Projektívny priestor a kužeľosečky

Vektorový priestor.

Zopakujte si

1. Lineárna závislosť vektorov -  Tu.
2. Báza vektorového priestoru - Tu.
3. Skalárny súčin vektorov - Tu, bilineárne formy - Tu.

Afinný priestor.

Zopakujte si

1. Zavedenie - Tu.
2. Parametrické a neparametrické vyjadrenie podpriestoru - Tu.

Rôzne úlohy resp. konštrukcie

1. Priamka $\small \overleftrightarrow{PQ}$. Dokážte, že v ľubovoľnom n-rozmernom afinnom priestore je dvoma rôznymi bodmi $\small P \neq Q$ určená práve jedna priamka.
2. Priamka spájajúca dva body, z ktorých je jeden nedostupný.
   
   Obr. Spojnica bodov. Otvorte si interaktívny applet Tu.
   Dokážte analytickými metódami, že konštrukcia popísaná v applete z obrázka Spojnica bodov je korektná. Pozrite si dôkazy v práci [CECH, 1950] v časti: § 25 . Konstrukce a počet.
3. ...

1. Zobrazenie $\small f$ v priestore $\small \mathbb R^4$, ktoré má vzhľadom na kanonickú bázu analytický výraz
   $\small f(x,y) = x₁y₁ + x₁y₄ + 2x₂y₂ + 3x₃y₃ + 2x₃y₄ + x₄y₁ + 2x₄y₃ + 3x₄y₄$
   je skalárnym súčinom. Nájdite nejakú ortogonálnu a ortonormálnu bázu priestoru $\small \mathbb R^4$.
2. Zadanie pre AI.
   Napíšte všeobecnú rovnicu roviny $\small q$, ktorá je určená bodmi $\small A, B$ a na súradnicovej osi z vytína úsek dĺžky 4: $\small A[−1; 3; 4], B[2; −3; −1]$. Jedno riešenie klasickým spôsobom - parametricky (bodov a dvoma vektormi), druhé všeobecné riešenie pomocou vektorového súčinu, tretie bude grafické pomocou GeoGebry. Vytvor mi aj vhodný test v mathGPT spolu s linkom naň.

Riešte úlohy z učebnice od strany 22  a doplňujúce úlohy k bilineárnym formám:

1. Pozrite si riešené úlohy v beamer prezentácii Tu.
2. ♥ Ukážte, že zobrazenie $\small f$ v priestore $\small \mathbb R^4$, ktoré má vzhľadom na kanonickú bázu analytický výraz
   $\small f(x,y) = x₁y₁ + x₁y₄ + 2x₂y₂ + 3x₃y₃ + 2x₃y₄ + x₄y₁ + 2x₄y₃ + 3x₄y₄$
   je skalárnym súčinom. Potom ešte vyriešte čiastkové úlohy:
   • Nájdite nejakú ortogonálnu a ortonormálnu bázu priestoru $\small \mathbb R^4$.
   • Zistite, či sú vektory $\small \vec{x},\vec{y}$ na seba kolmé:
     $\small \vec{x} = (1,0,3,-2), \vec{y} = (2,-1,1,2)$.
   • Určte, aký uhol zvierajú vektory $\small \vec{u},\vec{v}$:
     $\small \vec{u} = (2,1,0,1), \vec{v} = (0,3,1,-1)$.
   • Určte ortogonálne doplnky podpriestorov $\small W₁, W₂$ v priestore $\small \mathbb R^4$:
     $\small W₁ = [x], W₂ = [u,v]$. Pozrite si riešenie od Andrii Golubtsov vo forme prezentácie Tu.
3. Daná je bilineárna forma definovaná analyticky:
   $\small f(x,y)=4 x_1 y_1 - 2 x_1 y_2 + 3 x_1 y_3 - 2 x_2 y_1 + 5 x_2 y_2 - x_2 y_3 + 3 x_3 y_1 - x_3 y_2 + 6 x_3 y_3$
   Zistite, či predstavuje skalárny súčin. Výpočet urobte pomocou vlastných hodnôt matice formy.

Projektívna rovina mení pohľad na geometriu. V projektívnej rovine sa aj rovnobežné priamky pretínajú a body „v nekonečne“ prestávajú byť abstraktným únikom.
Projektívna geometria sa zaoberá pojmami, ktoré sa premietaním (rovnobežným, stredovým) nemenia. Pred zavedením pojmu projektívny priestor uvedieme niektoré vlastnosti lineárnej kombinície bodov v afinnom priestore. V nasledujúcej vete si všimnite, že súčet koeficientov  $x_0 , x_1 , \dots , x_n$ je rovný 1.

Veta (Bod v simplexe afinného priestoru).

Ľubovoľný bod $X \in \mathbb{E}^n$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare

Poznámky.

1. Predchádzajúca veta platí len pre body euklidovského priestoru $\mathbb{E}^n$. Body $E_1 = [1,0,\dots,0], \dots , E_n = [0,0,\dots,1]$ simplexu $\pmb{S}$ sú koncové body súradnicových vektorov $\vec{OE_i} (i=1,\dots,n)$ ortonormálnej bázy vektorového priestoru $\mathbb{V}_n$.
2. Body $A_1, \dots, A_k$ euklidovského priestoru $\mathbb{E}^n$ nazveme lineárne nezávislé, ak sú vektory $\vec{A_1A_2}, \vec{A_1A_3}, \dots, \vec{A_1A_k}$ lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb{V}_n$. Neskôr ukážeme, že vlastnosť "lineárne nezávislé" hrá dôležitú úlohu aj v projektívnom priestore.

Predstavme si, že máme množinu všetkých bodov rovinnej paraboly. Takáto parabola má aj jeden nevlastný bod, ktorý nepatrí euklidovskej rovine a nedá sa vyjadriť pomocou súradníc vhodného simplexu. Obrázkok reprezentuje applet, v ktorom takýto nevlastný bod je určený priamkou $x=-1$ alebo vektorom $\vec{u} = (0,1)$.

Obr. Parabola – kvadratická funkcia. Aktivácia appletu Tu.

Nevlastné body budeme označovať ako ideálne body a množinu všetkých nevlastných bodov ako ideálnu priamku. Zavedenie týchto prvkov prirodzene vychádza z pojmu rovnobežnosti – každá trieda rovnobežných priamok má spoločný ideálny bod. Uvedieme základné definície, ktoré zohrávajú kľúčovú úlohu pri algebraickom skúmaní kužeľosečiek.

Definícia.
Nech $\mathbb{E}^2=(\mathcal{A}, V_2(\mathbb{R}),-)$ je euklidovská rovina (afinný 2-rozmerný priestor, v ktorom je definovaný skalárny súčin).
     ♣   Ideálnym bodom rozumieme jednorozmerný vektorový podpriestor smerového priestoru $V_2(\mathbb{R})$.
     ♣   Ideálna priamka je množina všetkých ideálnych bodov tejto roviny.

Pripomeňme si, že afinný priestor $\mathbb{A}^n=(\mathcal{A}, V_n(\mathbb{R}),-)$ je definovaný pomocou neprázdnej množiny bodov $\mathcal{A}$ a vektorového priestoru $V_n(\mathbb{R})$. Pre každý vektor $\vec{v} \in V_n(\mathbb{R})$ existujú body $A, B \in \mathcal{A}$ také, že $\vec{v} = B - A$.

Rozšírme euklidovský priestor $\mathbb{E}^3$ o všetky ideálne body. Získame tak nový, $(n+1)$-rozmerný projektívny priestor. Ideálny bod je v tomto priestore jednoznačne určený smerovým vektorom priamky. Každý ideálny bod v euklidovskej rovine $\mathbb{E}^2$ je určený svojím smerovým vektorom, t. j. jednorozmerným podpriestorom $V_2(\mathbb{R})$. Podobne, v euklidovskom priestore $\mathbb{E}^3$ má ideálny bod tiež vektorový charakter a ideálna priamka je dvojrozmerný podpriestor.

Definícia (Projektívny priestor).
Euklidovský priestor $\mathbb{E}^3$ rozšírený o všetky ideálne body a ideálne priamky nazveme projektívny priestor. Projektívne rozšírenie roviny $\mathbb{E}^2$ nazveme projektívna rovina a označíme ju symbolom $\overline{\mathbb{E}}_2$ .

Uvedená definícia projektívneho priestoru má charakter algebraický resp. analytický. Využíva výsledky súvisiace s vektorovým priestorom a afinným priestorom. V ďalšej kapitole zavedieme pojem projektívnej roviny aj axiomaticky, teda synteticky. Nasledujúca veta vyjadruje základnú vlastnosť projektívnej roviny. Ide vlastnosť, ktorá významne odlišuje projektívnu rovinu od euklidovskej roviny. Dôkaz vety urobíme až po zavedení súradnicového systému v projektívnej rovine.

Veta.
Dve rôzne priamky v projektívnej rovine sa pretínajú v práve jednom bode. Dve rovnobežné priamky sa pretínajú v ideálnom bode – tento patrí na spoločnú ideálnu priamku.
V projektívnej geometrii platí princíp duality: každému výroku o bodoch a priamkach existuje duálny výrok, ktorý vznikne výmenou pojmov „bod“ a „priamka“.

Projektívna geometria na rozdiel od euklidovskej geometrie, ktorá sa zameriava na vzdialenosti, uhly a podobnosti, projektívna geometria študuje vlastnosti, ktoré sa zachovávajú pri stredovom premietaní – napríklad:

1. kolineárnosť bodov (ležia na jednej priamke),
2. priesečníky priamok,
3. incidencie (vzťahy typu „bod leží na priamke“).

Axiomatická definícia projektívnej roviny (Uvádzame formálnu definíciu pomocou množín a axióm).

Nech $\small  B$ je množina bodov (neprázdna), $\small  P$ – množina priamok, ktoré sú podmnožinami $\small  B$. Potom projektívna rovina je usporiadaná dvojica $\small  \pi = (B, P)$, pričom platia axiómy:
P1: Pre každé dva rôzne body existuje práve jedna priamka, ktorá ich obsahuje.
P2: Pre každé dve rôzne priamky existuje práve jeden bod, ktorý leží na oboch.
P3: Existujú štyri body, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke (tzv. nekolineárne).

Desarguesova veta.
Nech sú dané dve trojice navzájom rôznych bodov projektívnej roviny $\small  A,B,C \in \pi$, $\small A',B',C' \in \pi$ tak, že $\small S = AA' \cap BB' \cap CC'$. Potom body $\small P = AB \cap A'B'$, $\small Q = AC \cap A'C'$, $\small R = BC \cap B'C'$ sú kolineárne.

V axiomaticky zavedenej projektívnej rovine sa táto veta uvádza ako Axióma P4.

Obr. Desarguesova axióma, otvorte si interaktívny applet Tu.

Obr. Pappova axióma, otvorte si interaktívny applet Tu.

Definícia.
Projektívna rovina, pre ktorú platí Desarguesova axióma, sa nazýva desarguesovská rovina.

Pappova veta.
Nech $p, p' \subset \pi$ sú dve rôzne priamky projektívnej roviny. Na priamke $p$ ležia rôzne body $\small A,B,C$, na priamke $p'$ rôzne body $\small A',B',C'$, odlišné od priesečníka $p \cap p'$. Potom body $\small P = AB' \cap A'B$, $\small Q = AC' \cap A'C$, $\small R = BC' \cap B'C$ sú kolineárne. 

V axiomaticky zavedenej projektívnej rovine sa táto veta uvádza ako Axióma P5.

Definícia.
 Prijektívna rovina, pre ktorú platí Pappova axióma P5, sa nazýva pappovská rovina. Každá pappovská rovina je zároveň aj desarguesovská, ale existujú roviny, ktoré sú desarguesovské, no nie sú pappovské.

