Afinná geometria
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Interaktívna geomeria |
Kniha: | Afinná geometria |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | štvrtok, 4 júla 2024, 10:26 |
Úvod
Analytická geometria
je oblasť matematiky, v ktorej sa geometrické útvary študujú pomocou súradnicovej sústavy (pomocou analytických vyjadrení - rovníc).
Než pristúpime k takémuto štúdiu, tak si zopakujeme niektoré základné pojmy a vlastnosti vektorových priestorov. V záverečnej kapitole uvádzame dostatočný
počet e-verzií prác.
Dnes existujú vedľa seba dva spôsoby budovania geometrie:
Dnes existujú vedľa seba dva spôsoby budovania geometrie:
- Syntetický - bez súradníc
- názorná, v ktorej sa konštrukcie geometrických útvarov uskutočňujú v súlade s axiomatickým systémom; dôkazy tvrdení sa robia prevažne konštrukčne;
- vychádzame z euklidovského priestoru podľa (Euklidove Základy);
- potom zavádzame pojem vektora a následne vektorového priestoru;
- syntetická metóda neformuluje explicitne vzťah geometrie k základnému poľu priestoru (Čižmár, J., 2007);
- základná schéma budovania: najprv vybudujeme euklidovský priestor a potom skonštruujeme vektorový priestor nad daným poľom,
- s algebraickým pohľadom na štruktúru vektorových priestoroch ste sa oboznámili v kurze Lineárna algebra.
- Analytická – so súradnicami
- do hry vstupuje pole – najčastejšie ide pole reálnych čísel;
- v 19. storočí sa v analytickej metóde začali využívať vektory a začali sa skúmať afinné (polohové) vlastnosti vektorov – operácie s vektormi;
- pri tejto metóde sa v nej pracuje ľahšie, v súčasnosti významne pomáhajú aj počítače;
- viac príležitostí skĺznuť k mechanickému počítaniu namiesto porozumenia geometrickej podstate daného problému,
- základná schéma budovania: najprv skonštruujeme vektorový priestor nad daným poľom a potom afinný priestor resp. euklidovský priestor.
Pohľad na historický vývoj analytickej geometrie
- 300 rokov pred naším letopočtom: Euklides: euklidovská rovina
- 1635: Descartes, Fermat: zavedenie súradníc do euklidovskej roviny.
Zakladateľmi analytickej geometrie boli francúzski matematici Pierre de Fermat a René Descartes, ktorý v roku 1635 zaviedol súradnice bodov.
Karteziánska súradnicová sústava je pomenovaná podľa latinského prepisu mena Descartes, t. j. Cartesius. - 1804: Bolzano: operácie s bodmi a priamkami, v ktorých je badateľný koncept vektora
- 1843: Hamilton: kvaternióny ako lineárne kombinácie
- 1844: Grassmann: prvýkrát prišiel s konceptom vektorového priestoru
- 1888: Peano: moderná definícia vektorového priestoru
- 1920: Banach, Hilbert: axiomatická definícia vektorového priestoru
Informačné listy
Analytická geometria 1.
Stručná osnova predmetu
- Vektorový priestor. Skalárny súčin vektorov a jeho vlastnosti. Norma vektora, normovaný vektor. Schwartzova nerovnosť.
- Uhol dvoch vektorov. Ortogonálne a ortonormálne vektory. Schmidtov ortogonalizačný proces. Totálne kolmé a kolmé podpriestory.
- Vonkajší súčin v
-rozmernom vektorovom priestore. Vektorový súčin v 3-rozmernom vektorovom priestore. Ortogonálny doplnok vektorov.
- Afinný priestor a jeho vlastnosti. Lineárna sústava súradníc. Transformácia lineárnej sústavy súradníc. Deliaci pomer, stred dvojice bodov.
- Podpriestory afinného priestoru, parametrické vyjadrenie afinného podpriestoru, vzájomná poloha afinných podpriestorov.
- Priečka mimobežiek, určenie priečky daným bodom a daným smerom.
- Spojenie afinných podpriestorov. Všeobecná rovnica nadroviny. Zväzok priamok a zväzok rovín.
- Euklidovský priestor. Karteziánska súradnicová sústava. Normálový vektor nadroviny. Vzdialenosť dvoch bodov (bodu od podpriestoru).
- Vzájomná poloha podpriestorov v n-rozmernom euklidovskom priestore. Vzdialenosť dvoch mimobežných podpriestorov. Odchýlka dvoch podpriestorov.
- Afinné zobrazenie a jeho anylytické vyjadrenie.
Analytická geometria 2.
Stručná osnova predmetu
- Analytické vyjadrenie zhodného zobrazenia. Samodružné prvky zhodnosti. Grupa zhodností.
- Posunutie a rovnoľahlosť ako afinné zobrazenie.
- Zhodné zobrazenia v rovine, ich analytické vyjadrenie. Stredová súmernosť. Otočenie.
- Osová súmernosť, jej analytické vyjadrenie.
- Klasifikácia zhodností euklidovskej roviny a v euklidovskom priestore. Skladanie zhodných zobrazení.
- Podobné zobrazenie. Samodružné prvky podobnosti. Analytické vyjadrenie podobnosti euklidovskej roviny.
- Úlohy riešené s využitím programu GeoGebra.
- Zhodné a podobné zobrazenia v rovine a v priestore v učive ZŠ a SŠ.
- Rovnoľahlosť v školskej matematike. Rovnoľahlosť kružníc. Využitie rovnoľahlosti.
Vektorový priestor
Syntetický (geometrický) prístup
- Orientovaná úsečka je úsečka, ktorej krajné body majú určené poradie (pripúšťame aj nulovú orientovanú úsečku).
Ak
je orientovaná úsečka, bod
sa nazýva jej začiatočný bod, bod
jej koncový bod.
- Hovoríme, že orientované úsečky
sú súhlasne orientované (rovnobežné, majú ten istý smer), ak polpriamky
incidujú s priamkami tej istej osnovy a zároveň:
- Orientované úsečky
sú ekvivalentné ak stredy úsečiek
sú totožné.
- Množina všetkých orientovaných úsečiek ekvivalentných s
sa nazýva geometrický vektor.
- Orientovaná úsečka
sa nazýva reprezentant (umiestnenie) vektora
, zapisujeme
.
- Geometrický vektor sa nazýva aj voľný vektor (množina všetkých orientovaných úsečiek) a konkrétna orientovaná úsečka sa nazýva viazaný vektor.
- Orientovaná úsečka
je reprezentuje opačný vektor k vektoru
a označujeme ho
.
Cvičenie - [Mon 1.1.16 b]. Nezabudnite na nulové vektory.
Východiskové definície
Vo všeobecnosti vektor je množina všetkých navzájom zhodných, súhlasne orientovaných úsečiek.
Umiestnením vektora sa nazýva každá orientovaná úsečka, ktorá tento vektor určuje. Umiestnením vektora do bodu sa nazýva také jeho umiestnenie, ktorého začiatočným bodom je daný bod.
Vektor určený orientovanou úsečkou
označíme tiež ako rozdiel bodov:
. Otvorte si applet
Tu.
"Slovo vektor je prevzaté z latinského slova vector („nositeľ“, …). Vektor vznikol z potrieb fyziky (kde napr. vektor interpretujeme ako silu), do matematiky zaviedol vektory v r. 1853 írsky matematik a fyzik W. R. Hamilton (1805 – 1865). Takmer súčasnú podobu dal „vektorovému počtu“ na konci 19. storočia americký fyzik J. W. Gibbs (1839 – 1903)." Prevzaté z práce (Vranková).
Vo všeobecnosti vektor je množina všetkých navzájom zhodných, súhlasne orientovaných úsečiek.
Umiestnením vektora sa nazýva každá orientovaná úsečka, ktorá tento vektor určuje. Umiestnením vektora do bodu sa nazýva také jeho umiestnenie, ktorého začiatočným bodom je daný bod.
Vektor určený orientovanou úsečkou
![\small \overrightarrow{AB} \small \overrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f8a3607a018bfc398ec96ea0df53727.png)
![\small B-A \small B-A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25ed08e280059a67a85ff3960f5c963d.png)
"Slovo vektor je prevzaté z latinského slova vector („nositeľ“, …). Vektor vznikol z potrieb fyziky (kde napr. vektor interpretujeme ako silu), do matematiky zaviedol vektory v r. 1853 írsky matematik a fyzik W. R. Hamilton (1805 – 1865). Takmer súčasnú podobu dal „vektorovému počtu“ na konci 19. storočia americký fyzik J. W. Gibbs (1839 – 1903)." Prevzaté z práce (Vranková).
Okruh
s jednotkou ![1 \in \small O 1 \in \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8194fd5b2747f1870ec73aa6351feb53.png)
), v ktorom každý nenulový prvok má vzhľadom na násobenie inverzný prvok, nazývame telesom.
Komutatívne teleso, v ktorom násobenie je komutatívna operácia, nazývame pole.
![\small (O, +, ·) \small (O, +, ·)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1854f640c592807f915212e15f3068ad.png)
![1 \in \small O 1 \in \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8194fd5b2747f1870ec73aa6351feb53.png)
![\;\;(1 \neq0 \in \small O \;\;(1 \neq0 \in \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90ad359aecbce4888f03a819d76c4a22.png)
Nech sú dané
• neprázdna množina
, ktorej prvky nazývame vektory,
• pole
, ktorého prvky nazývame skaláry,
• zobrazenie
, ktoré nazývame sčítanie vektorov,
• zobrazenie
, ktoré nazývame násobenie vektora skalárom (prvkom z telesa
).
• neprázdna množina
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ec115699d87a5cadb780ccab753d128f.png)
• pole
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf0dfa8449c5cc91668eb535bbc06997.png)
• zobrazenie
![+:\; \small V \times \small V \to \small V +:\; \small V \times \small V \to \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b63a39569e38ba620599b641658e657.png)
• zobrazenie
![\cdot :\; \small P \times \to V \cdot :\; \small P \times \to V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7b0ed007d7f5916194a1dcc873e4f25.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c5410547ae91f472c349f2df3a457c6.png)
Definícia.
Vektorový priestor nad poľom1)
je množina
spolu s dvoma binárnymi operáciami (
)
práve vtedy, keď súčasne platia vzťahy:
Vektorový priestor nad poľom1)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/97acf01ca734f8f8ebb07e400d5826bc.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ec115699d87a5cadb780ccab753d128f.png)
![+, \cdot +, \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d6f0cb3f36f41f51bd817b7af23e355.png)
je abelovská grupa.
Vektorové axiómy
- asociatívnosť pre násobenie vektora skalárom:
- invariancia vektora pri vynásobení jednotkovým prvkom poľa:
,
kdeoznačuje multiplikatívnu identitu vo
- distributívnosť (skalárneho) násobenia k sčítaniu vektorov:
- distributívnosť násobenia vektora
, ku sčítaniu skalárov
:
Na zopakovanie základných pojmov a vlastností algebraickej štruktúry "Vektorový priestor" odporúčame okrem práce od profesora Haviara aj e-knihu venovanú vektorovým priestorom od RNDr. Edity Vrankovej z Trnavskej univerzity v Trnave. Tiež na zopakovanie operácií s vektormi odporúčame prácu "Vektory v geometrii" od PaedDr. Miroslava Tisoňa, PhD., ktorá je dostupná
Tu.
Interpretujte vzťahy uvedené v definícii vektorového priestoru v prostredí GeoGebra!
Interpretujte vzťahy uvedené v definícii vektorového priestoru v prostredí GeoGebra!
Analytický (algebraický) prístup
Príklady vektorového priestoru
- Vektory v rovine so sčitovaním a násobením ako ho poznáte zo strednej školy, tvoria vektorový priestor nad telesom reálnych čísel
.
- Usporiadané
-tice reálnych čísel s operáciami
definovanými po súradniciach tvoria vektorový priestor nad telesom reálnych čísel
.
V ďalších častiach budeme prevažne pracovať s vektormi, ktoré tvoria usporiadané-tice reálnych čísel a to len pre rovinu
resp. priestor
Ďalšie príklady vektorových priestorov sú množiny (všetkých)
- polynómov v jednej neurčitej nad poľom reálnych čísel, operácia - sčítanie polynómov "podľa rovnakých mocnín",
- reálnych funkcií, operácia - bežný súčet funkčných hodnôt,
- matíc typu
, operácia sčítania matíc - sčítanie v rovnakom riadku a stĺpci.
Cvičenie.
Nech je daná množina
usporiadaných trojíc resp. dvojíc s obvyklým sčitovaním "po zložkách" trojíc resp. dvojíc reálnych čísel.
Nech je daná množina
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c39e7f7742d8f0e61e0309981a6a9761.png)
Riešenia.
- Uzavretosť operácie sčítania.
Pre ľubovoľné dva vektorypre ich súčet platí
odkiaľ dostávame, že operácia + je uzavretá.
- Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom prípade.
- Operácia sčítania zrejme nie je uzavretá, lebo pre ľubovoľné dva vektory
.
-
Uvažujme dva ľubovoľné polynómy
, ktoré sú prvkami množiny
. Ďalej majme polynóm
, ktorý je ich súčtom. Pre polynómy
platí
,
.
Sčítaním oboch rovníc získame. Odkiaľ dostávame
,
teda že polynóm, čo je súčet ľubovoľných dvoch polynómov množiny
, je opäť prvkom tejto množiny. Tým sme dokázali uzavretosť sčítania vektorov. Pokúste sa o grafickú interpretáciu vektorov, ak budeme brať do úvahy iba polynómy 1. stupňa alebo len polynómy 2. stupňa. Viete určiť počiatočné a koncové body týchto vektorov? Otvorte so applet Tu.
__________________________________________________________________________________________
1) Pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou
.
2) Pozrite si stránku https://reseneulohy.cz/1356/vektorovy-prostor-ii
1) Pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou
![\cdot \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74389537fcbccc3cd64f712c09bd2c82.png)
2) Pozrite si stránku https://reseneulohy.cz/1356/vektorovy-prostor-ii
Lineárna závislosť vektorov
V predchádzajúcej kapitole sme pri definícii vektorového priestoru uviedli, že dvojica
je Abelova komutatívna grupa.
To znamená, že binárna operácia "+" je komutatívna a asociatívna. Zároveň sme definovali násobenie skalárom.
Pomocou týchto dvoch operácií pripomenieme pojmy: lineárna kombinácia, závislosť a nezávislosť vektorov, ktoré sú dôležité a potrebné pri geometrickej manipulácii s vektormi.
![\small (V,+) \small (V,+)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6af4f28503a7795775839e2afb826d8.png)
Lineárna kombinácia.
Nech je daných
vektorov
. Každý vektor
vyjadrený v tvare
, kde
sú reálne čísla, sa nazýva lineárna kombinácia vektorov
.
Nech je daných
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n \pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/518711fe0d08c2af207e433d57841bd5.png)
![\pmb v \pmb v](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/55431bc0c6eb729a0efe0204ce2ff024.png)
![\pmb v = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n \pmb v = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3b0b488452936353eb497d6c93194213.png)
![c_1, c_2, …, c_n c_1, c_2, …, c_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79b641f8a62d9a3b02dabb60a5ed3997.png)
![\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n \pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32e0f38008ff6d37083d926813036232.png)
Príklady.
Lineárna závislosť.
Vektory
voláme lineárne závislé, ak rovnica
je splnená tak, že aspoň jedno z čísel
je rôzne od nuly.
Vektory
![\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1 \pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/52ad10025f3737d8996ce8e3ebfbbd37.png)
![\vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n \vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6bb967339bb2a4e28cbf2e5c6cc63f8.png)
je splnená tak, že aspoň jedno z čísel
![c_1, c_2, …, c_n c_1, c_2, …, c_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79b641f8a62d9a3b02dabb60a5ed3997.png)
Príklady.
Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme zadefinovať lineárny obal
vektorov a pridať niektoré vektorové axiómy. V ďalšom budeme uvažovať vektorový priestor
nad telesom
.
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
Definícia.
Nech
je vektorový priestor nad telesom
a nech sú dané vektory
. Potom množinu všetkých vektorov
nazývame lineárny obal vektorov
alebo podpriestor
generovaný vektormi
.
Označujeme ho
.
Ak platí
, hovoríme, že vektory
generujú vektorový priestor
.
Nech
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/94f81861bff821ac01d3ee981ad03814.png)
![\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} ∈ V \small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} ∈ V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da6cac1648631230d85f05fa210558ff.png)
![\small M = \lbrace a_1 \cdot \pmb {v_1} + a_2 \cdot \pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot +a_r \cdot \pmb {v_r};\;a_i \in T,\; v_i \in V \rbrace \small M = \lbrace a_1 \cdot \pmb {v_1} + a_2 \cdot \pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot +a_r \cdot \pmb {v_r};\;a_i \in T,\; v_i \in V \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90a7727d64071f73918785d098edcefa.png)
nazývame lineárny obal vektorov
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/acb217c60c3144478176a9f091aa20db.png)
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eea792ea6781f3b59fd601553d190ef2.png)
![\small M =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb] \small M =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5789dac5155440696772163cb4343bad.png)
Ak platí
![\small \pmb[\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb ]= V \small \pmb[\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb ]= V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355f904d1a775cad94eb0c3b2418a0ca.png)
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7818413d0bf0c4a95f999ef4a399b183.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
Cvičenie.
-
Zistite, či vektor
patrí do lineárneho obalu množiny
.
Dokážte, že ľubovoľný vektorleží v lineárnom obale množiny
pre ľubovoľnú trojicu
reálnych čísel.
-
Je daná množina
. Rozhodnite, či je vektor
prvkom lineárneho obalu množiny
.
Množina obsahuje trojice prvkov telesazvyškových tried modulo 5.
-
Zistite, či vektor
patrí do lineárneho obalu množiny
. Ďalšie úlohy na Tu.
Riešenie
Cvičenie 1
Hľadajme koeficienty
, pre ktoré platí rovnosť
.
Po úprave a porovnaní jednotlivých zložiek dostávame sústavu
Napríklad Gaussovou eliminačnou metódou zistíme, že sústava má riešenie pre všetky
. Nájdite toto riešenie. Pozrite si prácu [Olšák, str. 24].
