvyšných vrcholov.

Riešenie.

1. Pomocou bilineárnych foriem ukážte, že operácia spĺňa podmienky skalárneho súčinu (použitie bilineárnych foriem na zdôvodnenie tvrdenia nájdete Tu). Ak vektory $\small \pmb x = [a-1, 3, a+1], \pmb y = [-4, -a, 3a]$ majú byť na seba kolmé, tak ich skalárny súčin sa musí rovnať nule. Po dosadení dostaneme
   $\small (x.y)=3x_1y_1+2x_2y_2+x_3y_3=3(a-1)(-4)+2⋅3(-a)+(a+1)3a=3a^2-15a+12.$
   Riešením kvadratickej rovnice sú čísla $\small a \in \left\{ 1,4 \right\}$. Pozrite si grafické riešenie Tu.
2. Pre skalárny súčin platí $\small \left(\vec{u}=B-A=(5,2),\vec{v} \right) =0⇒\vec{v}=(2,-5),||\vec{v}||-1$.
   
   Otvorte si dynamický applet Tu.

Definícia - ortogonálne vektory
Nech $\small V(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom. Vektory $\small \pmb u _1,\pmb u_2,...,\pmb u_k \in V(\mathbb R)$ nazývame navzájom ortogonálne resp. ortonormálne, ak $\small (\pmb u_i . \pmb u_j)=0$ pre $\small \forall i,j \in {1,2,...,k}, i \neq j$ resp. ak naviac platí $\small ∥\pmb u_i∥ =1$.

Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je $\small n$ - rozmerný vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small (\pmb u , \pmb v)$ a nech je daná množina $\small M_k=\lbrace{\pmb {u_1} , \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k}}\rbrace$ lineárne nezávislých vektorov tohto konečno rozmerného priestoru ($\small  \pmb {u_i} \in V_n ;i=1,2, \cdot \cdot \cdot ,k \leq n$).

Definícia.
Schmidtov ortogonalizačný proces je proces, ktorým z množiny $\small n$ lineárne nezávislých vektorov vytvárame ortonormálnu bázu $\small n$ - rozmerného vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$.

Poznámka.
Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a všetky sú navzájom kolmé (ortogonálne).
Existenciu takejto ortonormálnej bázy zabezpečuje Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.

Celý proces vytvárania ortonormálnej bázy možno popísať algoritmicky/rekurentne takto:

1. V prvom kroku Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa za základ stanoví prvý vektor z danej množiny vektorov $\small M$. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných.
2. Ďalším $\small i$-tym krokom je samotná ortogonalizácia $\small i$-teho vektora. Nasledujúci $\small i$-ty vektor určíme ako lineárnu kombináciu $\small i$-teho vektora z danej množiny vektorov $\small M$ a už $\small (i-1)$ vytvorených vektorov.
3. Nakoniec prevedieme normalizáciu vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu.

Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small (\pmb u . \pmb v)$ a nech $\small \pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k} \in V$ sú lineárne nezávislé vektory. Potom existujú ortonormálne vektory $\small \pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_k} \in V$, pre ktoré platí
$\small [{\pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_i}}] = [{\pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_i}}], ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}$

Dôkaz.
A. Proces ortogonalizácie.

1. Najprv určíme prvý vektor, pričom položíme
   $\small \pmb {e_1}=\pmb {u_1}$.
2. Druhý vektor určíme ako lineárnu kombináciu $\small \pmb e_2=\pmb u_2+k \pmb e_1$ , pričom podľa predpokladu platí $\small (\pmb e_1,\pmb e_2)=0$. Po skalárnom vynásobení rovnice $\small \pmb e_2=\pmb u_2+k \pmb e_1$ vektorom $\small \pmb e_1$ dostaneme riešenie
   $\small k=-\large\frac{(\pmb e_1,\pmb u_2) }{(\pmb e_1,\pmb e_1)}$.
   Po dosadení dostaneme riešenie
   $\small \pmb e_2=\pmb u_2-\large\frac{(\pmb e_1,\pmb u_2) }{(\pmb e_1,\pmb e_1)}\small \pmb e_1$.
3. Pre tretí vektor bude lineárna kombinácia v tvare $\small \pmb e_3=\pmb u_3+l\pmb e_2+m \pmb e_1$, pričom platí $\small (\pmb e_1,\pmb e_3)=0;(\pmb e_2,\pmb e_3)=0$. Po skalárnom vynásobení rovnice postupne vektormi $\small \pmb e_1,\pmb e_2$ dostaneme riešenie
   $\small l=-\large\frac{(\pmb e_1,\pmb u_3) }{(\pmb e_1,\pmb e_1)}$; $\small m=-\large\frac{(\pmb e_2,\pmb u_3) }{(\pmb e_2,\pmb e_2)}$.


4. Pomocou matematickej indukcie dokážeme, že pre ďalšie vektory platia vzťahy
   $\small \pmb e_k=\pmb u_k-\large{\frac{(\pmb e_1,\pmb u_k) }{(\pmb e_1,\pmb ;e_1)}} \small \pmb e_1-\large\frac{(\pmb e_2,\pmb u_k) }{(\pmb e_2,\pmb e_2)} \small \pmb e_2-···-\large\frac{(\pmb e_{k-1},\pmb u_k) }{(\pmb e_{k-1},\pmb e_{k-1})} \small \pmb e_{k-1}$.
5. Teraz stačí len "znormovať" tieto vektory. Dostaneme jednotkové vektory $\large \frac{\pmb {e_1}}{||\pmb {e_1}||} , \cdot \cdot \cdot, \frac{\pmb {e_k}}{||\pmb {e_k}||} \small \in \small V$

Cvičenie.

1. Vo vektorovom priestore usporiadaných trojíc reálnych čísel sú dané vektory $\small \pmb u_1=(1,-1,1),\pmb u_2=(0,1,2),\pmb u_3=(1,1,0)$. Vykonajte Schmidtov ortogonalizačný proces.
2. Určte aspoň jednu ortonormálnu bázu vektorového podpriestoru $\small \alpha \subset \ V_3(\mathbb R)$, ktorý je určený (smerom-rovinou) $\small \alpha: 3x-y-z=0$.

Riešenie.

1. Zvoľme prvý vektor ortogonálnej bázy $\small \pmb b_1=\pmb u_3=(1,1,0)$ (zrejme nie je jednotkový, jeho normalizáciu urobíme v závere riešenia). Druhý vektor $\small \pmb b_2$ určíme zo vzťahu
   (k)$\small \pmb b_2= \pmb u_2+k(1,1,0)$,
   kde $\small \pmb u_2=(0,1,2)$. Rovnicu (k) skalárne vynásobíme vektorom $\small \pmb b_1=(1,1,0)$. Podľa predpokladu v Schmidtovom ortogonalizačnom procese musia byť vektory $\small \pmb b_1,\pmb b_2$ na seba kolmé, teda musí pre ich skalárny súčin platiť rovnosť $\small ((0,1,2),\pmb b_2)=0$. Zároveň platí $\small ((1,1,0),(1,1,0))=2$. Po dosadení do (k) môžeme určiť/vypočítať koeficient
   $\small k=-\frac{1}{2}$, odkiaľ dostaneme pre vektor $\small \pmb b_2$
   $\small \pmb b_2= (-\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)$.
   Tretí vektor určíme zo vzťahu
   $\small \pmb b_3= (1,-1,1) + r(1,1,0)+s(-1,1,4)$
   (zobrali sme 2-násobok druhého vektora $\small 2\pmb b_2$). Ľahko nahliadneme, že $\small r=0, s=-\frac{1}{9}$, odkiaľ $\small \pmb b_3=(10,-10,5)$. Zrejme vektory $\small \pmb b_1,\pmb b_2,\pmb b_3$ sú na seba kolmé a stačí ich znormovať.
   V prípade, že by sme zvolili $\small \pmb b_1=\pmb u_1=(1,-1,1)$ dostali by sme bázu $\small (1,-1,1),(-1,4,5), (3,2,-1)$, ktorá je tiež ortogonálna. Teda výsledná báza závisí od voľby poradia vektorov $\small \pmb b_1,\pmb b_2,\pmb b_3$.
2. Stačí určiť smerové vektory danej roviny, ktoré patria do vektorového priestoru určeného danou rovinou (do jej zamerania). Sú to napríklad vektory $\small \vec u=(0,-2,2),\vec v=(1,2,1)$.
   
   Otvorte si dynamickú konštrukciu pre ortogonalizačný proces Tu.
   Potom realizujte Schmidtov ortogonalizačný proces a utvorte ortogonálnu bázu skúmaného vektorového podpriestoru.

Preštudujte si študijný text o kolmých vektorových podpriestoroch v práci:
Monoszová, G.: Analytická geometria 2 - Kapitola III. FPV UMB B. Bystrica. Časť II. 2. Totalne kolmé vektorové priestory. Kolmé vektorové priestory.

Dimenzia (rozmer) afinného priestoru je dimenzia jeho vektorového zamerania
dim $\small \mathbb A :=$ dim $\small V (\mathbb A)$.

Poznámky

1. Dimenziu afinného priestoru označíme indexom vpravo hore, napríklad $n$-rozmerný afinný priestor ako $\mathbb A^{n}$.
2. Afinný priestor dimenzie 1 nazývame afinná priamka, označujeme ho $\mathbb A^{1}$ ale aj ako obvykle $a, b, p, . . .$
3. Afinný priestor dimenzie 2 nazývame afinná rovina, označujeme ho $\mathbb A^{2}$ ale aj ako obvykle $\alpha, \; \beta,\;...$

Uvedieme základné definície z práce (Monoszová, 1), v ktorých sa pomocou bázy vektorového priestoru zavádza repér afinného priestoru a (lineárna) afinná súradnicová sústava. Súhrnne sa pre tento systém používa označenie: afinný súradnicový systém.

Definície.

1. Nech $\small (\mathcal {A} , V)$ je afinný priestor a $\small O$ je ľubovoľný bod tohto priestoru. Ďalej nech $\lbrace{\pmb {e_1} , \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_n}}\rbrace$ je báza (nie nutne ortonormálna) vektorového priestoru $\small V$. Potom $\small (n + 1)$-tica $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ sa nazýva repér afinného priestoru $\small \mathcal {A}$.


2. Nech $\small (\mathcal {A} , V)$ je afinný priestor, nech $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér v $\small \mathcal {A}$. Lineárna súradnicová sústava (stručne LSS) je bijektívne zobrazenie
   $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^n}; \; P \rightarrow [p_1,p_2, . . . , p_n],$
   pričom $\small \vec{O P}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$. Pozrite si prácu (str. 8-11) Tu.

Dôkaz korektnosti definície.
Ľubovoľný vektor (teda aj polohový) vektorového priestoru sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov bázy tohto vektorového priestoru
$\small \vec{O P}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$.
Z vlastnosti (AP2) vyplýva, že pre bod $\small O$ a vektor $\small \vec{u}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ existuje práve jeden bod $\small P=O+ \vec{u}$. Preto aj bod $\small P$ vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sa dá jednoznačne vyjadriť ako kombinácia
$\small P=O+x_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}$.
Rovnosť $\small P=O+p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ skrátene zapisujeme ako $\small P = [p_1,p_2, . . . , p_n]$ a $\small n$-ticu
$[\small p_1,p_2, . . . , p_n]$
nazývame súradnicami bodu $\small P$. Súradnice bodu budeme zapisovať v hranatých zátvorkách $\pmb{ [\small x_1,x_2, . . . , x_n] }$. Vektor, ktorý určuje lineárna kombinácia $\small P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ sa nazýva polohový vektor $\small \overrightarrow{OP}=P-O$.

Existencia a jednoznačnosť súradníc bodu $\small P$ vyplýva tiež z jednoznačného riešenia rovnice,
$\small \overrightarrow{OP}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$,
keďže vektory $\small \pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}$ tvoria bázu vektorového priestoru $\small V$.

Pomenovania .

1. $\small O$ – začiatok súradnicovej sústavy
2. $\small E_i = O + \pmb {e_i}$ – jednotkové body súradnicovej sústavy
3. $\small \overleftrightarrow{OE_i}$ – súradnicové osi

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie.
Ukážte, že usporiadaná trojica $\small (\mathcal {A} , V,f)$ je afinný priestor, ak $\small {\mathcal {A}} = \lbrace{ [x_1,x_2] \in R;x_2=x_1^2 }\rbrace , V=R, f( [x_1,x_2], [y_1,y_2])=x_1-y_1$. Zistite. či zobrazenie $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x_1,x_2])=1+x_1$ je lineárna sústava súradníc.

Riešenie.

1. Ľubovoľný bod $\small X$ afinného priestoru má súradnice $[x,x^2]$. Množina všetkých bodov afinného priestoru $\small (\mathbb {A}$ je parabola (nakreslite graf v GeoGebre).
2. Podmienka (AP1) pre body $\small X[x,x^2],Y[y,y^2],Z[z,z^2]$ zrejme platí, lebo $\small f(X,Y)+f(Y,Z)=(x-y)+(y-z)=x-z=f(X,Z)$.
3. Podmienka (AP2): Zvoľme si ľubovoľné reálne čísla $p,x$ a body $\small P[p,p^2],X[x,x^2]$, potom zobrazenie $\small f(P,X)=p-x$ je bijekcia.
4. Zrejme aj zobrazenie $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x,x^2])=1+x$ je bijektívne, preto je LSS.

   Pozrite si tiež príklad 3 v práci Tu.

V predchádzajúcej kapitole sme uviedli:
Súradnice bodu $\small X$ afinného priestoru $\small \mathcal A$ vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sú súradnice jeho polohového vektora $\small \vec{O X}$ vzhľadom na bázu súradnicových vektorov. Teda platí
$\small \vec{O X}=O+x_1\pmb {e_1}+\cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}$.