Množina štyroch bodov $\small \{A,B,C,D\} \subset \pi$, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke, sa nazýva úplný štvorroh. Body $\small E = AB \cap CD$, $\small F = AC \cap BD$, $\small G = AD \cap BC$ sa nazývajú diagonálne body a tvoria tzv. diagonálny trojuholník. Ukážte, že diagonálne body $E,F,G$ akéhokoľvek úplného štvorrohu neležia na jednej priamke. Vytvorte interaktívny applet pre takú situáciu.

Obr. Štvorroh; dynamický applet si otvoríte Tu.

Sformulujte duálnu definíciu k pojmu Štvorroh, ktorý nazvete úplný štvorstran. Vytvorte interaktívny applet pre takú situáciu.

Každý, kto niekedy kreslil 3D kocku na papier, intuitívne použil princíp stredovej kolineácie. Prečo sa kocka javí ako „skreslená“?  Stredová kolineácia vystihuje zobrazenie z priestoru na rovinu – tak, ako ho poznáme z fotografie, maľby či architektúry. Je to most medzi euklidovskou geometriou a vizuálnym vnímaním priestoru. Viac o kolineácii nájdete v kurze z Planimetrie Tu.

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia, applet Tu.

Cvičenie. V perspektívnej kolineácii $\mathcal{K}(S, o, A \rightarrow A')$ zostrojte obe úbežnice.

Obr. Úbežnice, otvorte si zadanie Tu.          Tu. Obraz bodu v rovine Tu.  Nástroj v GeoGebre pre kolineáciu si stiahnite Tu.

Definícia (Deliaci pomer v projektívnej rovine $\pi$). 
Nech $\small A,B$ sú dva rôzne vlastné body priamky $p$ a nech $\small C$ je ľubovoľný bod tej istej priamky $p$.

1. Ak je bod $\small C$ vlastný, potom označíme $\small \lambda_C  = \frac {|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BC}|}$.
2. Ak je bod $\small C$ nevlastný, potom je $\lambda_C  = 1$.

Obr. Deliaci pomer bodov $\small A,B,C$, otvorte si interaktívny applet Tu.

$\small (ABC_∞ )=\displaystyle\lim_{C\to\infty} \frac {|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BC}|} =1$.

Veta(Pappova).
Dvojpomer sa stredovým premietaním nemení.

Definícia(Dvojpomer).
Nech $\small A, B, C, D$ sú štyri navzájom rôzne body priamky $p$

1. Ak body $\small A,B$ sú vlastné. Potom pomer $\mu = \frac {\lambda_C }{\lambda_D }$, kde $\lambda_C, \lambda_D$ sú deliace pomery bodov $\small C,D$ vzhľadom k bodom $\small A,B$, se nazýva dvojpomer bodov $\small A, B, C, D$ v tomto poradí a značí sa $\small \mu = = (ABCD)$. Otvorte si dynamický applet  Tu.
2. Ak niektorý z bodov $\small A,B$ je nevlastný, tak dvojpomer týchto bodov definujeme vzťahom $\small (ABCD) = (CDAB)$. 

Cvičenie.

1. Na priamke $p$ sú dané tri rôzne body $\small A,B,C$. Zostrojte bod $\small D$ tak, aby $\small (ABCD) = µ$, kde µ je dane reálne číslo.
   Pomoc. Položte $\small C = C'$ a na priamke $\small p'$ nájdite body $\small A', B'$ tak, aby $\small (A'B'C') = µ$, $\small S = AA'∩BB'$.
2. Na priamke $\small AB; A[4,-3]3]B[1,2]$ určte súradnice bodu $\small C[c_1,c_2]$ tak, aby $\small (ABC)=\frac {2}{3}$. Potom určte dvojpomer $\small (ABCD_∞ )$.

Cvičenie.
Riešte úlohy zo Zbierky [MON], kapitola: KUŽEĽOSEČKA AKO OBRAZ KRUŽNICE V KOLINEÁCII.

1. Úloha 7.7.1. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; A, A')$.
   1. Narysujte vzor ideálnej priamky; úbežnica 1. druhu.
   2. Narysujte obraz ideálnej priamky; úbežnica 2. druhu.
2. Úloha 7.7.2. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; A; A')$ ($u'$ je obraz ideálnej priamky) a bod $A$. Narysujte obraz bodu $A$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
3. Úloha 7.7.3. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$ (kde $v'$ je obraz ideálnej priamky) a priamka $a$. Narysujte obraz priamky $a$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
4. Úloha 7.7.4. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; u)$ (kde $u$ je vzor ideálnej priamky) a priamka $a$. Narysujte obraz priamky $a$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
5. Úloha 7.7.5. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$ a rôznobežné priamky $a', b'$, pričom $a' \cap b' \neq \varnothing$. Narysujte vzory priamok $a', b'$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
6. Úloha 7.7.6. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$ a rôznobežné priamky $a', b'$, pričom $a' \cap b' \in v'$. Narysujte vzory priamok $a', b'$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
7. Úloha 7.7.7. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$. Nájdite také priamky $a, b$, že $a \parallel b$ a zároveň aj pre ich obrazy platí $a' \parallel b'$.
8. Úloha 7.7.8. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; u)$ a kružnica $k$, pričom
   1. $k \cap u = \varnothing$
   2. $u$ je dotyčnica kružnice $k$,
   3. $u$ je sečnica kružnice $k$.
   Narysujte obraz kružnice $k$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
9. Určenosť perspektívnej kolineácie. Zo zadaných prvkov dourčite stred kolineácie, os kolineácie a pár odpovedajúcich si bodov:
   1. Os kolineácie $o$ a dva páry odpovedajúcich si bodov $A, A'$; $B, B'$.
   2. Tri páry odpovedajúcich si bodov $A, A'$; $B, B'$; $C, C'$.
   3. Stred kolineácie $S$, os kolineácie $o$ a úbežník 1. druhu $U$.
10. Vytvorte applet, ktorý bude interpretovať Pappovu axiómu. 
11. Formuluj duálnu verziu Desarguesovej vety/axiómy – teda vetu, kde sa úlohy bodov a priamok vymenia. Vytvorte applet pre duálnu verziu Desarguesovej vety.
12. V rozšírenej euklidovskej rovine sú dané štyri body $\small A, B, P, Q$, z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne. Nech $\small C = AB \cap PQ$, $\small R = AQ \cap PB$, $\small S = AP \cap BQ$, $\small D = RS \cap AB$, $\small T = RS \cap PQ$, $\small U = AT \cap PD$. Dokážte, že body $\small R, U, C$ sú kolineárne. 
    (Pri dôkaze využite Desargovu vetu.)
13. Nech $\small A, B, C$ sú tri rôzne kolineárne body rozšírenej euklidovskej roviny a $\small P, Q, P', Q'$ sú také body, že priamky $\small AB, PQ$ a $\small P'Q'$ sú rôzne a pretínajú sa v bode $\small C$. Nech $\small R = AQ \cap PB$, $\small S = AP \cap BQ$, $\small D = RS \cap AB$, $\small R' = AQ' \cap P'B$, $\small S' = AP' \cap BQ'$, $\small D' = R'S' \cap AB$. Dokážte, že $\small D = D'$. 
    (Pri dôkaze využite Desargovu vetu.)
14. Deliaci pomer a dvojpomer
    Dvojpomer.
    Nech $\small A,B,C,D$ body  ležia na jednej priamke. Dvojpomer usporiadanej štvorice bodov $\small (A,B;C,D)$ je definovaný ako číslo $\small (A, B; C, D) = \frac{AC \cdot BD }{BC \cdot AD}$, kde $\small XY$ označuje orientovanú vzdialenosť medzi bodmi $\small X,Y$.
    1. Vlastný bod medzi dvoma bodmi.
       V projektívnej rovine sú dané body $\small A = [1 : 2 : 1], B = [4 : 5 : 1], C = [2.5 : 3.5 : 1]$.  Vypočítajte deliaci pomer bodu $\small C$ vzhľadom na body $\small A a B$, t. j. určte  $\small \lambda _C = (ABC)$.
    2. Nevlastný bod.
       Body  $\small A = [2 : 1 : 1], B = [5 : 4 : 1]$ určujú priamku. Bod  $\small C = [3 : 3 : 0]$ je nevlastný bod tejto priamky.
       Určte deliaci pomer $\small \lambda _C = (ABC)$.
    3. Na priamke $\small AB; A[1,2]3]B[-3,-2]$ určte súradnice bodu $\small C[c_1,c_2]$ tak, aby $\small (ABC)=\frac {2}{3}$. Potom určte dvojpomer $\small (ABCD_∞ )$.
15. Dvojpomer
    1. Štyri vlastné body
       V projektívnej rovine sú dané body $\small A = [0 : 0 : 1], B = [1 : 0 : 1], C = [2 : 0 : 1], D = [4 : 0 : 1]$.
       Vypočítajte dvojpomer $\small (A, B; C, D)$.
    2. Jeden bod nevlastný
       Body $\small A = [1 : 0 : 1], B = [2 : 0 : 1], C = [3 : 0 : 1], D = [1 : 0 : 0]$ (nevlastný bod).
       Vypočítajte dvojpomer $\small (A, B; C, D)$.
16. Na priamke $p$ sú dané tri rôzne body $\small A,B,C$. Zostrojte bod $\small D$ tak, aby
    1. $\small (ABCD) = \mu$, kde $\small \mu = -1,2, \frac{1}{2},$
       Pomoc. Pozrite si prácu [CHOD, 2013], str. 27.
    2. $\small (ABCD_\infty) = \mu$, kde $\small \mu = -1,2, \frac{1}{2}.$

Po zavedení homogénnych súradníc v projektívnej rovine (nasledujúca kapitola) budeme môcť deliaci pomer ako aj dvojpomer vypočítať algebraickou cestou. K tomu budeme potrebovať aj definíciu orientovanej vzdialenosti Vzdialenosť bodov $\small A, B$ na priamke $\small p$ bude meraná euklidovsky od bodu $\small A$ k bodu $\small B$. Nazveme ju orientovaná vzdialenosť a značíme ju $\small |\overrightarrow{AB}|$. Vzorec pre výpočet euklidovskej pomocou skalárneho súčinu ostáva v platnosti aj pre  vlastné body projektívnej roviny. Orientovanú vzdialenosť určíme pomocou normy odpovedajúceho vektora. Teda 
 $\small |\overrightarrow{AB}| = ||B-A||=∥\vec v∥ = +\sqrt{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}}$     resp. pre opačne orientovanú vzdialenosť  $\small |\overrightarrow{BA}| =  -\sqrt{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}}=-|\overrightarrow{AB}|$

Definícia.
Ak platí $\small A = B$, potom: $\small |\overrightarrow{AB}| = 0$. 
Ak je práve jeden z bodov $\small A, B$ nevlastný, potom: $\small |\overrightarrow{AB}| = \|\overrightarrow{BA}\| = \infty$ .

Prvý dôsledný koncept homogénnych súradníc zaviedol Jean-Victor Poncelet (1788–1867), ktorý ako vojnový zajatec vo Voroneži písal svoj slávny „Traité des propriétés projectives des figures“. Homogénne súradnice mu umožnili študovať vlastnosti geometrických útvarov nezávisle od euklidovskej metriky – čím položil základy modernej projektívnej geometrie.

Homogénna sústava súradníc v projektívnej rovine $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ je rozšírením karteziánskej súradnicovej sústavy euklidovskej roviny $\mathbb E^2$.

Nech bod $A \in \mathbb E^2$je (jednoznačne) určený karteziánskymi súradnicami $\small  x_A,y_A \in \mathbb R$. Teda nech platí $\small A=[a_1,a_2]$. Avšak bez ujmy na obecnosti môžeme takýto bod reprezentovať aj usporiadanou trojicou reálnych čísel. Vyslovíme základnú definíciu pre homogénne súradnice najskôr vlasrného a potom aj nevlastného bodu.