Cvičenie 2
Cvičenie 1
Hľadajme koeficienty
![\small α, β, γ \small α, β, γ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/09069ef02631573fd989b0d436e510fa.png)
![\small (a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0) \small (a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/834baff8067739e58fff0561ed42c4d5.png)
Po úprave a porovnaní jednotlivých zložiek dostávame sústavu
![\small \;
α + β − 2γ = a\\
\small 2α+\;\; \;\;\; \;γ = b\\
\small 3α + 2β \;\; \;\;= c. \small \;
α + β − 2γ = a\\
\small 2α+\;\; \;\;\; \;γ = b\\
\small 3α + 2β \;\; \;\;= c.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/063e0cbbef05ea89d2456a15d2b8c45f.png)
Napríklad Gaussovou eliminačnou metódou zistíme, že sústava má riešenie pre všetky
![\small a, b, c ∈ R \small a, b, c ∈ R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3cae8c1375482d05e847f5644c43e3ee.png)
Cvičenie 2
- Lineárny obal množiny
priestoru
je množina všetkých lineárnych kombinácií vektorov množiny
s koeficientmi z poľa. Teda stačí zistiť, či je možné vektor
zapísať ako lineárnu kombináciu vektorov množiny
.
- Vektor
patrí do lineárneho obalu množiny
ak existujú prvky
tak, aby
.
Pre každú vektorovú zložku získame rovnicu. Trojica nasledujúcich rovníc tvorí sústavu, ktorú vyriešime. Pozor – sústavu riešime nad!
Sčítaním prvej a druhej rovnice dostaneme
leboa sčítaním 3.r.+2.r. dostanme
odkiaľ. Sústava má v poli
riešenie. Vektor
je lineárnou kombináciou vektorov množiny
. Preto
.
Dimenzia a báza
Nech
je vektorový priestor nad telesom
. Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť sme zadefinovali lineárny obal ako
množinu všetkých lineárnych kombinácií
kde
sú vopred dané vektory priestoru
.
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/acb217c60c3144478176a9f091aa20db.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.
Axiómy dimenzie - rozmeru
- Nech vo vektorovom priestore
existuje maximálne
lineárne nezávislých vektorov, kde
je prirodzené číslo. Číslo
nazývame dimenzia vektorového priestoru.
- Každá
- tica vektorov je už lineárne závislá.
- Podmnožina
vektorového priestoru
je jeho báza práve vtedy, keď každý vektor
možno práve jediným spôsobom vyjadriť ako lineárnu kombináciu
navzájom rôznych vektorov množiny
.
- Koeficienty
nazývame súradnice vektora v vzhľadom na bázu
. Označujeme
a čítame „súradnice vektora
vzhľadom na bázu
.
Definícia.
Vektorový priestor
nad telesom
je konečno-rozmerný, ak existuje taká konečná
množina vektorov
, že platí
.
Báza je množina
lineárne nezávislých vektorov,
ktorá generuje celý priestor
.
Vektorový priestor
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
![\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n} ∈ V \small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n} ∈ V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e66294d5b0ae45136254419c114f6b07.png)
![\small V =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}\pmb] \small V =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}\pmb]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d96af90db420b599197cd8a21f7ba21b.png)
Báza je množina
![\lbrace{\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}}\rbrace \lbrace{\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c9b38b180c546cc89c658e7037884c95.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
Príklad.
Majme množinu
všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel a operácie:
- sčítanie po zložkách.
- násobenie skalárom
,
kde
sú ľubovoľné usporiadané dvojice reálnych čísel. Ukážte, že
množina
spolu s operáciami
je 2-rozmerný vektorový priestor. Nájdite aspoň jednu jeho bázu.
Majme množinu
![\small V_2(\mathbb R) \small V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9be67ff02855cccf4807e8bd1060ce74.png)
![\small \oplus: \; (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2 ) =(a_1+b_1,a_2+b_2) \small \oplus: \; (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2 ) =(a_1+b_1,a_2+b_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca9c3ce09ea06064d7843d2c588ba5a0.png)
![\small \odot : \;k \odot (a_1,a_2) =(k.a_1,k.a_2) \small \odot : \;k \odot (a_1,a_2) =(k.a_1,k.a_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fb243b8c4d8310b4d580bdd3a2850ac9.png)
![\small k \in \mathbb R \small k \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a0d3740d037723750e7e401540f3a4df.png)
kde
![\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R) \small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ccc5d9eca37f628bb50c170c1e6d193.png)
![\small V_2(\mathbb R) \small V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/514f4424184745013c9d4c481af85139.png)
![\small \oplus, \odot \small \oplus, \odot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb05f6c6bb61b86ed1b40f65efb21f86.png)
Poznámky.
-
Vektorový priestor
je reprezentovaný množinou všetkých orientovaných úsečiek, ktoré sú určené ľubovoľnou usporiadanou dvojicou bodov v klasickej euklidovskej rovine.
-
Ak využijeme pravouhlý súradnicový systém s osami
a počiatkom
, tak jedno z umiestnení vektora
môžeme znázorniť ako orientovanú úsečku
, kde bod
má súradnice
. Všimnite si, že budeme rozlišovať zápis usporiadanej dvojice (okrúhle zátvorky) a súradnice bodu v rovine (hranaté zátvorky).
- V stredoškolskej matematike sa vektor priamo definuje ako orientovaná úsečka so šípkou smerujúcou od počiatku
súradnicového systému k bodu
. Šípkou sa označuje “orientácia” vektora
.
- V písomnom texte budeme vektor
označovať symbolom
.
V pravouhlom súradnicovom systéme usporiadané dvojice
reprezentujú tiež dva
body
v euklidovskej rovine. Označme
. Potom vektor
je zrejme súčtom vektorov
. Toto tvrdenie vyplýva zo zhodnosti trojuholníkov
.
Súradnice vektora
určeného orientovanou úsečkou
, kde
určíme ako rozdiely súradníc bodov
tj.
. Vytvorili sme operáciu: odčítavanie bodov, pričom:
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou
môžeme zapísať aj ako
.
![\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R) \small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fda488428b064385abd3b84927e88611.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/986fde400fe83e8028abd40e8e24d9c6.png)
![\small \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB} \small \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff9abca6090efd173dbbf17cf9cff1ac.png)
![\small \vec{u}=\overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD} \small \vec{u}=\overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04623ae4f3fcc2f8c7382eddc3073683.png)
![\small \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \small \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eaf972d910fb8da2bcf60c4b09828445.png)
![\small \triangle ABC \simeq \triangle ODE \small \triangle ABC \simeq \triangle ODE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/678bace06e92e79bb30aa84bae256d49.png)
![\vec{u} \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19835aed54b4a15cbc2200e4fa7ec287.png)
![\small \overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD} \small \overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d9575517906dc1b5c9f4a711c8359ab7.png)
![\small A = [a_1, a_2], B = [b_1, b_2] \small A = [a_1, a_2], B = [b_1, b_2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/722953470976b26fb531d9b2cc406b86.png)
![\small B,A \small B,A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d99c541e66dafba859501fb51559037.png)
![(b_1 -a_1, b_2-a_2) (b_1 -a_1, b_2-a_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17c63760b827200db3ea78e5b3c2114f.png)
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou
![\small \overrightarrow{AB} \small \overrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5fab04459f46b718f71211fa0f7038e7.png)
![\small B-A \small B-A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a91a28f9e45596dd9d357b939b2e50ed.png)
Cvičenie.
Daný je vektorový priestor
.
Nájdite nejakú bázu
priestoru
a určite jeho dimenziu, ak
.
Priestor
obsahuje štvorice prvkov telesa
zvyškových tried modulo 7.
Daný je vektorový priestor
![\small W=[(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]⊂\mathbb{\pmb Z^4_7} \small W=[(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]⊂\mathbb{\pmb Z^4_7}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd3b10ee76d3e4560ca9d4c3613b338e.png)
Nájdite nejakú bázu
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![\small W \small W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/21d5b611683ad801195bcf5e022435eb.png)
![\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1) \small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f50823fa7d348455042c05b03413ad5.png)
Priestor
![\small W \small W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/21d5b611683ad801195bcf5e022435eb.png)
![\small \mathbb{\pmb Z_7} \small \mathbb{\pmb Z_7}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/102785500aba836a8e279c0cfcf78f40.png)
Poznámka k cvičeniu.
Zápis
hovorí, že súradnice vektora
voči kanonickej báze sú
.
Súradnice vektora
voči kanonickej báze sú koeficienty lineárnej kombinácie vektorov kanonickej bázy dávajúcej vektor
, tj.
.
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky
vektora
.
Zápis
![\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1) \small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f50823fa7d348455042c05b03413ad5.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
![\small (1,2,1,1) \small (1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8316dbdfb1ce2440b7f49c5ba8ce9173.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
![\small \pmb x=1⋅(1,0,0,0)+2⋅(0,1,0,0)+1⋅(0,0,1,0)+1⋅(0,0,0,1)= (1,2,1,1) \small \pmb x=1⋅(1,0,0,0)+2⋅(0,1,0,0)+1⋅(0,0,1,0)+1⋅(0,0,0,1)= (1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/11ddc673914ff0fa1bc2cdb58d13e301.png)
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky
![\small (1,2,1,1) \small (1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c16d3b5efcb8fcd63b4e5823f206bc3.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
Riešenie.
- Máme nájsť bázu vektorového priestoru
, ktorý je daný ako lineárny obal množiny generátorov
.
Aby množina vektorov bola bázou, musí byť ešte lineárne nezávislá. - Ak teda nájdeme bázu
musí pre súradnice vektora
platiť
.
Z tejto vektorovej rovnice vypočítame súradnice. Najskôr treba upraviť maticu
na trojuholníkový tvar (Pozor, pracujeme nad telesom resp. poľomzvyškových tried modulo 7!) Po prvej iterácii
dostanme
.
Urobte ešte dve iterácie tak, aby ste dostali maticu
.
- Hodnosť matice je rovná 2, preto pre lineárny obal platí
.
Dimenzia je rovná 2 a aspoň jedna báza je určená lineárne nezávislou množinou vektorov - Určte súradnice vektora
v tejto báze. Výpočet súradníc nájdete Tu.
Veta - existencia bázy.
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.
Z vlastností hodnosti matíc ľahko odvodíme tvrdenie. Dôkaz nájdete napríklad v práci [Hasek:Linearni algebra a geometrie, str. 45-46].
Súradnice v báze
Príklad.
Riešenie.
- Zrejme
.
Toto sú súradnice vektoravzhľadom k jednotkovej báze. Je dôležité dodržať poradie prvkov bázy
.
- Určiť súradnice vzhľadom k báze
znamená vektor
vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov bázy
. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť
, pre ktoré platí:
( i)resp.
( ii):.
Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
(iii):
alebo rovnosť (ii) prepíšeme na maticový tvar (vektory bázy zapisujeme do stĺpcov! Prečo?) takto:
(iv):
Vyjadriť vektor(transponovaný zápis vektora) môžeme tak, že obe strany rovnice (iv) vynásobíme zľava inverznou maticou
.
Inverznú maticu určíme napríklad pomocou programu GeoGebra, otvorte si applet "inverzná matica" Tu. Po vynásobení zľava obidvoch strán rovnice (iv) dostaneme
.
Riešením je vektor. Otvorte si výpočty v GeoGebre Tu.
Nasledujúci applet demonštruje určenie súradníc vektora
v báze
Riešením sú súradnice
. Vypočítajte ich pomocou maticového tvaru, pričom využite program Matrix calculator.
![\small \vec u = (0,0,2) \small \vec u = (0,0,2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8afaab374113a718738c677c5338311a.png)
![\small (1, 2,2) ;(1,2,1);(-1, 1,0) \small (1, 2,2) ;(1,2,1);(-1, 1,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39fbfe607cf3efcc7e5ed5178a3e26f4.png)
![\small (1,-1,0) \small (1,-1,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3942a195e6d6d3dee7b58fcb82631b6.png)
♥ Príklad.
Je dané lineárne zobrazenie
, ktoré jednotkovú bázu
zobrazí na bázu
priestoru
. Nájdite obraz
vektora
v tomto zobrazení.
Je dané lineárne zobrazenie
![\small \varphi:V_3\to V_3 \small \varphi:V_3\to V_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/978c9715078f3a198e3157655331ad27.png)
![\small (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3} ) \small (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3} )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1e897323937d4eecbd2105ccf1eda950.png)
![\small (\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3)) \small (\vec a (1, 1, 2),\;\vec b(2, 3, 4),\;\vec c (1, 2, 3))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ad2b29632078eefbf54cdab84e9b53b5.png)
![\small V_3(\mathbb R) \small V_3(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d0ef9ed0bd93551d8ef5031ecaf67e4b.png)
![\small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3) \small \vec u'=(u'_1,u'_2,u'_3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0912d0cacbbfc919676117a30fde3bf2.png)
![\small \vec u = (5, −1, 9) \small \vec u = (5, −1, 9)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b52542640b88759b924514a84a07a61c.png)
Poznámka
Nech
sú vektorové priestory nad telesom
. Zobrazenie
sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
kde
a
.
Nech
![\small V,W \small V,W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/053997008b65301bbb7650339cdbb037.png)
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fdc626a892450283554284048007cc0a.png)
![\small \varphi:V\to W \small \varphi:V\to W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95c98f860438fa2f1b14e2d68cde93e0.png)
![\small \begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\vec u+\vec v)=\varphi(\vec u)+\varphi(\vec v)\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\vec u)=\alpha\cdot\varphi(\vec u)\end{array} \small \begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\vec u+\vec v)=\varphi(\vec u)+\varphi(\vec v)\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\vec u)=\alpha\cdot\varphi(\vec u)\end{array}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4602c708c32d3e3867ec873591d4331.png)
kde
![\small \vec u,\vec v \in V \small \vec u,\vec v \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7da883f3983d2128ae58ffe60aa3f93d.png)
![\small \varphi \in \mathbb R \small \varphi \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e15cd8d7b467a20d9e034d29cb93b4a.png)
Skalárny súčin
Definícia, vlastnosti (zopakovanie z Lineárnej algebry).
Definícia.
Nech
je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Zobrazenie (operáciu)
:
nazveme skalárny súčin na
, ak pre každé
sú splnené tieto podmienky:
Nech
![\small V(\mathbb R) \small V(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17631416e027bda4f420d1a54eee9399.png)
![\cdot \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b0b8217e7f30047a9ef37e38fa48813.png)
![\rightarrow V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R \rightarrow V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b55d16adcbed1c7c97640d9319779de9.png)
nazveme skalárny súčin na
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d5afd43642bf1bff61dec6cef2f47af.png)
![\pmb a, \pmb b, \pmb c \in \small {V ,r \in \mathbb R } \pmb a, \pmb b, \pmb c \in \small {V ,r \in \mathbb R }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35eef026780a6e24cb208a25a1b08792.png)
Poznámky.
- Vlastnosti (ii) a (iii) nastavujú požiadavku na linearitu v prvej zložke. Vlastnosť (i) žiada symetriu, tj linearita prvej zložky sa prenáša do zložky druhej. Tieto vlastnosti má symetrická bilineárna forma. Viac o bilineárnych formách nájdete Tu.
- Vlastnosť (iv) hovorí, že forma musí byť pozitívne definitívna.
- Skalárny súčin na reálnom priestore je teda symetrická pozitívne definitná bilineárna forma na danom priestore.
- Takto definovaný skalárny súčin sa často v literatúre označuje ako vážený skalárny súčin.
- Pre skalárny súčin na reálnom priestore budeme namiesto označenia
používať len symbol pre násobenie
alebo symbol usporiadanej dvojice
.
Vážený skalárny súčin je oproti „stredoškolskému skalárnemu súčinu“ oveľa všeobecnejší. Stredoškolsky definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj ako euklidovský skalárny súčin) na priestore
je zavedený nasledovne. Ak
, tak
![\small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3 \small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c89bf596012890182af99df523dade75.png)
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
![\small V_3(\mathbb R) \small V_3(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5c028c31aebe7bd15a60a6869df35f2b.png)
![\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3] \small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cad0163933a5d2adf5e1bcaed21e570d.png)
![\small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3 \small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c89bf596012890182af99df523dade75.png)
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
![(f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx. (f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1387bf6e6604ba11fbb10bec201243f4.png)
Riešenie.
Dosadením súradníc vektorov
do definície skalárneho súčinu,
ľahko overíme, že jednotlivé podmienky v definícii sú splnené.
Riešenie pomocou bilineárnych foriem nájdete Tu.
Dosadením súradníc vektorov
![\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3], \pmb c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3 \small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3], \pmb c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f2b26f65693e348a81b8428fbc61ab7.png)
Riešenie pomocou bilineárnych foriem nájdete Tu.
Veta - ďalšie vlastnosti skalárneho súcinu.
Veta - určenie euklidovského skalárneho súčinu.
Nech
je ortonormálna báza vektorového priestoru
a
nech
sú súradnice vektorov
v báze
. Potom
.
Nech
![\small B = \left\langle \pmb u_1, \pmb u_2, . . . , \pmb u_n \right\rangle \small B = \left\langle \pmb u_1, \pmb u_2, . . . , \pmb u_n \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a62cb0e973c7ff661b0bd7453ce9514a.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d5afd43642bf1bff61dec6cef2f47af.png)
![\small \pmb a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \pmb b = (b_1, b_2, . . . ,b_n) \small \pmb a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \pmb b = (b_1, b_2, . . . ,b_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3de48d59d1081696d186039279aee1f.png)
![\small \pmb a,\pmb b \small \pmb a,\pmb b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b71bfbd9f1ee6cb59a6a8b9455d018f.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f370a17fe74712ba56d86c6194f976d5.png)
![\small (\pmb a,\pmb b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n) \small (\pmb a,\pmb b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/10b2e4e49586f0b758ee43df880a018c.png)
Cauchy-Schwarz nerov.
Tvrdenia.
Dôkaz - Cauchy-Schwarzovej nerovnosti.
- Pre lineárne závislé vektory
musí existovať nenulové reálne číslo
, pre ktoré platí
. Ak sú vektory nezávislé tak, pre každé nenulové reálne číslo
vektor
je nenulový. Zrejme druhá mocnina jeho normy je
a nie je rovná nule. Podľa definície normy rozpíšeme ľavú stranu nerovnosti ako
Skalárny súčin je symetrický a distributívny, preto po úprave dostaneme kvadratickú nerovnicu .