Po zavedení súradnej sústavy môžeme nielen vektory ale aj body "sčitovať". Pravidlá, ktoré musíme pritom dodržiavať stanovuje tzv. základná veta o súradniciach, ktorú poznáme z lineárnej algebry.

Základná veta o súradniciach.
Nech sú dané dva body a ich súradnice $\small A=[a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot , a_n], B=[b_1,b_2, \cdot \cdot \cdot , b_n] \in \mathcal A$ a vektor $\small \vec{u}=(u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_n) \in \mathrm V$, potom

1. $\small B-A=(b_1-a_1,b_2-a_2, \cdot \cdot \cdot , b_n-a_n)$
2. $\small A+\vec u=[a_1+u_1,a_2+u_2, \cdot \cdot \cdot , a_n+u_n]$
sú body afinného priestoru $\small \mathcal A$.

Dôkaz.

1. Zrejme z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že $\small \forall A,B \in \mathcal A$ a pre začiatok súradnej sústavy $\small O$ bude platiť $\small f(A,B)=f(A,O)+f(O,B)$ tj. $\small \vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}$ odkiaľ s využitím "Tvrdenie (operácie s bodmi), odseky b), e)" dostaneme
   $\small \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(B-O)-(A-O)=$
   po úprave
   $\small =(B-O)+(O-A)=(B-A)+(O-O)=B-A$.
   Z definície sčítania (rozdielu) vektorov v báze $\small \left\langle {\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}}\right\rangle$ dostaneme
   $\small B-A=(b_1-a_1,b_2-a_2, \cdot \cdot \cdot , b_n-a_n)$

Otvorte si dynamický obrázok Tu. Interpretujte to na AP - hyperbola.
2. Z vlastnosti (AP2') afinného priestoru vyplýva, že $\small \forall A\in \mathcal{A}; \forall \vec u \in V$ existuje práve jeden bod $\small M \in \mathcal{A}$ taký, že $\small \vec{AM} =\vec u$. Pre polohové vektory platí
   $\small \overrightarrow{OM}=\vec w=\vec u+\vec a= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA}$.
   Z vlastnosti sčítania vektorov dostaneme
   $\small \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}=A+\vec u$.
   Po úprave
   $\small \overrightarrow{OM} =(P-O)+(M-P)=(u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_n)+(a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot , a_n)=(a_1+u_1, \cdot \cdot \cdot , a_n+u_n)$.

Applet Tu.

Zmena repéru
Pri závádzaní lineárnej súradnicovej sústavy sa v definícii nekládla požiadavka ortonormálnosti na repér $\small \left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ afinného priestoru $\small \mathcal {A}$. To znamená, že súradnice nejakého bodu $\small Q \in \mathcal {A}$ môžeme vyjadriť aj vzhľadom na ľubovoľný iný repér. Ako určiť súradnice bodu pri zmene repéru popisuje nasledujúci príklad.

Príklad.

• Nech $\small S= \left\langle {Q[1,-2,1],\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(-3, 2, 1),\;\vec c (-2, 1, 0) }\right\rangle$ je súradnicová sústava afinného priestoru $\small (\mathcal A, V_3(\mathbb R), f )$, kde zobrazenie $\small f$ je definované ako rozdiel súradníc bodov po zložkách. Nájdite bod $\small R \in \mathcal A$, ktorého súradnice vzhľadom k repéru $\small S$ sú $\small [-2, 1, 2]$.
• Nájdite súradnice bodu $\small P = [4,-3,1]$ vzhľadom k báze $\small S$.

Riešenie.

1. Zrejme
   $\small R = [1,-2,1]+(-2).(1, 1, 2) + 1(-3, 2, 1) + 2.(-2, 1, 0) = (-8, 0, -2)$.
   Toto sú súradnice bodu$\small R$ vzhľadom k ortonormálnemu repéru - kanonické súradnice. Je dôležité dodržať poradie prvkov repéru $\small S$. Urobte geometrickú interpretáciu.


2. Určiť súradnice vzhľadom k repéru $\small S$ znamená bod $\small P$ vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov repéru $\small S$. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť $\small q_1, q_2, q_3 \in \mathbb R$, pre ktoré platí:
   $\small P = Q+q_1.(1, 1, 2) + q_2.(-3, 2, 1) + q_3.(-2, 1, 0)$ resp.
   $\small (3,-1, 0) = q_1.(1, 1, 2) + q_2.(-3, 2, 1) + q_3.(-2, 1, 0)$.
   Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
   $\small \begin{array}{ccc} 3= \\ -1= \\ 0= \end{array} \begin{array}{ccc} 1.q_1\;\;-3.q_2\;-2.q_3 \\ 1.q_1\;+\;2.q_2\;+\;1.q_3 \\ 2.q_1\;+\;1.q_2\;+\;0.q_3\end{array}$
   Poslednú rovnosť môžeme vyjadriť v maticovom tvare (vektory repéru zapisujeme do stĺpcov!):
   $\small \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} \;3 \\ -1 \\ \;0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1&-3&-2 \\ 1&\;2&\;1 \\ 2&\;1&\;0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} q_1 \\ q_2 \\q_3 \end{array}\right)$
   
   Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.
   Riešením je bod $\small =(1, -2, 2)$.

Cvičenie.
Zistite, aké súradnice má bod $\small M = A + (\pmb a + 2\pmb b) ∈ A^3$ v afinnej súradnicovej sústave $\small [O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} ,\pmb {e_3} ]$ , ak
$\small A = O + (\pmb {e_1}+ 2\pmb {e_3})$ ;
$\pmb a = 2\pmb {e_1} + 3\pmb {e_2}$;
$\pmb b = -\pmb {e_1} + \pmb {e_2} -2\pmb {e_3}$.

                      

Riešenie.

1. Algebraické riešenie: Dosaďte do výrazu $\small M = A + (\pmb a + 2\pmb b)$ hodnoty za $\small A, \pmb a ,\pmb {b}$ a dostanete súradnice $[1,5,-2]$.
2. Grafické riešenie: Aktivujte si repér $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \pmb {e_3} \right\rangle$ v GeoGebre Tu. Do vstupného poľa postupne zadajte $\small A = O + (\pmb {e_1}+ 2\pmb {e_3})$,  $\pmb a = 2\pmb {e_1} + 3\pmb {e_2}$, $\pmb b = -\pmb {e_1} + \pmb {e_2} -2\pmb {e_3}$ a $\small M = A + (\pmb a + 2\pmb b)$ . Porovnajte výsledok.

Zvoľme si v afinnom priestore $\small (\mathcal A, \mathit V, +)$ jeden pevný bod $\small P$ a nejaké zameranie $\small \mathit V'$, ktoré je podmnožinou vektorového zamerania $\small \mathit V$. Dostaneme podmnožinu bodov afinného priestoru, ktorá bude spĺňať axiómy afinného priestoru. Takouto množinou je napríklad priamka v euklidovskej rovine alebo rovina v euklidovskom priestore.

Definícia.
Nech $\small (\mathcal A, \mathit V, +)$ je afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$. Neprázdnu podmnožinu $\small \mathcal A': \mathcal A' \subset \mathcal A$ nazývame afinný podpriestor resp. lineárna varieta afinného priestoru $\small \mathbb A$, ak existuje vektorový podpriestor $\small \mathrm V' \subset \mathrm V$, pričom platí

• $\small \forall X, Y \in \mathcal A' : \vec{XY}=(Y-X) \in \mathrm V'$
• $\small \forall X \in \mathcal A', \forall u \in \mathrm V': (X+u) \in \mathcal A'$

Dokážte, že $\small \mathcal A'=\left\{(0,x,0,1), x \in \mathbb R\right\}$ je afinný podpriestor priestoru $\small \mathbb A_3=(\mathcal A, \mathit V, f)$,
$\small \mathcal A=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4), x \in \mathbb R^4;x_4=1\right\}$
$\small \mathrm V=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4), x \in \mathbb R^4;x_4=0\right\}$
$\small f$ je odčítanie po zložkách. [MON 1.4.1]

Tvrdenie.
Nech $\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]$ je ľubovoľný bod z afinného priestoru $\small \mathbb A^n$. Potom bod $\small X$ leží v podpriestore $\small \mathbb A^k$, práve vtedy, keď platí rovnosť
$\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2\vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k$,
kde $\small A= [a_1, a_2, \cdot \cdot \cdot a_n] \in \mathcal A^k$; $\small t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k$ sú reálne čísla a $\small \vec a_1 ,\vec a_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec a_k$ je $\small k$ lineárne nezávislých vektorov podpriestoru $\small \mathcal A^k (\mathcal A^k \subset \mathcal A)$. Uvedená rovnosť sa nazýva parametrické vyjadrenie podpriestoru $\small \mathbb A^k$. Čísla $t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k$ sa nazývajú parametre bodu $\small X$.

Poznámky.
Pre rovnosť $\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2 \vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k$ sa tradične používa nie úplne presný názov parametrické rovnice podpriestoru. Parametrické rovnice podpriestoru $\small \mathbb A^k$ majú známy tvar
$\small x_1 =a_{1}+a_{11}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{1k}t_k$
$\small x_2 =a_{2}+a_{21}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{2k}t_k$
...
$\small x_n =a_{n}+a_{n1}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{nk}t_k$,
kde $\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]$ sú súradnice bodu $\small X$ a $\left(a_{i0},a_{i1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{ik}\right)$ sú súradnice vektora $\vec a_i$ v kanonickej báze $\left\langle\vec e_1 ,\vec e_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec e_n\right\rangle$. Túto sústavu rovníc môžeme zapísať pomocou matíc. Maticový tvar parametrických rovníc vyzerá takto
$\\ \; \\ \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ \;· \\ x_n \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{} a_{1} \\ a_{2} \\ \;· \\ a_{n} \end{array} \right) +\left( \begin{array}{} a_{12} & a_{12} & ··· & a_{1k} \\ a_{22} & a_{22} & ··· & a_{2k} \\ \; ··· & \\ a_{n2} & a_{n2} & ··· & a_{nk} \end{array} \right) · \left( \begin{array}{} t_1 \\ t_2 \\ \;· \\ t_k \\ \end{array} \right)\\ \; \\ $
Maticu sústavy $\small \pmb a_{ij}$ z predchádzajúceho vyjadrenia nazývame matica prechodu od afinnej súradnicovej sústavy $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ do sústavy $\small \left\langle A;\pmb {a_1} ,\pmb {a_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {a_k} \right\rangle$.

Príklad 1.
Zistite, či body $\small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6]$ incidujú s podpriestorom (ležia v podpriestore) $\small \left\langle A, u, v\right\rangle$. Dané sú bod $\small A = [1, 3, 2]$ a vektory $\small u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0)$. Nájdite parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru. Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.

Riešenie.
Hľadáme reálne čísla $\small r,s$, pre ktoré platí rovnosť (vektorová rovnica má práve jedno riešenie)
$\small [9, -2, 5]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)$ resp. $\small [4, 1, 6]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)$
Odpoveď: Bod $\small M = [9, -2, 5]$ inciduje s daným podpriestorom, riešenie nájdete Tu. Ukážte, že bod $\small N = [4, 1, 6]$ neleží v danom podpriestore.

Neparametrické vyjadrenie podpriestoru

V afinnom priestore $\small \mathbb A^n$ môžeme lineárne podpriestory $\small \mathbb A^k \subset \mathbb A^n$ vyjadriť aj neparametricky pomocou sústavy $\small p$ lineárnych rovníc s $\small n$ neznámymi. Ich počet je závislý od dimenzie podpriestoru $\small k$ a od dimenzie daného priestoru $\small n$. Musí byť splnená rovnosť: $\small p=n-k$. V stredoškolskej analytickej geometrii

1. Priamka ($\small k = 1$) ležiaca v rovine ($\small n=2$) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi. Bod ($\small k = 0$) je chápaný ako prienik dvoch priamok, teda môže byť vyjadrený ako sústava dvoch lineárnych rovníc.
2. V afinnom priestore $\small \mathbb A^3$ rovina (nadrovina ($\small k =2$)) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s troma neznámymi $\small 1=3-2$. Priamka je prienikom dvoch rovín a na jej určenie sú potrebné dve rovnice $\small 2=3-1$.

Príklad 2.

1. Nájdite neparametrické vyjadrenie roviny z príkladu 1 a zistite, či body $\small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6]$ incidujú s touto rovinou.
2. Nájdite parametrické aj neparametrické vyjadrenie roviny v $\small \mathbb A^3$, ktorá prechádza bodom $\small A = [1, 2,3]$ a má smer $\small \vec{u}=(-5,6,4),\vec{v}=(2,-1,0)$.
   Riešenie Tu
   Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.

Pre lineárny podpriestor platí, že s každými dvoma bodmi $\small A,B$ obsahuje tento podpriestor aj bod
$\small A+t(B-A);\;t \in \mathbb R$.
Dôkaz tohto tvrdenia sa robí v základnom kurze z lineárnej algebry.

Lineárne podpriestory s danou dimenziou.

1. Afinný podpriestor dimenzie 1 sa nazýva afinnou priamka.
2. Afinný podpriestor dimenzie 2 sa nazýva afinnou rovina.
3. Afinný podpriestor dimenzie $\small n$-1 v $\small n$-rozmernom afinnom priestore sa nazýva nadrovina . Zrejme priamka je zároveň nadrovinou v priestore $\small \mathbb A^2$ a rovina je nadrovinou v $\small \mathbb A^3$.
4. Budeme hovoriť, že podpriestor $\small (\mathcal A',\mathrm V',+)$ je $\small k$-rozmerný (má dimenziu $\small k$), ak podpriestor $\small \mathrm V'$ má dimenziu $\small k$ (dim $\small \mathrm V'=k$ ).