Definícia.
Homogénnymi súradnicami vlastného bodu $\small A$ projektívnej roviny $\overline{\mathbb{E}}_2$ rozumieme každú usporiadanú trojicu $\small [a_1, a_2, a_3], a_0 \neq 0$, pre ktorú platí 

1. Z definície vyplýva, že každý vlastný bod projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ má nenulovú súradnicu $a_3$. 
2. Základný tvar homogénnych súradníc} vlastného bodu $\small A$ projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ prestavuje usporiadanú trojicu reálnych čísel $\small A= [a_1,a_2,1]$.

Skúmajme aké súradnice bude mať nevlastný bod $\small U_\infty$ euklidovskej roviny $\small \mathbb E^2$. Teda aké súradnice bude mať ideálny bod projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$. Definícia ideálneho bodu hovorí, že ideálny bod je jednorozmerný vektorový podpriestor. Bod $\small U_\infty$ môžeme chápať ako množinu $\small \pmb u = \left\{ k . \vec u; k \in \mathrm R \right\}$, kde $\vec u$ je smerový vektor nejakej priamky s nevlastným bodom $\small U_\infty$. Pozrite si projekt "Vysvetlenie homogénnych súradníc a projektívnej geometrie"

Reprezentantom vektora (smeru nevlastného bodu) $\small  \vec u$ je orientovaná úsečka $\small \overrightarrow{BC}$ určená koncovými bodmi $\small B, C$. Homogénne súradnice smeru reprezentujúceho nevlastný bod $\small U_\infty$ získame rozdielom homogénnych súradníc koncových bodov vektora, ktorý je jeho zvoleným reprezentantom. Dostaneme rovnosť Všimnime si dôležitú skutočnosť.
Body $\small B, C$ sú vlastné a teda ich tretia homogénna súradnica je rovná číslu 1 a ich rozdiel bude vždy nulový. To predstavuje tretiu homogénnu súradnicu ideálneho bodu projektívnej roviny. Z uvedeného vyplýva, že reprezentant nevlastného bodu je jednoznačne určený každou usporiadanou dvojicou $\small [u_1,u_2]$, pre ktorú platí $\small u_1=k \dot (c_1-b_1),u_2=k \dot (c_2-b_2)$. To umožňuje definovať homogénne súradnice ideálneho bodu projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$.

Definície.
Homogénne súradnice ideálneho bodu projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ (nevlastného bodu $\small U_\infty$ euklidovskej roviny) sú určené trojicou kde $\small [u_1,u_2] \in \mathrm R \times \mathrm R$ sú karteziánske súradnice zvoleného reprezentanta nevlastného bodu (smeru) a tretia súradnica je rovná 0.

Homogénnymi súradnicami bodu  projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ rozumieme usporiadanú trojicu kde $\small  k \in \mathrm{R} - \left\{0 \right\}$ a $[kx, ky, kz] \neq [0, 0, 0]$. 

Poznámka. Homogénne súradnice ideálneho bodu si môžete predstaviť ako priesečník dvoch rovnobežných priamok. Nasledujúci applet umožňuje vizualizovať problém homogénnych súradníc nevlastného bodu.

Applet si stiahnete Tu.

Homogénne súradnice projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ reprezentujú triedu všetkých nenulových násobkov tej istej trojice. Napr. súradnice $[2,3,1],[4,6,2]$ reprezentujú totožné body v projektívnej rovine.  Binárna relácia $R$ je relácia ekvivalencie na množine $\small  P=\overline{\mathbb{E}}_2$. Pre pevne zvolenú usporiadanú trojicu reálnych čísel $(x,y,z)\neq (0, 0, 0)$ množina všetkých usporiadaných trojíc je jedna trieda z rozkladu $\small  P/R$ podľa ekvivalencie $\small  R$ a predstavuje súradnice toho istého bodu. Triedy rozkladu budeme označovať pomocou hranatých zátvoriek: $[x,y,z]$.

Definícia.
Ľubovoľnú usporiadanú trojicu reálnych čísel $(x,y,z)$ patriacu do triedy $\small  X=[x,y,z]$ rozkladu $\small  P/R$ budeme nazývať reprezentant bodu $\small  X$.
Zrejme platí: Ak $[x,y,z]$ sú homogénne súradnice vlastného bodu $\small  X$ projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$, tak sú karteziánske súradnice bodu $\small  X \in \overline{\mathbb{E}}_2$.

Z tejto definície vyplýva aj opačná konštrukcia. Ak máme vlastný bod $\small  X \in \mathbb{E}^2$ euklidovskej roviny určený karteziánskymi súradnicami  $[x,y]$, tak homogénne súradnice tohto vlastného bodu projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ budú mať tvar $\left[ \frac{x}{z},\frac{y}{z}, 1\right]$. To umožňuje urobiť transformáciu afinných rovníc geometrických útvarov, ktoré obsahujú len vlastné body na projektívne rovnice.

Napríklad kružnica obsahuje len vlastné body. Afinná všeobecná rovnica kružnice so stredom $\small  S[a,b]$ a polomerom $r$ má vyjadrenie $\small  (x-a)^2+(x-b)^2=r^2$. Po transformácii $x \rightarrow \frac{x}{z}; z \neq 0$ dostaneme rovnicu kružnice v projektívnej rovine Dokážete zodpovedať otázku: Má kružnica v projektívnej rovine aj ideálne body. Ak áno, tak aké majú vyjadrenie.

V nasledujúcom cvičení si priblížte prácu s lineárnou kombináciou bodov.
Uvažujme o trojici bodov $\small  O_0 = [2,5,1],O_1 = [6,-4,2],O_2 = [1,3,0]$, ktorá je zrejme lineárne nezávislá. Zdôvodnite toto tvrdenie. Každý bod $\small  X$ projektívnej roviny tvorí s takouto trojicou bodov množinu lineárne závislých bodov. Preto ho možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu $\small X=\rho_0O_0+\rho_1O_1+\rho_2O_2.$

Cvičenie.
Určite reprezentantov $(\rho_0,0,0), (0,\rho_1,0), (0,0,\rho_2)$ bodov  $\small  O_0 , O_1, O_2$ tak, aby bod $\small Q= (2, 1, -3)$ mal vyjadrenie a zároveň, aby čísla $\rho_i$ boli racionálne.

V euklidovskom priestore $\small \mathbb{E}^3$ sme uviedli definíciu, že body $\small  A_1, A_2 , A_3$ sú lineárne závislé, ak sú lineárne závislé vektory $\small a_i=\overrightarrow{OA_i} (i=1,2,3)$, kde $O$ je počiatok súradnicového simplexu. Lineárna závislosť bodov v projektívnom priestore je koncept, ktorý rozširuje klasickú lineárnu závislosť z afinného priestoru do projektívneho prostredia. 
Homogénne súradnice projektívneho priestoru $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ umožňujú pomerne jednoducho charakterizovať závislosť bodov projektívneho priestoru.

Definícia (Lineárna závislosť bodov).
Body $\small  A_1=[x_{a1},y_{a1},z_{a1}], \dots , A_k=[x_{ak},y_{ak},z_{ak}]$ projektívnej roviny $\overline{\mathbb{E}}_2$ sa nazývajú lineárne závislé práve vtedy, keď hodnosť matice  je menšia ako $k$. Body sú lineárne nezávislé, ak nie sú lineárne závislé. Dva lineárne nezávislé body sa nazývajú aj rôzne body.

Cvičenie.
O nasledujúcich množinách bodov zistite, či sú lineárne závislé resp. nezávislé.

1. $\small  A_1=(2, -1, 3),A_2=(0, 2, -1), A_3= (4, 0, 1),A_4 = (1, 1, -2)$
2. $\small  A_1=(-1, 2, -6.4),A_2=(3, -6, 19.2)$

Cvičenie.
Riešte úlohy .

1. Lineárna závislosť bodov
   1. Dokážte, že lineárna závislosť, resp. lineárna nezávislosť bodov projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_3$ nezávisí od výberu reprezentantov týchto bodov.
   2. O nasledujúcich množinách bodov zistite, či sú lineárne závislé resp. nezávislé. Body sú určené svojimi reprezentantmi:
      • $\small A_1 = (-1, 2, -6.4)$, $\small A_2 = (3, -6, 19.2)$, $\small A_3 = (0, 1, 1)$;
      • $\small A_1 = (2,3,-2)$, $\small A_2 = (1,2,-4)$, $\small A_3 = (0, 1, -6)$.
   3. Trojica bodov $\small O_0 = [1,0,0]$, $\small O_1 = [0,2,0]$, $\small O_2 = [0,0,1]$ je zrejme lineárne nezávislá. Každý bod $\small X$ projektívnej roviny tvorí s takouto trojicou množinu lineárne závislých bodov. Preto ho možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu
      $\small X = \rho_0 O_0 + \rho_1 O_1 + \rho_2 O_2.$
      Určite reprezentantov $(\rho_0,0,0), (0,\rho_1,0), (0,0,\rho_2)$ bodov $\small O_0, O_1, O_2$ tak, aby bod $\small Q = (2, 1, -3)$ mal vyjadrenie $(\small Q = (\rho_0,0,0) - (0,\rho_1,0) + 2(0,0,\rho_2),$ a zároveň, aby čísla $\small \rho_i$ boli racionálne. Pozri prácu [CIZ, 1984], str. 29.
   4. Ukážte, že body s reprezentantmi $\small (a) = (2, 3,-2)$, $\small (b) = (1, 2, -4)$, $\small (c) = (0, 1, -6)$ incidujú s jednou priamkou. Určite $\lambda, \mu$ tak, aby $\small  (a) = \lambda (b) + \mu (c).$ Určite $\small t$ v trojici $\small (4, -1, t)$ tak, aby bod s týmto reprezentantom incidoval s priamkou $\small (ab)$ a nájdite $\sigma, \tau$ tak, aby $\small (4, -1, t) = \sigma (a) + \tau (b).$.

Riešte úlohy zo Zbierky [MON], kapitola: VYJADRENIE PRIAMKY V HOMOGÉNNYCH SÚRADNICIACH.

1. Úloha 6.1.1.
   Body dané karteziánskymi súradnicami vyjadrite pomocou homogénnych súradníc:
   $\small A[0;0], B[1;0], C[0;1], D[1;1], E[3;-2], F[-4;-3]$
2. Úloha 6.1.2.
   Vyjadrite homogénne súradnice nevlastných bodov priamok $\small  p, q, r$: 
   $\small p: x-2y+1=0$
   $\small q: 3x+4y+2=0$
   $\small r: -5x+y-6=0$
3. Úloha 6.1.3.
   Vypočítajte súradnice nevlastného bodu projektívnej priamky $\small AB$, ak $\small A[1;-1;3]_h, B[2;4;7]_h$
4. Úloha 6.1.4.
   Napíšte rovnicu priamky v homogénnych súradniciach, ak v karteziánskych má rovnicu:
   a) $\small x+3y-4=0$
   b) $\small 2x-5y+1=0$
   c) $\small 3x-2y=0$
5. Úloha 6.1.5.
   Samodružný bod afinnej transformácie, ktorá je daná rovnicami:
   $\small x'=2x-y+1$
   $\small y'=x+3y+2$
   vyjadrite homogénnymi súradnicami.
6. Úloha 6.1.6.
   Rovnicu kružnice $\small x^2+y^2=4$ napíšte v homogénnych súradniciach a uveďte homogénne súradnice aspoň jedného jej bodu.
7. Úloha 6.1.7.
   V $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ určte spoločné body kružnice $\small x^2+y^2=1$ a nevlastnej priamky.
8. Úloha 6.1.8.
   Napíšte:
   a) všeobecnú rovnicu,
   b) parametrické vyjadrenie projektívnej priamky $\small AB$, ak $\small A[2;3;1]_h, B[7;-2;2]_h$
9. Úloha 6.1.9.
   Dokážte, že v projektívnej rovine sa každé dve rôzne priamky pretínajú práve v jednom bode.
10. Úloha 6.1.10.
    Dokážte, že každý bod projektívnej priamky $\small s: z=0$ je nevlastný.