Ľavá strana nerovnice predstavuje kvadratický trojčlen v premennej, ktorý nemá reálne korene (pre ľubovoľnú hodnotu
je trojčlen > 0). Jej diskriminant musí byť záporný, teda platí
Odtiaľ už ľahko dostanemea po odmocnení
.
- Dôkaz pre lineárne závislé vektory prenechávame čitateľovi. Zrejme bude platiť rovnosť strán.
Dôkazy.
- Na úrovni VŠ použite Cauchy-Schwarzovu nerovnosť. Podrobné dôkazy nájdete v
"Sbírce řešených úloh Katedřy didaktiky fyziky Matematicko-fyzikální fakulty UK Praha". Tu.
Vezmite normu (druhú mocninu normy) na ľavej strane nerovnosti a prepíšte ju podľa definície pomocou skalárneho súčinu. Výraz zjednodušte vďaka linearite a symetrii skalárneho súčinu. - Na úrovni SŠ použite Cauchy-Schwarzovu nerovnosť ale pre prípad vektorového priestoru
so štandardnou ortonormálnou bázou
. Pre vektory
je skalárny súčin definovaný ako
.
Cvičenie.
- Skalárny súčin je definovaný na
takto:
.
pre. Určte číslo
tak, aby vektory
boli na seba kolmé v zmysle definície kolmosti vektorov. Aký reálny uhol zvierajú tieto vektory v euklidovskom 3-rozmernom priestore? (Ukážte, že táto operácia spĺňa podmienky skalárneho súčinu).
- Body
sú susedné vrcholy štvorca. Pomocou skalárneho súčinu určte súradnice jeho zvyšných vrcholov.
Riešenie.
- Pomocou bilineárnych foriem ukážte, že operácia spĺňa podmienky skalárneho súčinu (použitie bilineárnych foriem na zdôvodnenie tvrdenia nájdete Tu).
Ak vektory
majú byť na seba kolmé, tak ich skalárny súčin sa musí rovnať nule. Po dosadení dostaneme
Riešením kvadratickej rovnice sú čísla. Pozrite si grafické riešenie Tu.
-
Pre skalárny súčin platí
.
Schmidt ortogon. proces
Nech
je
- rozmerný vektorový priestor so skalárnym súčinom
a nech je daná množina
lineárne nezávislých vektorov tohto konečno rozmerného priestoru (
).
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small (\pmb u , \pmb v) \small (\pmb u , \pmb v)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b052215c85fa183096632aa372b02f9.png)
![\small M_k=\lbrace{\pmb {u_1} , \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k}}\rbrace \small M_k=\lbrace{\pmb {u_1} , \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k}}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/42e0d5fee27471386d08f76c72c92ce9.png)
![\small \pmb {u_i} \in V_n ;i=1,2, \cdot \cdot \cdot ,k \leq n \small \pmb {u_i} \in V_n ;i=1,2, \cdot \cdot \cdot ,k \leq n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1c9969360beabc2f92f2e11f04639d1.png)
Definícia.
Schmidtov ortogonalizačný proces je proces, ktorým z množiny
lineárne nezávislých vektorov vytvárame ortonormálnu bázu
- rozmerného
vektorového priestoru
.
Schmidtov ortogonalizačný proces je proces, ktorým z množiny
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
Poznámka.
Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a všetky sú navzájom kolmé (ortogonálne).
Existenciu takejto ortonormálnej bázy zabezpečuje Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a všetky sú navzájom kolmé (ortogonálne).
Existenciu takejto ortonormálnej bázy zabezpečuje Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Celý proces vytvárania ortonormálnej bázy možno popísať algoritmicky/rekurentne takto:
- V prvom kroku Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa za základ stanoví prvý vektor z danej množiny vektorov
. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných.
- Ďalším
-tym krokom je samotná ortogonalizácia
-teho vektora. Nasledujúci
-ty vektor určíme ako lineárnu kombináciu
-teho vektora z danej množiny vektorov
a už
vytvorených vektorov.
- Nakoniec prevedieme normalizáciu vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu.
Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Nech
je vektorový priestor so skalárnym súčinom
a nech
sú lineárne nezávislé vektory. Potom existujú
ortonormálne vektory
, pre ktoré platí
Nech
![\small V(\mathbb R) \small V(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fded0f0314a2ad2a61bcf0cac87bcd54.png)
![\small (\pmb u . \pmb v) \small (\pmb u . \pmb v)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5c424142829cb7888c69d8d27272153c.png)
![\small \pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k} \in V \small \pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k} \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/94eebff936a60701a6a09fc927640421.png)
![\small \pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_k} \in V \small \pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_k} \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f18711f33533488320e6794e5433ad37.png)
![\small [{\pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_i}}] = [{\pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_i}}], ∀i ∈ {1, 2, . . . , k} \small [{\pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_i}}] = [{\pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_i}}], ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1015ffff519181270c72c15a0dc8bcc.png)
Dôkaz.
A. Proces ortogonalizácie.
A. Proces ortogonalizácie.
- Najprv určíme prvý vektor, pričom položíme
.
- Druhý vektor určíme ako lineárnu kombináciu
, pričom podľa predpokladu platí
. Po skalárnom vynásobení rovnice
vektorom
dostaneme riešenie
.
Po dosadení dostaneme riešenie
.
- Pre tretí vektor bude lineárna kombinácia v tvare
, pričom platí
. Po skalárnom vynásobení rovnice postupne vektormi
dostaneme riešenie
;
.
- Pomocou matematickej indukcie dokážeme, že pre ďalšie vektory platia vzťahy
.
- Teraz stačí len "znormovať" tieto vektory.
Dostaneme jednotkové vektory
Cvičenie.
Riešenie.
- Zvoľme prvý vektor ortogonálnej bázy
(zrejme nie je jednotkový, jeho normalizáciu urobíme v závere riešenia). Druhý vektor
určíme zo vzťahu
(k),
kde. Rovnicu (k) skalárne vynásobíme vektorom
. Podľa predpokladu v Schmidtovom ortogonalizačnom procese musia byť vektory
na seba kolmé, teda musí pre ich skalárny súčin platiť rovnosť
. Zároveň platí
. Po dosadení do (k) môžeme určiť/vypočítať koeficient
, odkiaľ dostaneme pre vektor
.
Tretí vektor určíme zo vzťahu
(zobrali sme 2-násobok druhého vektora). Ľahko nahliadneme, že
, odkiaľ
. Zrejme vektory
sú na seba kolmé a stačí ich znormovať.
V prípade, že by sme zvolilidostali by sme bázu
, ktorá je tiež ortogonálna. Teda výsledná báza závisí od voľby poradia vektorov
.
- Stačí určiť smerové vektory danej roviny, ktoré patria do vektorového priestoru určeného danou rovinou (do jej zamerania). Sú to napríklad vektory
. Potom realizujte Schmidtov ortogonalizačný proces a utvorte ortogonálnu bázu skúmaného vektorového podpriestoru.
Preštudujte si študijný text o kolmých vektorových podpriestoroch v práci:
Monoszová, G.: Analytická geometria 2 - Kapitola III. FPV UMB B. Bystrica. Časť II. 2. Totalne kolmé vektorové priestory. Kolmé vektorové priestory.
Monoszová, G.: Analytická geometria 2 - Kapitola III. FPV UMB B. Bystrica. Časť II. 2. Totalne kolmé vektorové priestory. Kolmé vektorové priestory.
Afinný n-rozmerný priestor
Pri syntetickom prístupe v geometrii sme vychádzame z euklidovského priestoru podľa Euklidových Základov, v ktorom sa základné geometrické útvary (bod, priamka) nedefinovali.
Vedeli sme jednoznačne rozhodnúť o pravdivosti výrokov typu: Bod patrí alebo nepatrí danému útvaru.
Tento prístup z matematického hľadiska predstavuje zásadný problém: Nevieme jasne zadefinovať, čo je to (bodová) množina.
Neskôr (aj historicky) sme zaviedli pojmy:
v afinnom priestore predstavuje posunutý bod
o vektor
.
V tejto kapitole budeme využívať prevažne štandardnú bázu
, ktorej vektory sú navzájom kolmé a majú
jednotkovú dĺžku. Takejto báze tiež hovoríme ortonormálová báza.
Neskôr (aj historicky) sme zaviedli pojmy:
- vektor a vektorový priestor ako štruktúru s predpísanými binárnymi operáciami
- štandardná báza
vektorového priestoru
- súradnice vektora
v štandardnej báze.
Tieto pojmy nám umožňujú zaviesť afinný priestor axiomaticky pomocou vektorového priestoru.
![\small A + \pmb u \small A + \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a77aa49c6ab7fd05a7b252919ca1ee27.png)
v afinnom priestore predstavuje posunutý bod
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
![\pmb u \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/01669ee60949b0bcf5f635656e677fbc.png)
V tejto kapitole budeme využívať prevažne štandardnú bázu
![\pmb{e = (e_1, . . . , e_n)} \pmb{e = (e_1, . . . , e_n)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6b994cecb1a369b40372ccd2d6b4bbe.png)
Afinný priestor nad poľom
je trojica
, kde
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![\small (\mathcal{A}, \mathit V, f) \small (\mathcal{A}, \mathit V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/201e3e835ba043b98e638df5a5076600.png)
je množina bodov.
je vektorový priestor nad poľom
.
je zobrazenie s vlastnosťami:
(AP1)
(AP2)
je bijektívne zobrazenie. Pozrite si prácu (príklad 2) Tu.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/444451/mod_book/chapter/11784/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202024-01-12%20101336.png)
Ak usporiadaná dvojica bodov
predstavuje umiestnenie vektora
, tak vektor môžeme vyjadriť
ako
, čo predstavuje zobrazenie
.
Podmienka (AP2) sa niekedy uvádza takto:
(AP2')
existuje práve jeden
bod
taký, že
.
(AP2'')
taký, že
.
V tejto kapitole budeme pracovať len s reálnym afinným priestorom nad telesom (poľom) reálnych čísel
. Fundamentálnou vlastnosťou
afinného bodového priestoru je axiomatické tvrdenie:
![\small (X , Y) \small (X , Y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de448a8e1b1a0e819fc089277e2d3490.png)
![\small \pmb u \small \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a01021ced2d9c378cb15dddc95428d47.png)
![\small \pmb u =\small {Y - X} \small \pmb u =\small {Y - X}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f9e7aa97bbbd33b412ecdfc043de13b6.png)
![\small \pmb f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R) \small \pmb f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7a33af9e93d25d940317bda818e367f.png)
Podmienka (AP2) sa niekedy uvádza takto:
(AP2')
![\small \forall X \in \mathcal{A}; \forall \pmb u \in V \small \forall X \in \mathcal{A}; \forall \pmb u \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/78583a3dea9faf36cd8a1ea7935208d8.png)
![\small P \in \mathcal{A} \small P \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5ecead66dacd3f143c4681bcc45c092.png)
![\small \overrightarrow{PX} =\pmb u \small \overrightarrow{PX} =\pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d96df6b171c52d303f2d0cebf16a85bb.png)
(AP2'')
![\small \forall X,Y \in \mathcal{A}; \exists \pmb u \in V \small \forall X,Y \in \mathcal{A}; \exists \pmb u \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74ba3d46d78b41f17553adf07ca5a190.png)
![\small Y=X + \pmb u \small Y=X + \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/59a003dffd658aaa860c0f4f08c6155c.png)
V tejto kapitole budeme pracovať len s reálnym afinným priestorom nad telesom (poľom) reálnych čísel
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/444451/mod_book/chapter/11784/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202024-01-12%20102035.png)
![\small T_2 \small T_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d25e9b041a34af9586c73ae312cd1e15.png)
![\small (\mathcal{A}, \mathit V, f) \small (\mathcal{A}, \mathit V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/201e3e835ba043b98e638df5a5076600.png)
![\small P' \small P'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12f4f3df3b56ead51427ff2f4b18268f.png)
![\small \forall P' \in \mathcal{A};\; f_P' :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P',X) \small \forall P' \in \mathcal{A};\; f_P' :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P',X)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d00eebc26c76b5deef00458bb937e100.png)
![\small f(P′, X) = f(P′, P) + f(P, X)) \small f(P′, X) = f(P′, P) + f(P, X))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9bec1630c61d1adb38721f66e3eaa14d.png)
Zistite, či usporiadané trojice
sú afinným priestorom.
Otvorte si dynamické obrázky: ľavý Tu - príklad afinného priestoru; pravý Tu - nie je afinným priestorom.
![\small (\mathcal{A}, \mathit V, f) \small (\mathcal{A}, \mathit V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/201e3e835ba043b98e638df5a5076600.png)
Otvorte si dynamické obrázky: ľavý Tu - príklad afinného priestoru; pravý Tu - nie je afinným priestorom.
Poznámky.
- Afinný priestor budeme tiež jednoducho označovať
alebo ako
. Vektorový priestor prislúchajúci afinnému priestoru
budeme označovať ako
alebo len
.
- Vektorovému priestoru hovoríme tiež zameranie afinného priestoru. Afinný priestor, ktorého zameraním je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel nazývame reálny afinný priestor alebo aj aritmetický afinný priestor.
- Affinis znamená latinsky príbuzný. Prvý krát tento pojem použil Leonhard Euler (1707-1783) pre označenie vzťahu vzoru a obrazu v zobrazení, ktoré zachováva deliaci pomer (pozri kapitolu Deliaci pomer Tu). Afinná geometria je geometria bez vzdialenosti/miery.
Príklad.
Dané sú množiny (červená)
,
množina (modrá)
a zobrazenie
je odčitovanie trojíc reálnych čísel po zložkách.
Dokážte, že
je afinný priestor nad poľom
.
Dynamický obrázok Tu.
Dané sú množiny (červená)
![{\small \mathcal{A}} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = -5}\rbrace {\small \mathcal{A}} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = -5}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aefba248c846cd2647d98e469f363550.png)
množina (modrá)
![{\small V} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in {\small\mathbb R^3} ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace {\small V} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in {\small\mathbb R^3} ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/81ee41950a0fc95d46192bc77b198bb6.png)
a zobrazenie
![f : {\small \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)} f : {\small \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51bd9fab19673cdef8cf0136bec89112.png)
Dokážte, že
![\small ( \mathcal{A}, V, f) \small ( \mathcal{A}, V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/191e47a372c7820d45e6f3f322a30e88.png)
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/444451/mod_book/chapter/11784/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202024-01-12%20111612.png)
Riešenie.
Pre ľubovoľný bod
platí, že
.
Pre ľubovoľný bod
![\small X[x_1,x_2,x_3] \in \mathcal{A} \small X[x_1,x_2,x_3] \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1e32b09cf88a45e990cb4c781e1264a3.png)
![\small x_3= \frac{1}{2} (x_1+x_2+5) \small x_3= \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/161df3479d0609e0848f521df1eec59a.png)
- Podmienka (AP1): zo vzťahov
dostávame,
čo bolo treba ukázať. - Podmienka (AP2): Nech
je pevne zvolený bod a
sú ľubovoľné dva rôzne body.
Potom jea zrejme aj pre obrazy
platí, že sú rôzne. Teda zobrazenie je bijektívne.
Dôkaz, pre podmienku (AP2') nájdete v práci Afinné transformácie na strane 7. Pozrite tiež Príklad 2 na strane 8.
Tvrdenie (operácie s bodmi).
Nech
je afinný priestor s operáciou
. Potom pre body
Interpretujte tieto vzťahy v klasickej euklidovskej rovine pomocou programu GeoGebra.
Nech
![\small \mathbb A = (\mathcal{A}, \mathit V, +) \small \mathbb A = (\mathcal{A}, \mathit V, +)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e967342a0afdaf0ea6c1c7a143055db5.png)
![\small \pmb f: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V (\mathcal{A}) \small \pmb f: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V (\mathcal{A})](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afe973cef744702a7b39815cd75a1b04.png)
![\small A,B,C,D \in \mathcal{A} \small A,B,C,D \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e628771b66a27262f3e2f4b00a60174.png)
Dôkaz.
-
- Označme
.
- Z vlastnosti (AP1) dostávame
. Na druhej strane
.
- Dôkazy ďalších tvrdení nájdete napríklad v práci [Duplák, J.: Afinná a Euklidovská geometria.]
Lineárna súradnicová sústava
Poznámky
Uvedieme základné definície z práce (Monoszová, 1), v ktorých sa pomocou bázy vektorového priestoru zavádza repér afinného priestoru a (lineárna) afinná súradnicová sústava. Súhrnne sa pre tento systém používa označenie: afinný súradnicový systém.
Definície.
- Nech
je afinný priestor a
je ľubovoľný bod tohto priestoru. Ďalej nech
je báza (nie nutne ortonormálna) vektorového priestoru
. Potom
-tica
sa nazýva repér afinného priestoru
.
- Nech
je afinný priestor, nech
je repér v
. Lineárna súradnicová sústava (stručne LSS) je bijektívne zobrazenie
pričom. Pozrite si prácu (str. 8-11) Tu.
Dôkaz korektnosti definície.
Ľubovoľný vektor (teda aj polohový) vektorového priestoru sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov bázy tohto vektorového priestoru
.
Z vlastnosti (AP2) vyplýva, že pre bod
a vektor
existuje práve jeden bod
. Preto aj bod
vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sa dá jednoznačne vyjadriť ako kombinácia
.
Rovnosť
skrátene zapisujeme ako
a
-ticu
nazývame súradnicami bodu
. Súradnice bodu budeme zapisovať v hranatých zátvorkách
.
Vektor, ktorý určuje lineárna kombinácia
sa nazýva polohový
vektor
.