Príklady.

1. Napíšte parametrické vyjadrenie podpriestoru v $\small \mathbb A^4$, ktorý je daný všeobecnými rovnicami:
   $\small 2x_1-x_2+3x_3-7x_4-5=0\\\\ \small 6x_1-3x_2+x_3-5x_4-7=0$
2. Dokážte, že množina
   $\small P = \lbrace{(x, y, z) \in \mathbb R^3; x + y - 2z = 5, x - y = 1}\rbrace$
   je priamkou v afinnom priestore
   $\small \mathbb A = \lbrace{( x_1, x_2, x_3) \in R^3; x_1 + x_2 - 2x_3 = 5}\rbrace , V^3(\mathbb R) = \lbrace{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3; x_1 + x_ 2 - 2x_3 = 0}\rbrace$.

Riešenie.

1. Otvorte si riešenie Tu.
2. Zobrazte roviny
   $\small \alpha = \lbrace{(x, y, z) \in \mathbb R^3; x + y - 2z = 5}\rbrace$, $\small \beta = \lbrace{(x, y, z) \in \mathbb R^3; x - y = 1}\rbrace$
   v 3D GeoGebre. Grafické riešenie Tu.

Vektorový priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj vnútorný súčin) umožňuje rozumne definovať geometrické pojmy uhol a vzdialenosť, čím na tomto vektorovom priestore vzniká dodatočná geometrická štruktúra.

Euklidovský priestor je $\small n$-rozmerný afinný priestor so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$ a s vyššie definovaným skalárnym súčinom; označovať’ ho budeme symbolom $\small \mathbb E_n$.

Vo vektorovom priestore okrem skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je skalár (reálne číslo), môžeme definovať operáciu, ktorej výsledkom bude vektor kolmý na obidva pôvodné vektory. Pre vektorový súčin uvedieme definíciu pomocou zobrazenie, ktoré dvojici vektorov v trojrozmernom Euklidovskom priestore priraďuje vektor kolmý na obidva pôvodné vektory.

Definícia - vektorový súčin.
Vektorový súčin dvoch vektorov $\small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R)$ je definovaný ako vektor kolmý k vektorom $\small \mathbf {a},\mathbf {b}$, ktorého veľkosť je rovná ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory vytvárajú. Zapisujeme
$\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta }$,
kde $\small θ$ je uhol zvieraný vektormi $\small \mathbf {a},\mathbf {b}$ s vlastnosťou $\small 0° ≤ θ ≤ 180°$ a $\small \mathbf {n}$ je jednotkový vektor kolmý k nim.

1. Vektorový súčin vektorov budeme označovať symbolom $\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$.
2. Vektorový súčin vektorov je definovaný pre 3-rozmerný Euklidovský priestor!

Veta.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory $\small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3)$. Potom zložky vektora $\small \mathbf {c}$ vektorového súčinu $\small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ možno určiť ako
$\small {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$.

Pomôcka na výpočet súradníc vektora $\small \mathbf {c}$.
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora $\small \mathbf {a}$ a pridáme ešte raz jeho prvú a druhú súradnicu. V druhom riadku urobím to isté s vektorom $\small \mathbf {b}$. Dostaneme schému
$\small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}}$.
Teraz určíme súradnice vektora $\small \mathbf {c}$ - krížové násobenie: $\small ( {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}; {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}; {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})$.

Poznámky.

1. Pre obsah trojuholníka $\small ABC$ je známy vzorec $\small S =\frac {1}{2}a · b · \sin  γ$, kde $\small a=|BC|,b=|AC|,γ=\angle ACB$. Porovnaním s definíciou vektorového súčinu, môžeme písať $\small S =\frac {1}{2}\left| {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }\right|$ .
2. Pomocou zmiešaného súčinu troch vektorov môžeme vypočítať objem rovnobežnostena. Pozrite si prácu Vodičková, V.: Aplikácie vektorového súčinu. Dostupné Tu.

Cvičenie.

1. Zistite, či zobrazenie (operácia) $\small f:$ $\small V_2 \times V_2 \rightarrow \mathbb R$ je skalárnym súčinom, ak
   • $\small f ( (x_1,x_2), (x_2,y_2)) =x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10y_1y_2$,
   • $\small f ( (x_1,y_1), (x_2,y_2)) =x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10x_2y_2$.
2. Zistite aký uhol zvierajú jednotkové vektory $\small \vec a, \vec b$, ak $\small \vec x=\vec a+2\vec b, \vec y=5\vec a-4\vec b$ sú na seba kolmé vektory.
3. Vypočítajte obsah rovnobežníka $\small ABCD$, ak poznáte súradnice troch jeho vrcholov: $\small A[5; 1; 4], B[−1; −2; 6], C[2; 3; −2]$. Vytvorte si model v GeoGebre.
4. Vypočítajte veľkosť vektora $\small \vec c=3\vec a+2\vec b$ , ak $\small ||\vec a||=3,||\vec b||=4,|\angle (\vec a, \vec b)||= \frac{2}{3} \pi$.

Riešenie.

1. ...
2. ...

Lineárnu súradnicovú sústavu v $\small \mathbb E_n$ danú repérom $\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace$ nazývame karteziánskou súradnicovou sústavou, ak $\small \lbrace \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace$ je ortonormálna báza zamerania $\small V_n(\mathbb R)$.
Označenie pre súradnice bodu $\small X[x_1, x_2, . . . , x_n]$ a vektora $\vec v = (v_1, v_2, . . . , v_n)$ v karteziánskej súradnicovej sústave.

Nech $\small \mathbb{E}_n$ je $\small n$-rozmerný euklidovský priestor so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small P, Q, P_1,P_2,...,P_m$ sú body tohto euklidovského priestoru.

Definícia.
Afinná (barycentrická resp. lineárna) kombinácia bodov. Nech $\small P, P_1,P_2,...,P_m \in \mathbb{E}_n$, tak súčtom (afinnou kombináciou bodov) $\small \alpha_1 P_1+...+ \alpha_m P_m$ rozumieme bod
(AK)$\small P + \alpha_1(P_1 − P) + · · · + \alpha_m(P_m − P)$,
pričom pre $\small α_1, . . . , α_m \in \mathbb R$ musí platiť $\small α_1+ . . . + α_m = 1$.

Dôkaz korektnosti definície.
Treba ukázať, že afinná kombinácia (AK) nezávisí od voľby bodu $\small P$.

Nech $\small α_1+ . . . + α_m = 1$ a nech $\small Q \in \mathbb{E}_n$ je ľubovoľný bod. Upravujme afinnú kombináciu
$\small Q+ \alpha_1(P_1-Q) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-Q) =$
aplikovaním tvrdenia $\small \forall P,Q\in \mathbb{E}_n:  Q=P+(Q-P)$ dostaneme
$\small =P+(Q-P) + \alpha_1(P_1-(P+(Q-P)) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-(P+(Q-P)) =$
$\small=P + (Q-P) - \alpha_1(Q-P) + \cdot \cdot \cdot - \alpha_m(Q-P)+ \alpha_1(P_1-P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m-P) =$
$\small=P + (Q-P)- [(\alpha_1 + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m)(Q - P)] + [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =$
$\small = P + [(Q-P)- 1 . (Q − P)]+ [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =$
$\small = P + \alpha_1(P_1 − P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m − P)$.
Čo bolo treba dokázať.

Otvorte si applet Tu.

Usporiadaná množina bodov $\small \pmb S = \left\{O, E_1, . . . , E_n \right\}$ afinného priestoru $\small \mathcal{A}^n$ sa nazýva simplex priestoru $\small \mathcal{A}^n$, kde

• $\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér priestoru $\small \mathcal{A}^n$,
• $\small \overrightarrow{OE_i} = \pmb {e_i}$ sú ortonormálové vektory.
Ľubovoľný bod $\small X$ má v tomto repéri súradnice $\small [x_1, . . . , x_n]$.

Teda môžeme zapísať $\small \overrightarrow{OX} = x_1\pmb {e_1} + . . . + x_n\pmb {e_n}=x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}$.

Veta bod ako kombinácia simplexu.
Ľubovoľný bod $\small X \in \mathcal{A}^n$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
$\small X=x_oO + x_1E_1 + · · · + x_nE_n$,
kde $\small x_o + x_1 + · · · + x_n = 1$.

Dôkaz.
Z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že pre ľubovoľný (každý) bod $\small Q \in \mathcal{A}^n$ platí
(Q)$\small \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QX}$.
Vektor $\small \overrightarrow{OX}$ vzhľadom na repér $\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia $\small \overrightarrow{OX}= x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}$.
Využitím vzťahov $\small \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_i}$ upravme vzťah (Q)
$\small \overrightarrow{OX}=x_1(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_1})+...+ x_n(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_n})$,
odkiaľ
$\small \overrightarrow{OX}=(x_1+ . . . + x_n)\overrightarrow{OQ}+x_1\overrightarrow{QE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{QE_n}$,
Keďže predchádzajúci vzťah nie je závislý od bodu $\small Q$, a keď položíme $\small x_0=1-(x_1+ . . . + x_n)$. Potom dostaneme
$\small X=O+(Q-O)+x_1(E_1-Q)+ . . . + x_n(E_n-Q)$
$\small X=Q-(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)$
teraz položíme $\small Q=O$ a dostaneme výsledok
$\small X=x_0O+x_1E_1+ . . . + x_nE_n$
za predpokladu, že $\small x_0+x_1+ . . . + x_n=1$.

Pretože rovnosti v dôkaze predošlej vety nezávisia na voľbe bodu $\small Q \in \mathcal{A}$, tak ku každému usporiadanému simplexu $\small S$ a bodu $\small X$ afinného priestoru $\small \mathcal{A}^n$ existuje jediná sústava skalárov $\small {x_o, . . . , x_n}$ tak, že platí rovnosť uvedená v tejto vete. Zrejme platí aj obrátená veta: Každá sústava skalárov $\small {x_o, . . . , x_n}: \; \;x_0+x_1 + · · · + x_n=1$ jednoznačne určuje bod $\small X \in \mathcal{A}^n$, pre ktorý platí tvrdenie vety.

Z dôkazu predchádzajúcej vety vyplýva, že súčet $\small x_0+x_1 + · · · + x_n$ je rovný jednej. Preto podmienka $\small α_1+ . . . + α_m = 1$ v definícii afinnej kombinácii bodov je dôležitá a nutná.

Cvičenie.

1. Nech $\small A,B \in \mathbb E_2$ sú dva rôzne body. Zistite, aký bod predstavuje lineárna kombinácia $\small \frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B$.
2. Nech $\small A,B,C \in \mathbb E_3$ sú tri nekolineárne body. Zistite, ktorý bod predstavuje lineárna kombinácia $\small \frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}C$. Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie vrcholov trojuholníka $\small ABC$ ľubovoľný vnútorný bod tohto trojuholníka.
3. ♥ Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie nezávislých bodov $\small A_0,A_1,...,A_k \in \mathbb{E}_{k+1}$ ľubovoľný bod podpriestoru $\small \mathbb{E}_{k+1}$ určeného týmito bodmi.

Riešenie.

1. Upravujme
   $\small \frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B=A-\frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B=A+\frac{1}{2}(B-A)$,
   čo predstavuje stred úsečky $\small A,B$. Zobrazte túto situáciu v GeoGebre.
2. Znázornite túto situáciu v GeoGebre, otvorte si zadanie Tu. Riešenie Tu.
3. Podľa vety "bod ako kombinácia simplexu" pre bod $\small X$ podpriestoru $\small \mathbb{E}_{k+1}$ a jeho simplex $\small \pmb S = \left\{O, A_1, . . . , A_k \right\}$ platí
   (Mx)$\small X=[1-(x_1+· · · + x_k)]O + x_1A_1 + · · · + x_kA_k$.
   Po jednoduchej úprave dostaneme
   $\small X=O + x_1(A_1-O) + · · · + x_n(A_n-o)$,
   čo predstavuje bod podpriestoru $\small \mathbb{E}_{k+1}$.
   • Pre podpriestor $\small \mathbb{E}_2$ množina všetkých bodov $\small X$ spĺňajúcich podmienku (Mx) je zrejme priamka (útvar určený dvoma nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar
     $\small X=A_0+t(A_1-A_0)$.
     Po úprave dostaneme
     $\small X=(1-t) \cdot A_0+t \cdot A_1$,
     čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov $\small A_0,A_1$.
   • Pre podpriestor $\small \mathbb{E}_3$ to bude rovina (útvar určený tromi nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar 
     $\small X=A_0+r(A_1-A_0)+s(A_2-A_0)$.
     Po úprave dostaneme
     $\small X=(1-r-s) \cdot A_0+r \cdot A_1 +s \cdot A_2$,
     čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov $\small A_0,A_1,A_2$.

Definícia (Deliaci pomer bodov).
Nech $\small A, B \in \mathbb E_n$ a $\small C \neq B$ sú tri kolineárne body. Deliacim pomerom bodov $\small A, B,C$ (v tomto poradí) nazývame reálne číslo $\small \lambda$ také, že $\small (C-A) = \lambda (C-B)$. Budeme ho označovať $\small (ABC)$.