V konštrukčnej geometrii (v Hilbertovom axiomatickom systéme) priamka sa nedefinuje. Formuluje sa axióma incidencie
       Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka a popisuje sa primitívny vzťah incidencia.
Pomocou axiómy incidencie a primitívneho vzťahu sa vyjadruje vzájomný vzťah bodu a priamky. 
V afinnej geometrii (v euklidovskej rovine $\small  \mathbb E^2$) priamka určená dvoma rôznymi bodmi $\small  A,B$ sa definuje ako množina bodov Keďže vieme, že lineárne nezávislé body v projektívnej rovine $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ sú vlastne rôzne body, tak môžeme bez ujmy na obecnosti vysloviť definíciu:.

Definícia.
Množina všetkých bodov projektívnej roviny, ktoré sú lineárne závislé od dvoch rôznych bodov $\small  A,B \in \overline{\mathbb{E}}_2 \; (A \neq B)$, sa nazýva priamka (projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$).   Budeme ju tiež symbolicky označovať ako $\small  p=\overleftrightarrow{AB}$.

Všetky body projektívnej priamky $\small  p=\overleftrightarrow{AB}$ možno vyjadriť zápisom

Uvedený zápis sa nazýva lineárne vyjadrenie priamky $\small  p=\overleftrightarrow{AB}$.  Po zavedení definície priamky v projektívnej rovine môžeme dokázať vetu, ktorá charakterizuje projektívnu rovinu. Body patriace jednej priamke sa nazývajú kolineárne body.

Veta.
Každé dve rôzne priamky v projektívnej rovine $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ sa pretínajú v práve jednom bode.

$\small  p = r_0 A + r_1B$
$\small  q = s_0 C + s_1D$

$\small  r_0 A + r_1B=s_0 C + s_1D$

Cvičenie.
Nech sú dané priamky $\small  p=\overleftrightarrow{AB},q=\overleftrightarrow{CD}$, ktoré sú určené bodmi s ich homogénnymi súradnicami

1. $\small  A=[2,1,1],B=[5,-4,1],C=[1,-2,1],D=[7,2,1]$
2. $\small  A=[2,1,1],B=[5,3,1],C=[1,-2,1],D=[7,2,1]$

Určite vzájomnú polohu priamok (určite súradnice ich spoločného bodu). Pozrite si Interaktívnu učebnicu, str. 41-43.

V projektívnej rovine $\small  \mathbb{P}^2$ pracujeme s homogénnymi súradnicami. Body aj priamky sú reprezentované usporiadanými trojicami reálnych čísel - trojrozmernými vektormi. Napríklad pre

• bod: $\small  \vec{P} = (x , y , z)$,
• priamku: $\small  \vec{\ell} = (a : b : c)$,

platí, že bod $\small  \vec{P}$ leží na priamke $\small  \vec{\ell}$ práve vtedy, keď (pre skalárny súčin!) platí:

Priamka v projektívnej rovine (samozrejme aj v euklidovskej) je jednoznačne určená dvoma rôznymi bodmi (axióma incidencie). To znamená, že vektor (priamka) $\small \vec{\ell}$ je ortogonálny (v zmysle skalárneho súčinu) na oba vektory (body) $\small  \vec{p}_1,\vec{p}_2$. Vektory $\small  \vec{p}_1,\vec{p}_2$ určujú rovinu prechádzajúcu počiatkom. Vektor kolmý na túto rovinu, dostaneme pomocou vektorového súčinu $\small  \vec{\ell} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2$. 
Vektor $\small  \vec{\ell}$ predstavuje hľadanú priamku, ktorá je určená bodmi $\small \vec{p}_1,\vec{p}_2$. 

Nech sú dané dva rôzne body $\small A,B$ projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ a ich homogénne súradnice $\small A=[a_0,a_1,a_2]$,$\small B=[b_0,b_1,b_2]$. Pre súradnice ľubovoľného bodu $\small X=[x,y,z]$ priamky $\small p=\overleftrightarrow{AB}$ platí Po dosadení súradníc bodu $\small X$ a po úprave dostaneme sústavu troch rovníc kde $\small k_0, k_1 \in \mathrm R, k^2_0 + k^2_1 \neq 0$. Sústavu rovníc [ParRov] nazývame parametrické vyjadrenie projektívnej priamky určenej bodmi $\small A,B$. Bod $\small X=[x,y,z]$ priamky $\small p=\overleftrightarrow{AB}$ je lineárne závislý od bodov $\small A,B$. Preto matica má hodnosť 2 a determinant $\small \left| \mathbf X \right|$ tejto matice musí byť rovný nule. Rozvinutím determinantu $\small \left| \mathbf X \right|$ podľa prvého riadku získame rovnicu s tromi neznámymi $\small x,y,z$ Rovnicu [VseoRov] nazývame všeobecná rovnica projektívnej priamky určenej bodmi $A=[a_0,a_1,a_2]\], $B=[b_0,b_1,b_2]\].

Príklad. Určte vzdialenosť dvoch mimobežiek. (Pozrite si prácu [Eduard Čech: Základy analytické geometrie, online PDF § 42, str. 109: Vzdálenost dvou mimoběžek ], v príklade je použitá pôvodná symbolika) 

Nech prvá mimobežka je určená bodom $\small P$ a vektorom $\small \mathbf{A}$, druhá mimobežka bodom $\small Q$ a vektorom $\small \mathbf{B}$. Body na mimobežkách majú tvar $\small P + x\mathbf{A}, \quad Q + y\mathbf{B}$.  Je potrebné vypočítať čísla $\small x$ a $\small y$.

Vektor $\small (Q + y\mathbf{B}) - (P + x\mathbf{A})$ je kolmý na vektory $\small \mathbf{A}$ aj $\small \mathbf{B}$. Preto platí Teda dostávame sústavu: Keďže vektory $\small \mathbf{A}, \mathbf{B}$ sú lineárne nezávislé, determinant sústavy a preto možno z posledných dvoch rovníc vypočítať čísla $\small x$ a $\small y$.

Vzdialenosť dvoch mimobežiek je potom rovná vzdialenosti nájdených bodov   $\small P + x\mathbf{A},\quad Q + y\mathbf{B}.$

Zadanie (Riešený príklad - os mimobežiek).
V euklidovskom modeli projektívneho priestoru $\small \overline{\mathbb{E}}_3$ uvažujme dve mimobežné (skew) priamky:
$\small p: \; X= {A} + s\vec{u}, \quad {A}=(0,0,0),\ \vec{u}=(1,0,1),$
$\small q: \;  X={B} + t\vec{v}, \quad {B}=(0,1,0),\ \vec{v}=(0,1,1).$
Nájdite priečku (common perpendicular) – priamku, ktorá je kolmá zároveň na $\small p$ aj na $\small q$, a určte jej parametrické rovnice.

Riešenie (kroky):

1. Myšlienka: Ak je priečka spojením bodov $\small P \in p; Q \in q$, potom vektor $\small \overrightarrow{PQ}$ musí byť kolmý na smerové vektory $\small \vec{u}; vec{v}$. Označme:
   $\small P = {A} + s\vec{u}, \quad Q = {B} + t\vec{v}.$
   Požadujeme:
   $\small ({P} - {Q}) \cdot \vec{u} = 0, \quad (\small {P} - {Q}) \cdot \vec{v} = 0.$
2. Napíšeme sústavu:
   $\small ({A} + s\vec{u} - {B} - t\vec{v}) \cdot \vec{u} = 0.$
   $\small ({A} + s\vec{u} - {B} - t\vec{v}) \cdot \vec{v} = 0.$
   Použijeme $\small {A}=(0,0,0), {B}=(0,1,0), \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(0,1,1)$.
3. Vypracovanie sústavy: Nech $\small \vec{w} = {A} - {B} = (0,-1,0)$. Potom: $\small {A} + s\vec{u} - {B} - t\vec{v} = \vec{w} + s\vec{u} - t\vec{v}=(s,-1-t,s-t).$ 
   Po dosadení
   $\small (s,-1-t,s-t) \cdot (1,0,1) = 0.$
   $\small (s,-1-t,s-t) \cdot (0,1,1) = 0.$
   Sústava skalárnych rovníc dáva riešenie: $\small s = -\frac{1}{3}, \quad t = -\frac{2}{3}.$
4. Nájdenie bodov $\small P$ a $\small Q$:
   $\small P = {A} + s\vec{u} = \left(-\frac{1}{3},\,0,\,-\frac{1}{3}\right),$
   $\small Q = {B} + t\vec{v} = \left(0,\,\frac{1}{3},\,-\frac{2}{3}\right).$
   Vektor $\small \overrightarrow{PQ} = Q - P = \left(\frac{1}{3},\,\frac{1}{3},\,-\frac{1}{3}\right)$, ktorý po vynásobení 3 dá smerový vektor $(1,1,-1)$.
5. Rovnice priečky: Priečka $m$ má parametrické rovnice: $\small m: \; {X} = \left(-\frac{1}{3},\,0,\,-\frac{1}{3}\right) + \lambda (1,1,-1)$
   $\small x= -\frac{1}{3} + \lambda,$
    $\small y= \; \;0 + \lambda,$
   $\small z=-\frac{1}{3} - \lambda .$
   Overenie: $\small \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{u} = 0$ a $\small \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} = 0$.

Neriešená úloha.

Nech $\small p$ prechádza bodom $\small A=(1,0,2)$ so smerovým vektorom $\small \vec{u}=(2,-1,1)$ a $\small q$ prechádza bodom $\small B=(0,2,1)$ so smerovým vektorom $\small \vec{v}=(1,1,2)$. Určite priečku týchto mimobežných priamok (ak existuje): nájdite body $\small P \in p$, $\small Q \in q$ a parametrické rovnice priamky $m$ tak, aby $\small \overrightarrow{PQ}$ bol kolmý na $\vec{u}$ aj na $\vec{v}$.

Tip: postupujte rovnakým spôsobom ako v riešenom príklade (nastavte parametre $s,t$ a riešte dve skalárne podmienky).

Cvičenie.
Riešte úlohy .

Priamka v projektívnej rovine

1. Dané priamky $\small p = \overleftrightarrow{AB}$ a $\small q = \overleftrightarrow{CD}$, ktorých homogénne súradnice bodov sú:
   1. $\small A = [2,1,1],B = [5,-4,1],C = [1,-2,1], D = [7,2,1]$
   2. $\small A = [2,1,1],B = [5,3,1],C = [1,-2,1], D = [7,2,1]$
   Určite nevlastné body priamok (určite ich homogénne súradnice).
2. Určite všeobecné aj parametrické vyjadrenie priamok $(\small \overleftrightarrow{AB}$ a $\small \overleftrightarrow{CD}$ v projektívnej rovine, ktoré sú určené bodmi s reprezentantmi $\small A = [0,0,1], \; B = [-2,3,0], \; C = [0,-1,3], \; B = [-2,3,0].$ Určite súradnice ich spoločného bodu.
3. Napíšte rovnicu priamky v projektívnej rovine, ktorá je určená priesečnicou priamok $y + 2z + 9 = 0, \quad x + z + 3 = 0$ a je rovnobežná s osou $O_x$.
4. Vzhľadom k afinnému repéru $\small \langle O[0,0,0]; \vec e_1(1,0,0); \vec e_2(0,1,0); \vec e_3(0,0,1) \rangle$ v $\mathbb{E}^3$ je daná priamka $p$ všeobecným vyjadrením $p: 2x+y-z-2=0; \quad x-y+z+1=0.$ Určite rovnice priamky $p$ v indukovaných homogénnych súradniciach a určite súradnice nevlastného bodu priamky $p$. Pozri prácu [JAN, 2001], str. 23.
5. Určte v priestore vzdialenosť bodu $\small G = [-1,4,-1]$ od priamky prechádzajúcej bodmi $\small P_1 = [7,3,4]$ a $P_2 = [3,4,7]$.
6. Určte priečku dvoch mimobežiek určených bodmi $\small P = [1,0,1],\; A_\infty= [1,2,0]$ a $\small Q_\infty= [0,1,0],\;B = [0,1,1]$.
   Výsledok: Priečka prechádza bodom $\small \displaystyle R=\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3},1\right)$ so smerovým vektorom $\small \vec{d}=(2,-1,1)$. Parametricky 
   $\small   \mathbf{X}=\Big(\tfrac{4}{3}+2\lambda,\;\tfrac{2}{3}-\lambda,\;1+\lambda\Big).$

Poučenie z histórie.
Fermat kružnicu definoval ako množinu bodov, ktoré majú konštantnú vzdialenosť $r$ od stredu, pričom túto vzdialenosť opisoval algebraicky. Fermat používal písmená na označenie premenných/vzdialeností, ktoré zodpovedali dĺžkam úsekov.