Ľubovoľný vektor (teda aj polohový) vektorového priestoru sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov bázy tohto vektorového priestoru
![\small \vec{O P}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small \vec{O P}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6be969bedc7e7ee8a90b3b39f57dae4a.png)
Z vlastnosti (AP2) vyplýva, že pre bod
![\small O \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d7f42f0e514364380af557ef93a320b.png)
![\small \vec{u}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small \vec{u}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b3d193612d65b9fd46e8f64f89c939d4.png)
![\small P=O+ \vec{u} \small P=O+ \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5feb6b1f0a11d1671a49645656de9f81.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P=O+x_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n} \small P=O+x_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/81e82bb93425550bce895eca45c6dec1.png)
Rovnosť
![\small P=O+p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small P=O+p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51201cb1baa9b085017f8e6f298ddaa1.png)
![\small P = [p_1,p_2, . . . , p_n] \small P = [p_1,p_2, . . . , p_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd3bff3cdd6edb7bc37b5e2308304fc3.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a1f8cbf7dfb29c046ac9a098bb0e53a2.png)
![[\small p_1,p_2, . . . , p_n] [\small p_1,p_2, . . . , p_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc0298f4a320aad14ca87bd805d6a0ec.png)
nazývame súradnicami bodu
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d1cfc6d7d6102ae06298b17a24ae54e.png)
![\pmb{ [\small x_1,x_2, . . . , x_n] } \pmb{ [\small x_1,x_2, . . . , x_n] }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8be3a9e49438bc054ad1d97cb87bcdc4.png)
![\small P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e237efe04520c3c0e98e8d400d3cd8d8.png)
![\small \overrightarrow{OP}=P-O \small \overrightarrow{OP}=P-O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e5c7a02896792c8898fb12ed6b2c405.png)
Existencia a jednoznačnosť súradníc bodu
vyplýva tiež z jednoznačného riešenia rovnice,
,
keďže vektory
tvoria bázu vektorového priestoru
.
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d1cfc6d7d6102ae06298b17a24ae54e.png)
![\small \overrightarrow{OP}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small \overrightarrow{OP}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/716dbd8bc993533daa6b9f868b6b5143.png)
keďže vektory
![\small \pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n} \small \pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e2c35bc6aaf85cc253ccfd88c131b00.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c39e7f7742d8f0e61e0309981a6a9761.png)
Pomenovania .
Cvičenie.
Ukážte, že usporiadaná trojica
je afinný priestor, ak
. Zistite. či zobrazenie
je lineárna sústava súradníc.
Ukážte, že usporiadaná trojica
![\small (\mathcal {A} , V,f) \small (\mathcal {A} , V,f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2f021b2d9b481559e1ab9c754263e47.png)
![\small {\mathcal {A}} = \lbrace{ [x_1,x_2] \in R;x_2=x_1^2 }\rbrace , V=R, f( [x_1,x_2], [y_1,y_2])=x_1-y_1 \small {\mathcal {A}} = \lbrace{ [x_1,x_2] \in R;x_2=x_1^2 }\rbrace , V=R, f( [x_1,x_2], [y_1,y_2])=x_1-y_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b51468f45ac88b2ac91fe89d74d4074.png)
![\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x_1,x_2])=1+x_1 \small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x_1,x_2])=1+x_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d08ad3901ed89daea6bc657e89a5dec3.png)
Riešenie.
- Ľubovoľný bod
afinného priestoru má súradnice
. Množina všetkých bodov afinného priestoru
je parabola (nakreslite graf v GeoGebre).
- Podmienka (AP1) pre body
zrejme platí, lebo
.
- Podmienka (AP2): Zvoľme si ľubovoľné reálne čísla
a body
, potom zobrazenie
je bijekcia.
- Zrejme aj zobrazenie
je bijektívne, preto je LSS.
Veta o súradniciach
V predchádzajúcej kapitole sme uviedli:
Súradnice bodu
afinného priestoru
vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sú súradnice jeho polohového
vektora
vzhľadom na bázu súradnicových vektorov. Teda platí
.
Súradnice bodu
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small \mathcal A \small \mathcal A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6c29b72f6eb742ea4388a467182d27e9.png)
![\small \vec{O X} \small \vec{O X}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3726cbd629a32d14c040b1e60efa2e9.png)
![\small \vec{O X}=O+x_1\pmb {e_1}+\cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n} \small \vec{O X}=O+x_1\pmb {e_1}+\cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a0e006028d802da875a59f94821ce315.png)
Po zavedení súradnej sústavy môžeme nielen vektory ale aj body "sčitovať". Pravidlá, ktoré musíme pritom dodržiavať stanovuje tzv. základná
veta o súradniciach, ktorú poznáme z lineárnej algebry.
Dôkaz.
- Zrejme z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že
a pre začiatok súradnej sústavy
bude platiť
tj.
odkiaľ s využitím "Tvrdenie (operácie s bodmi), odseky b), e)" dostaneme
po úprave
.
Z definície sčítania (rozdielu) vektorov v bázedostaneme
- Z vlastnosti (AP2') afinného priestoru vyplýva, že
existuje práve jeden bod
taký, že
. Pre polohové vektory platí
.
Z vlastnosti sčítania vektorov dostaneme.
Po úprave.
Zmena repéru
Pri závádzaní lineárnej súradnicovej sústavy sa v definícii nekládla požiadavka ortonormálnosti na repér
afinného priestoru
. To znamená, že súradnice
nejakého bodu
môžeme vyjadriť aj vzhľadom na ľubovoľný iný repér. Ako určiť súradnice bodu pri zmene repéru popisuje nasledujúci príklad.
Pri závádzaní lineárnej súradnicovej sústavy sa v definícii nekládla požiadavka ortonormálnosti na repér
![\small \left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle \small \left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/058ebbcd8479c451b3ba49bb1f9abb7e.png)
![\small \mathcal {A} \small \mathcal {A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92971639b8b7c3eb5ef6a6c024956f00.png)
![\small Q \in \mathcal {A} \small Q \in \mathcal {A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd5cbbfa1b1648ba9cd2affd52bdef83.png)
Príklad.
Riešenie.
- Zrejme
.
Toto sú súradnice boduvzhľadom k ortonormálnemu repéru - kanonické súradnice. Je dôležité dodržať poradie prvkov repéru
. Urobte geometrickú interpretáciu.
- Určiť súradnice vzhľadom k repéru
znamená bod
vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov repéru
. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť
, pre ktoré platí:
resp.
.
Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
Poslednú rovnosť môžeme vyjadriť v maticovom tvare (vektory repéru zapisujeme do stĺpcov!):
Riešením je bod
.
Riešenie.
- Algebraické riešenie: Dosaďte do výrazu
hodnoty za
a dostanete súradnice
.
- Grafické riešenie: Aktivujte si repér
v GeoGebre Tu. Do vstupného poľa postupne zadajte
,
,
a
. Porovnajte výsledok.
Afinný podpriestor
Zvoľme si v afinnom priestore
jeden pevný bod
a nejaké zameranie
, ktoré je podmnožinou vektorového zamerania
. Dostaneme podmnožinu bodov afinného priestoru, ktorá bude spĺňať axiómy afinného priestoru. Takouto množinou je napríklad priamka v euklidovskej rovine alebo rovina v euklidovskom priestore.
![\small (\mathcal A, \mathit V, +) \small (\mathcal A, \mathit V, +)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/329e50a32fe1d792506a2d73c42d4c36.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf0dfa8449c5cc91668eb535bbc06997.png)
![\small \mathit V' \small \mathit V'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f70a43f43af97f76d9647b1aa3ee71d8.png)
![\small \mathit V \small \mathit V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4326af8830cbde81e55427265e07afad.png)
Definícia.
Nech
je afinný priestor nad poľom
. Neprázdnu podmnožinu
nazývame afinný podpriestor resp. lineárna varieta afinného priestoru
,
ak existuje vektorový podpriestor
, pričom platí
Nech
![\small (\mathcal A, \mathit V, +) \small (\mathcal A, \mathit V, +)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/329e50a32fe1d792506a2d73c42d4c36.png)
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![\small \mathcal A': \mathcal A' \subset \mathcal A \small \mathcal A': \mathcal A' \subset \mathcal A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95058784e82ccf506b45cd4dea2f6af5.png)
![\small \mathbb A \small \mathbb A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d969cc83272021122706bfe713b6955.png)
![\small \mathrm V' \subset \mathrm V \small \mathrm V' \subset \mathrm V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc29ea2dec4c06066ac36068ff60347a.png)
Tvrdenie.
Nech
je ľubovoľný bod z afinného priestoru
. Potom bod
leží v podpriestore
, práve vtedy, keď platí rovnosť
,
kde
;
sú reálne čísla a
je
lineárne nezávislých vektorov
podpriestoru
. Uvedená rovnosť sa nazýva parametrické vyjadrenie podpriestoru
. Čísla
sa nazývajú parametre bodu
.
Nech
![\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n] \small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/849e663d14ddce160818d00568aeb6ba.png)
![\small \mathbb A^n \small \mathbb A^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d89d0a8339f80ad6f78c8ab2c698c07f.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small \mathbb A^k \small \mathbb A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1466df7ed2df31b17db15fc51be4a582.png)
![\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2\vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k \small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2\vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02d2fd1a598104933bde1ec2ddd27f18.png)
kde
![\small A= [a_1, a_2, \cdot \cdot \cdot a_n] \in \mathcal A^k \small A= [a_1, a_2, \cdot \cdot \cdot a_n] \in \mathcal A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6842e3db0adab2c2a859a2aef4c471cd.png)
![\small t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k \small t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a7caba1732d38a9b1aa97e36ccdf823.png)
![\small \vec a_1 ,\vec a_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec a_k \small \vec a_1 ,\vec a_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec a_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a7ac2d681e453a38c0691a8020005104.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05a0604e4a27d5b402b3e80701e06ff5.png)
![\small \mathcal A^k (\mathcal A^k \subset \mathcal A) \small \mathcal A^k (\mathcal A^k \subset \mathcal A)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d74ce829bb0f6fd811423007511f0025.png)
![\small \mathbb A^k \small \mathbb A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1466df7ed2df31b17db15fc51be4a582.png)
![t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k t_1 , t_2 , \cdot \cdot \cdot , t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/64e5fd3f92972a5e6b28e66a59551a01.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
Poznámky.
Pre rovnosť
sa tradične používa nie úplne presný názov parametrické rovnice podpriestoru. Parametrické rovnice podpriestoru
majú známy tvar
...
,
kde
sú súradnice bodu
a
sú súradnice vektora
v
kanonickej báze
. Túto sústavu rovníc môžeme zapísať pomocou matíc. Maticový tvar parametrických rovníc vyzerá takto
Maticu sústavy
z predchádzajúceho vyjadrenia nazývame matica prechodu od afinnej súradnicovej sústavy
do sústavy
.
Pre rovnosť
![\small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2 \vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k \small X =A+t_1 \vec a_1 + t_2 \vec a_2 + \cdot \cdot \cdot + t_k \vec a_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf78a3bbf49fde0bca44512ab603b337.png)
![\small \mathbb A^k \small \mathbb A^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1466df7ed2df31b17db15fc51be4a582.png)
![\small x_1 =a_{1}+a_{11}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{1k}t_k \small x_1 =a_{1}+a_{11}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{1k}t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7575d1867147af96ef0f6a6768041dc6.png)
![\small x_2 =a_{2}+a_{21}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{2k}t_k \small x_2 =a_{2}+a_{21}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{2k}t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a09228ecf634db1f0cfa8aedd3d88ce8.png)
...
![\small x_n =a_{n}+a_{n1}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{nk}t_k \small x_n =a_{n}+a_{n1}t_1 + \cdot \cdot \cdot + a_{nk}t_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d42928a56f6aaf81164446ff7554ad4.png)
kde
![\small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n] \small X= [x_1, x_2, \cdot \cdot \cdot x_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/849e663d14ddce160818d00568aeb6ba.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\left(a_{i0},a_{i1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{ik}\right) \left(a_{i0},a_{i1}, \cdot \cdot \cdot ,a_{ik}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba2d2c69da42c627fa3c3bfc1c78bb6d.png)
![\vec a_i \vec a_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d399d12ff36b7e73d72f35952af61bcf.png)
![\left\langle\vec e_1 ,\vec e_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec e_n\right\rangle \left\langle\vec e_1 ,\vec e_2, \cdot \cdot \cdot ,\vec e_n\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79ce65a8598af37c010a32ae1136bb9c.png)
![\\ \; \\
\left( \begin{array}{} x_1 \\
x_2 \\
\;· \\
x_n \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{} a_{1} \\
a_{2} \\
\;· \\
a_{n}
\end{array} \right)
+\left( \begin{array}{} a_{12} & a_{12} & ··· & a_{1k} \\
a_{22} & a_{22} & ··· & a_{2k} \\
\; ··· & \\
a_{n2} & a_{n2} & ··· & a_{nk}
\end{array} \right) ·
\left( \begin{array}{} t_1 \\
t_2 \\
\;· \\
t_k \\ \end{array} \right)\\ \; \\ \\ \; \\
\left( \begin{array}{} x_1 \\
x_2 \\
\;· \\
x_n \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{} a_{1} \\
a_{2} \\
\;· \\
a_{n}
\end{array} \right)
+\left( \begin{array}{} a_{12} & a_{12} & ··· & a_{1k} \\
a_{22} & a_{22} & ··· & a_{2k} \\
\; ··· & \\
a_{n2} & a_{n2} & ··· & a_{nk}
\end{array} \right) ·
\left( \begin{array}{} t_1 \\
t_2 \\
\;· \\
t_k \\ \end{array} \right)\\ \; \\](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e785d1c90edfcfd8e58fc3879c10fb0.png)
Maticu sústavy
![\small \pmb a_{ij} \small \pmb a_{ij}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b52e3694a7c13ab2ca916f487ef66d7.png)
![\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle \small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8da31ad659605cceb78a1800dd4f9912.png)
![\small \left\langle A;\pmb {a_1} ,\pmb {a_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {a_k} \right\rangle \small \left\langle A;\pmb {a_1} ,\pmb {a_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {a_k} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df0a851d19054612bcf1bdfdc40f3e8b.png)
Príklad 1.
Zistite, či body
incidujú s podpriestorom (ležia v podpriestore)
. Dané sú
bod
a vektory
. Nájdite parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru. Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.
Zistite, či body
![\small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6] \small M = [9, -2, 5], N = [4, 1, 6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a3cde48cba700d2cdcf1f273d3c9937.png)
![\small \left\langle A, u, v\right\rangle \small \left\langle A, u, v\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9649e604b54132162b7588015be37487.png)
![\small A = [1, 3, 2] \small A = [1, 3, 2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7db82372dc4ba7d322d4d064720b97d.png)
![\small u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0) \small u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/578de65b735d8eeafc1804aa477b106a.png)
Riešenie.
Hľadáme reálne čísla
, pre ktoré platí rovnosť (vektorová rovnica má práve jedno riešenie)
resp.
Odpoveď: Bod
inciduje s daným podpriestorom, riešenie nájdete
Tu. Ukážte, že bod
neleží v danom podpriestore.
Hľadáme reálne čísla
![\small r,s \small r,s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd630c239074157212886a40a881a0fa.png)
![\small [9, -2, 5]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0) \small [9, -2, 5]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/987fedb1246681eac4577b8596ffe7df.png)
![\small [4, 1, 6]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0) \small [4, 1, 6]= [1, 3, 2]+ r(2, -1, 1)+ s (1, -1, 0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/93de6ddda2e4e5ebafc0d01957f5e5fc.png)
Odpoveď: Bod
![\small M = [9, -2, 5] \small M = [9, -2, 5]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d2415124dd26dc5ad3d4122c173aa75.png)
![\small N = [4, 1, 6] \small N = [4, 1, 6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f2bd7784e5e4385754858ca3d595e26d.png)
Neparametrické vyjadrenie podpriestoru
V afinnom priestore
môžeme lineárne podpriestory
vyjadriť aj neparametricky pomocou sústavy
lineárnych rovníc s
neznámymi.
Ich počet je závislý od dimenzie podpriestoru
a od dimenzie daného priestoru
.
Musí byť splnená rovnosť:
. V stredoškolskej analytickej geometrii
![\small \mathbb A^n \small \mathbb A^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d89d0a8339f80ad6f78c8ab2c698c07f.png)
![\small \mathbb A^k \subset \mathbb A^n \small \mathbb A^k \subset \mathbb A^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5ee2a007ab5fd3731b11435882ca60f1.png)
![\small p \small p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87c9c4f2b312b6964574ff10cde4858d.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05a0604e4a27d5b402b3e80701e06ff5.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small p=n-k \small p=n-k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af34c9f285479380dc170d55c0e50bf6.png)
- Priamka (
) ležiaca v rovine (
) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi. Bod (
) je chápaný ako prienik dvoch priamok, teda môže byť vyjadrený ako sústava dvoch lineárnych rovníc.
- V afinnom priestore
rovina (nadrovina (
)) je vyjadrená jedinou lineárnou rovnicou s troma neznámymi
. Priamka je prienikom dvoch rovín a na jej určenie sú potrebné dve rovnice
.
Príklad 2.
- Nájdite neparametrické vyjadrenie roviny z príkladu 1 a zistite, či body
incidujú s touto rovinou.
- Nájdite parametrické aj neparametrické vyjadrenie roviny v
, ktorá prechádza bodom
a má smer
.
Riešenie Tu
Vytvorte grafickú ilustrácia k tomuto príkladu.
Pre lineárny podpriestor platí, že s každými dvoma bodmi
obsahuje tento podpriestor aj bod
.
Dôkaz tohto tvrdenia sa robí v základnom kurze z lineárnej algebry.
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4d06e02171ea5e4bb3bda6d2b14c7c0.png)
![\small A+t(B-A);\;t \in \mathbb R \small A+t(B-A);\;t \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4373c73d6a354313e97e52ad06e0be04.png)
Dôkaz tohto tvrdenia sa robí v základnom kurze z lineárnej algebry.
Lineárne podpriestory s danou dimenziou.
- Afinný podpriestor dimenzie 1 sa nazýva afinnou priamka.
- Afinný podpriestor dimenzie 2 sa nazýva afinnou rovina.
- Afinný podpriestor dimenzie
-1 v
-rozmernom afinnom priestore sa nazýva nadrovina . Zrejme priamka je zároveň nadrovinou v priestore
a rovina je nadrovinou v
.
- Budeme hovoriť, že podpriestor
je
-rozmerný (má dimenziu
), ak podpriestor
má dimenziu
(dim
).
Príklady.
Vzájomná poloha útvarov
Lineárne podpriestory, ktorých prienik je prázdna množina, nazývame disjunktné. Hovoríme aj, že takého podpriestory sa nepretínajú.