Vypočítajte $\small (ABC)$, ak:

1. $\small A = [1, 0, 1], B = [1, 3, -2], C = [1, -3, 4]$
2. $\small A = [1, 1, 1], B = [2, 0, -1], C = AB \cap \alpha , \alpha : 2x -3y + 2z = 0$
3. $\small A = [1, -1], B = A + 2\vec u, C = A- \vec u, \vec u = (1, 2).$

Riešenie.

1. Najskôr je nutné zistiť, či body $\small A,B,C$ sú kolineárne.
   
   Otvorte si applet Tu.
   Pre deliaci pomer $\small \lambda$ musí platiť:
   ($\small \lambda$) $\small (C-A)= \lambda \cdot (C-B) \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} =\lambda \cdot \overrightarrow{BC}$ .
   Potom môžeme spočítať
   $\small \vec{u}=\overrightarrow{AC}=\left([1, -3, 4]-[1, 0, 1]\right) =(0,-3,3);\vec{v}=\overrightarrow{BC}\left([1, 3, -2]-[1, -3, 4] \right) =( 0,-6 ,6)$.
   Po dosadení do vzťahu ($\small \lambda$) dostaneme $\small \lambda=2$.
2. Najskôr určte súradnice priesečníka $\small C$ priamky $\small \overleftrightarrow{AB}$ a roviny $\small \alpha$. Rovnica priamky $\small \overleftrightarrow{AB}$ je daná parametricky
   $\small \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} t+1 \\ -t+1 \\ -2t+1 \end{matrix}\right)$
   Po dosadení do všeobecnej rovnice roviny $\small \alpha : 2x -3y + 2z = 0$ určíme riešenie $\small t=-1$. Spoločný bod $\small C$ má súradnice $\small [0,2,3]$.
   
   Otvorte si applet Tu.
3. Najskôr určte súradnice bodov $\small B,C$.

Nasledujúce obrázky dokumentujú vzťah deliaceho pomeru pre pevne zvolené body $\small A,B$ a premenlivý bod $\small C$. Tento vzťah predstavuje hyperbolickú funkciu.

Otvorte si interaktívnu konštrukciu Tu.

Tvrdenie (Vzťah deliaceho pomeru a lineárnej kombinácie).
Nech $\small C = (1 -t)A + tB,\; t \neq 1$. Potom pre deliaci pomer platí: $\small (ABC) = \frac{t}{t-1}$. Pozrite si grafické zdôvodnenie Tu.

Poznámky.

1. Z definície deliaceho pomeru $\small (C-A) = \lambda (C-B)$ vyplýva, že vektory $\small \vec u = (C-A), \vec v = (C-B)$ sú lineárne závislé a platí $\small \vec u= \lambda \cdot \vec v$.  Preto kvôli korektnosti definície deliaceho pomeru je v definícii uvádzaná podmienka kolineárnosti bodov $\small A,B,C$. Z predchádzajúceho tvrdenia aj z cvičenia 3. tiež vyplýva, že body$\small A,B,C$ sú kolineárne.
2. Z cvičenia 1. vyplýva, že existuje bod $\small S=\frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B$, ktorý budeme nazývať stred dvojice bodov $\small A,B$ (resp. úsečky $\small AB$ ). Ak $\small A \neq B$, tak pre stred $\small S$ platí $\small (ABS)=-1$. Stred dvojice bodov $\small A,B$ budeme označovat’ $\small S_{AB}$.

Tvrdenie.
a) Nech body $\small A,B,C,D \in \mathbb E_n$, potom vektory $\small A-B=D-C$ (sa rovnajú) práve vtedy, keď $\small S_{AC}=S_{BD}$ (stred rovnobežníka).
b) Pre súradnice stredu $\small S_{AB}$ platí: $\left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+ b_2}{2}, \cdot \cdot \cdot ,\frac{a_n+b_n}{2} \right)$.

Tvrdenie (Menelaos).
Nech $\small A,B,C$ sú nekolineárne body a nech $\small A′∈〈BC〉, B′∈〈CA〉, C′∈〈AB〉$ sú body rôzne od bodov $\small A,B,C$. Potom body $\small A′, B′, C′$ sú kolineárne práve vtedy, keď $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1$.

Otvorte si interaktívnu konštrukciu Tu.

Dôkaz.
Zvoľme afinnú sústavu súradníc tak, že $\small A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1)$. Body $\small C′, B′$ majú po rade súradnice $\small (c,0), (0,b)$, pričom $\small c, b ≠ 0, 1$. Rovnica nadroviny (priamky) $\small BC$ má všeobecnú rovnicu $\small x + y − 1 = 0$. Preto $\small A′ = (a,1−a), a ≠ 0, 1$. Z definície deliaceho pomeru dostaneme
$\small (ABC′) = c/(c −1), (BCA′) = (a −1)/a, (CAB′) = (b −1)/b$.
Po jednoduchých úpravách ľahko zistíme, že rovnosť $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1$ je ekvivalentná s rovnosťou $\small ab − ac −bc + c = 0$.
Na druhej strane body $\small A′, B′, C′$ sú kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke. Priamka určená bodmi $\small C′, B′$ má parametrické vyjadrenie
$\small X= B′+ t(C′-B')$.
Bod $\small A′$ leží na tejto priamke práve vtedy, keď platí $\small A'= B′+ t(C′-B')$. Po dosadení súradníc dostaneme sústavu dvoch rovníc o jednej neznámej $\small t$, ktorá má riešenie práve vtedy, keď platí $\small ab − ac −bc + c = 0$.

Tvrdenie (Ceva, čítaj čéva).
Nech body $\small A,B,C$ sú nekolineárne a nech body $\small A′, B′, C′$ ležia na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka $\small ABC$, potom priamky $\small AA',BB',CC'$ sa pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = −1$.

Dôkaz nájdete Tu na strane 91, konštrukčný dôkaz Tu.

V ďalších kapitolách sa budeme zaoberať len euklidovským priestorom $\small \mathbb E_n$ so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$. Zameriame sa prevažne len na dvojrozmerný a trojrozmerný euklidovský priestor - rovinu $\small \mathbb E_2$ a priestor $\small \mathbb E_3$. Pripomíname, že v euklidovskom priestore je definovaný skalárny súčin.

Definícia.
Nech $\small \mathbb E_n, \mathbb E_m$ sú euklidovské priestory. Zobrazenie $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ sa nazýva afinné zobrazenie (AZ), ak obrazom ľubovoľných troch kolineárnych bodov sú totožné body, alebo kolineárne body, pričom ich deliaci pomer sa zachováva.

Z definície vyplýva, že afinné zobrazenie má vlastnosť lineárneho zobrazenia.

Veta.
Nech $\small \mathbb E_n, \mathbb E_m$ sú euklidovské priestory a $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie. Potom platí
$\small f( \alpha_0 (A_0) + \alpha_1 (A_1)+...+ \alpha_k (A_k))=\small \alpha_0 f((A_0)) + \alpha_1f( (A_1))+...+ \alpha_k f((A_k))$,
pričom $\small \alpha_0 + \alpha_1+...+ \alpha_k =1$.

Dôkaz (urobíme pre $\small n=2)$
Nech $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie a nech $\small f(X)= \alpha_1 (A_1)+ \alpha_k (A_2)$, kde $\small \alpha_1+\alpha_2 =1$. Pre ľubovoľný bod $\small X$ priamky $\small \overleftrightarrow{A_1A_2}$  platí
$\small X= A_1+ t (A_1-A_2)$
a pre jeho obraz $\small f(X)$ priamky $\small \overleftrightarrow{f(A_1)f(A_2)}$ bude
$\small f(X)= f(A_1)+ t (f(A_1)-f(A_2))$

Poznámky.

1. Ak $\small n=m$, tak afinnému zobrazeniu $\small f$ hovoríme transformácia euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.
2. Afinné zobrazenie je zrejme lineárne zobrazenie.
3. Afinné zobrazenie zachováva lineárne kombinácie bodov.

♥ Príklad Tri body.
Afinné zobrazenie $\small f$ zobrazuje body $\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]$ do bodov $\small A'[1, 6], B'[1, 9], C'[3, 1]$ v tomto poradí. Kam sa zobrazí bod $\small P[5, 7]$ resp. bod $\small X[x, y]$? Prevzaté z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 28).

Riešenie.
Prvý spôsob.
Bod $\small P[5, 7]$ vyjadrime ako lineárnu kombináciu bodov $\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]$. V takom prípade musia existovať reálne čísla $\small a,b,c$
(1) $\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C$
$\small a+b+c=1$.
Zobrazenie $\small f$ je lineárne, preto pre obraz $\small P'[x',y']$ bodu $\small P$ bude platiť
(2) $\small P'=f(P)=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$, pričom tiež musí platiť $\small a+b+c=1$
Sústavu rovníc (1) a (2) vyjadríme v maticovom tvare a vyriešime.

Pri násobení matíc typu $\small r \times s ;s \times t$ výsledná matica je typu $\small r \times t$, preto matica $\small P$ rep. matica $\small P'$ bude typu 3 x 1, pričom prvok $\small a_{31}=a+b+c$ bude zrejme rovný 1. (Pri riešení sme použili kalkulátor "Matrix calculator", ktorý je dostupný Tu.

$\small P=\mathrm M \times \mathrm A:\;\;\left(\begin{array}{ccc}5 \\ 7\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&1 \\ 1&0&4\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)$

$\small P'=\mathrm M' \times \mathrm A:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 6&9&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)$
Po vyjadrení
$\small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P: \left(\begin{matrix} -2 & -1 & 6 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \end{matrix}\right)  \times \left(\begin{matrix}5 \\7 \\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11 \\\frac{15}{2} \\\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$
a po dosadení do (2) dostaneme riešenie
$\small P'=\mathrm M' \times M^{-1} \times \mathrm P:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 6 & 9 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -2 & -1 & 6 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\right)$.
Po roznásobení
$\small P':\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}10 \\6 \\1\end{matrix}\right)$.
Porovnaním ľavej a pravej strany dostaneme riešenie $\small P'=[10,6]$.

Dôsledok.
V našom príklade ak pre bod $\small P$ zvolíme všeobecné súradnice $\small P=[x,y]$, tak riešenie môžeme zapísať v tvare
$\small P': \left(\begin{matrix}x' \\y' \\1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} x+y-2 \\ 2x-y+3 \\ 1 \end{matrix}\right).$

Transfomačné rovnice afinného zobrazenia.
Porovnaním riadkov matíc dostaneme sústavu - transformačné rovnice zobrazenia z príkladu "Tri body"
$x'=\;x+y-2\\y'=2x-y+3$
Dosaďte súradnice $\small P[5, 7]$ do tejto sústavy a zistíte súradnice hľadaného bodu $\small P'[10, 6]$.

Pozrite si riešenie v GeoGebre Tu. Kompletné grafické riešenie pre afinné zobrazenie určené obrazmi troch bodov si stiahnete Tu.

Druhý spôsob riešenia príkladu "Tri body".
Sústavu môžeme riešiť aj dosadením súradníc dostávame $\small [5, 7]=a \cdot [2, 1]+b \cdot [3, 0]+c \cdot [1, 4]$ a po roznásobení dostaneme sústavu troch rovníc o troch nezámych
$\small 2a+3b+c=5 \\ \small a+0b+4c=7 \\ \small a+b+c=1.$
Dostaneme riešenie $\small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\}$.
V afinnom zobrazení sa kolineárnosť zachováva, preto platí $\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$. Po dosadení riešenia a súradníc bodov $\small A'[1, 6], 'B[1, 9], C'[3, 1]$ dostaneme
$\small {x(P')}=1 \cdot (-11) + 1 \cdot \frac{15}{2}+3 \cdot \frac{9}{2}=-11+21=10\\ \small {y(P')}=6 \cdot (-11) + 9 \cdot \frac{15}{2}+1 \cdot \frac{9}{2}=6.$

Príklad.
Zobrazenie $f$ roviny $\small \mathbb E_2$ do tej istej roviny, ktoré bodu $\small X \in \overleftrightarrow {PQ}$ priradí bod $\small f(X)=\frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}X$ je afinné zobrazenie. Zobrazenie, ktoré trojuholníku s jedným premenným vrcholom priradí jeho ťažisko je afinné zobrazenie. Pozrite si dôkaz, že takéto zobrazenie je afinné Tu.

V predchádzajúcej kapitole sme riešili úlohy transfomácie euklidovských priestorov $\small \mathbb E_n, \mathbb E_m$, keď $\small n=m$. V tejto kapitole sa budeme zaoberať prípadom $\small n \neq m$.

Príklad zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_3$.
Určte parameter $p$ tak, aby zobrazenie ktoré zobrazuje body $\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, p]$ do bodov $\small A'[2,1,-1], B'[3,2,0], C'[1,0,2]$ v tomto poradí bolo afinné. Pre vhodné $p$

• určte obraz $\small P'=f(P)$ ľubovoľného bodu $\small P[x, y]$,
• pomocou stopy bodu na kružnici popíšte a zostrojte obraz kružnice určenej bodmi $\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3]$,
• takéto afinné zobrazenie geometricky interpretujte v GeoGebre.

Príklad je prevzatý z práce Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.5.