V modernej notácii môžeme jeho prístup chápať nasledovne:

• Predstavme si, že $x,y$ označujú vzdialenosti bodu $\small M$ od dvoch pevných referenčných priamok $a,b$ , ktoré sú na seba kolmé.

• Kružnica je potom definovaná ako súčet druhých mocnín týchto vzdialeností a tento súčet je rovný štvorcu polomeru: $x^2+y^2=r^2$. To vyplýva z Pytagorovej vety, z euklidovskej geometrie.

V tejto časti uvedieme okrem definície kružnice aj niektoré afinné vlastnosti kružnice, ktoré sa využívajú pri riešení úloh o kružnici v afinnej rovine.  V úvode tejto kapitoly sme uviedli historickú vsuvku o Fermatovom poňatí kružnice, ktoré sa opiera o axiomatické zavedenie pojmu kružnica v Euklidových Základoch.  Euklides ale aj Fermat využívajú nasledujúcu definíciu. Pozrite si diplomovú prácu "Jan Končel: Využití internetu ve výuce analytické geometrie na střední škole. Dostupná Tu, PDF, Repozitár.

Definícia (Kružnica).
Kružnica $\small k(S,r)$ určená stredom $\small S$ a polomerom $\small r$ je množina všetkých bodov $\small X = [x,y]$ afinnej roviny, ktoré majú od pevného bodu $\small S = [s_1, s_2]$ konštantnú vzdialenosť $\small r > 0$.

Mocnosť bodu ku kružnici. 
Daná je kružnica $\small k(S, r)$ rovnicou $\small (X-S)^2=r^2$ a ľubovoľný bod $\small M$ roviny. Reálne číslo

nazývame mocnosť bodu $\small M$ vzhľadom na kružnicu $\small k$.

     Dôkaz tohto tvrdenia nájdete Tu (v kurze Planimetria).

Dotyčnica kružnice $\small k(S,r)$, ktorá je určená stredom $\small S = [s_1, s_2]$ a polomerom $\small r$, v bode $\small T = [t_1, t_2]$ má rovnicu Je vidieť, že rovnica $\small (x-s_1)(t_1-s_1)+(y-s_2)(t_2-s_2)=r^2$ je všeobecnou rovnicou priamky s normálovým vektorom $\small (t_1-s_1; t_2-s_2)$. Dotyčnica ku kružnici v bode $\small T = [t_1, t_2]$ musí byť kolmá na vektor $\small \overrightarrow{ST}$. To naša priamka spĺňa, pretože vektor $\small \overrightarrow{ST}$ je jej normálovým vektorom.

Príklad.
Nájdite rovnicu dotyčnice kružnice $\small x^2 - 2x + y^2 - 4y - 20 = 0$ v jej bode $\small T[4; -2]$.

Riešenie.

1. Z predchádzajúcej vety vieme, ako zo stredovej rovnice kružnice jednoducho určíme rovnicu jej dotyčnice v nejakom bode. Doplníme teda výrazy $\small x^2 - 2x ;\; y^2 - 4y$na druhej mocniny dvojčlenov $\small x -1 ;\; y - 2$ a určíme jej stredovú rovnicu: $\small (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
2. Rovnica dotyčnice v bode $\small T[4; -2]$ má podľa vyššie uvedenej vety tvar: $\small (x - 1) (t_1 - 1) + (y - 2) (t_2 - 2) = 25$.
3. .Aby sme získali rovnicu dotyčnice v bode $\small T[4; -2]$, stačí dosadiť súradnice bodu T:
   $\small (x - 1)(4 - 1) + (y - 2)(-2 - 2) = 25,\\ 3(x - 1) + (-4)(y - 2) = 25,\\  3x - 3 - 4y + 8 = 25,\\  3x - 4y - 20 = 0$.

Ak si do [DotKru] dosadíme namiesto súradníc dotykového bodu, súradnice bodu $\small Z = [z1, z2]$, ktorý neleží na kružnici a je rôzny od stredu kružnice, tak dostaneme rovnicu poláry bodu $\small Z$. 
Ak polára bodu $\small Z$ má s kružnicou spoločné body, tak tieto sú dotykovými bodmi dotyčníc vedených z bodu $\small Z$ k danej kružnici. Sú dané dve kružnice $\small k_1 : (X - S_1)^2 - r2_1 = 0, k_2 : (X - S_2)^2 -r^2_2 = 0$, ktoré sa pretínajú práve v dvoch bodoch. Zväzkom kružníc rozumieme množinu všetkých kružníc, ktorých rovnice sa dajú vyjadriť v tvare kde $\small \lambda_1, \lambda_2$ sú ľubovoľné reálne čísla, z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly. Pre $\small \lambda_1 + \lambda_2 = 0$ je rovnicou [Zvaz] určená chordála daného zväzku kružníc, t.j. všetky body tejto priamky majú rovnakú mocnosť vzhľadom na kružnice $\small k_1, k_2$, pretože platí Kružnice $\small k_1(S_1,T_1), k_2(S_2, T_2)$ nazývame ortogonálne $\small k_1 \perp k_2$ práve vtedy, keď ich dotyčnice zostrojené v spoločnom bode sú navzájom kolmé. Platí $\small k_1 \perp k_2 \quad \Leftrightarrow \quad (S_1-S_2)^2-r^2_1-r^2_2 = 0$. 

V tejto časti uvedieme niektoré vlastnosti kružníc v projektívnej rovine

Z hľadiska projektívnej geometrie nie je kružnica výnimočnou kužeľosečkou, ale špeciálnym prípadom kvadratickej krivky, ktorá má dva spoločné komplexné ideálne body – izotropické body. Tie sú základom pre jednotný algebraicko-geometrický opis kružníc a zohrávajú ústrednú úlohu v metrickom rozšírení projektívnej geometrie.

V ďalšej časti opäť využijeme, že kružnica je určená stredom $\small S[a,b]$ a polomerom $\small r$. Potom jej rovnicu v afinnej rovine už poznáme ako Prechodom do homogénnych súradníc (zavedením projektívnej transformácie $\small x \rightarrow \frac{x}{z};\; y \rightarrow\frac{y}{z}$) dostávame rovnicu ktorá opisuje kružnicu ako kvadratickú kužeľosečku v projektívnej rovine $\small \overline{\mathbb{E}}_2$. Aby sme určili, kde kružnica daná rovnicou [ProjK] pretína ideálnu priamku, dosadíme $\small z = 0$: Získaná rovnica je nezávislá od súradníc stredu $\small [a ; b ; 1]$. Rovnica [k] nemá reálne riešenia okrem nulového vektora, ktorý nezodpovedá žiadnemu projektívnemu bodu. Preto kružnica v reálnej projektívnej rovine $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ nepretína ideálnu priamku v žiadnom reálnom bode}. Riešenia rovnice $\small x^2 + y^2 = 0$ však existujú v komplexnej rovine. Sú to body s homogénnymi súradnicami teda dva navzájom združené komplexné ideálne body. Tieto body nazývame izotropické body. V komplexnej projektívnej rovine $\small \mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ každá kružnica, bez ohľadu na svoj stred, pretína ideálnu priamku v dvoch (komplexných) bodoch, ktorých reprezentanti sú $\small [1; i ; 0] , [1; -i ; 0]$.

Poznámky.
Aj keď izotropické body neležia v reálnom modeli projektívnej roviny, reprezentujú všetky možné smerové vektory dotyčníc ku kružnici – v komplexnom rozšírení. V tomto zmysle môžeme kružnicu chápať ako objekt, ktorý „smeruje“ do dvoch fixných komplexných bodov v nekonečne. Práve tieto izotropické body zabezpečujú, že všetky kružnice v projektívnej rovine patria do tej istej triedy kvadratických kriviek.

Homogénna kvadratická forma, ktorá reprezentuje kužeľosečku (kuniku) v projektívnej rovine sa dá zapísať ako maticový súčin kde $\small Q$ je reálna symetrická matica a $\small \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)$ je projektívny bod patriaci danej kvadratickej forme. Po prevedení maticového súčinu dostaneme všeobecnú rovnicu kvadratickej formy [KvadFor]. Všeobecná homogenizovaná kvadratická rovnica kužeľosečky  má tvar V projektívnej rovine je každá kružnica kvadratická krivka, ktorá prechádza izotropickými bodmi. Hľadáme koniku (kužeľosečku), ktorá prechádza bodmi To znamená, že súradnice týchto bodov musia vyhovovať maticovému súčinu [KvadFor]. Postupne určíme:

1. Podmienky pre izotropické body
   Dosadíme $\small I = (1,i,0)$:
   $\small (1,i,0)\,Q\,(1,i,0)^T = a_{11} + 2i a_{12} + a_{22} i^2= a_{11} - a_{22} + 2i a_{12} = 0.$
   Podobne pre $\small J=(1,-i,0)$ bude
   $\small a_{11} - a_{22} - 2i a_{12} = 0.$
   Z týchto dvoch podmienok dostávame
   $\small a_{11} = a_{22}, \qquad a_{12} = 0.$
2. Zredukovaný tvar matice
   Po dosadení týchto podmienok má matica $\small Q$ tvar
   $\small Q = \mathbf X=\left( \begin{array}{ccc} a & 0 & a_{13} \\ 0 & a & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array}\right), \qquad a:=a_{11}=a_{22}.$
3. Podmienka pre bod $\small A=[0;r;1]$
   Dosadíme $\small A=(0,r,1)$ do $\small \mathbf{x}^T Q \mathbf{x} = 0$:
   $\small (0,r,1)\,Q\,(0,r,1)^T= a r^2 + 2 a_{23} r + a_{33} = 0.$
   Teda platí lineárna väzba
   .

   $\small a r^2 + 2 a_{23} r + a_{33} = 0.$

   $\small (\ast)$
4. Normalizácia a voľné parametre
   Matica $\small Q$ má po zavedení podmienok zredukovaný tvar, pričom koeficienty $\small a,a_{13},a_{23},a_{33}$ spĺňajú lineárnu väzbu $\small (\ast)$. Po započítaní projektívnej škály (násobenie matice $\small Q$ nenulovým číslom nemení kužeľosečku) ostáva ešte jedna voľnosť. To znamená, že trojica bodov $\small I,J,A$ určuje rodinu kužeľosečiek.

Pozrite si učebnicu, str. 74. V afinnej rovine ($\small z = 1$) dostávame známu rovnicu kružnice: 

Vzhľadom na symetriu izotropických bodov, je zrejmé, že stred kružnice prechádzajúcej izotropickými bodmi musí ležať na súradnej osi $\small O_x$. Pozrite si obrázok Kružnica prechádzajúca bodom. 

Takto sme určili rovnicu kružnice prechádzajúcu daným reálnym bodom a izotropickými bodmi na nekonečne.

Cvičenie.
Riešte úlohy zo zbierky [BILL], kapitola 2.1.Kružnica a zväzky kružníc.

Cvičenie.
Riešte úlohy zo zbierky [MON], kapitola 7.1. KRUŽNICA.
Pokúste sa afinné riešenia niektorých úloh transformovať na projektívne homogénne rovnice.