Ak nie sú dva podpriestory disjunktné, potom sú nedisjunktné (pretínajú sa, majú neprázdny prienik).
Tvrdenie.
Nech
sú lineárne podpriestory priestoru
a
sú ich smerové podpriestory. Potom platia nasledovné tvrdenia:
Nech
![\small \mathbb A^r=(\mathcal A_1,V_1,+), \mathbb A^s=(\mathcal A_2,V_2,+) \small \mathbb A^r=(\mathcal A_1,V_1,+), \mathbb A^s=(\mathcal A_2,V_2,+)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/21d40a9a8fa6e98455be17bef46f71c6.png)
![\small \mathbb A^n \small \mathbb A^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27632b2a0da683fdea9ec880c17e3f97.png)
![\small V_1,V_2 \small V_1,V_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/97538df7ebe4d5db31304e1440b13a75.png)
Lineárne podpriestory sa nazývajú:
- Rovnobežné, ak všetky smerové vektory jedného podpriestoru sú smerovými vektormi druhého.
- Rôznobežné, ak majú spoločný aspoň jeden bod a žiadny z podpriestorov nie je podmnožinou druhého.
- Mimobežné, ak sú disjunktné a prienik smerových podpriestorov obsahuje len nulový vektor.
Riešenie.
- Smerové vektory priamok
sú lineárne závislé, preto
uvažované priamky sú navzájom rovnobežné.
- Ak priamky
majú spoločný bod
, tak existuje parameter
, ktorý je riešením sústavy
a zároveň súradnicetohto spoločného bodu priamky
s priamkou
musia byť riešením sústavy rovníc
čiže
ktorá má jediné riešenie. Prienikom priamok je teda bod
a preto sú priamky rôznobežné.
- Odpovedajúca sústava nemá riešenie a spoločné vektory sú LN, priamky sú mimobežné
Domáca úloha.
Práca (Tisoň, Lineárne podpriestory, dostupné Tu) strana 31.
Práca (Tisoň, Lineárne podpriestory, dostupné Tu) strana 31.
Euklidovský priestor
Vektorový priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj vnútorný súčin) umožňuje rozumne definovať geometrické pojmy uhol a vzdialenosť, čím na tomto vektorovom priestore vzniká dodatočná geometrická štruktúra.
Euklidovský priestor je
-rozmerný afinný priestor so zameraním
a s vyššie
definovaným skalárnym súčinom; označovať’ ho budeme symbolom
.
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
Vo vektorovom priestore okrem skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je skalár (reálne číslo), môžeme definovať operáciu, ktorej výsledkom bude
vektor kolmý na obidva pôvodné vektory. Pre vektorový súčin uvedieme definíciu pomocou zobrazenie, ktoré dvojici vektorov v trojrozmernom Euklidovskom
priestore priraďuje vektor kolmý na obidva pôvodné vektory.
Definícia - vektorový súčin.
Vektorový súčin dvoch vektorov
je definovaný ako vektor kolmý k vektorom
, ktorého veľkosť
je rovná ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory vytvárajú. Zapisujeme
,
kde
je uhol zvieraný vektormi
s vlastnosťou
a
je jednotkový
vektor kolmý k nim.
Vektorový súčin dvoch vektorov
![\small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R) \small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4eece9371cba8b9289f816b5850cab3.png)
![\small \mathbf {a},\mathbf {b} \small \mathbf {a},\mathbf {b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1fc695a02284f55c449260bd94af42c2.png)
![\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta } \small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a118d00aef21166220c8a8d00b09e393.png)
kde
![\small θ \small θ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd1cca38437be5e262c683b4b8956b4d.png)
![\small \mathbf {a},\mathbf {b} \small \mathbf {a},\mathbf {b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1fc695a02284f55c449260bd94af42c2.png)
![\small 0° ≤ θ ≤ 180° \small 0° ≤ θ ≤ 180°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5cd0598249e7914d239b731a0ff36da2.png)
![\small \mathbf {n} \small \mathbf {n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/467b341e51a7ecc028ae3eb150ceb0db.png)
Veta.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory
. Potom
zložky vektora
vektorového súčinu
možno určiť ako
.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory
![\small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3) \small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e0acb317f11c8cc76f892a633d806cef.png)
![\small \mathbf {c} \small \mathbf {c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4364dc0e78daf281c17fb8ecb04c2dc.png)
![\small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} } \small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fd04b176b17902743d23c8cea328ea7.png)
![\small
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \small
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0fa55521245c198416b92ac1b969a225.png)
Pomôcka na výpočet súradníc vektora
.
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora
a pridáme ešte raz jeho
prvú a druhú súradnicu. V druhom riadku urobím to isté s vektorom
. Dostaneme schému
.
Teraz určíme súradnice vektora
- krížové násobenie:
.
![\small \mathbf {c} \small \mathbf {c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4364dc0e78daf281c17fb8ecb04c2dc.png)
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora
![\small \mathbf {a} \small \mathbf {a}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51ade2f8faf2ca0925e04b4de7e4a402.png)
![\small \mathbf {b} \small \mathbf {b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6484143445c62745c108a6384b4c652b.png)
![\small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}} \small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b43b76291555360f712493571d740ef.png)
Teraz určíme súradnice vektora
![\small \mathbf {c} \small \mathbf {c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4364dc0e78daf281c17fb8ecb04c2dc.png)
![\small (
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}};
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}};
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}) \small (
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}};
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}};
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/efe2bcba248a508da8c9755cee54c139.png)
Poznámky.
- Pre obsah trojuholníka
je známy vzorec
, kde
. Porovnaním s definíciou vektorového súčinu, môžeme písať
.
- Pomocou zmiešaného súčinu troch vektorov môžeme vypočítať objem rovnobežnostena. Pozrite si prácu Vodičková, V.: Aplikácie vektorového súčinu. Dostupné Tu.
Cvičenie.
Riešenie.
- ...
- ...
Lineárna kombinácia bodov
Definícia.
Afinná (barycentrická resp. lineárna) kombinácia bodov. Nech
, tak
súčtom (afinnou kombináciou bodov)
rozumieme bod
(AK)
,
pričom pre
musí platiť
.
Afinná (barycentrická resp. lineárna) kombinácia bodov. Nech
![\small P, P_1,P_2,...,P_m \in \mathbb{E}_n \small P, P_1,P_2,...,P_m \in \mathbb{E}_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb33089384805f1ba63660a895e60fc7.png)
![\small \alpha_1 P_1+...+ \alpha_m P_m \small \alpha_1 P_1+...+ \alpha_m P_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc617f094c40d01d6e89704ea7c014cb.png)
(AK)
![\small P + \alpha_1(P_1 − P) + · · · + \alpha_m(P_m − P) \small P + \alpha_1(P_1 − P) + · · · + \alpha_m(P_m − P)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47186ec1b7ff3f17110cd6784da7c1bb.png)
pričom pre
![\small α_1, . . . , α_m \in \mathbb R \small α_1, . . . , α_m \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d2cf7206b19223c8d6a98baf03f5a1e.png)
![\small α_1+ . . . + α_m = 1 \small α_1+ . . . + α_m = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa90fbeabd26290af27405f88fd5fd1.png)
Dôkaz korektnosti definície.
Treba ukázať, že afinná kombinácia (AK) nezávisí od voľby bodu
.
Nech
a nech
je ľubovoľný bod. Upravujme afinnú kombináciu
aplikovaním tvrdenia
dostaneme
.
Čo bolo treba dokázať.
Treba ukázať, že afinná kombinácia (AK) nezávisí od voľby bodu
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
Nech
![\small α_1+ . . . + α_m = 1 \small α_1+ . . . + α_m = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d56213ad4fe5ddd034c778b5869f3bc.png)
![\small Q \in \mathbb{E}_n \small Q \in \mathbb{E}_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a928f984da2a8e424a9303d4b4321326.png)
![\small Q+ \alpha_1(P_1-Q) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-Q) = \small Q+ \alpha_1(P_1-Q) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-Q) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e5a55429f25c954f60fe24560f5d7b90.png)
aplikovaním tvrdenia
![\small \forall P,Q\in \mathbb{E}_n: Q=P+(Q-P) \small \forall P,Q\in \mathbb{E}_n: Q=P+(Q-P)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27f7c076b08e3113f1ea9508765d64e5.png)
![\small =P+(Q-P) + \alpha_1(P_1-(P+(Q-P)) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-(P+(Q-P)) = \small =P+(Q-P) + \alpha_1(P_1-(P+(Q-P)) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-(P+(Q-P)) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/81b80cbea3f5f5d52576b4cf782f2f1f.png)
![\small=P + (Q-P) - \alpha_1(Q-P) + \cdot \cdot \cdot - \alpha_m(Q-P)+ \alpha_1(P_1-P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m-P) = \small=P + (Q-P) - \alpha_1(Q-P) + \cdot \cdot \cdot - \alpha_m(Q-P)+ \alpha_1(P_1-P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m-P) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/629aa59676a15ab076eb5f9992589f09.png)
![\small=P + (Q-P)- [(\alpha_1 + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m)(Q - P)] + [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] = \small=P + (Q-P)- [(\alpha_1 + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m)(Q - P)] + [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/990274bd238b1e5772ccef057aa486e9.png)
![\small = P + [(Q-P)- 1 . (Q − P)]+ [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] = \small = P + [(Q-P)- 1 . (Q − P)]+ [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8af6504c326498a435d4fe3426f65986.png)
![\small = P + \alpha_1(P_1 − P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m − P) \small = P + \alpha_1(P_1 − P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m − P)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4da28f1f0b7c622ff2880f772ccc1232.png)
Čo bolo treba dokázať.
Usporiadaná množina bodov
afinného priestoru
sa nazýva simplex
priestoru
, kde
Teda môžeme zapísať
.
![\small \pmb S = \left\{O, E_1, . . . , E_n \right\} \small \pmb S = \left\{O, E_1, . . . , E_n \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16c0501336b09ebc2855f4fc48f26164.png)
![\small \mathcal{A}^n \small \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b12dfc315b333e3614456b2e89bdce16.png)
![\small \mathcal{A}^n \small \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b12dfc315b333e3614456b2e89bdce16.png)
![\small \overrightarrow{OX} = x_1\pmb {e_1} + . . . + x_n\pmb {e_n}=x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n} \small \overrightarrow{OX} = x_1\pmb {e_1} + . . . + x_n\pmb {e_n}=x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c346b4d7199621c69b7c31f271b24bbd.png)
Dôkaz.
Z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že pre ľubovoľný (každý) bod
platí
(Q)
.
Vektor
vzhľadom na repér
sa dá jednoznačne vyjadriť
ako lineárna kombinácia
.
Využitím vzťahov
upravme vzťah (Q)
,
odkiaľ
,
Keďže predchádzajúci vzťah nie je závislý od bodu
, a keď položíme
. Potom dostaneme
teraz položíme
a dostaneme výsledok
za predpokladu, že
.
Z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že pre ľubovoľný (každý) bod
![\small Q \in \mathcal{A}^n \small Q \in \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75e32f702723e6c0bb06a34405d091a6.png)
(Q)
![\small \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QX} \small \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QX}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70669bddc4e8d38560edb7efe5dd806e.png)
Vektor
![\small \overrightarrow{OX} \small \overrightarrow{OX}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1cf1d1b4d7335a8082242d514e1ae85c.png)
![\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle \small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7bb05e98c464372c6dc5ec2663e2129.png)
![\small \overrightarrow{OX}= x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n} \small \overrightarrow{OX}= x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/20d27e3559c876e8726339de00f4d8fe.png)
![\small \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_i} \small \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_i}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c704694de9f5014fffd0160daaf52308.png)
![\small \overrightarrow{OX}=x_1(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_1})+...+ x_n(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_n}) \small \overrightarrow{OX}=x_1(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_1})+...+ x_n(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_n})](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db037839b936581c34ed13807c33f2bb.png)
odkiaľ
![\small \overrightarrow{OX}=(x_1+ . . . + x_n)\overrightarrow{OQ}+x_1\overrightarrow{QE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{QE_n} \small \overrightarrow{OX}=(x_1+ . . . + x_n)\overrightarrow{OQ}+x_1\overrightarrow{QE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{QE_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/537cb72d558004341943e8e934cabdb4.png)
Keďže predchádzajúci vzťah nie je závislý od bodu
![\small Q \small Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/20f5de86eaedafd78d12357307795b25.png)
![\small x_0=1-(x_1+ . . . + x_n) \small x_0=1-(x_1+ . . . + x_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b1a19996e13a98b6c8c510726a70cc6.png)
![\small X=O+(Q-O)+x_1(E_1-Q)+ . . . + x_n(E_n-Q) \small X=O+(Q-O)+x_1(E_1-Q)+ . . . + x_n(E_n-Q)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d840ff229b98cab7906456d84d4763b7.png)
![\small X=Q-(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n) \small X=Q-(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ca09958e2b1cd84595c25e66a91b6f2.png)
teraz položíme
![\small Q=O \small Q=O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/301540dd21bf0765f279aabc07d366e0.png)
![\small X=x_0O+x_1E_1+ . . . + x_nE_n \small X=x_0O+x_1E_1+ . . . + x_nE_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d026eb7986f5bcc02099bdb83a3ac62.png)
za predpokladu, že
![\small x_0+x_1+ . . . + x_n=1 \small x_0+x_1+ . . . + x_n=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8626063270028787aa849acba42d625d.png)
Pretože rovnosti v dôkaze predošlej vety nezávisia na voľbe bodu
, tak ku každému usporiadanému simplexu
a bodu
afinného priestoru
existuje jediná sústava skalárov
tak,
že platí rovnosť uvedená v tejto vete. Zrejme platí aj obrátená veta: Každá sústava skalárov
jednoznačne určuje bod
, pre ktorý platí tvrdenie vety.
![\small Q \in \mathcal{A} \small Q \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/925bd2c807999db4d51aeb9ef4535e96.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/577f3a2270ae2d5475b8149d80b9ff87.png)
![\small \mathcal{A}^n \small \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b12dfc315b333e3614456b2e89bdce16.png)
![\small {x_o, . . . , x_n} \small {x_o, . . . , x_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd6d4a2190e0677ea22e575250647e1a.png)
![\small {x_o, . . . , x_n}: \; \;x_0+x_1 + · · · + x_n=1 \small {x_o, . . . , x_n}: \; \;x_0+x_1 + · · · + x_n=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b6c6b5a35f2b89a480b2e4ccb105554.png)
![\small X \in \mathcal{A}^n \small X \in \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5de7584210e1f6ba91d858e26f9e3209.png)
Z dôkazu predchádzajúcej vety vyplýva, že súčet
je rovný jednej. Preto podmienka
v definícii afinnej kombinácii bodov je dôležitá a nutná.
![\small x_0+x_1 + · · · + x_n \small x_0+x_1 + · · · + x_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9d31fa94f206458a613d29c58f5b0a20.png)
![\small α_1+ . . . + α_m = 1 \small α_1+ . . . + α_m = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6baaed8c8202a52840d90392a8374f48.png)
Cvičenie.
- Nech
sú dva rôzne body. Zistite, aký bod predstavuje lineárna kombinácia
.
- Nech
sú tri nekolineárne body. Zistite, ktorý bod predstavuje lineárna kombinácia
. Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie vrcholov trojuholníka
ľubovoľný vnútorný bod tohto trojuholníka.
- ♥ Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie nezávislých bodov
ľubovoľný bod podpriestoru
určeného týmito bodmi.
Riešenie.
- Upravujme
,
čo predstavuje stred úsečky. Zobrazte túto situáciu v GeoGebre.
- Znázornite túto situáciu v GeoGebre, otvorte si zadanie Tu. Riešenie Tu.
- Podľa vety "bod ako kombinácia simplexu" pre bod
podpriestoru
a jeho simplex
platí
(Mx).
Po jednoduchej úprave dostaneme,
čo predstavuje bod podpriestoru.
- Pre podpriestor
množina všetkých bodov
spĺňajúcich podmienku (Mx) je zrejme priamka (útvar určený dvoma nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar
.
Po úprave dostaneme,
čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov.
- Pre podpriestor
to bude rovina (útvar určený tromi nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar
.
Po úprave dostaneme,
čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov.
- Pre podpriestor
Deliaci pomer
Definícia (Deliaci pomer bodov).
Nech
a
sú tri kolineárne body. Deliacim pomerom bodov
(v tomto poradí) nazývame reálne
číslo
také, že
. Budeme ho označovať
.
Nech
![\small A, B \in \mathbb E_n \small A, B \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e5fcfce96afa51c472600db2459101d0.png)
![\small C \neq B \small C \neq B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e45d54360b33ff40b14b217ff6bc28c2.png)
![\small A, B,C \small A, B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3862c52d1e30fdd8d3158e436603e352.png)
![\small \lambda \small \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/60c6401915aaa88044a14be59dab6b50.png)
![\small (C-A) = \lambda (C-B) \small (C-A) = \lambda (C-B)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1c7fdd9df51a6c1f951628b1dddab107.png)
![\small (ABC) \small (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f22c1b6066d5e7539507541df54f72c.png)
Riešenie.
-
Najskôr je nutné zistiť, či body
sú kolineárne. Pre deliaci pomer
musí platiť:
()
.
Potom môžeme spočítať
.
Po dosadení do vzťahu () dostaneme
.
- Najskôr určte súradnice priesečníka
priamky
a roviny
. Rovnica priamky
je daná parametricky
Po dosadení do všeobecnej rovnice rovinyurčíme riešenie
. Spoločný bod
má súradnice
.
- Najskôr určte súradnice bodov
.
Nasledujúce obrázky dokumentujú vzťah deliaceho pomeru pre pevne zvolené body
a premenlivý bod
. Tento vzťah predstavuje hyperbolickú funkciu.
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2a729adebe617741bcaf3119525e753d.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7d958da4acf4893d7f4fb352a15ea9b.png)
Tvrdenie (Vzťah deliaceho pomeru a lineárnej kombinácie).
Nech
. Potom pre deliaci pomer platí:
. Pozrite si grafické zdôvodnenie
Tu.