Riešenie.
Body $\small P[x, y];P'[x', y']$ vyjadrime ako lineárne kombinácie
$\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C$
$\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$,
kde $\small a+b+c=1$.Zápis v maticovom tvare V predchádzajúcej kapitole sme ukázali, že
$\small P'=M' \times M^{-1} \times P$,
kde $\small M$ je matica vzorov, $\small M'$ matica obrazov $\small M= \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & p \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$ , $\small M'= \left(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$.
Pomocou maticovej kalkulačky určíme inverznú maticu.
Roznásobením
$\small P':\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} \frac{p-1}{p+1} & \frac{-2}{p+1} & \frac{2}{p+1} \\ \frac{-p}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{p}{p+1} \\ \frac{1}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{-1}{p+1} \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -x+3 \\ -x+2 \\ \frac{-\left(px\right)+3x+4y-4}{p+1} \\ 1 \end{matrix}\right)$.
a porovaním ľavej a pravej strany dostaneme transformačné rovnice
$x' \, = \;\;\;- x \;\;+\;\;0y\;+\;\;3\\ y' \, = \;\;\; - x \;\;+\;\;0y\;+\;\;2\\ \\ z'\; =\frac{-p+3}{p+1}x + \frac{4}{p+1}y + \frac{-4}{p+1}.$

Zobrazenie bude afinným práve vtedy, ak $\small p \neq -1$. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu $\small P[x, y]$ určíme dosadením súradníc $\small x, y$ do transformačných rovníc. Napríklad pre $\small D[3,1]$ a $\small p=3$ dostaneme $\small D'[0,-1,0]$.
Kružnica určená bodmi $\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3]$ má stred v bode $\small S \left [\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ]$ a polomer  $\small \frac{3 \sqrt{2} }{2}$ a jej parametrické vyjadrenie má tvar pozrite si prácu "Kružnica, Veta 8" Tu)
$\small \left [\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [\frac{3 \sqrt{2} }{2}\cos t ,\frac{3 \sqrt{2} }{2}\sin t\right ]$.
Po dosadení týchto parametrických súradníc do transformačných rovníc, zistíme, že obrazom je elipsa ležiaca v rovine $\small x-y-1=0$. Jej parametrické vyjadrenie má tvar 
$\small \left [\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t,-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t, \frac{3}{2}\cos t +\frac{1}{2}\sin t\right ], t, 0, 2π$.

Pozrite si applet Tu.

Príklad zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_1$.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body $[2,1], [3,2],[0,1]$ do bodov $[2], [0], [10]$ v tomto poradí.
Určte obraz ľubovoľného bodu $\small P[x, y]$ a jeho stopu. Príklad je prevzatý z práce (Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.2a).

Riešenie.
Transformačné určíme pomocou maticovej kalkulačky

$\small P'=\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 2 & 0 & 10 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -1 \\ \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4x+2y+8 \\1\end{matrix}\right).$

$x' =-4x+2y+8.$

Príklad zobrazenie $\small f: \mathbb E_3 \rightarrow \mathbb E_2$.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body $[1,2,3], [1,1,1],[1,0,1],[0,1,3]$ do bodov $[5,4], [2,1], [1,0], [3,2]$ v tomto poradí.

1. Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať pomocou GeoGebry. Príklad je prevzatý z práce (Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.7).
2. Určte obraz nejakej kružnice a jej stredu.

Riešenie.
Transformačné určíme pomocou maticovej kalkulačky

$\small P'=\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 5 & 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \\ -1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+y+z-1 \\x+y+z-2 \\1\end{matrix}\right).$

$x'=x+y+z-1 \\y'=x+y+z-2$.

V ďalších kapitolách ukážeme, že afinné zobrazenie $\small f :\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je jednoznačne určené

• obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislými bodmi euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$ alebo
• obrazmi repéru euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.

Afinné zobrazenie $\small f$ determinuje ďalšie zobrazenie $\small f^*$ medzi vektorovými zložkami príslušných euklidovských vektorových priestorov.

Definícia - asociované zobrazenie.
Nech $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie. Zobrazenie $\small f^*$ nazývame asociovaným zobrazením k afinnému zobrazeniu $\small f$, ak spĺňa nasledujúce podmienky:

1. $\small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m$
2. $\small \forall A_0 , \cdot \cdot \cdot A_k \in \mathbb E_n$ a $\small α_0,\cdot \cdot \cdot , α_k \in \mathbb R$ také, že $\small \left(\sum_{i=0}^{k}{α_i}\right)=1$, platí
   $f^*\left( \sum_{i=0}^{k}{α_i A_i}\right) = \sum_{i=0}^{k}{α_i f(A_i)}$ .

Otvorte si applet Tu.

Predchádzajúca definícia vlastne hovorí, že asociované zobrazenie „zachováva” lineárne kombinácie bodov.

Veta - korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Zobrazenie $\small f^*$ je jednoznačné určené a je dobre definované. Ekvivalentný matematický zápis: nech
$\small α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = β_0B_0 + · · · + β_kB_k$
pre nejaké $\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + \cdot \cdot \cdot + β_k = 0$. Potom existuje práve jedno asociované zobrazenie $\small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m$ také, že
$\small f^*(α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k) = f∗(β_0B_0 + \cdot \cdot \cdot + β_kB_k)$ .

Dôkaz korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že $\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + · · · + β_k = 0 = M − O$ pre nejaké $\small M \in \mathbb E_n$. Teda
$\small M = O + α_0A0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = O +α_0B0 + \cdot \cdot \cdot + α_kB_k=M-O$.
Keďže zobrazenie $\small f$ je afinné, a teda zachováva lineárne kombinácie bodov, tak
$\small f(M) = f(O) + α_0f(A_0) + · · · + α_kf(A_k) = M' + α_0B_0 + · · · + α_kB_k$. Prezrite si applet z definície

Lineárne nezávislá množina bodov.
Nech $\small A_0, . . . , A_k \in \mathbb E_n, k \leq n$ je množina bodov euklidovského priestoru. Je celkom prirodzené zaviesť pojem lineárne nezávislých bodov, ako množinu lineárne nezávislých vektorov $\small A_1-A_0, . . . , A_k-A_0$.

Poznámka.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom $n$ rozmernom priestore existuje najviac $n + 1$ lineárne nezávislých bodov. Naviac tento počet sa dá dosiahnuť.

V kapitole "Lineárna kombinácia bodov" sme dokázali vetu

Ľubovoľný bod $\small X \in \mathcal{A}$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
$\small X=x_oO + x_1E_1 + · · · + x_nE_n$,
kde $\small x_o + x_1 + · · · + x_n = 1$.

Na základe tohto tvrdenia a definície nezávislých bodov, môžeme povedať, že ľubovoľný bod euklidovského priestoru $\small \mathcal{E}_n$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako ich lineárna kombinácia.
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie $\small \phi:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m$ je jednoznačne dané obrazmi prvkov nejakej bázy priestoru $\small \mathrm V_n$.

Dôsledok obraz repéra.
Nech $\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér priestoru $\small \mathbb E_n$ a ľubovoľný bod $\small B \in \mathbb E_n$. Ďalej nech $\small \lbrace{\pmb {b_1}, . . . ,\pmb {b_n} }\rbrace$ sú vektory vektorového priestoru $\small \mathrm V_m$. Potom existuje jediné afinné zobrazenie $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ také, že
$\small f(O)=B$ a $\small f^*(\pmb {e_i})=\pmb {b_i}$ pre $\small i=1, · · · , n$.

Dôkaz nájdete v učebniciach z lineárnej algebry.

Veta (Jednoznačnosť afinného zobrazenia).
Nech $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie. Potom $\small f$ je jednoznačne určené obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislých bodov z $\small \mathbb E_n$.

Dôkaz.
Nech $\small f(A_0)=B_0, . . . , f(A_n)=B_n$. V súlade s definíciou nezávislých bodov, vektory
$\small \pmb e_1= A_1-A_0, . . . , \pmb e_n=A_n-A_0$
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov $\small \pmb e_i$ v asociovanom afinnom zobrazení $\small f^*$ platí
$\small f^*(\pmb e_i)= f^*(A_i-A_0)=f(A_i)-f(A_0)=B_i-B_0$ pre $\small i=1, · · · , n$.
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že $\small f^*(\pmb e_i)=\pmb {b_i}$.
(Urobte to ako cvičenie!)

Príklad.
Dané sú body afinného priestoru $\small \mathcal{A}_4: A[2, 4, 5, 6]; B[−7, 4, 5, 6]; C[6, 11, 3, 7]; D[−3, −10, 9, 4]; E[−3, 11, 3, 7]$. Zistite, či sústava bodov $\small S = \left\{ A, B, C, D, E \right\}$ je afinne (ne)závislá a vypočítajte dimenziu afinného podpriestoru generovaného sústavou $\small S$ (dimenziu obalu $\small S$).

Riešenie.
Množina bodov $\small S$ je afinne nezávislá, ak sústava vektorov
$\small  W=\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right\}$
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
$\small \overrightarrow{AB} = B − A = (−9, 0, 0, 0); \overrightarrow{AC}= (4, 7, −2, 1);\overrightarrow{AD} = (1, −14, 4, −2); \overrightarrow{AE}= (−5, 7, −2, 1)$.
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
$\small b \overrightarrow{AB} +c \overrightarrow{AC} +d \overrightarrow{AD}+e \overrightarrow{AE} = \vec 0$
je splnená práve len pre $\small b=c=d=e=0$. V našom prípade to nie je splnené lebo hodnosť matice
$\small M= \left(\begin{matrix} -9 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 7 & -2 & 1 \\ 1 & -14 & 4 & -2 \\ -5 & 7 & -2 & 1 \end{matrix}\right)∼ \left(\begin{matrix} -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -2 & 1 \\ 0 & -14 & 4 & -2 \\ 0 & 7 & -2 & 1 \end{matrix}\right)∼ \left(\begin{matrix} -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava $\small W$ je lineárne závislá a teda body $\small A, B, C, D, E$ sú afinne závisle. Z poslednej matice vyplýva, že dva vektory $\small \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ sú lineárne nezávislé a vektory $\small \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}$ sú ich lineárne kombinácie. Preto dimenzia podpriestoru $\small \left\langle S \right\rangle$ je rovná dvom. Parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru môžeme vyjadriť ako
$\small S=A+ \left\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right\rangle$.
To znamená, že body $\small A, B, C, D, E$ ležia v rovine $\small (ABC) = S$.

Poznámky.

1. Nech $\small \mathbb E_n$ je $\small n$-rozmerný euklidovský priestor so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n$ je afinná transformácia. Potom môžeme definovať asociované zobrazenie $\small f^*$ afinného zobrazenia $\small f$ aj nasledovne:
   $\small f^*: V_n(\mathbb R) \rightarrow V_n(\mathbb R)$, $\small (X − Y ) \rightarrow f(X − Y ) := f(X) − f(Y )$
2. Asociované zobrazenie $\small f^*$ je vlastne "reštrikcia" zobrazenia $\small f$ na vektorový priestor. Zobrazuje vektory so zamerania $\small V_n(\mathbb R)$ na vektory toho istého zamerania.

Nech je v $\small \mathbb E_n$ je afinné zobrazenie $\small f$, v ktorom sa repér $\left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \right\rangle$ zobrazí na repér $\left\langle \small O; \vec f_1, \vec f_2, . . . , \vec f_m \right\rangle$, pričom pre súradnice obrazov platí
$\small f(O)=[r_1,r_2,...,r_m]$
$\small \vec e'_i=f(\vec e_i)=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)$.
Nech $\small X=[x_1,x_2,...,x_n]$ je bod euklidovského priestoru, potom pre jeho obraz $\small X'=[x'_1,x'_2,...,x'_m]$ bude platiť

(AV) $\small X'=f(X)=\left(\begin{array}{ccc} a^1_1&...&a^n_1 \\ a^1_2&...&a^n_2 \\... \\ a^1_n&...&a^n_m\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x_1 \\ x_2\\ ... \\x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}r_1 \\ r_2\\ ...\\r_m \end{array}\right)$.

Zápis (AV) nazývame analytické vyjadrenie afinného zobrazenia $f$ vzhľadom k afinnej súradnicovej sústave $\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace$.

Namiesto označenia $\small f(\vec e_i)$ budeme tiež používať označenie $\small \overrightarrow{e'_1}$. V ďalších kapitolách sa zameriame na afinné zobrazenia v euklidovskej rovine, pričom upriamime pozornosť na analytické vyjadrenia zhodných (zhodnostných) zobrazení v rovine.

Úlohy.

1. Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovskej roviny - identity.
2. Zistite, či rovnoľahlosť v rovine $\small \mathcal{h} : X' = S+k(X−S)$ pre pevne zvolený stred rovnoľahlosti $\small S$ a koeficient rovnoľahlosti $\small k \in R - {0}$ je afinné zobrazenie.

Riešenie úlohy č. 1.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j $\small f(X)=X$. Označme súradnice vzoru $\small X$ ako usporiadanú dvojicu $\small (x,y)$ a súradnice jeho obrazu $\small f(X)$ v zobrazení $\small f$ ako $\small (x',y')$. Keďže ide o identické zobrazenie, tak musí platiť
$\small (x',y')=(x,y)$.
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti $\small x'=x,y'=y$.
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
$\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0 \\ 0 \end{array}\right)$
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
$\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$.
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n; n>2$.

Riešenie úlohy č. 2 je v nasledujúcej kapitole.

Rozšírené afinné súradnice.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov: $\small a_1+a_2+ . . . =1$. V dôsledku tohto príkladu sme vlastne použili rozšírené afinné súradnice, pomocou ktorých možno zjednodušiť zápis analytické vyjadrenie afinného zobrazenia. Rozšírené afinné súradnice sprehľadnia zápis zobrazení. Súradnice bodu $\small X = [x_1 , . . . , x_n ]$ nahradíme súradnicami $\small [ x_1 , . . . , x_n,1 ]$ a súradnice vektora $\small \vec e'_i=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)$ nahradíme súradnicami $\small ( a^i_1,a^i_2,...,a^i_m,0 )$ . Pre takto zavedené rozšírenie platí obvyklá aritmetika s bodmi a vektormi z euklidovských priestorov, ako aj počítanie s lineárnymi kombináciami.
V rozšírených afinných súradniciach možno potom písať analytické vyjadrenie zobrazenia takto
$\small \left( \begin{array}{} x_1' \\ x_2' \\ · · · \\ x_n' \\ 1 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{} a_1^1 & a_1^2 & · · · &a_1^n & r_1 \\ a_2^1 & a_2^2 & · · · &a_2^{n} & r_2 \\ \; \; ···\\ a_m^1 & a_m^2 & · · · &a_m^n & r_m \\ 0 & 0 & · · · & 0& 1 \\ \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ · · · \\ x_n \\ 1 \end{array}\right)$,
pričom $\small x_i, a_i^j,r_i$ má ten istý význam ako pri afinných súradniciach.