1. Úloha 7.1.1. Zistite, ktorá z rovníc je rovnicou kružnice
   1. $\small 2x^2+2y^2+5x-4y+6 = 0$
   2. $\small x^2+y^2+x = 0$
   3. $\small x^2+y^2+4x-6y- 10 = 0$
   4. $\small x^2+y^2+6x+4y+20 = 0$
   V prípade, že ide o rovnicu kružnice, zistite jej stred a polomer.
2. Úloha 7.1.2. Dokážte, že $\small\;3x_1^2 + 3x_2^2 - 12x_1 + 4x_2 + 12 = 0\;$ je rovnica kružnice. Určte jej stred a polomer.
3. Úloha 7.1.3. Rozhodnite, ktorý z bodov $\small A[4;3],\; B[1;-2],\; C[3+2\sqrt{3};0],\; D[2;-3]$ leží vo vnútri, zvonku alebo na kružnici $k$. Potom situáciu znázornite.
4. Úloha 7.1.4. Určte reálne číslo $\small a$, tak aby priamka $\small t$ bola dotyčnicou kružnice $\small k$. Určte súradnice dotykového bodu.
   $\small t:\; 2x - y + a = 0; \qquad k:\; x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0.$
5. Úloha 7.1.5. Určte podmienky pre reálne číslo $\small c$, aby priamka $\small p$ bola sečnicou kružnice $\small k$. Potom narysujte úlohu pre vhodne zvolené $\small c$. 
   $\small p:\; 3x - 2y + c = 0; \qquad k:\; x^2 + y^2 - 6x - 8y + 5 = 0.$
6. Úloha 7.1.6. Určte podmienky pre $\small s\in\mathbb{R}$, tak aby priamka $\small p$ bola a) sečnicou, b) dotyčnicou kružnice $\small k$.
   $\small p:\; 2x_1 - 3x_2 + s = 0; \qquad k:\; x_1^2 + x_2^2 - 8x_1 - 10x_2 + 28 = 0.$
7. Úloha 7.1.7. Určte prienik kružnice $\small k$ a priamky $\small p$.
   $\small k:\; x^2 - 2x + y^2 + 6y - 6 = 0; \qquad p:\; x - y = 0.$
8. Úloha 7.1.8. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi $\small A, B$ a jej stred leží na priamke $\small p$.
   1. $\small A[-2;3],\; B[3;1],\; p:\; x - 3y - 3 = 0.$
   2. $\small A[1;3],\; B[-3;1],\; p:\; 2x - y - 8 = 0.$
9. Úloha 7.1.9. Určte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi $\small A,B,C$. Určte aj jej stred a polomer. Potom situáciu narysujte.
   1. $\small A[1;1],\; B[1;-1],\; C[2;0].$
   2. $\small A[-1;5],\; B[-2;-2],\; C[5;5].$
10. Úloha 7.1.10. Určte prienik kružnice $k$ a priamky $\small p$ v závislosti od parametra $\small d$.
    $\small k:\; (x+3)^2 + (y-5)^2 = 16; \qquad p:\; 3x + 2y + d = 0.$
11. Úloha 7.1.11. Napíšte rovnicu priamky, na ktorej leží priemer kružnice $\small k$ kolmý na priamku $\small p$.
    $\small k:\; x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0; \qquad p:\; 5x + 2y - 13 = 0.$
12. Úloha 7.1.12. Určte stred $\small S$ a polomer $\small r$ kružnice, ktorá sa dotýka osí $\small x$ a $\small y$ a prechádza bodom $A[4;2]$.
13. Úloha 7.1.13. Napíšte rovnicu kružnice vpísanej do trojuholníka $\small ABC$:
    $\small A\!\left[\tfrac{5\sqrt3}{2},\tfrac{7}{2}\right],\; B[0;1],\; C\!\left[\tfrac{5\sqrt3}{2},-\tfrac{3}{2}\right].$
14. Úloha 7.1.14. Napíšte rovnicu kružnice prechádzajúcej bodmi $\small K,L$ a dotýkajúcej sa osi $\small y$:
    $\small K[2;2],\; L\bigl[6;\;2\sqrt2+2\bigr].$
15. Úloha 7.1.15. Napíšte rovnicu kružnice s polomerom $\small r=3\ \text{cm}$, ktorá sa dotýka kružnice $\small k$ a priamky $\small l$:
    $\small k:\;\Bigl(x-\tfrac{10}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(y-\tfrac{5\sqrt5}{3}\Bigr)^2 = 4,\qquad l:\; x - y - 3\sqrt2 = 0.$
16. Úloha 7.1.16. Určte prienik kružníc $\small k_1$ a $k_2$, ak
    $\small k_1:\; x^2 + y^2 - 2x + 6y = 6,\qquad k_2:\; x^2 + y^2 + 4y - 6 = 0.$
17. Úloha 7.1.17. Dané sú body $\small A[3;7],\; B[0;1]$. Určte množinu
    $\small M = \{ X\in\mathbb{E}_2 : |XA| = 2\cdot |XB| \}.$

Definícia (Perspektívnosť). 
Nech $\small p, q$ sú dve rôzne priamky a bod $\small S$, ktorý nie je incidentný s priamkami $\small p, q$. Zobrazenie $\small f: R(p) \rightarrow R(q)$, ktoré bodu $\small X \in p$ priradí bod $X' = XS \cap q$, sa nazýva perspektívnosťou (perspektívnym zobrazením) množiny bodov $\small R(p)$ priamky $\small p$ na množinu bodov $\small R(q)$ priamky $\small q$. Bod $\small S$ sa nazýva stredom perspektívnosti $\small \mathcal{P}$.

Definícia (Projektívnosť). 
Projektívnosťou (projektívnym zobrazením) sa nazýva zloženie konečného počtu perspektívností.

Veta (Základná veta projektívnej geometrie v $\small \overline{\mathbb{E}}_2$  o určenosti projektívnosti).
Nech $\small p, q$ sú dve priamky v rozšírenej euklidovskej rovine $\small \overline{\mathbb{E}}_2$  a nech $\small A, B, C$  tri rôzne body priamky $\small p$. Ďalej nech $\small A', B', C'$ tri rôzne body priamky $\small q$. Potom existuje jediná projektívnosť $\small \mathcal{P}: R(p) \rightarrow R(q)$ taká, že $\small \mathcal{P} (A) = A'$, $\small \mathcal{P} (B) = B'$, $\small \mathcal{P} (C) = C'$ .

Definícia (Kolineácia v rovine).
Nech $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ je projektívna rovina a $\small \mathcal{K}$ je bijektívne zobrazenie Zobrazenie $\small \mathcal{K}$ nazývame kolineáciou projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$, ak každú trojicu kolineárnych bodov $\small A, B, C$, ktoré sú po dvojiciach rôzne, zobrazí na trojicu $\small A', B', C'$, ktorá je takisto po dvojiciach rôzna a kolineárna.

Samodružné prvky kolineácie

1. Bod $\small M$ sa nazýva samodružný bod kolineácie $\small \mathcal{K}$, ak $\small \mathcal{K}(M) = M$.
2. Priamka $\small m$ sa nazýva samodružná priamka kolineácie $\small \mathcal{K}$, ak $\small \mathcal{K}(m) = m$.
3. Bod $\small S$ sa nazýva stredom (tiež silne samodružným bodom alebo priamkovo samodružným bodom) kolineácie $\small \mathcal{K}$, ak $\small \mathcal{K}(S) = S$ a navyše $\small \mathcal{K}(m) = m$ pre každú priamku prechádzajúcu stredom $\small S$.
4. Priamka $\small o$ sa nazýva osou (silne samodružnou priamkou alebo bodovo samodružnou priamkou) kolineácie $\small \mathcal{K}$, ak $\small \mathcal{K}(o) = o$ a $\small \mathcal{K}(X) = X$ pre každý bod $\small X$ priamky $\small o$.
5. Kolineácia, pre ktorú existuje stred (môže byť aj nevlastný), sa nazýva stredová kolineácia. 
6. Stredová kolineácia s nevlastným stredom, pre ktorú existuje os, sa nazýva osová kolineácia. Pozrite si príklad osovej afinity v nerozšírenom euklidovskom priestore Tu, ktorá je určená tromi nekolineárnymi bodmi a ich obrazmi.

Definícia.
Stredová kolineácia, ktorej stred neinciduje s osou, sa nazýva homológia , stredová kolineácia, ktorej stred s osou inciduje, sa nazýva elácia. Pre homológie používa aj názov perspektívna kolineácia (presnejšie pre homológie s vlastným stredom a vlastnou osou).

Riešený príklad.
Nech $\small A, B, C, D$ sú vrcholy štvorca v euklidovskej rovine, nech $\small A' = B, B' = C, C'= D , D' = A$. V rozšírenej euklidovskej rovine je týmito bodmi definovaná jediná projektívna kolineácia $\small \mathcal{K}$, ktorá zobrazí body $\small A, B, C, D$ po poriadku na body $\small A', B', C', D'$ . Je $\small \mathcal{K}$ stredovou kolineáciou? Čo je jej zúžením na euklidovskú rovinu? (Ide o cyklické posunutie vrcholov štvorca.)

Riešenie
🔍 Je $\small \mathcal{K}$ stredová kolineácia?

1. Nie. Stredová kolineácia (centrálna kolineácia) je projektívne zobrazenie, ktoré:
   • Fixuje všetky body jednej priamky (tzv. os kolineácie),
   • A všetky ostatné body sa zobrazujú pozdĺž lúčov z jedného bodu (tzv. stred kolineácie).
2. V tomto prípade:
   • Žiadny bod sa nezobrazuje na seba (ukážte, že je to pravda),
   • Žiadna priamka nie je fixovaná,
   • Zobrazenie cyklicky permutuje všetky štyri vrcholy štvorca.
3. 👉 Preto $\small \mathcal{K}$ nie je stredová kolineácia.

🔍 Čo je zúžením $\small \mathcal{K}$ na euklidovskú rovinu?
Zúžením projektívnej kolineácie na euklidovskú rovinu rozumieme jej pôsobenie len na vlastné body, teda bez nevlastných bodov.

1. V tomto prípade:
1. cyklicky posúva vrcholy štvorca: 𝐴↦𝐵↦𝐶↦𝐷↦𝐴
2. To zodpovedá otočeniu štvorca o 90° okolo jeho stredu (v smere proti hodinovým ručičkám).
3. 👉 Zúžením $\small \mathcal{K}$ na euklidovskú rovinu je otočenie o 90° okolo stredu štvorca.

V ďalšej časti tejto kapitoly budeme skúmať obraz kružnice v perspektívnej kolineácii $\mathcal{K}(S,A,A')$, ktorá je určená stredom $\small S$ kolineácie, jej osou $\small o$ a dvojicou odpovedajúcich bodov $\small A,A'$. V takto definovanej perspektívnej kolineácii vieme zostrojiť obraz ľubovoľného bodu roviny $\small \pi$, dokonca aj nevlastného (ideálneho bodu).

Nasledujúci applet znázorňuje homológiu rozšírenej euklidovskej roviny s vlastným stredom, vlastnou osou, ktorá zobrazí bod $\small A$ do $\small A'$,  priamku $\small a$ do priamky $\small a'$. Nevlastný bod $\small \mathrm{V_{∞}}$ (ideálny bod priamky $\small a$) do vlastného bodu $\small V'$. Pri konštrukcii (tu v rozšírenej euklidovskej rovine) sa využije fakt, že priamky prechádzajúce stredom sú samodružné, a teda body $\small S, A, A´$ a takisto body $\small S, \mathrm{V_{∞}} , V'$ sú kolineárne.

Kolineácia$\small \mathcal{K}(S,A,A')$; applet si stiahnete Tu.

Veta.
V projektívnej rovine sú nasledujúce dva výroky ekvivalentné:

1. Desarguesova veta .
2. Pre každú trojicu $\small S, A, A´$ troch rôznych kolineárnych bodov a priamku $\small o$ neprechádzajúcu žiadnym z daných bodov existuje (aspoň jedna) homológia $\small \mathcal{H}$ taká, že $\small S$ je jej stred, $\small o$ jej os a pre obraz bodu $\small A$ platí $\small  A´=\mathcal{H}(A)$.