Nech
![\small C = (1 -t)A + tB,\; t \neq 1 \small C = (1 -t)A + tB,\; t \neq 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f9322a8f9a76a1ecfceae91bfcc1706.png)
![\small (ABC) = \frac{t}{t-1} \small (ABC) = \frac{t}{t-1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d103c823f466408b4189e8c86e965b99.png)
Poznámky.
- Z definície deliaceho pomeru
vyplýva, že vektory
sú lineárne závislé a platí
. Preto kvôli korektnosti definície deliaceho pomeru je v definícii uvádzaná podmienka kolineárnosti bodov
. Z predchádzajúceho tvrdenia aj z cvičenia 3. tiež vyplýva, že body
sú kolineárne.
- Z cvičenia 1. vyplýva, že existuje bod
, ktorý budeme nazývať stred dvojice bodov
(resp. úsečky
). Ak
, tak pre stred
platí
. Stred dvojice bodov
budeme označovat’
.
Tvrdenie.
a) Nech body
, potom vektory
(sa rovnajú) práve vtedy, keď
(stred rovnobežníka).
b) Pre súradnice stredu
platí:
.
Výberové témy a) Nech body
![\small A,B,C,D \in \mathbb E_n \small A,B,C,D \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/374a5a89973b800c61f234efa7628c8f.png)
![\small A-B=D-C \small A-B=D-C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b7a9d479cf831464b2a0b31d28bbe3e.png)
![\small S_{AC}=S_{BD} \small S_{AC}=S_{BD}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17c12e468671350593892e760ffe8379.png)
b) Pre súradnice stredu
![\small S_{AB} \small S_{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3c42bcd0047f1bf2c86bf94f7262490.png)
![\left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+ b_2}{2}, \cdot \cdot \cdot ,\frac{a_n+b_n}{2} \right) \left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+ b_2}{2}, \cdot \cdot \cdot ,\frac{a_n+b_n}{2} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d20581caef42fe4574d2fe811baa042d.png)
Tvrdenie (Menelaos).
Nech
sú nekolineárne body a nech
sú body rôzne od bodov
. Potom
body
sú kolineárne práve vtedy, keď
.
Nech
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small A′∈〈BC〉, B′∈〈CA〉, C′∈〈AB〉 \small A′∈〈BC〉, B′∈〈CA〉, C′∈〈AB〉](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf55d8e15a92a3a8cb493a7059efd750.png)
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small A′, B′, C′ \small A′, B′, C′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33ed39e4796f20dc03ede4492b435e9b.png)
![\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1 \small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c0093f0369fda3ae1628efe4d48e9f9.png)
Dôkaz.
Zvoľme afinnú sústavu súradníc tak, že
. Body
majú po rade súradnice
,
pričom
. Rovnica nadroviny (priamky)
má všeobecnú rovnicu
. Preto
.
Z definície deliaceho pomeru dostaneme
.
Po jednoduchých úpravách ľahko zistíme, že rovnosť
je ekvivalentná s rovnosťou
.
Na druhej strane body
sú kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke. Priamka určená bodmi
má parametrické vyjadrenie
.
Bod
leží na tejto priamke práve vtedy, keď platí
. Po dosadení súradníc dostaneme sústavu dvoch rovníc o jednej neznámej
,
ktorá má riešenie práve vtedy, keď platí
.
Zvoľme afinnú sústavu súradníc tak, že
![\small A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1) \small A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/500e92839fbbd94345ddff7936ce791f.png)
![\small C′, B′ \small C′, B′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47f12823caa85358f3ce02d0af2e14fe.png)
![\small (c,0), (0,b) \small (c,0), (0,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/98d6a8ea5b300a2947d79af1840ada84.png)
![\small c, b ≠ 0, 1 \small c, b ≠ 0, 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19c02cd352b9e1cc9c86d05c7451abdc.png)
![\small BC \small BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c1796a1e7248ad96d2360d12003ab09.png)
![\small x + y − 1 = 0 \small x + y − 1 = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba6b20bdef466b840e77e430e624d6b0.png)
![\small A′ = (a,1−a), a ≠ 0, 1 \small A′ = (a,1−a), a ≠ 0, 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c274852ee3bbfb4742217b235f6bc4c4.png)
![\small (ABC′) = c/(c −1), (BCA′) = (a −1)/a, (CAB′) = (b −1)/b \small (ABC′) = c/(c −1), (BCA′) = (a −1)/a, (CAB′) = (b −1)/b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbf1a03849e57a69fa77a0e96ed0750.png)
Po jednoduchých úpravách ľahko zistíme, že rovnosť
![\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1 \small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c0093f0369fda3ae1628efe4d48e9f9.png)
![\small ab − ac −bc + c = 0 \small ab − ac −bc + c = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e8b1421b14ffd4398e9c0f38931a573e.png)
Na druhej strane body
![\small A′, B′, C′ \small A′, B′, C′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33ed39e4796f20dc03ede4492b435e9b.png)
![\small C′, B′ \small C′, B′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47f12823caa85358f3ce02d0af2e14fe.png)
![\small X= B′+ t(C′-B') \small X= B′+ t(C′-B')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7310011380dc06861cdd006c8facfd9b.png)
Bod
![\small A′ \small A′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb41a5c8324759d22f09f0352bc5a562.png)
![\small A'= B′+ t(C′-B') \small A'= B′+ t(C′-B')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/40296eb4118a76cc8b5fdd8d7ee7abaf.png)
![\small t \small t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d3d1c6081cfdb5c2be2d111ac7f84813.png)
![\small ab − ac −bc + c = 0 \small ab − ac −bc + c = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e8b1421b14ffd4398e9c0f38931a573e.png)
Afinné zobrazenie
V ďalších kapitolách sa budeme zaoberať len euklidovským priestorom
so zameraním
. Zameriame sa prevažne len na dvojrozmerný a trojrozmerný euklidovský priestor - rovinu
a priestor
. Pripomíname, že v euklidovskom priestore je definovaný skalárny súčin.
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small \mathbb E_3 \small \mathbb E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79332af11d64130b1aff2e8b98147627.png)
Definícia.
Nech
sú euklidovské priestory. Zobrazenie
sa nazýva afinné zobrazenie (AZ), ak obrazom ľubovoľných troch kolineárnych bodov sú totožné body, alebo kolineárne body, pričom ich deliaci pomer sa zachováva.
Nech
![\small \mathbb E_n, \mathbb E_m \small \mathbb E_n, \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a8205dd0c6443a24cb7136ada4b23955.png)
![\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8aca7e316197648fdd5d821b98ca1e3.png)
Z definície vyplýva, že afinné zobrazenie má vlastnosť lineárneho zobrazenia.
Dôkaz (urobíme pre
Nech
je afinné zobrazenie a nech
, kde
.
Pre ľubovoľný bod
priamky
platí
a pre jeho obraz
priamky
bude
![\small n=2) \small n=2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/549f0cdaa013f463ca29fdbc7818b9ee.png)
Nech
![\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8aca7e316197648fdd5d821b98ca1e3.png)
![\small f(X)= \alpha_1 (A_1)+ \alpha_k (A_2) \small f(X)= \alpha_1 (A_1)+ \alpha_k (A_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129ac95c438a465829fa6d637b988b4d.png)
![\small \alpha_1+\alpha_2 =1 \small \alpha_1+\alpha_2 =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19648bdd718202e9ff9fa19a4a506d0c.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small \overleftrightarrow{A_1A_2} \small \overleftrightarrow{A_1A_2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bd2c5ff4ba13cfec05733da5f84d678.png)
![\small X= A_1+ t (A_1-A_2) \small X= A_1+ t (A_1-A_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f33f5c2f03d472c274e3551b5b8bb37.png)
a pre jeho obraz
![\small f(X) \small f(X)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fe3f89dc5e61ef756f7495f065db69c5.png)
![\small \overleftrightarrow{f(A_1)f(A_2)} \small \overleftrightarrow{f(A_1)f(A_2)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5370a06d249a89586ad8560ee3d781a.png)
![\small f(X)= f(A_1)+ t (f(A_1)-f(A_2)) \small f(X)= f(A_1)+ t (f(A_1)-f(A_2))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e6792d43b5b7646c75c48e77510f5fd8.png)
Poznámky.
♥ Príklad Tri body.
Afinné zobrazenie
zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí. Kam sa zobrazí bod
resp. bod
? Prevzaté z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 28).
Afinné zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4] \small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f4645363521a7c7ddf8f031272960e8.png)
![\small A'[1, 6], B'[1, 9], C'[3, 1] \small A'[1, 6], B'[1, 9], C'[3, 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95a78b0e2732eb2134ca3344d270d527.png)
![\small P[5, 7] \small P[5, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12b32440cc18cd0bfb55063d1f30e434.png)
![\small X[x, y] \small X[x, y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/efa1e94429b3777f84985fcc9f922d4c.png)
Riešenie.
Prvý spôsob.
Bod
vyjadrime ako lineárnu kombináciu bodov
. V takom prípade musia existovať reálne čísla
(1)
.
Zobrazenie
je lineárne, preto pre obraz
bodu
bude platiť
(2)
, pričom tiež musí platiť
Sústavu rovníc (1) a (2) vyjadríme v maticovom tvare a vyriešime.
Po vyjadrení
a po dosadení do (2) dostaneme riešenie
.
Po roznásobení
.
Porovnaním ľavej a pravej strany dostaneme riešenie
.
Prvý spôsob.
Bod
![\small P[5, 7] \small P[5, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12b32440cc18cd0bfb55063d1f30e434.png)
![\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4] \small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f4645363521a7c7ddf8f031272960e8.png)
![\small a,b,c \small a,b,c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/268e433ddde26b4afdbca46a04dd979d.png)
(1)
![\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C \small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7e13ec245b787ff1387418433a3a924.png)
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
Zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small P'[x',y'] \small P'[x',y']](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4981cddaf1f66c7b9b1f9ef84c5f482.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
(2)
![\small P'=f(P)=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C' \small P'=f(P)=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fa67443d2ed8f28a5d66f08adf610d2.png)
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
Sústavu rovníc (1) a (2) vyjadríme v maticovom tvare a vyriešime.
Pri násobení matíc typu
výsledná matica je typu
, preto matica
rep.
matica
bude typu 3 x 1, pričom prvok
bude zrejme rovný 1. (Pri riešení sme použili kalkulátor
"Matrix calculator", ktorý je dostupný
Tu.
![\small r \times s ;s \times t \small r \times s ;s \times t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/48935e1c488b65fef31b36d624f1c246.png)
![\small r \times t \small r \times t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/371fd11bd0ce5785e0169d8035bed97e.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P' \small P'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12f4f3df3b56ead51427ff2f4b18268f.png)
![\small a_{31}=a+b+c \small a_{31}=a+b+c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f01d6a6a15d370cc5c976414c778e73c.png)
![\small P=\mathrm M \times \mathrm A:\;\;\left(\begin{array}{ccc}5 \\ 7\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&1 \\ 1&0&4\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right) \small P=\mathrm M \times \mathrm A:\;\;\left(\begin{array}{ccc}5 \\ 7\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&1 \\ 1&0&4\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/38511771d048215621df8ba0081d532e.png)
![\small P'=\mathrm M' \times \mathrm A:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 6&9&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right) \small P'=\mathrm M' \times \mathrm A:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 6&9&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0aec173b106e155fd5db62f37649c8be.png)
Po vyjadrení
![\small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P:
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right) \times
\left(\begin{matrix}5 \\7 \\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11 \\\frac{15}{2} \\\frac{9}{2}\end{matrix}\right) \small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P:
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right) \times
\left(\begin{matrix}5 \\7 \\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11 \\\frac{15}{2} \\\frac{9}{2}\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/246f1f93ff18543a8cabb1eefa091ff0.png)
a po dosadení do (2) dostaneme riešenie
![\small P'=\mathrm M' \times M^{-1} \times \mathrm P:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
6 & 9 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right) \small P'=\mathrm M' \times M^{-1} \times \mathrm P:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
6 & 9 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d533641e085a575b748eb7eb4a74feb2.png)
Po roznásobení
![\small P':\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}10 \\6 \\1\end{matrix}\right) \small P':\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}10 \\6 \\1\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c57aefbc79aa5ff013dbdf5950ee5f85.png)
Porovnaním ľavej a pravej strany dostaneme riešenie
![\small P'=[10,6] \small P'=[10,6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f4056527435d985bc1a407c62a354369.png)
Dôsledok.
V našom príklade ak pre bod
zvolíme všeobecné súradnice
, tak riešenie môžeme zapísať v tvare
V našom príklade ak pre bod
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P=[x,y] \small P=[x,y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb5958c2025b20cde42da0c659bb6c06.png)
![\small P': \left(\begin{matrix}x' \\y' \\1\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
x+y-2 \\
2x-y+3 \\
1
\end{matrix}\right). \small P': \left(\begin{matrix}x' \\y' \\1\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
x+y-2 \\
2x-y+3 \\
1
\end{matrix}\right).](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92370a1313111236c597cd27b67f0102.png)
Transfomačné rovnice afinného zobrazenia.
Porovnaním riadkov matíc dostaneme sústavu - transformačné rovnice zobrazenia z príkladu "Tri body"
Dosaďte súradnice
do tejto sústavy a zistíte súradnice hľadaného bodu
.
Porovnaním riadkov matíc dostaneme sústavu - transformačné rovnice zobrazenia z príkladu "Tri body"
![x'=\;x+y-2\\y'=2x-y+3 x'=\;x+y-2\\y'=2x-y+3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/392f6ca1f195d7f648f7c579431f8189.png)
Dosaďte súradnice
![\small P[5, 7] \small P[5, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c41015f970c9b7be85aba7a97ad4bc91.png)
![\small P'[10, 6] \small P'[10, 6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90ab42afff53c904fa7219eec0f1751b.png)
Pozrite si riešenie v GeoGebre
Tu.
Kompletné grafické riešenie pre afinné zobrazenie určené obrazmi troch bodov si stiahnete Tu.
Druhý spôsob riešenia príkladu "Tri body".
Sústavu môžeme riešiť aj dosadením súradníc dostávame
a po roznásobení dostaneme
sústavu troch rovníc o troch nezámych
Dostaneme riešenie
.
V afinnom zobrazení sa kolineárnosť zachováva, preto platí
. Po dosadení riešenia a súradníc bodov
dostaneme
Sústavu môžeme riešiť aj dosadením súradníc dostávame
![\small [5, 7]=a \cdot [2, 1]+b \cdot [3, 0]+c \cdot [1, 4] \small [5, 7]=a \cdot [2, 1]+b \cdot [3, 0]+c \cdot [1, 4]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd188dc3a3f62ee19f485172daac0c7c.png)
![\small 2a+3b+c=5 \\ \small a+0b+4c=7 \\ \small a+b+c=1. \small 2a+3b+c=5 \\ \small a+0b+4c=7 \\ \small a+b+c=1.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd4b2ba25f277888afefae7371d79d8e.png)
Dostaneme riešenie
![\small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\} \small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2564a082ff62c343c30e81f403e17eb4.png)
V afinnom zobrazení sa kolineárnosť zachováva, preto platí
![\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C' \small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/470a3bf120021d25d783d070b04c92d0.png)
![\small A'[1, 6], 'B[1, 9], C'[3, 1] \small A'[1, 6], 'B[1, 9], C'[3, 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eaaa2b6f3ad10f9287f3a91a1563eba9.png)
![\small {x(P')}=1 \cdot (-11) + 1 \cdot \frac{15}{2}+3 \cdot \frac{9}{2}=-11+21=10\\ \small {y(P')}=6 \cdot (-11) + 9 \cdot \frac{15}{2}+1 \cdot \frac{9}{2}=6. \small {x(P')}=1 \cdot (-11) + 1 \cdot \frac{15}{2}+3 \cdot \frac{9}{2}=-11+21=10\\ \small {y(P')}=6 \cdot (-11) + 9 \cdot \frac{15}{2}+1 \cdot \frac{9}{2}=6.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f878492a0c7a1f5ddb1a7cca3280617d.png)
Príklad.
Zobrazenie
roviny
do tej istej roviny, ktoré bodu
priradí bod
je afinné zobrazenie. Zobrazenie, ktoré trojuholníku s jedným premenným vrcholom
priradí jeho ťažisko je afinné zobrazenie. Pozrite si dôkaz, že takéto zobrazenie je afinné
Tu.
Zobrazenie
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small X \in \overleftrightarrow {PQ} \small X \in \overleftrightarrow {PQ}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65df975ae01d89933987a27791b1adfe.png)
![\small f(X)=\frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}X \small f(X)=\frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43bd43e40fc99a7f798434dade986ae1.png)
Rôzne dimanzie
V predchádzajúcej kapitole sme riešili úlohy transfomácie euklidovských priestorov
, keď
. V tejto kapitole sa budeme zaoberať prípadom
.
![\small \mathbb E_n, \mathbb E_m \small \mathbb E_n, \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a8205dd0c6443a24cb7136ada4b23955.png)
![\small n=m \small n=m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7868e1c182f58c89fec21c3a8195041c.png)
![\small n \neq m \small n \neq m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff856d988a2431b7f5f70036268fff09.png)
Príklad zobrazenie
.
Určte parameter
tak, aby zobrazenie ktoré zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí bolo afinné. Pre vhodné
Príklad je prevzatý z práce Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.5.
![\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_3 \small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83636ae23b7cdfc3d8635ab759bcd70d.png)
Určte parameter
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d85cbe02cc02e5eb719efacb6e2ed3a2.png)
![\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, p] \small A[1, 0], B[0, 1],C[2, p]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f49c0b3f0bf1453ab07e57c5c4d6e0d0.png)
![\small A'[2,1,-1], B'[3,2,0], C'[1,0,2] \small A'[2,1,-1], B'[3,2,0], C'[1,0,2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1fc10b7b65fbaf2986dee4ec72a5bc02.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d85cbe02cc02e5eb719efacb6e2ed3a2.png)
Riešenie.
Body
vyjadrime ako lineárne kombinácie
,
kde
.Zápis v maticovom tvare V predchádzajúcej kapitole sme ukázali, že
,
kde
je matica vzorov,
matica obrazov
,
.
Pomocou maticovej kalkulačky určíme inverznú maticu.