$<span class="nolink">\( .$\)

V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny - posunutím a rovnoľahlosťou. Tieto zobrazenia v syntetickom poňatí geometrie definujeme jednoducho pomocou

• pevne zvoleného vektora -posunutie,
• pevne zvoleného bodu a skalára - homotétia alebo tiež rovnoľahlosť.
Ukážeme, že tieto zobrazenia sú afinné a určíme ich transformačné matice.

Rovnoľahlosť $\small \mathcal{H}: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$ pre pevne zvolený stred rovnoľahlosti $\small S$ a koeficient rovnoľahlosti $\small k \in \lbrace{\mathbb R - {0}}\rbrace$ je afinné zobrazenie.

Dôkaz.
Rovnoľahlosť $\small \mathcal{H}=(S,k)$ v euklidovskej rovine bodu $\small X$ priraďuje bod $\small X'$ taký, že pre deliaci pomer bodov $\small S,X,X'$ platí $\small (X'XS)=k$. Z definície deliaceho pomeru dostaneme vzťah
(h) $\small \mathcal{H}: X' = S+k(X−S)$,
kde $\small S[s_1,s_2] \in \mathbb E_2$ je zvolený stred rovnoľahlosti a $\small k$ je reálny koeficient.

V prvom kroku musíme ukázať (dokázať), že obrazom troch kolineárnych bodov v rovnoľahlosti sú opäť tri kolineárne body. Najskôr dokážeme toto tvrdenie analyticky.

Nech $\small A[a_1,a_2],B[b_1,b_2],C[c_1,c_2]$ sú ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body. Dvomi bodmi $\small A,B$ je určená práve jediná priamka $\small p=\overleftrightarrow{AB}$. Podľa predpokladu bod $\small C$ je bodom priamky $\small p$. V takom prípade existuje parameter $\small t$ taký, že platia rovnosti
$\small c_1=a_1+t(b_1-a_1)$,
$\small c_2=a_2+t(b_2-a_2)$.
Označme $\small A'[a'_1,a'_2],B'[b'_1,b'_2],C'[c'_1,c'_2]$ obrazy bodov $\small A,B,C$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$. Potom súradnice týchto bodov musia spĺňať vzťah (h), čo vedie k rovnostiam
$\small a'_i=s_i+k(a_i-s_i)$
$\small b'_i=s_i+k(b_i-s_i)$
$\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)$
pre $\small i=1,2$. Upravujme posledný výraz
$\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)=s_i-ks_i+k(a_i-t(b_i-a_i))=$
$\small =s_i-ks_i+ka_i-kt(b_i-a_i))= [𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]−𝑘𝑡(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖−𝑎_𝑖+𝑠_𝑖)=$
$\small=𝑎′_𝑖−𝑘𝑡[(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖)−(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]=$
$\small=𝑎′_𝑖−𝑡[(𝑠_𝑖+𝑘(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖))−(𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖))]=$
$\small=𝑎′_𝑖+𝑡[𝑏′_𝑖−𝑎′_𝑖]$.
Dostali sme výraz, ktorý nám hovorí, že obraz $\small C'$ bodu $\small C$ v zobrazení $\small \mathcal{H}=(S,k)$ leží na priamke určenej bodmi $\small A',B'$. Odkiaľ vyplýva, že zobrazenie $\small \mathcal{H}=(S,k)$ zachováva kolineárnosť a preto je afinným zobrazením.

Syntetický (konštrukčný) dôkaz tvrdenia, že rovnoľahlosť zachováva kolineárnosť je pomerne jednoduchý. Stačí využiť vlastnosť, že v rovnoľahlosti sa rovnobežnosť zachováva. Pozrite si nasledujúci obrázok. Vlastnosť zachovania kolineárnosti vyplýva z podobnosti trojuholníkov $\small \triangle SAC,\triangle SA'C'$ a $\small \triangle SBC,\triangle SB'C'$.

Vzťah (h) je vlastne parametrické vyjadrenie a predstavuje transformáciu roviny $\small \mathbb E_2$, ktorá bodu $\small X[x,y] \in \mathbb E_2$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$ priradí bod $\small X'[x',y'] \in \mathbb E_2$. Tento vzťah môžeme po jednoduchej úprave upraviť na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych $\small x′,𝑦′$
$\small 𝑥′= 𝑘 \cdot 𝑥+0 \cdot 𝑦+o'_1$
$\small 𝑦′=0 \cdot 𝑥+𝑘 \cdot 𝑦+o'_2$,
kde $\small 𝑜′_1=𝑠_1+𝑘 \cdot (0-𝑠_1)=s_1 (1-k);𝑜′_2=𝑠_2 (1-k)$.
Usporiadaná dvojica $\small [s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]$ predstavuje súradnice obrazu počiatku $\small O[0,0]$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$. K dôkazu stačí dosadiť súradnice začiatku $\small O[0,0]$ do vzťahu (h).
Preskúmajme aké budú obrazy súradnicových ortonormálnych vektorov $\small \vec e_1=E_1-O=[1,0];\vec e_2=E_2-O=[0,1]$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$. Dosadením súradníc bodov $\small E_1,E_2$ do vzťahu (h) dostaneme pre obrazy $\small E_1';E_2'$
$\small E_1'=[k+s_1(1-k),s_2(1-k)],E_2'=[s_1(1-k),k+s_2(1-k)]$,
po dosadení súradníc $\small O'[s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]$ do rozdielov $\small E_1'-O';E_2'-O'$ dostaneme súradnice obrazov $\small \vec e_1';\vec e_2'$
$\small \vec e_1'=([k+s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(k,0)};\\ \small \vec e_2'=([s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[k+s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(0,k)}$
Súradnice obrazov súradnicových ortonormálnych vektorov sú závisé len od koeficienta $\small k$.
V súlade s definíciou analytického vyjadrenia afinného zobrazenia môžeme vyjadriť rovnoľahlosť $\small \mathcal{H}$ v rovine pomocou rozšíreného maticového tvaru takto:

$\small \left(\begin{array}{} x'\\ y' \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{} k & 0 & o'_1 \\ 0 & k & o'_2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{} x \\ y \\ 1 \end{array} \right)$.

Poznámky.

1. Maticu $\small \left( \begin{array}{} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{array} \right)$ nazývame matica afinného zobrazenia (rovnoľahlosti), pričom prvky prvého (resp. druhého) stĺpca tejto matice predstavujú súradnice vektora $\small \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1}$ (resp. vektora $\small \vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}$), ktorý je obrazom vektora $\small \vec e_1$ (resp. vektora $\small \vec e_2$) v danej rovnoľahlosti. V rovnoľahlosti rovnobežnosť sa zachováva, preto vektory $\small \vec e_1$ a $\small \vec e_1'$ sú lineárne závislé, pričom $\small \vec e_1'=k \cdot \vec e_1$.
2. V transformačných rovniciach koeficienty pri neznámej $\small x$ (resp. $\small y$ ) predstavujú súradnice vektora $\small \vec e_1'$ (resp. vektora $\small \vec e_2'$).

Cvičenie.
V rovnoľahlosti, ktorá zobrazuje $\small A[-2,0] \rightarrow A'[-2,1],B[1,-1] \rightarrow B'[4,-1],C[-1,1] \rightarrow C'[0,3]$ nájdite obrazy začiatku $\small O[0,0]$ a jednotkových vektorov $\small \vec e_1=\overrightarrow{OE_1},\vec e_2=\overrightarrow{OE_2}$, kde $\small E_1=[1,0],E_2=[0,1]$.

Riešenie. Využite riešenie príkladu "Tri body" v kapitole "Afinné zobrazenie". Pozrite si grafické riešenie Tu.

Úloha.
Vytvorte applet v GeoGebre, ktorý bude generovať transformačné rovnice pre posunutie v rovine. 

Pomoc. Inšpirujte sa appletom pre určenie transformačných rovníc posunutia v rovine pomocou programu GeoGebra. Návrh Tu.

Nech je daná $\small (n+1)$ - tica bodov $\small A,A_1,...,A_n$ v euklidovskom priestore $\small \mathbb E_n$ taká, že $\small (n)$ - tica vektorov $\small \vec a_1=A_1-A,...,\vec a_n=A_n-A$ so zamerania $\small V_n(\mathbb R)$ je nezávislá. V tomto prípade sústava $\small \mathcal R = \lbrace A; \vec a_1, \vec a_2, . . . , \vec a_n \rbrace$ tvorí repér tohto priestoru. Takejto $\small (n+1)$ - tici bodov budeme hovoriť, že je lineárne nezávislá.

Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie $\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je jednoznačne určené obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.Dôkaz tohto tvrdenia nájdete aj v práci [Chalmoviansky, 2022].
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$, v ktorom sú dané dve trojice odpovedajúcich nekolineárnych bodov. Začneme trojicami, ktoré vyhovujú rovnoľahlosti, čo nám uľahčí kontrolu správnosti určenia transformačných rovníc.

Cvičenie.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia $\small f:\mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$, v ktorom
$\small A(-1,-2) \rightarrow A'(4,2);\; \;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}) \rightarrow B'(\frac{11}{4},-\frac{1}{2}),\; \;C(-3,0) \rightarrow C'(2,4)$.

Riešenie (riešenie pomocou programu GeoGebra Tu).
Pre bod $\small X$ v rovine $\small \mathbb E_2$ platí, že je lineárnou kombináciou bodov $\small A(-1,-2) ;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2});C(-3,0)$, preto platí
$\small X=a(-1,-2)+b(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})+c(-3,0)$, pričom $\small a+b+c=1$.
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore $\small \mathbb E_2$ majú tvar
$\small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q$,
kde $\small a,b,c,d,p,q$ sú súradnice obrazov vektorov bázy $\small a,b,c,d$ a súradnice obrazu začiatku repéra $\small p,q$. Dosaďme súradnice bodov $\small A, A'$ do týchto transformačných rovníc. Po úprave dostaneme dve rovnice o 6 neznámych $\small a,b,c,d,p,q$. Konkrétne to budú rovnice
$\small 4 =-1 a-2 c+p \\ \small 2 =-1b-2 d+q.$
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov $\small B, B',C,C'$ dostaneme ďalšie 4 rovnice.
$\small \frac{11}{4} =\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}c+p$
$\small -\frac{1}{2}=\frac{3}{2}b-\frac{3}{2} d+q$

$\small 2 =-3 a+0 c+p \\ \small 4 =-3b+0 d+q.$
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.

Poznámka.
Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.
Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou GeoGebra vzhľadu "Tabuľka" najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov: $\small =x(M), y(M)$, kde $\small M$ je názov bodu, ktorého súadnice vkladáme.
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz $\small „=x(A)“$, ktorý predstavuje prvú súradnicu bodu $\small A$. Tabuľka má ďalšiu veľkú výhodu: Vstupné pole „A2“ je aktívne voči zmene polohy bodu $\small A$. Ak sa poloha bodu $\small A$ zmení, tak sa automaticky zmení aj príslušné polia tabuľky $\small „=x(A)“, "=y(A)“$. Analogicky sa aktualizujú aj zvyšné polia tabuľky. Dynamické vstupy nám teda umožnia aktualizovať maticu sústavy 6 rovníc aj s pravou stranou. Je to matica typu 6×7 s rozsahom je $\small (A2 ... G7)$.
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok. $\small \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ p \\ q \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -0,25 \\ -1 \\ -1,25\\ 0 \\ 1,25\\ 1 \end{matrix}\right)$
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.

Funkčný applet si môžete stiahnuť Tu.

Z analytického vyjadrenia afinného zobrazenia $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ vyplýva, že takéto afinné zobrazenie je jednoznačne určené, ak poznáme obraz $\small \mathcal R' = \left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}', \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}'\right\rangle$ súradného repéru $\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ v tomto zobrazení. Analytické vyjadrenie daného zobrazenia je určené vzťahom (AV) v kapitole "Analytické vyjadrenie".
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny $\small \mathbb E_2=(\mathbb R_2, V_n(\mathbb R))$, ktorá má repér $\small \mathcal R =\left\langle O[0,0];\pmb {e_1}=(1,0),\pmb {e_2}=(0,1)\right\rangle$. Nech tento súradný repér v afinnom zobrazení $\small f$ sa zobrazí na repér $\small \mathcal R =\left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}'\right\rangle$. Vektory $\small \pmb {e_1},\pmb {e_2}$ sú lineárne nezávislé, preto aj ich obrazy $\small \pmb {e_1}',\pmb {e_2}'$ sú zrejme lineárne nezávislé. Dokážte to!

Maticový zápis pre rovinné afinné zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$ určené obrazom repéra $\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2} \right\rangle$ bude mať nasledovný tvar

$\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c \\ b&d \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right)$ alebo $\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y'\\1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c&p \\ b&d&q \\ 0&0&1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y\\1 \end{array}\right)$,

kde $\small (a,b)=f^*(\vec e_1), (c,d)=f^*(\vec e_2)$ sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení $\small f^*$ a $\small [p,q]=f(O)$ je obraz začiatku súradnej sústavy v afinnom zobrazení $\small f$.