(*) $\small \quad \left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{matrix}\right)$

$\small \mathcal{K}=\left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix}\right)$

Riešený príklad (Určenie matice kolineácie).
Dané sú (po troch nekolineárne) body $\small A, B, C, D$, ktorých homogénne súradnice sú $\small A = (1, 0, -1), B = (1, 1, 0)$, $\small C = (1, 0, 1), D = (1, -1, 0)$. Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod $\small A$ na bod $\small B$, $\small B$ na $\small C$, $\small C$ na $\small D$ a $\small D$ na $\small A$.

Riešenie.

1. Rovnice (a teda aj maticu) kolineácie $\small \mathcal{K}$ budeme poznať, ak vypočítame koeficienty matice  $\small K$ zobrazenia small $\small \mathcal{K}$.
2. Musí platiť $\small A = (1, 0, -1)\rightarrow B = (1, 1, 0)$, $\small B = (1, 1, 0)\rightarrow C = (1, 0, 1)$, ...
3. To odpovedá rovniciam $\small K \times (1, 0, -1) + \lambda_k \cdot  (1, 1, 0)=0$, ... , kde $\small K = \left(\begin{matrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & j\end{matrix}\right)$ je hľadaná matica a $\lambda_k$ sú násobky homogénnych súradníc odpovedajúcich bodov.
4. Po roznásobení dostaneme 12 rovníc (4 dvojice odpovedajúcich bodov $\small \times$ trojice súradníc) s 13-timi neznámymi $\small a,b, \dots, j,\; k,l,m,n$:

$\small \begin{matrix} a-c=k \\ d-f=k \\ g-j=0 \\ a+b=l \\ d+e=0 \\ g+h=l \\ a+c=m \\ \quad d+f=-m \\ g+j=0 \\ a-b=n \\ d-e=0 \\ \;\; g-h=-n \end{matrix}$

$\small\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & k & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & k & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & l & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & l & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -n & 0 \end{matrix}\right)$

$\lambda\cdot \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$

Transformácia bodu

1. Nech kolineácia $\small \varphi$ je daná regulárnou maticou $\small M$
   $\small M=\left(\begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix}\right).$
   Pripomíname, že kolineácia je v zmysle definície bijektívne zobrazenie projektívnej roviny.
2. Potom obraz bodu $\small X$ s homogénnymi súradnicami (\small (x, y, z)\) je bod $\small X'$ s homogénnymi súradnicami $\small (x', y', z')$, pre ktoré platí
   $\small \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = M \times \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}.  \tag{1}$
   Ak tento vzťah napíšeme po zložkách, dostávame
   $\small \begin{equation} \begin{aligned} x' &= m_{11}x + m_{12}y + m_{13}z,\\\\ y' &= m_{21}x + m_{22}y + m_{23}z,\\\\ z' &= m_{31}x + m_{32}y + m_{33}z. \end{aligned} \end{equation} \tag{2}$
   Takto zapísané rovnice opisujú, ako sa obraz bodu v projektívnej rovine určí pomocou lineárnej transformácie reprezentovanej maticou $\small M$.

Definícia (Samodružný bod).
Bod $\small X$ sa nazýva samodružným (invariantným) bodom kolineácie $\small \mathcal{K}$, ak je totožný so svojím obrazom v tejto kolineácii. Zhodne sa definuje samodružnosť priamky.

Nech bod $\small X$ je samodružným bodom kolineácie $\small \varphi$ a nech má reprezentanta $\small (x; y; z)$. Označme jeho obraz $\small X'(=X)$, ktorý má reprezentanta $\small (\lambda x;\lambda y;\lambda z)$ s nejakým $\small \lambda \neq 0$. Pre súradnice tohto samodružného bodu $\small X$ musí platiť kde $\small M$ je regulárna matica (1) kolineácie $\small \varphi$. Vzťah (4) (po vhodnej úprave) predstavuje sústavu homogénnych lineárnych rovníc čo v maticovom zápise je $\small (M - \lambda I)X = 0.$
Determinant $\small det(M - \lambda I)=0$ určuje charakteristický polynóm matice $\small M$; jeho korene sú vlastné čísla $\small \lambda$. Pre každé také $\small \lambda$ riešime lineárnu sústavu $\small (M - \lambda I)X = 0.$ Riešenie predstavuje vektor = súradnice samodružného bodu.

Odvodenie rovnice samodružnej priamky
Kolineácia $\small \varphi$ je zobrazenie roviny, ktoré zachováva kolineárnosť bodov, teda obraz priamky je opäť priamka. Nech je kolineácia $\small \varphi$ daná maticou $\small M$ a nech $\small X' = MX$ vyjadruje obraz bodu $\small X$ v homogénnych súradniciach. Ak bod $\small X(x,y,z)$ leží na priamke $\small p:a x + b y + c z = 0$, tak je splnená rovnosť V kolineácii jeho obraz $\small X'(x',y',z')$ leží na obraze priamky Dosadíme za $\small (x',y',z')$ výrazy z rovnice (2) a dostaneme: Roznásobením} a zoskupením členov podľa $\small x,y,z$ vznikne rovnica: Pri podrobnejšom preštudovaní tejto rovnice zistíme, že koeficienty pri premenných $\small x,y,z)$ odpovedajú koeficientom v stĺpcoch matice kolineácie $\small M$.
Porovnajme teraz túto rovnicu s pôvodnou rovnicou priamky $\small a x + b y + c z = 0$ a dostaneme sústavu rovníc Z definície samodružnosti priamky vyplýva, že existuje nenulové $\small \mu \neq 0$ a zároveň platí $\small (a,b,c)=(\mu a',\mu b',\mu c')$. Koeficienty musia byť úmerné, teda rovnaké až na nenulový násobok $\small \mu$. Po dosadení do sústavy (8) a prevedením tejto sústavy na homogénnu dostaneme Prepis do maticového tvaru a po transpozícii oboch strán dostaneme Determinant $\small det(M^T - \mu I)=0$ určuje charakteristický polynóm matice $\small M^T$. Jeho korene sú vlastné čísla $\small \mu$. Pre každé také $\small \mu$ riešime lineárnu sústavu $\small (M^T - \mu I)X = 0.$ Riešenie predstavuje vektor = koeficienty samodružnej priamky. Vzťah (10) ukazuje, že priamky sa pri kolineácii transformujú transponovanou maticou $\small M^T$ , čo zabezpečuje zachovanie incidencie medzi bodmi a priamkami. Tento vzťah má rovnakú formu ako pri samodružných bodoch, len namiesto vlastných vektorov matice $\small M^T$ vystupujú vlastné kovektory matice $\small M^T$. Pri priamkach ide o zachovanie incidencie a teda o použitie transpozície.

Cvičenie 1.
Daná je stredová kolineácia maticou $\small \mathcal K=\left(\begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{matrix}\right).$  Geometrická interpretácia v GeoGebre (interaktívny applet) je dostupná na https://www.geogebra.org/m/zrf4kxxj. Určte obraz bodu $\small M$, nájdite stred kolineácie a os kolineácie.

Pomoc pri riešení.

1. Zvoľte si ľubovoľný bod $\small M$. Vytvorte pomocou vzhľadu "Tabuľka" (už je aktivovaná) 1-stĺpcovú maticu s názvom $\small mm$, ktorej prvky sú homogénne súradnice bodu $\small M$.
2. Vytvorte súčin $\small mmm= m1 \times mm$.
3. Prvky matice $\small mmm$ sú homogénne súradnice obrazu $\small M'$
4. Zobrazte bod $\small M'$ pomocou vypočítaných súradníc.
5. Pohybujte bodmi $\small M,L$ a pozorujte bod $\small M'$. Pokúste sa vytvoriť situáciu, aby bod $\small M$ bol stredom kolineácie resp. bodom osi kolineácie.
6. Podrobnejší postup riešenia (ale pre inú maticu!!!) je v PDF forme Tu.
7. Samodružné prvky kolineácie  
1. Nájdeme a vyriešime charakteristickú rovnicu matice $\small \mathcal K$:
   $\small det(\mathcal K - \lambda I)=\left|\begin{matrix}-\lambda-1 & 2 & 2 \\-2 & -\lambda+3 & 2 \\-2 & 2 & -\lambda+3\end{matrix}\right|=0=-λ^3+5λ^2-7λ+3=-(λ-1)(λ^2-4λ+3)=-(λ-1)(λ-1)(λ-3)=0$
2. Riešením sú vlastné čísla: dvojnásobný koreň $\small \lambda =1$  a jednoduchý koreň $\small \lambda =3$.
3. Pre každé $\small \lambda$ nájdeme jeho vlastné vektory. Pre dvojnásobný koreň $\small \lambda =1$ dostaneme
   $\small \left(\begin{matrix} -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$,
   
   odkiaľ
   $\small x_1  -x_2  -x_3  =  0 .$
   Odpoveď: Kolineácia má os kolineácie:  $\small x-y-1=0 .$
4. Vlastnému číslu $\small \lambda =3$ odpovedá matica
   $\small \left(\begin{matrix} -4 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \end{matrix}\right).$
   K nej odpovedajúca lineárna sústava
   $\small x_1 -x_3 = 0$
   $\small x_2 -x_3 = 0$
   dáva riešenie. Samodružný bod (stred kolineácie): $\small  S=( \theta, \theta, \theta )$.

Applet GeoGebra si môžete stiahnuť Tu.

Riešený príklad.
Daná je kolineácia $\small \mathcal{K}$ svojou maticou $\small (K)$,
$\small (K) =\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$
Nájdite samodružné body zobrazenia $\small \mathcal{K}$.

Riešenie.
Ak $\small X = ( x_1,x_2 ,x_3 )$ je samodružný bod, jeho súradnice spĺňajú maticovú rovnicu
$\small \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right)=\lambda\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right)$
alebo sústavu lineárnych rovníc $\small \lambda x_1=x_1 ,\lambda x_2=-x_3 ,\lambda x_3=x_2$.
Matica tejto sústavy rovníc je
$\small \left(\begin{matrix} \lambda -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{matrix}\right)$
a sústava má nenulový koreň, ak pre jej determinant platí $\small D = 0$. Z toho dostaneme $\small D = (\lambda^2+1)(1-\lambda)=0$. Po dosadení jediného (reálneho) riešenia $\small \lambda = 1$ do vyššie uvedenej sústavy rovníc dostaneme $\small x_1=x_1,x_2=-x_3, x_3=x_1$.  Z toho vyplýva $\small x_2=x_3=0$ a $\small x_1$ je ľubovoľné. Riešením je trojica $\small (1, 0, 0)$ a všetky jej nenulové násobky, teda bod s homogénnymi súradnicami $\small (1, 0, 0)$ (nevlastný bod). Otvorte si applet "Matica - ukazky_Prikl1" a nastavte súradnice bodu $\small L$ na hodnoty $\small (1, 0, 0)$. Ukážte, že táto kolineácia nie je stredovou kolineáciou.

Príklady.
Ukážky "pekných" matíc kolineácií. V pracovnom applete "Kolineacia ..." zmeňte prvky matice podľa priloženej tabuľky "Kolineácie - matice" pre každý zo 4 prípadov. Určte základné prvky kolineácie (stred, os, úbežnice) ak existujú.  Applet "Kolineacia_Matica_ObrazBodu(PrikStredova)".    

Určte základné prvky kolineácie (stred, os, úbežnice) ak existujú. 
$\small \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Príklad} & \textbf{Stred } S & \textbf{Os } p & \textbf{Matica } M \\ \hline 1 & (0,0) & x + y = 1 & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline 2 & (1,1) & x−y=0 & \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline \end{array}$ 
Tabuľka: Kolineácie - matice.