Roznásobením
.
a porovaním ľavej a pravej strany dostaneme transformačné rovnice
Body
![\small P[x, y];P'[x', y'] \small P[x, y];P'[x', y']](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/15c79f2a8b929f1e644ab5dcf9d0f0fa.png)
![\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C \small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7e13ec245b787ff1387418433a3a924.png)
![\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C' \small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/470a3bf120021d25d783d070b04c92d0.png)
kde
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
![\small P'=M' \times M^{-1} \times P \small P'=M' \times M^{-1} \times P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28426920c33ac9922613dc1a0e0224a0.png)
kde
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/683f9f1d3f789c4c10f4845477ff0e20.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d9884a183509679bcafde7538904f09.png)
![\small M=
\left(\begin{matrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & p \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right) \small M=
\left(\begin{matrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & p \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac02e1acfd645a8100d863ad1b8ef0e9.png)
![\small M'=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right) \small M'=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8b60c2426cd5c385a754b1b698dd27fa.png)
Pomocou maticovej kalkulačky určíme inverznú maticu.
Roznásobením
![\small P':\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
\frac{p-1}{p+1} & \frac{-2}{p+1} & \frac{2}{p+1} \\
\frac{-p}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{p}{p+1} \\
\frac{1}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{-1}{p+1}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
z
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
-x+3 \\
-x+2 \\
\frac{-\left(px\right)+3x+4y-4}{p+1} \\
1
\end{matrix}\right) \small P':\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
\frac{p-1}{p+1} & \frac{-2}{p+1} & \frac{2}{p+1} \\
\frac{-p}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{p}{p+1} \\
\frac{1}{p+1} & \frac{1}{p+1} & \frac{-1}{p+1}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
z
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
-x+3 \\
-x+2 \\
\frac{-\left(px\right)+3x+4y-4}{p+1} \\
1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/14f0f6d110b966738298f2905ae89f62.png)
a porovaním ľavej a pravej strany dostaneme transformačné rovnice
![x' \, = \;\;\;- x \;\;+\;\;0y\;+\;\;3\\
y' \, = \;\;\; - x \;\;+\;\;0y\;+\;\;2\\ \\
z'\; =\frac{-p+3}{p+1}x + \frac{4}{p+1}y + \frac{-4}{p+1}. x' \, = \;\;\;- x \;\;+\;\;0y\;+\;\;3\\
y' \, = \;\;\; - x \;\;+\;\;0y\;+\;\;2\\ \\
z'\; =\frac{-p+3}{p+1}x + \frac{4}{p+1}y + \frac{-4}{p+1}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/843c15763e3f2927699bfbb45dee5000.png)
Zobrazenie bude afinným práve vtedy, ak
. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu
určíme dosadením súradníc
do transformačných rovníc. Napríklad pre
a
dostaneme
.
Kružnica určená bodmi
má stred v bode
a polomer
a jej parametrické vyjadrenie má tvar pozrite si prácu "Kružnica, Veta 8"
Tu)
.
Po dosadení týchto parametrických súradníc do transformačných rovníc, zistíme, že obrazom je elipsa ležiaca v rovine
. Jej parametrické vyjadrenie má tvar
.
![\small p \neq -1 \small p \neq -1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac124707928355194f9a5052867f2694.png)
![\small P[x, y] \small P[x, y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e18944b1e340466fd42d0882b61be14.png)
![\small x, y \small x, y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34ec3580c46d917a421d040adb3541c6.png)
![\small D[3,1] \small D[3,1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d87ae2aa6878e674fae0498a5a39d4ee.png)
![\small p=3 \small p=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3e7a2f6f7529d044089449a47bf4822.png)
![\small D'[0,-1,0] \small D'[0,-1,0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce1572c3ffb0d63e754073ce9d707f14.png)
Kružnica určená bodmi
![\small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3] \small A[1, 0], B[0, 1],C[2, 3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d68e7110804078192907e062e23a2c9c.png)
![\small S \left [\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ] \small S \left [\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f862ef6072de16856c6272e4ef49ff7.png)
![\small \frac{3 \sqrt{2} }{2} \small \frac{3 \sqrt{2} }{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd92719f25995856dfed9c3aea992ce9.png)
![\small \left [\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [\frac{3 \sqrt{2} }{2}\cos t ,\frac{3 \sqrt{2} }{2}\sin t\right ] \small \left [\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [\frac{3 \sqrt{2} }{2}\cos t ,\frac{3 \sqrt{2} }{2}\sin t\right ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/540ac5353a475dc3c3788ff54a224437.png)
Po dosadení týchto parametrických súradníc do transformačných rovníc, zistíme, že obrazom je elipsa ležiaca v rovine
![\small x-y-1=0 \small x-y-1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4313d859085232ab40c7ce9022296ee3.png)
![\small \left [\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t,-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t, \frac{3}{2}\cos t +\frac{1}{2}\sin t\right ], t, 0, 2π \small \left [\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right ] +\left [-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t,-\frac{1}{2}\cos t +\frac{3}{2}\sin t, \frac{3}{2}\cos t +\frac{1}{2}\sin t\right ], t, 0, 2π](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49c8dec70429e172c716a85f61c8fbd7.png)
Príklad zobrazenie
.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí.
Určte obraz ľubovoľného bodu
a jeho stopu. Príklad je prevzatý z práce (Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.2a).
![\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_1 \small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/116042036f78e55cbf5b687de461cfe1.png)
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
![[2,1], [3,2],[0,1] [2,1], [3,2],[0,1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28fd534fed838f9e9fb5d23c36ee99c9.png)
![[2], [0], [10] [2], [0], [10]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f02af62885a2f990cca75cf9f4dd6ad.png)
Určte obraz ľubovoľného bodu
![\small P[x, y] \small P[x, y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e18944b1e340466fd42d0882b61be14.png)
Príklad zobrazenie
.
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí.
![\small f: \mathbb E_3 \rightarrow \mathbb E_2 \small f: \mathbb E_3 \rightarrow \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c3a7ffa1dd4784c51639cd65bbdf502.png)
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré zobrazuje body
![[1,2,3], [1,1,1],[1,0,1],[0,1,3] [1,2,3], [1,1,1],[1,0,1],[0,1,3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d8a837e320e9e2612eac54ce0fc479c3.png)
![[5,4], [2,1], [1,0], [3,2] [5,4], [2,1], [1,0], [3,2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5da5cd5c780cbe37d8f10ecca2ada2c3.png)
- Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať pomocou GeoGebry. Príklad je prevzatý z práce (Monoszová, 2.časť, Cvičenie 3.3.7).
- Určte obraz nejakej kružnice a jej stredu.
Jednoznačnosť AZ
Afinné zobrazenie
determinuje ďalšie zobrazenie
medzi vektorovými zložkami príslušných euklidovských vektorových priestorov.
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
Definícia - asociované zobrazenie.
Nech
je afinné zobrazenie. Zobrazenie
nazývame asociovaným zobrazením k afinnému zobrazeniu
,
ak spĺňa nasledujúce podmienky:
Nech
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
Predchádzajúca definícia vlastne hovorí, že asociované zobrazenie „zachováva” lineárne kombinácie bodov.
Veta - korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Zobrazenie
je jednoznačné určené a je dobre definované. Ekvivalentný matematický zápis: nech
pre nejaké
. Potom existuje práve jedno asociované zobrazenie
také, že
.
Zobrazenie
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = β_0B_0 + · · · + β_kB_k \small α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = β_0B_0 + · · · + β_kB_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6cd06c25ac811ab0011d970411954744.png)
pre nejaké
![\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + \cdot \cdot \cdot + β_k = 0 \small α_0 + · · · + α_k = β_0 + \cdot \cdot \cdot + β_k = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aa93ca0a1d29c84e09b3b7bf2fba23cc.png)
![\small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m \small f^*:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8bbf15c66292a46bd82442ab8bf9d27.png)
![\small f^*(α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k) = f∗(β_0B_0 + \cdot \cdot \cdot + β_kB_k) \small f^*(α_0A_0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k) = f∗(β_0B_0 + \cdot \cdot \cdot + β_kB_k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e54560694c40ef7192cc87c370e185c.png)
Dôkaz korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že
pre nejaké
. Teda
.
Keďže zobrazenie
je afinné, a teda zachováva lineárne kombinácie bodov, tak
. Prezrite si applet z definície
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že
![\small α_0 + · · · + α_k = β_0 + · · · + β_k = 0 = M − O \small α_0 + · · · + α_k = β_0 + · · · + β_k = 0 = M − O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2259a4263a05307714062ea92e7f43be.png)
![\small M \in \mathbb E_n \small M \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6096020525e9eb907d8ec984d16382d4.png)
![\small M = O + α_0A0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = O +α_0B0 + \cdot \cdot \cdot + α_kB_k=M-O \small M = O + α_0A0 + \cdot \cdot \cdot + α_kA_k = O +α_0B0 + \cdot \cdot \cdot + α_kB_k=M-O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e0ec6ec70f12478b76d2e6edee0a455.png)
Keďže zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small f(M) = f(O) + α_0f(A_0) + · · · + α_kf(A_k) = M' + α_0B_0 + · · · + α_kB_k \small f(M) = f(O) + α_0f(A_0) + · · · + α_kf(A_k) = M' + α_0B_0 + · · · + α_kB_k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eb4dfe3ceb1f98bd2f5d074d33082f3c.png)
Lineárne nezávislá množina bodov.
Nech
je množina bodov euklidovského priestoru. Je celkom prirodzené zaviesť pojem lineárne nezávislých bodov,
ako množinu lineárne nezávislých vektorov
.
Nech
![\small A_0, . . . , A_k \in \mathbb E_n, k \leq n \small A_0, . . . , A_k \in \mathbb E_n, k \leq n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d226f4e579a6c653e8f9a592df9af2e4.png)
![\small A_1-A_0, . . . , A_k-A_0 \small A_1-A_0, . . . , A_k-A_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47a50f3cd3c2ff0c9c41861a8a20e39a.png)
Poznámka.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom
rozmernom priestore existuje najviac
lineárne nezávislých bodov. Naviac tento počet sa dá dosiahnuť.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![n + 1 n + 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84297b8adbacca9a5bc15f78ba2305bf.png)
V kapitole "Lineárna kombinácia bodov" sme dokázali vetu
Na základe tohto tvrdenia a definície nezávislých bodov, môžeme povedať, že ľubovoľný bod euklidovského priestoru
sa dá
jednoznačne vyjadriť ako ich lineárna kombinácia.
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie
je jednoznačne dané obrazmi prvkov nejakej bázy
priestoru
.
![\small \mathcal{E}_n \small \mathcal{E}_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/198f62943fd22c62580f0ab9eec558bc.png)
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie
![\small \phi:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m \small \phi:\mathrm V_n \rightarrow \mathrm V_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e174f10861f6a7fa4e735d0d42109434.png)
![\small \mathrm V_n \small \mathrm V_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/311f0339a63ef02fce434e2ce0b7aeab.png)
Dôsledok obraz repéra.
Nech
je repér priestoru
a ľubovoľný bod
. Ďalej
nech
sú vektory vektorového priestoru
. Potom existuje jediné afinné
zobrazenie
také, že
a
pre
.
Nech
![\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle \small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/114a7bd914508830595477ccf016b525.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e7e91c96327d75db56b3c4af41667a6.png)
![\small B \in \mathbb E_n \small B \in \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/153bd8d9b1bf03eb8dd2b54bf9b5e9f7.png)
![\small \lbrace{\pmb {b_1}, . . . ,\pmb {b_n} }\rbrace \small \lbrace{\pmb {b_1}, . . . ,\pmb {b_n} }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6346231ab0306a19f0b8203d48f6d98.png)
![\small \mathrm V_m \small \mathrm V_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88d288e192ef22d52f74769e5fc0f316.png)
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small f(O)=B \small f(O)=B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e0a5b185d75ed4b52ef1dc0d6cacdcc.png)
![\small f^*(\pmb {e_i})=\pmb {b_i} \small f^*(\pmb {e_i})=\pmb {b_i}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e9e5c4704bbdffdea90d1e8a67c4b1ce.png)
![\small i=1, · · · , n \small i=1, · · · , n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ec03c828517471cb508bc94e2c088cb.png)
Dôkaz nájdete v učebniciach z lineárnej algebry.
Veta (Jednoznačnosť afinného zobrazenia).
Nech
je afinné zobrazenie. Potom
je jednoznačne určené obrazmi
lineárne nezávislých bodov z
.
Nech
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small n + 1 \small n + 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dfe3b63ea38b3bf784da2a3070d20cc.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
Dôkaz.
Nech
. V súlade s definíciou nezávislých bodov, vektory
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov
v asociovanom afinnom zobrazení
platí
pre
.
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že
.
(Urobte to ako cvičenie!)
Nech
![\small f(A_0)=B_0, . . . , f(A_n)=B_n \small f(A_0)=B_0, . . . , f(A_n)=B_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a54156729fd73d0f68f67f0768f0c325.png)
![\small \pmb e_1= A_1-A_0, . . . , \pmb e_n=A_n-A_0 \small \pmb e_1= A_1-A_0, . . . , \pmb e_n=A_n-A_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e24d769151aa3816b5a6aa2e6177db4.png)
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov
![\small \pmb e_i \small \pmb e_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/191a71831eb8f4aa8edf9acd66d8be57.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small f^*(\pmb e_i)= f^*(A_i-A_0)=f(A_i)-f(A_0)=B_i-B_0 \small f^*(\pmb e_i)= f^*(A_i-A_0)=f(A_i)-f(A_0)=B_i-B_0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3eccca38e5e976a331bdc56a8e2b5607.png)
![\small i=1, · · · , n \small i=1, · · · , n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9a310f85e2616b3186d938cde25d4ba2.png)
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že
![\small f^*(\pmb e_i)=\pmb {b_i} \small f^*(\pmb e_i)=\pmb {b_i}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/721ac416b911c6099502ba1f70023e0b.png)
(Urobte to ako cvičenie!)
Príklad.
Dané sú body afinného priestoru
. Zistite, či sústava
bodov
je afinne (ne)závislá a vypočítajte dimenziu afinného podpriestoru generovaného sústavou
(dimenziu obalu
).
Dané sú body afinného priestoru
![\small \mathcal{A}_4: A[2, 4, 5, 6]; B[−7, 4, 5, 6]; C[6, 11, 3, 7]; D[−3, −10, 9, 4]; E[−3, 11, 3, 7] \small \mathcal{A}_4: A[2, 4, 5, 6]; B[−7, 4, 5, 6]; C[6, 11, 3, 7]; D[−3, −10, 9, 4]; E[−3, 11, 3, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b09fbccf9c7067f710d5ec3a4f09993.png)
![\small S = \left\{ A, B, C, D, E \right\} \small S = \left\{ A, B, C, D, E \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f339d3be49fac7add752be7da9da94aa.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
Riešenie.
Množina bodov
je afinne nezávislá, ak sústava vektorov
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
.
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
je splnená práve len pre
. V našom prípade to nie je splnené lebo hodnosť matice
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava
je lineárne závislá a teda body
sú afinne závisle. Z poslednej matice vyplýva,
že dva vektory
sú lineárne nezávislé a vektory
sú ich lineárne kombinácie.
Preto dimenzia podpriestoru
je rovná dvom. Parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru môžeme vyjadriť ako
.
To znamená, že body
ležia v rovine
.
Množina bodov
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small W=\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right\} \small W=\left\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da346f93e0fb9e896278fc90993f7a24.png)
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
![\small \overrightarrow{AB} = B − A = (−9, 0, 0, 0); \overrightarrow{AC}= (4, 7, −2, 1);\overrightarrow{AD} = (1, −14, 4, −2); \overrightarrow{AE}= (−5, 7, −2, 1) \small \overrightarrow{AB} = B − A = (−9, 0, 0, 0); \overrightarrow{AC}= (4, 7, −2, 1);\overrightarrow{AD} = (1, −14, 4, −2); \overrightarrow{AE}= (−5, 7, −2, 1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a9c3bfae93a10397901add964b34ebd7.png)
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
![\small b \overrightarrow{AB} +c \overrightarrow{AC} +d \overrightarrow{AD}+e \overrightarrow{AE} = \vec 0 \small b \overrightarrow{AB} +c \overrightarrow{AC} +d \overrightarrow{AD}+e \overrightarrow{AE} = \vec 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1c31dde90bd516441dbf4a316c7d7d44.png)
je splnená práve len pre
![\small b=c=d=e=0 \small b=c=d=e=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3bb35ce6c4ef2470f9a0db3078d3ef30.png)
![\small M=
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 7 & -2 & 1 \\
1 & -14 & 4 & -2 \\
-5 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & -14 & 4 & -2 \\
0 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right)
\small M=
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 7 & -2 & 1 \\
1 & -14 & 4 & -2 \\
-5 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & -14 & 4 & -2 \\
0 & 7 & -2 & 1
\end{matrix}\right)∼
\left(\begin{matrix}
-9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e470e618e39108137b094e1c7a8bc7ba.png)
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava
![\small W \small W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/21d5b611683ad801195bcf5e022435eb.png)
![\small A, B, C, D, E \small A, B, C, D, E](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cf531fcd8fa2dc7755db2c257944b6d3.png)
![\small \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \small \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/705b9801045a784d30096a46de1bf0a4.png)
![\small \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} \small \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc07df72d3234a84110a6ce7f088586f.png)
![\small \left\langle S \right\rangle \small \left\langle S \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66a8329026d9b1af4f2f30ed90ca03be.png)
![\small S=A+ \left\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right\rangle \small S=A+ \left\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8b7ef6695f9f6ecd2bdeefa454bc3e1.png)
To znamená, že body
![\small A, B, C, D, E \small A, B, C, D, E](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cf531fcd8fa2dc7755db2c257944b6d3.png)
![\small (ABC) = S \small (ABC) = S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4299e71e37da3f6319e61f820f155fc.png)
Poznámky.
- Nech
je
-rozmerný euklidovský priestor so zameraním
a nech
je afinná transformácia. Potom môžeme definovať asociované zobrazenie
afinného zobrazenia
aj nasledovne:
,
- Asociované zobrazenie
je vlastne "reštrikcia" zobrazenia
na vektorový priestor. Zobrazuje vektory so zamerania
na vektory toho istého zamerania.