Matica $\small \mathcal M_f= \left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)$ sa nazýva transformačná matica afinného zobrazenia $\small f$.
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom $\small \left\langle O', \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle$, môžeme transformačné rovnice určiť priamo pomocou súradníc obrazu počiatku $\small O'$ a súradníc vektorov $\small \vec e'_1, \vec e'_2$. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu $\small P$ roviny potom môžeme získať tak, že do transformačných rovníc dosadíme súradnice bodu $\small P[x_p, y_p]$.

Príklad - obraz bodu $\small P$ a kružnice euklidovskej roviny.

1. Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré postupne zobrazuje body súradného repéra $\small O=[0, 0], E_1=[1, 0],E_2=[0, 1]$ do bodov $\small O'=O[0, 0], E_1'=E_1[1, 0], E_2'=[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$ v tomto poradí.
2. Určte obraz ľubovoľného bodu $\small P[x_p, y_p]$.
3. Určte obraz kružnice $\small k(S=[0, 0],r=3)$ pomocou nástroja "Množina bodov".
4. Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať. Príklad je prevzatý z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 29).

Riešenie.

1. Najskôr musíme určiť obraz súradného repéra $\small \left\langle O, \vec e_1, \vec e_2 \right\rangle$. Keďže začiatok súradnej sústavy bod $\small O=O'[0, 0]$ je samodružný, tak pre obrazy vektorov $\small \vec e'_1, \vec e'_2$ bude platiť $\small \vec e'_1=(1,0), \vec e'_2=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. Transformačné rovnice určíme dosadením súradníc obrazov vektorov $\small \vec e_1, \vec e_2$
   $\small a=1,b=0,c=\frac{1}{2},d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
   a súradníc bodu $\small O'[p=0, q=0]$ do sústavy dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych
   $\small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q.$
   Dostaneme transformačné rovnice
   $\small x' \, = 1 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot y+0\\\small y' \, = 0 \cdot x +\, \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y+0.$
2. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu $\small P$ určíme dosadením jeho súradníc $\small x_p, y_p$ do transformačných rovníc. Pre súradnice $\small x_p', y_p'$ dostaneme
   $\small x_p'= x_p+\frac{1}{2} \cdot y_p+0$
   $\small y_p'=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y_p+0.$
   Výsledok napríklad pre bod $\small P[-2, 3]$ je $\small P'\left [-\frac{1}{2}, \frac{3 \sqrt(3)}{2} \right ]$.
3. Samostatná práca: V GeoGebra applete (upravte applet "Kompletné grafické riešenie ..." z príkladu Tri body) si zvoľte si ľubovoľnú kružnicu $\small k(S, r)$ a na nej si zvoľte ľubovoľný "Bod na objekte" $\small L$. Potom vo vlastnostiach bodu $\small P$ v definícii zadajte P=L. Nakoniec aktivujte nástroj "Množina bodov" a kliknite postupne na bod $\small P'$ a potom na bod $\small L$.
   
   
4. Na základe obrazu kružnice ide o osovú afinitu, ktorej os je x-ová súradná os. Ukážte, že každý bod x-ovej súradnej osi je samodružný.
5. Kompletná konštrukcia - "Dynamický repér" Tu.

Uvádzame aj určenie rovníc pomocou maticovej kalkulačky
$\small P'=\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} x+\frac{1}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ 1 \end{matrix}\right)$.

Definícia (Samodružný bod).
Bod $\small M$ v afinnom zobrazení $\small f:\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n$ je samodružný práve vtedy, ak sa v zobrazení $\small f$ zobrazí sám na seba $\small f(X) = X$.

Samodružné body afinnej transformácie pre $\small n=2$jednoducho nájdeme ako riešenie sústavy dvoch rovníc
$\small x=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y=b \cdot x+d \cdot y+q.$
Vyriešiť tieto rovnice je jednoduché, ak poznáme koeficienty a,b,c,d,p,q.

Poznámky.
Z pohľadu syntetickej geometrie táto sústava dvoch rovníc predstavuje dve priamky v rovine. Vyriešiť sústavu znamená teda nájsť spoločné body dvoch priamok a to môže byť

• prázdna množina – vtedy afinné zobrazenie nemá samodružný bod
• existuje priesečník priamok – afinné zobrazenie má jeden samodružný bod
• priamky sú totožné - afinné zobrazenie má priamku samodružných bodov.

Cvičenie.
Nájdite samodružné body afinného zobrazenia, v ktorom sa súradný repér zobrazí na repér $\small \mathcal R' = \left \langle O'[2,2]; \vec e'_1(0,-1), \vec e'_2(-1,0) \right\rangle$.

Transformačné rovnice budú mať tvar
$\small x=\; \; 0 \cdot x-1 \cdot y+2 \\ \small y=-1 \cdot x+0 \cdot y+2.$
Nasledujúci obrázok predstavuje grafickú interpretáciu tohto afinného zobrazenie v rovine. Bod $\small M(x(M),y(M))$ je pohyblivý, ktorého obraz je bod $\small M'$. Bod $\small M'$ má v afinnom zobrazení súradnice $\small M'((a x(M) + c y(M) + p, b x(M) + d y(M) + q)$, kde (\small a,b,c,d,p,q\) sú súradnice obrazu repéra. Applet k tomuto cvičeniu si môžete otvoriť Tu.

Samodružné body afinnej transformácie jednoducho nájdeme ako riešenie rovnice
$\small (\begin{array}{} x & y \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 2 & 2\end{array} \right)$.
Po rozpísaní dostaneme sústava dvoch rovníc, ktorá bude mať tvar
$\small x=0 \cdot x- y+2 \\ \small y=- x+0 \cdot y+2$
Ľahko nahliadneme, že rovnice sú lineárne závislé (dokonca rovné). Preto množina bodov, ktoré sú riešením danej sústavy je priamka $\small y=-x+2$. Presnejšie: každý bod priamky
$\small {y=-x+2}$
je samodružný. Zobrazenie, ktoré má priamku bodovo samodružnú, je buď osová súmernosť alebo osová afinita. V našom prípade je to osová súmernosť s osou súmernosti $\small y=-x+2$.

Úlohy.
Určite samodružné body afinného zobrazenia určeného transformačnými rovnicami:

1. $\small {x' = 2x − y + 1 \\ y' = x + 2y + 3}$
2. $\small {x' = x − y+z+1 \\ y' = -x+y+z+2\\z'=-x-y+3z+3}$
3. Úlohy zo zbierky Monoszová 3.5.1 až 3.5.7.

Riešenie

1. Po úprave dostaneme
   $\small {x − y + 1=0 \\ x + y + 3=0}$
   Applet Tu.
2. Po úprave dostaneme
   $\small {− y+z+1=0 \\ -x+z+2=0\\-x-y+2z+3=0 }$.
   
3. Použite nástroje CAS "Riešenie sústavy rovníc".

"Riešenie sústavy rovníc" Tu.

Tvrdenie
Afinné zobrazenie $\small f$ v $\small \mathbb E_n$ je jednoznačne určené obrazmi $\small n + 1$ lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.

Nech je dané afinné zobrazenie $\small f$, v ktorom sa súradný repér zobrazí na repér $\small \mathcal R' = \left \langle O'; \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle$. V tejto kapitole sa budeme zaoberať

• obrazom bodu v afinnom zobrazení
• obrazom priamky v afinnom zobrazení
• hľadaním vzoru k obrazu bodu

Poznámky.

• Obraz ľubovoľného bodu $\small A(a_1,a_2)$ v afinnom zobrazení $\small f$ určíme jednoducho tak, že súradnice tohto bodu dosadíme do transformačných rovníc. Dostaneme rovnosti $\small {a'_1 = a \cdot a_1 + c \cdot a_2 +p;\; a'_2 = b \cdot a_1 + d \cdot a_2 + q}$, pričom čísla $\small a'_1,a'_2$ predstavujú súradnice bodu $\small A'$.
• Určiť obraz priamky $\small p=AB$ v afinnom zobrazení znamená určiť rovnicu priamky $\small p'=A'B'$. To môžeme urobiť dvoma spôsobmi.
  1. Ak priamka $\small p$ je určená dvomi rôznymi bodmi $\small A,B$, tak súradnice bodov $\small A,B$ dosadíme do transformačných rovníc afinného zobrazenia. Výpočtom popísanom v predchádzajúcom odseku určíme súradnice bodov $\small A',B'$, ktorými bude určená priamka $\small p'$. Potom určíme napríklad parametrické rovnice priamky $\small p'=A'B'$.
  2. Ak priamka $\small p$ je určená rovnicou (napr. vo všeobecnom tvare $\small { p: a_px + b_py +c_p=0};\;b \neq 0$), tak do transformačných rovníc $\small {x' = ax + cy +p;\; y' = bx + dy + q}$ dosadíme za premenné $\small x,y$ súradnice všeobecného bodu $\small P$ priamky. Tento bod určíme pomocou parametra $\small t$ v tvare $\small P[t,- \frac{at+c}{b}]$. (V prípade. že $\small b=0$ zvolíme parameter $\small y=t$). Po dosadení dostaneme parametrické rovnice obrazu priamky
     $\small {x' = at + c(- \frac{a_pt+c_p}{b_p}) +p;\; y' = bt + d(- \frac{a_pt+c_p}{b_p}) + q}$.
• Nájsť vzor $\small A(a_1,a_2)$ k danému obrazu $\small A'(a'_1,a'_2)$ v afinnom zobrazení $\small f$ určíme tak, že súradnice obrazu bodu $\small a'_1,a'_2$ dosadíme do transformačných rovníc za premenné $\small x',y'$. Dostaneme sústavu dvoch rovních o neznámych $\small x,y$. Riešenie tejto súsatavy predstavuje súradnice hľadaného vzoru.

Príklad.
Dané je afinné zobrazenie obrazom repéra $\small \mathcal R' = \left \langle O'=[ \frac{-1-\sqrt{3}}{2} , \frac{-1+\sqrt{3}}{2}]; \vec e'_1=( \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} ), \vec e'_2=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}) \right\rangle$. Určite obraz bodov $\small [-1,1], [-1,-1]$.

Riešenie.
Transformačné rovnice majú tvar
$\small {x' = \frac{1}{2}x +\frac{\sqrt{3}}{2} y -\frac{1+\sqrt{3}}{2} \\ y' = -\frac{\sqrt{3}}{2} x +\frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$.
Dosadením súradníc $\small [-1,1]$ dostaneme ...
Otvorte si applet Tu.

Príklad.
Dané je afinné zobrazenie obrazom repéra $\small \mathcal R' = \left \langle O'=[ -2 , 2]; \vec e'_1=(2,1), \vec e'_2=(-1,1) \right\rangle$. Určite obraz priamky $\small 2x+3y+1=0$ a priamky $\small x=1$.

Riešenie
Analytické riešenie: Transformačné rovnice sú
$\small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}.$

1. Pre priamku $\small 2x+3y+1=0$ má jej ľubovoľný bod $\small P$ súradnice $\small P[t,- \frac{2t+1}{3}]$ Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme sústavu parametrických rovníc
   $\small {x' = 2 t - (- \frac{2t+1}{3}) -2\\ y' = t + (- \frac{2t+1}{3}) + 2}.$
   Výsledok: po úprave na všeobecný tvar dostaneme rovnicu obrazu priamky: $\small 3x-24y+45= 0$
   Na syntetické riešenie použite applet Tu.
2. Keďže každý bod priamky \small x=1 \) má prvú súradnicu rovnú 1, tak stačí hodnotu \small x=1 \) dosadiť do transformačných rovníc a dostaneme rovnice $\small {x' = - y\;\; y' = y + 3}.$ Po dosadení do druhej rovnice $\small y=-x'$ dostaneme rovnicu obrazu priamky $\small x+y-3= 0$.

Príklad.
Dané je afinné zobrazenie transformačnými rovnicami
$\small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1}$.
Ktoré body sa zobrazia do bodov [9, 8] a [−6, 1]?

Riešenie
Súradnice bodu [9, 8] dosadíme do transformačných rovníc za premenné $\small x',y'$. Riešením je dvojica $\small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\}$. Otvorte si applet na riešenie rovníc Tu.