Cvičenie. CIZ Dipl app

1. Nech $\small A, B, C, D$ sú vrcholy štvorca v euklidovskej rovine, nech $\small A' = C, B' = D, C' = A, D' = B$. V rozšírenej euklidovskej rovine je týmito bodmi definovaná jediná projektívna kolineácia $\small \mathcal{K}$, ktorá zobrazí body $\small A, B, C, D$ po poriadku na body $\small A', B', C', D'$ . Je $\small \mathcal{K}$ stredovou kolineáciou? Čo je jej zúžením na euklidovskú rovinu? 
2. Kolineácia je určená 4 odpovedajúcich si bodov.
   1. Nájdite maticu $\small \mathcal{K}$ kolineácie, ktorá body s homogénnymi súradnicami $\small (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) , (1, 1, 1)$ zobrazí po rade na body $\small (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 2, 2) , (4, 5, 4)$.
      Pomoc.
      Použite applet "Kolineácia 4 dvojice bodov" - dostupný Tu. GeoGebra verzia appletu si otvoríte Tu. 
      Porovnajte vaše riešenie s naším riešením, ktoré si otvoríte Tu. resp. riešenie s testovacím bodom $\small L$ Tu
   2. Dané sú (po troch nekolineárne) body $\small A, B, C, D$, ktorých homogénne súradnice sú $\small A = (1, 0, -1), B = (1, 1, 0)$, $\small C = (1, 0, 1), D = (1, -1, 0)$.
      • Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod $\small A$ na bod $\small C$, $\small B$ na $\small D$, $\small C$ na $\small A$ a $\small D$ na $\small B$. Riešenie Tu.
      • Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod $\small A$ na bod $\small C$, $\small C$ na $\small A$ a body $\small B,D$ sú samodružnými bodmi tejto kolineácie.
      • Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod $\small A$ na bod $\small A' = (1, 0, –2)$, bod $\small B$ na bod $\small B' = (1,1, –1)$), a pre ktorú nevlastné body osí $\small O_x$ a $\small O_y$ sú samodružnými bodmi.
      Pomoc: Použite applet "Kolineácia - 4 odpovedajúce body" .
3. Kolineácia je určená odpovedajúcou maticou.
   1. Kolineácia je daná maticami uvedenými v tabuľke. Vytvorte applet ako geometrickú interpretáciu v GeoGebre (interaktívny applet). Určte obraz ľubovoľného bodu $\small L$, nájdite stred kolineácie, os kolineácie, prípadne úbežnicu (ak existujú).
      $\small \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Matica } M \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\ -2 & 3 & 2\\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \end{array}$ 
   2. Kolineácia je určená maticou $\small M= \left(\begin{matrix} 3 & -9 & 6 \\ -1 & -2 & 8 \\ -1 & -2 & 8 \end{matrix}\right)$. Nájdite obraz dynamického bodu $\small L=\left(\begin{matrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right)$ ako vektor $\small M \times L$ . Zadanie otvoríte Tu.
      a) Určite jeho karteziánske súradnice.
      b) Zistite, či táto kolineácia je stredová (či existuje stred a os kolineácie).
   3. Zostrojte obraz trojuholníka (projektívne súradnice jeho vrcholov) v kolineácii "ObrazTrojuh(GMB)" pomocou nástroja "Množina bodov". Zostrojte obraz opísanej kružnice tomuto trojuholníku.
   4. Daná kolineácia je určená maticou $\small \left(\begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{matrix}\right)$. Nájdite obraz nevlastného bodu $\small C(5,2,0)$. Použite vzorový applet "Matica_Cvic a(ObrazNevlastny)".
      Zapnite stopu obrazu bodu $\small C$ a pohybujte/zmeňte polohu bodu $\small C$, dostanete úbežnicu 2. druhu. Nájdite úbežnicu 1. druhu.
   5. Pomocou AI nájdite matice ďalších "pekných" stredových kolineácií, ktoré majú "pekné súradnice" odpovedajúcich bodov "vzor — obraz". Ku každej matici vytvorte samostatný dynamický applet.
4. Vypracujte odpovede! Daný je pracovný list, ktorý si stiahnite Tu.

V kontexte projektívnej geometrie možno kužeľosečku definovať ako množinu priesečníkov priamky $m$ a jej obrazu $\pi(m)$, kde $\pi$ je projektívnosť medzi dvoma zväzkami priamok. Projektívnosť medzi zväzkami priamok sa definuje pomocou ich perspektívnosti.
Nech $\small [P],[Q]$ sú dva zväzky priamok so stredmi $\small P,Q$. Zobrazenie nazývame perspektívnosť zväzkov $\small [P],[Q]$, ak existuje priamková rada bodov (množina bodov na priamke) $\small [o]=\left\{A,B,C \right\}$ , ktorá neprechádza stredmi zväzkov $\small P,Q$, taká, že zobrazenie $\small \rho$ je zložením dvoch perspektívností tejto priamkovej rady $\small [o]=\left\{A,B,C \right\}$ na zväzky $\small [P],[Q]$. Priamkovú radu bodov $\small [o]$ nazývame osou perspektivity zväzkov $\small [P],[Q]$ a zobrazenie - perspektívnosť značíme:

Perspektívne zväzky priamok.

Definícia (Projektívna definícia kužeľosečky ).
Nech $\small P,Q$ sú dva rôzne body roviny $\small \mathbb{E}^2$, a nech $\small Z(P)$, $\small Z(Q)$ sú zväzky priamok so stredmi $\small P,Q$. Nech $\small \pi : Z(P) \rightarrow Z(Q)$ je projektívnosť medzi týmito zväzkami. Kužeľosečkou $\small K_q$ nazývame množinu všetkých bodov $\small X$, ktoré ležia súčasne na priamke $\small m \in Z(P)$ a na jej obraze $\small \pi(m) \in Z(Q)$:

$<span class="nolink">\( .$\)

1. Parabola
   • Štandardná rovnica paraboly s osou rovnobežnou s osou $o_x$ je
     $\small  y^2 = 2px,$
     kde $p > 0$ je parameter paraboly (vzdialenosť ohniska od vrcholu). Ohnisko má súradnice $\small F\left(\frac{p}{2},0\right)$ a riadiaca priamka má rovnicu: $x = -\frac{p}{2}$. Excentricita musí byť rovná 1: $k =1$. Po dosadení súradníc ohniska paraboly dostaneme rovnicu
     $\begin{equation} \sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right) ^2 + y^2} = x + \frac{p}{2}. \label{eq:parabola1} \end{equation}$
   • Ak vrchol paraboly je bod $\small V[m; n]$ a ohnisko leží na rovnobežke s osou $o_x$ prechádzajúcou bodom $\small V$, potom vrcholová rovnica paraboly: \begin{equation} (y-n)^2 = 2p(x-m). \label{eq:parabolastred} \end{equation}
   Didaktická poznámka. Pri parabole je vzdialenosť bodu od ohniska a od riadiacej priamky vždy rovnaká, čo je názorné a ľahko overiteľné v dynamickej geometrii.Vytvorte vhodný applet v GeoGebre pre parabolu.
2. Hyperbola
   • Štandardná rovnica hyperboly s centrom v počiatku a reálnou osou na osi $o_x$ je \begin{equation} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a,b > 0. \end{equation} Pre jej parametre platí:
     $e^2 = a^2 + b^2, \quad k = \frac{c}{a} > 1.$
   • Ohniská:  $\small  F_1(-e,0), F_2(e,0)$. Riadiace priamky: $x = \pm \frac{a}{e}.$ \ 
     Veta.
     Rozdiel vzdialeností ľubovoľného bodu hyperboly od ohnísk je stály a rovný $2a$, pričom konštanta $2a$ je menšia ako vzdialenosť ohnísk.
   • Podobne ako v časti Elipsa ľahko ukážeme, že stredová rovnica hyperboly má tvar \begin{equation} \frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1. \label{eq:hyperbolastred} \end{equation}

V predchádzajúcich častiach sme ukázali, že všeobecná rovnica kužeľosečky v afinných súradniciach má tvar: \begin{equation} \label{eq:generalquad} Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, \tag{1}\end{equation} kde $\small A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R}$, pričom aspoň jeden z koeficientov $\small A, B, C$ je nenulový. Všeobecnú rovnicu kužeľosečky môžeme vyjadriť aj v maticovom tvare: kde matica $\small \sigma$ pozostáva z koeficientov všeobecnej rovnice. Algebraickými úpravami môžeme ukázať, že matica $\small \sigma$ má tvar Determinant matice $\small \sigma$ nazývame  veľký diskriminant kužeľosečky.
Malý diskriminant kužeľosečky je determinant matice: Na určenie konkrétneho druhu kužeľosečky pomocou veľkého diskriminantu (označenie $\small \det \sigma=|\sigma|$) a malého diskriminantu (označenie $\small \det \delta=|\delta|$) sme zostavili kvôli prehľadnosti nasledujúci algoritmus: 

Identifikácia a klasifikácia kužeľosečiek

1. Určte typ kužeľosečky a jej základné vlastnosti pomocou veľkého a malého diskriminantu:
   • $\small  x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$
   • $\small x^2 - 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0$
   • $\small 9x^2 + 4y^2 - 36 = 0$
2. Rozhodnite, či sú nasledujúce kužeľosečky regulárne alebo singulárne:
   • $\small x^2 - 2xy + y^2 = 0$
   • $\small x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$
   • $\small x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 0$
3. Kužeľosečka je daná rovnicou:
   $\small 3x^2 + 2xy + 2y^2 - 12x - 4y + 4 = 0$
   • Vypočítajte diskriminant kvadratickej formy a určte typ kužeľosečky.
   • Nájdite jej stred.
4. Rozhodnite o polohe kužeľosečky vzhľadom na súradnicovú sústavu:
   $\small x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$
   Určte stred a polomer kužeľosečky, ak ide o kružnicu.
5. Pre ktoré hodnoty parametra $k$ je rovnica
   $\small x^2 + kxy + y^2 - 2x + 2y - 3 = 0$
   • elipsa,
   • parabola,
   • hyperbola?
6. Určte typ kužeľosečky a jej stred:
   $\small 4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$
7. Rozhodnite, či je kužeľosečka daná rovnicou
   $\small x^2 - 4xy + 4y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$
   degenerovaná. Ak áno, určte typ degenerácie.
8. Vyhľadajte v zbierke Kopka–Tichý: Analytická geometrie príklad s podobnou úlohou a vyriešte ho.

Transformácia na štandardný tvar a výpočty parametrov

1. Transformujte na štandardný tvar a určte parametre kužeľosečky:
   $\small x^2 - 6x + y^2 + 4y - 3 = 0$
2. Preveďte na štandardný tvar:
   $\small 4x^2 + 3xy + 4y^2 - 12x - 12y + 9 = 0$
   Nájdite stred, osi a dĺžky poloosí.
3. Elipsa je daná rovnicou:
   $\small 9x^2 + 16y^2 - 36x + 64y + 4 = 0$
   • Určte súradnice stredu elipsy.
   • Transformujte rovnicu na štandardný tvar.
4. Transformujte nasledujúcu rovnicu hyperboly a určte asymptoty:
   $\small x^2 - xy - y^2 - 2x + 4y - 1 = 0$
5. Určte štandardný tvar paraboly:
   $\small x^2 + 2x - 4y - 1 = 0$
   a vypočítajte súradnice ohniska a rovnicu riadiacej priamky.
6. Transformujte rovnicu na štandardný tvar a určte excentricitu:
   $\small x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0$
7. Vypočítajte uhol otočenia súradnicovej sústavy, ktorým odstránite zmiešaný člen z rovnice kužeľosečky:
   $\small 2x^2 + 3xy + 2y^2 - 4 = 0$
8. Transformujte na štandardný tvar a určte typ kužeľosečky:
   $\small x^2 + xy + y^2 - 5x + 3y = 0$
9. Zistite, či je nasledujúca rovnica regulárna alebo singulárna a upravte ju na štandardný tvar:
   $\small x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$
10. Zo zbierky Effa–Novotný: Úlohy z analytickej geometrie vyberte úlohu na transformáciu kužeľosečky so zmiešaným členom a riešte ju podľa postupu z prednášky.