Vektory a počítanie s nimi

1. Vyriešte sústavu rovníc s parametrom $\small p \in \mathbb R$ v obore $\small \mathbb R$ a tiež v obore $\small \mathbb Z^3_5$
   $\small \begin{matrix} 4x+2y+3z=1 \\ 2x+y+3z=2 \\ 4x+2z=p+2 \end{matrix}$.
   Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu.
2. Vyriešte sústavu rovníc v obore $\small \mathbb R$
   $\left(\small \begin{matrix} -4 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} \frac{-1}{2} \\ \frac{-3}{2} \\ \frac{5}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 1 \\ \frac{-3}{2} \end{matrix}\right)$.
   Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu.
3. Zistite, či množina $\small V$ všetkých usporiadaných dvojíc resp. trojíc spolu s dvoma binárnymi operáciami $\small ( +,⋅)$ je vektorovým priestorom nad poľom reálnych čísel $\small \mathbb R$, ak
   • $\small V=\lbrace{(3r,r);\; r \in \mathbb R }\rbrace$,
   • $\small V=\lbrace{(1-3r,r);\; r \in \mathbb R }\rbrace$ ,
   • $\small V=\lbrace{(mr,r);\; r \in \mathbb R, m \in \mathbb N }\rbrace$ ,
   • $\small V=\lbrace{(x,y,0);\; x,y \in \mathbb R }\rbrace$,
   , kde sčítanie vektorov je definované ako súčet po zložkách usporiadaných dvojíc a násobenie skalárom je násobenie jednotlivých zložiek skalárom.
4. Sú dané body $\small A=[-1,2], \;B=[5,1] ,\;C=[1,3]$. Nájdite vektory
   $\small \overrightarrow{BA}, \; 3 \cdot \overrightarrow{CA}, \;\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}, \;3 \cdot \overrightarrow{AC}-2 \cdot \overrightarrow{BC}$
   a zistite ich dĺžky. Zadanie Tu.
5. [Mon 1.1.3.] Sú dané body $\small A,B$. Určte polohu bodu $\small C$ tak, aby
   • vektory $\small \overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}$ boli umiestnením toho istého vektora.
   • vektory $\small \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ boli umiestnením toho istého vektora.
6. V rovine je daný pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$.
   • K vektorom $\small \overrightarrow{AB}=B-A,\; \overrightarrow{AC}=C - A, \;\overrightarrow{AD}=D - A$ nájdite ďalšie orientované úsečky, ktoré reprezentujú dané vektory.
     Otvorte si model šesťuholníka Tu.
   • Určte koľko viazaných (voľných) vektorov je určených vrcholmi pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$.
7. [Monoszová 1.1.11.] až [Monoszová 1.1.17.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Prvá časť Tu.

Lineárna kombinácia vektorov

1. Daný je pravidelný šesťuholník $\small ABCDEF$. Vyjadrite vektory
   $\small \overrightarrow{AB}=B-A,\;\overrightarrow{BC}=C-B,\; \overrightarrow{CD}= D-C, \; \overrightarrow{FE}=E-F, \; \overrightarrow{DE}= E-D$
   ako lineárne kombinácie vektorov $\small \pmb a = B-A, \pmb b = -A$.
2. V rovine je daný šesťuholník, ktorého vrcholy sú určené vzťahmi:
   $\small A,\; A + \pmb u,\; A + 2 \pmb u + \pmb v, \; A + 2 \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb v$.
   Dokážte, že tento šesťuholník je súmerný podľa stredu $\small S = A + u + v$. Zadanie Tu. Riešenie Tu.
3. Nech $\small a, b$ sú nekolineárne vektory. Určte číslo $\small \lambda$ tak, aby vektory $\small \pmb c = \lambda \pmb a + 5 \pmb b,\; \pmb d = 3 \pmb a - \pmb b$ boli kolineárne.
4. Ukážte, že vektor $\small (3,5)$ je lineárnou kombináciou vektorov $\small (-2,4),(2,1)$ ale nie je LK vektorov $\small (-1,2),(2,-4)$.
5. Vyjadrite vektor $\small (1,3,-1)$ ako LK vektorov $\small (-1,2,1),(1,0,-1),(1,1,-1)$.
6. Ukážte, že vektory $\small (-1,2,-1),(0,1,0),(1,-1,1)$ sú lineárne (ne)závislé.
7. Vyjadríte vektor $\small (1,2,3)$ ako lineárnu kombináciu vektorov $\small (1,2,-1);(-2,1,0);(0,-3,1).$
8. Nech vektory $\small \pmb v_1, \pmb v_2, , \pmb v_3$ sú lineárne nezávislé. Zistite, či vektory $\small \pmb u_1=3 \cdot \pmb v_1, \pmb u_2= 2 \cdot \pmb v_1+\pmb v_2- \pmb v_3, \pmb u_3= \pmb v_1-\pmb v_2+ \pmb v_3$ sú závislé alebo nezávislé.

Súradnice vektorov v báze, Dimenzia a báza

1. Množina $\small M=\left\langle(1,1),(2,3)\right\rangle$ je báza vektorového priestoru $\small \mathbb R^2$. Určte súradnice vektora $\small \vec{u}$ vzhľadom k tejto báze, ak poznáte jeho súradnice $\small \vec{u}=(7,12)$ vzhľadom ku kanonickej báze $\small \left\langle \vec{e_1}=(1,0), \vec{e_2}=(0,1)\right\rangle$. [Hašek 4.2.]
2. Daný je vektorový priestor $\small W=[(1,0,2),(2,4,1),(1,2,3)]⊂\mathbb{\pmb Z^3_5}$.
   • Zistite, či vektory $\small \vec{u},\vec{v}$ so súradnicami v kanonickej báze $\small \vec{u}=(2,3,3),\vec{v}=(1,2,1)$ patria do obalu $\small [(1,0,2),(2,4,1),(1,2,3)]$ v obore $\small \mathbb{\pmb Z^3_5}$.
   • Nájdite nejakú bázu $\small B$ priestoru $\small W$ a určite jeho dimenziu. Určte súradnice vektora $\small \vec{x}$, ak $\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(3,4,3)$. Priestor $\small W$ obsahuje trojice prvkov telesa $\small \mathbb{\pmb Z_5}$ zvyškových tried modulo 5. 
3. Nech $\small S =(\vec a (-1, 1, 2),\;\vec b(-2, -1, 3),\;\vec c (0, 2, 1))$ je báza priestoru $\small V_3(\mathbb R)$. Nájdite vektor vo $\small V_3(\mathbb R)$, ktorého súradnice vzhľadom k báze $\small S$ sú $\small (2, 1, -2)$.
4. [Hašek 4.6.1] až [Hašek 4.6.8] Linearni algebra a geometrie. Dostupné Tu.

Metrické vlastnosti vektorov, Cauchy-Schwarzova nerovnosť

1. Vypočítajte veľkosti uhlov a dĺžky strán v trojuholníku $\small ABC$, ak .$\small A = [1,-2],\; B = [-3,3],\; C = [1,3]$. Riešenie ...
2. Vypočítate uhol vektorov $\small \vec{u}$ a $\small \vec{v}$, ak $\small \vec{u} = (3,1) ; \vec{v} = (2,4).$
3. Nech $\small A = [1, 3], B = [-1, 5], \vec u=(2,-5), \vec v= (−3, 1)$. Rozhodnite, či napísaný objekt je bod alebo vektor a určte jeho súradnice.
        a)$\small 1/2(B-A)-\vec v$
        b)$\small (B-A)-(A+\vec u)$[
        c)$\small A+\vec v-\vec u$
4. [Monoszová 2.1.1.] až [Monoszová 2.1.23.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.

Schmidtov ortogonalizačný proces

1. [Monoszová 2.2.1.] až [Monoszová 2.3.7.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.

Afinný priestor

1. [Monoszová 1.2.1.a] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
2. [Monoszová 1.2.1.b] Riešenie Tu.
3. [Monoszová 1.2.2.a] Riešenie Tu.
4. [Monoszová 1.2.4   ] Riešenie Tu.
5. [Monoszová 1.2.5.b] Riešenie Tu.
6. [Monoszová 1.2.5.c] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.

Lineárna súradnicová sústava

1. Riešte úlohy [Monoszová 1.3.1.] až [Monoszová 1.3.5.].
2. Vypočítajte súradnice bodu $\small Q = P + (2\vec u - \vec v) ∈ A^4$ v afinnej súradnicovej sústave $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \pmb {e_3},\pmb {e_4} \right\rangle$, ak $\small P = O + (-e_2 + e_4/2); \vec u = e_3 - \sqrt2 e_4;\vec v = -3e_1 + e_2 - e_3- 2e_ 4$.
3. V rovine danej bodmi $\small A = [2, 1, 3], B = [2, 4, 0], C = [−3, 0, 4]$ zvoľte afinnú súradnicovú sústavu $\small \left\langle A, B − A, C − A⟩\right\rangle$. Zistite, aké súradnice má bod M v $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \pmb {e_3} \right\rangle$, ak jeho súradnice v $\small \left\langle A, B − A, C − A⟩\right\rangle$ sú $\small [5, 3])$.
4. V rovine je daný trojuholník $\small \triangle ABC$ a body $\small D, E, F$ v tomto poradí ako stredy strán $\small BC, CA, AB$. Nájdite súradnice vrcholov trojuholníka v afinnej sústave súradníc $\small \left\langle F, E-F, D-F \right\rangle$.
5. V rovine je daný pravidelný šesťuholník $\small ABCDEF$. Nájdite súradnice vrcholov tohto 6-uholníka v afinnej súradnicovej sústave $\small \left\langle A,B-A,C-A\right\rangle$.

Afinný podpriestor

1. Riešte úlohy [Monoszová 1.4.1.] až [Monoszová 1.4.18.].
2. Zistite, či body $\small M = [9,-2,5], N = [4, 1, 6]$ incidujú s podpriestorom $\small \left\langle A, \vec u, \vec v \right\rangle$ pre $\small A = [1, 3, 2], \vec u = (2, -1, 1), \vec v = (1, -1, 0)$.
   Návod: Bod $\small M$ leží v podpriestore práve vtedy, keď jeho súradnice vyhovujú parametrickému vyjadreniu, t. j.: $\small M = A + r\vec u + s\vec v$. Napíšte najskôr parametrické rovnice podpriestoru a dosaďte súradnice bodu $\small M$. [Vranková, 3L1].
3. Dokážte, že pre každé $\small t, u ∈ R$ množina bodov $\small {[1, 0, 1], [3, 3, 5], [4, 1, 6], [1 + 2t + 3u, 3t + u, 1 + 4t + 5u]}$ priestoru $\small R^3$ je afinne závislá. Akú dimenziu má jej afinný obal?
4. Určte aspoň jedno parametrické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza bodom $\small N = [-2, 3, 0]$ a obsahuje priamku $\small p = \lbrace{x = 1, y = 2 + t, z = 2 - t}\rbrace$.
5. Riešte úlohy z práce (Tisoň, 2011) k téme: Lineárne podpriestory, parametrické a všeobecné vyjadrenia.
6. Vyšetrite vzájomnú polohu danej priamky $\small p$ a roviny $\small \alpha$ v $\small A^4$, ak: $\small p: \lbrace{x_1 = 1 + t, x_2 = 2 + 2t, x_3 = 3 + 3t, x_4 = 4 + 4t}\rbrace$, $\small \alpha: \lbrace{x_1 + x_2 + 1 = 0, x_3 – x_4 = 0}\rbrace$. [Vranková, 4L1].
7. Zistite vzájomnú polohu priamky $\small p$ a roviny $\small \alpha$ v $\small A^3$, ak $\small p: \lbrace{x = 1 + 10t, y = 3 - 2t, z = -2 + 3t}\rbrace$, $\small \alpha: \lbrace{ x + 2y - 2z - 11 = 0}\rbrace$.
8. Zistite vzájomnú polohu priamok
       $\small x=-3t,y=2+3t,z=1$
       $\small x=1+5t,y=1+13t,z=1+10t$
9. Určte afinné zobrazenie $\small f:\mathbb E_2→ \mathbb E_2$ zobrazujúce repér $\small \mathcal R =\left\langle O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right\rangle$:
   • $\small O=[0, 0],\overrightarrow{e_1}= [1, 0], \overrightarrow{e_2}=[0, 1]$ do $\small O'=[1, 1], \overrightarrow{e'_1}=[0, 1], \overrightarrow{e'_2}=[ 1 , 0]$. 
   • $\small O=[0, 0],\overrightarrow{e_1}= [1, 0], \overrightarrow{e_2}=[0, 1]$ do $\small O'=[0, 0], \overrightarrow{e'_1}=[-1, 0], \overrightarrow{e'_2}=[ 0 , -1$. 
   Vo všetkých prípadoch určte množinu samodružných bodov.
10. Afinné zobrazenie $\small f:\mathbb E_2→ \mathbb E_2$ je dané transformačnými rovnicami $\small {x' = 2x + 3y + 5, y' = 4x-3y - 2}$. Určte
    • do akých bodov sa zobrazia body [0, 0], [5, 2], [−1, 4]
    • ako sa zobrazia priamky $\small 2x + 3y + 5 = 0, 4x-3y-2 = 0,2x-6y-7 = 0$
    • grafickú interpretáciu v GeoGebre a zistite, čo je obrazom súradných osí v rovine, použite model "Repér" Tu
    Návod: najskôr určte obrazy súradného repéru a potom transformačné rovnice.
11. Dané je afinné zobrazenie $\small f: {x' = 3x + y − 6, y' = x + y + 1}$. Určite
    • obrazy bodov [0, 3], [1,4], [−1, -1]
    • ktoré body sa zobrazia do bodov [-11, 0], [-7, 2] a [1, 6]
    • ako sa zobrazia priamky $\small x-y+3=0, x-2y+11 = 0$

Afinné zobrazenie

1. Určte afinné zobrazenie, pre ktoré sú body priamky $\small a ≡ 2x + y + 1 = 0$ samodružné a bod [0, 0] sa zobrazí do [−1, −2].
2. Dané je afinné zobrazenie $\small {x'= 3x+4y−12, y' = 4x−3y+6}$. Na priamke $\small p : 7x − 2y − 24 = 0$ nájdite bod $\small P$, ktorého obraz leží na tej istej priamke. Pomoc: najskôr určte obraz $\small f:p→ p'$ a potom priesečník (\small P= p\cap p' \). Priamku $\small p'$ určte aj konštrukčne ako GMB.

Rôzne úlohy

1. ..
2. Riešte úlohy z :
   • Tisoň, K.: Geometria 1. Materiály pre študentov na FMFI Bratislava, 2011., dostupné Tu.
   • Monoszová, G.: Zbierka úloh z analytickej geometrie, FPF 2008, B. Bystrica. Prvá časť Tu. Druhá časť Tu. Výsledky Tu.
3. Riešte úlohu Monosz_Pr122ab, grafická interpretácia Tu.