Analytické vyjadrenie
Nech je v
je afinné zobrazenie
, v ktorom sa repér
zobrazí na repér
, pričom pre súradnice obrazov platí
.
Nech
je bod euklidovského priestoru, potom pre jeho obraz
bude platiť
(AV)
.
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \right\rangle \left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0ea2249fdb6b0d57edb027946dc31cff.png)
![\left\langle \small O; \vec f_1, \vec f_2, . . . , \vec f_m \right\rangle \left\langle \small O; \vec f_1, \vec f_2, . . . , \vec f_m \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da48729e8a293584def5dd87cff21e52.png)
![\small f(O)=[r_1,r_2,...,r_m] \small f(O)=[r_1,r_2,...,r_m]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5eda1f88fc333cd5842ee547a31e19d.png)
![\small \vec e'_i=f(\vec e_i)=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m) \small \vec e'_i=f(\vec e_i)=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af60940ae8141d3886af5088f2cf1c5d.png)
Nech
![\small X=[x_1,x_2,...,x_n] \small X=[x_1,x_2,...,x_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5dcae89eca8a64e02819035d3279438.png)
![\small X'=[x'_1,x'_2,...,x'_m] \small X'=[x'_1,x'_2,...,x'_m]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ab3a2d90723d2e20d5aa14c22d84357.png)
(AV)
![\small X'=f(X)=\left(\begin{array}{ccc} a^1_1&...&a^n_1 \\ a^1_2&...&a^n_2 \\...
\\ a^1_n&...&a^n_m\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x_1 \\ x_2\\ ...
\\x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}r_1 \\ r_2\\ ...\\r_m \end{array}\right) \small X'=f(X)=\left(\begin{array}{ccc} a^1_1&...&a^n_1 \\ a^1_2&...&a^n_2 \\...
\\ a^1_n&...&a^n_m\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x_1 \\ x_2\\ ...
\\x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}r_1 \\ r_2\\ ...\\r_m \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/382da51c0ec5b6dfe69408f7b8e39384.png)
Zápis (AV) nazývame analytické vyjadrenie afinného zobrazenia
vzhľadom k afinnej súradnicovej sústave
.
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/58f7f8dabe190ae58f00766af5a1c502.png)
![\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace \small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e69068ed8dc6c17cc4099c37d906e40.png)
Namiesto označenia
budeme tiež používať označenie
. V ďalších kapitolách sa zameriame na afinné zobrazenia v euklidovskej rovine,
pričom upriamime pozornosť na analytické vyjadrenia zhodných (zhodnostných) zobrazení v rovine.
![\small f(\vec e_i) \small f(\vec e_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/64afca890a3f877f6f7c3bc032551c14.png)
![\small \overrightarrow{e'_1} \small \overrightarrow{e'_1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/36ff0031257f74ccef86e1df7d872bad.png)
Úlohy.
Riešenie úlohy č. 1.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j
. Označme súradnice vzoru
ako usporiadanú dvojicu
a
súradnice jeho obrazu
v zobrazení
ako
. Keďže ide o identické zobrazenie, tak musí platiť
.
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti
.
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
.
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru
.
Riešenie úlohy č. 2 je v nasledujúcej kapitole.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j
![\small f(X)=X \small f(X)=X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c71044e173dc72e88a436284b0b69bb1.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small (x,y) \small (x,y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d4ea9ab6c805d42fcc7986dad77a9f5.png)
![\small f(X) \small f(X)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fe3f89dc5e61ef756f7495f065db69c5.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small (x',y') \small (x',y')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/104f0d3d5e4e73bb65801d42a41c9a20.png)
![\small (x',y')=(x,y) \small (x',y')=(x,y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6712a6c271f5a61c78ab3ed311a34894.png)
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti
![\small x'=x,y'=y \small x'=x,y'=y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fe56091800c5aa9a6e4c99b3b172cc6.png)
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
![\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0 \\ 0 \end{array}\right) \small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0 \\ 0 \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66d1e3bdf7bb18962d7bfb238d411482.png)
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4fd2218e18919ed0b7c9d4ba4cda3a1f.png)
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru
![\small \mathbb E_n; n>2 \small \mathbb E_n; n>2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e9c844f600ad0bb40264d4fa5b2794c3.png)
Riešenie úlohy č. 2 je v nasledujúcej kapitole.
Rozšírené afinné súradnice.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov:
. V dôsledku tohto príkladu sme
vlastne použili rozšírené afinné súradnice, pomocou ktorých možno zjednodušiť zápis analytické vyjadrenie afinného zobrazenia. Rozšírené afinné súradnice sprehľadnia zápis zobrazení. Súradnice bodu
nahradíme súradnicami
a súradnice
vektora
nahradíme súradnicami
.
Pre takto zavedené rozšírenie platí obvyklá aritmetika s bodmi a vektormi z euklidovských priestorov, ako aj počítanie s lineárnymi kombináciami.
V rozšírených afinných súradniciach možno potom písať analytické vyjadrenie zobrazenia takto
,
pričom
má ten istý význam ako pri afinných súradniciach.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov:
![\small a_1+a_2+ . . . =1 \small a_1+a_2+ . . . =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7b317daa3f2d5d60ce8b5d8ec459021.png)
![\small X = [x_1 , . . . , x_n ] \small X = [x_1 , . . . , x_n ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d6bb0fe4aa343a6996a595b0930f987.png)
![\small [ x_1 , . . . , x_n,1 ] \small [ x_1 , . . . , x_n,1 ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a2baa221eb1ab835da5a2af8b84374ee.png)
![\small \vec e'_i=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m) \small \vec e'_i=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b85b63aa77d05154a23d690ad60c99eb.png)
![\small ( a^i_1,a^i_2,...,a^i_m,0 ) \small ( a^i_1,a^i_2,...,a^i_m,0 )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d289f5c24c3db49d89b8a9de4a1e9387.png)
V rozšírených afinných súradniciach možno potom písať analytické vyjadrenie zobrazenia takto
![\small
\left(
\begin{array}{} x_1' \\ x_2' \\ · · · \\ x_n' \\ 1 \end{array}\right)=
\left(
\begin{array}{} a_1^1 & a_1^2 & · · · &a_1^n & r_1 \\
a_2^1 & a_2^2 & · · · &a_2^{n} & r_2 \\
\; \; ···\\
a_m^1 & a_m^2 & · · · &a_m^n & r_m \\
0 & 0 & · · · & 0& 1 \\ \end{array}\right)
\times
\left(
\begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ · · · \\ x_n \\ 1 \end{array}\right) \small
\left(
\begin{array}{} x_1' \\ x_2' \\ · · · \\ x_n' \\ 1 \end{array}\right)=
\left(
\begin{array}{} a_1^1 & a_1^2 & · · · &a_1^n & r_1 \\
a_2^1 & a_2^2 & · · · &a_2^{n} & r_2 \\
\; \; ···\\
a_m^1 & a_m^2 & · · · &a_m^n & r_m \\
0 & 0 & · · · & 0& 1 \\ \end{array}\right)
\times
\left(
\begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ · · · \\ x_n \\ 1 \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d45fd144fbca1f62c37e963078de4ee9.png)
pričom
![\small x_i, a_i^j,r_i \small x_i, a_i^j,r_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4cc30554b2a4687d3c12c0b9906cb08a.png)
Rovnoľahlosť a posunutie
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny - posunutím a rovnoľahlosťou. Tieto zobrazenia v syntetickom poňatí geometrie definujeme
jednoducho pomocou
- pevne zvoleného vektora -posunutie,
- pevne zvoleného bodu a skalára - homotétia alebo tiež rovnoľahlosť. Ukážeme, že tieto zobrazenia sú afinné a určíme ich transformačné matice.
Dôkaz.
Rovnoľahlosť
v euklidovskej rovine bodu
priraďuje bod
taký, že pre deliaci pomer bodov
platí
. Z definície deliaceho pomeru dostaneme vzťah
(h)
,
kde
je zvolený stred rovnoľahlosti a
je reálny koeficient.
V prvom kroku musíme ukázať (dokázať), že obrazom troch kolineárnych bodov v rovnoľahlosti sú opäť tri kolineárne body. Najskôr dokážeme toto tvrdenie analyticky.
Nech
sú ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body. Dvomi bodmi
je určená práve jediná priamka
. Podľa predpokladu bod
je bodom priamky
. V takom prípade existuje parameter
taký, že platia rovnosti
,
.
Označme
obrazy bodov
v rovnoľahlosti
. Potom súradnice týchto bodov musia spĺňať vzťah (h), čo vedie k rovnostiam
pre
. Upravujme posledný výraz
.
Dostali sme výraz, ktorý nám hovorí, že obraz
bodu
v zobrazení
leží na priamke určenej
bodmi
. Odkiaľ vyplýva, že zobrazenie
zachováva kolineárnosť a preto je afinným zobrazením.
Syntetický (konštrukčný) dôkaz tvrdenia, že rovnoľahlosť zachováva kolineárnosť je pomerne jednoduchý. Stačí využiť vlastnosť, že v rovnoľahlosti sa rovnobežnosť zachováva. Pozrite si nasledujúci obrázok. Vlastnosť zachovania kolineárnosti vyplýva z podobnosti trojuholníkov
a
.
Rovnoľahlosť
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/577f3a2270ae2d5475b8149d80b9ff87.png)
![\small X' \small X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f42dd5bf167fe384a5997f3b81accbc.png)
![\small S,X,X' \small S,X,X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/092293c0491481984002dbf21271eb1a.png)
![\small (X'XS)=k \small (X'XS)=k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d7157238c6e72ab360690591ceabb64.png)
(h)
![\small \mathcal{H}: X' = S+k(X−S) \small \mathcal{H}: X' = S+k(X−S)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88c7a8d75a14879e4430751d2ad5be6b.png)
kde
![\small S[s_1,s_2] \in \mathbb E_2 \small S[s_1,s_2] \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a1c26e689f4a4cb3e1f0d602a9905e22.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/05a0604e4a27d5b402b3e80701e06ff5.png)
V prvom kroku musíme ukázať (dokázať), že obrazom troch kolineárnych bodov v rovnoľahlosti sú opäť tri kolineárne body. Najskôr dokážeme toto tvrdenie analyticky.
Nech
![\small A[a_1,a_2],B[b_1,b_2],C[c_1,c_2] \small A[a_1,a_2],B[b_1,b_2],C[c_1,c_2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69afe175d7ed037d38d7f0b09adfa934.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small p=\overleftrightarrow{AB} \small p=\overleftrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/940cfca559aaa44435a9ea9b4194a0bf.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
![\small p \small p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87c9c4f2b312b6964574ff10cde4858d.png)
![\small t \small t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b89c238bcc0f4e7cbf253bc0e238ffc2.png)
![\small c_1=a_1+t(b_1-a_1) \small c_1=a_1+t(b_1-a_1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4222985286ef04fbf6d67463e92d9920.png)
![\small c_2=a_2+t(b_2-a_2) \small c_2=a_2+t(b_2-a_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/432482adeab03368993922d9ddee391a.png)
Označme
![\small A'[a'_1,a'_2],B'[b'_1,b'_2],C'[c'_1,c'_2] \small A'[a'_1,a'_2],B'[b'_1,b'_2],C'[c'_1,c'_2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b451b3f2a1bcbe476b54b08ff273ea9.png)
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small a'_i=s_i+k(a_i-s_i) \small a'_i=s_i+k(a_i-s_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70813e75a68a0ff66df8646ee9108d2c.png)
![\small b'_i=s_i+k(b_i-s_i) \small b'_i=s_i+k(b_i-s_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/baf8bb6c9c4bfbbe68491ff00baa7d4e.png)
![\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i) \small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2775ff7356ee5f79f65d5e084479a7cf.png)
pre
![\small i=1,2 \small i=1,2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2301cab50343c6871f5c13cb02615d45.png)
![\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)=s_i-ks_i+k(a_i-t(b_i-a_i))= \small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)=s_i-ks_i+k(a_i-t(b_i-a_i))=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f7fdd236aedd21682edd87aa31b6b40.png)
![\small =s_i-ks_i+ka_i-kt(b_i-a_i))= [𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]−𝑘𝑡(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖−𝑎_𝑖+𝑠_𝑖)= \small =s_i-ks_i+ka_i-kt(b_i-a_i))= [𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]−𝑘𝑡(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖−𝑎_𝑖+𝑠_𝑖)=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c681a01115932036b0e5d058fc3e367d.png)
![\small=𝑎′_𝑖−𝑘𝑡[(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖)−(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]= \small=𝑎′_𝑖−𝑘𝑡[(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖)−(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/52d68a8f94debc432367bf18d957ad68.png)
![\small=𝑎′_𝑖−𝑡[(𝑠_𝑖+𝑘(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖))−(𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖))]= \small=𝑎′_𝑖−𝑡[(𝑠_𝑖+𝑘(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖))−(𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖))]=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b742adedf4d1e34816b71e1be573abd.png)
![\small=𝑎′_𝑖+𝑡[𝑏′_𝑖−𝑎′_𝑖] \small=𝑎′_𝑖+𝑡[𝑏′_𝑖−𝑎′_𝑖]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a95d131333c85242a71483af33b7ce7f.png)
Dostali sme výraz, ktorý nám hovorí, že obraz
![\small C' \small C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/40192806d1e349f81ff8c597514b3d55.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e88b22e1103cec62f9570492a826bca.png)
![\small A',B' \small A',B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b1982a5126c2bd89bf5edc647a42897a.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
Syntetický (konštrukčný) dôkaz tvrdenia, že rovnoľahlosť zachováva kolineárnosť je pomerne jednoduchý. Stačí využiť vlastnosť, že v rovnoľahlosti sa rovnobežnosť zachováva. Pozrite si nasledujúci obrázok. Vlastnosť zachovania kolineárnosti vyplýva z podobnosti trojuholníkov
![\small \triangle SAC,\triangle SA'C' \small \triangle SAC,\triangle SA'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b24228ba7be2730a0ab5375161b4d48.png)
![\small \triangle SBC,\triangle SB'C' \small \triangle SBC,\triangle SB'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5113d59b644bbf77c5935aeaa91c74c9.png)
Vzťah (h) je vlastne parametrické vyjadrenie a predstavuje transformáciu roviny
, ktorá bodu
v rovnoľahlosti
priradí bod
. Tento vzťah môžeme po jednoduchej úprave upraviť na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych
,
kde
.
Usporiadaná dvojica
predstavuje súradnice obrazu počiatku
v rovnoľahlosti
.
K dôkazu stačí dosadiť súradnice začiatku
do vzťahu (h).
Preskúmajme aké budú obrazy súradnicových ortonormálnych vektorov
v rovnoľahlosti
. Dosadením súradníc
bodov
do vzťahu (h) dostaneme pre obrazy
,
po dosadení súradníc
do rozdielov
dostaneme súradnice obrazov
Súradnice obrazov súradnicových ortonormálnych vektorov sú závisé len od koeficienta
.
V súlade s definíciou analytického vyjadrenia afinného zobrazenia môžeme vyjadriť rovnoľahlosť
v rovine pomocou rozšíreného maticového tvaru takto:
.
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small X[x,y] \in \mathbb E_2 \small X[x,y] \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e08e134049c7de5555f4ceb42445fae2.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small X'[x',y'] \in \mathbb E_2 \small X'[x',y'] \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95b6089b0fb9d1a688d01934e8311f0f.png)
![\small x′,𝑦′ \small x′,𝑦′](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c314a0532640ad0760f2ff92f1f0ae41.png)
![\small 𝑥′= 𝑘 \cdot 𝑥+0 \cdot 𝑦+o'_1 \small 𝑥′= 𝑘 \cdot 𝑥+0 \cdot 𝑦+o'_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33f6739ca008f663537fbc96be67e6c8.png)
![\small 𝑦′=0 \cdot 𝑥+𝑘 \cdot 𝑦+o'_2 \small 𝑦′=0 \cdot 𝑥+𝑘 \cdot 𝑦+o'_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f7d91ac9129aac7a591a73feae5e4d0.png)
kde
![\small 𝑜′_1=𝑠_1+𝑘 \cdot (0-𝑠_1)=s_1 (1-k);𝑜′_2=𝑠_2 (1-k) \small 𝑜′_1=𝑠_1+𝑘 \cdot (0-𝑠_1)=s_1 (1-k);𝑜′_2=𝑠_2 (1-k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ac5f5b56bef5208e73e623ae91cfa33.png)
Usporiadaná dvojica
![\small [s_1(1-k),𝑠_2(1-k)] \small [s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f077ed49890c27918ec06940cf36776.png)
![\small O[0,0] \small O[0,0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab786f1f1348064c3558f8b3acc41e8c.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small O[0,0] \small O[0,0]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab786f1f1348064c3558f8b3acc41e8c.png)
Preskúmajme aké budú obrazy súradnicových ortonormálnych vektorov
![\small \vec e_1=E_1-O=[1,0];\vec e_2=E_2-O=[0,1] \small \vec e_1=E_1-O=[1,0];\vec e_2=E_2-O=[0,1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65697fba787ddf89773c3cd0e64c3e7b.png)
![\small \mathcal{H}=(S,k) \small \mathcal{H}=(S,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/277abc51766139f269bb49ee805fd4f0.png)
![\small E_1,E_2 \small E_1,E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/13a81461a93edf0fce0a954fa6239421.png)
![\small E_1';E_2' \small E_1';E_2'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da9af4486956ff8336a3920363abea2e.png)
![\small E_1'=[k+s_1(1-k),s_2(1-k)],E_2'=[s_1(1-k),k+s_2(1-k)] \small E_1'=[k+s_1(1-k),s_2(1-k)],E_2'=[s_1(1-k),k+s_2(1-k)]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a57bd414561b5998b36d7af96b142cda.png)
po dosadení súradníc
![\small O'[s_1(1-k),𝑠_2(1-k)] \small O'[s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d7c09fd2b900d768d74871f7bc77ed7.png)
![\small E_1'-O';E_2'-O' \small E_1'-O';E_2'-O'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca0487058d910ec309362d11f63a64d4.png)
![\small \vec e_1';\vec e_2' \small \vec e_1';\vec e_2'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c82f39f182d4f35359ec8583134f6df7.png)
![\small \vec e_1'=([k+s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(k,0)};\\ \small \vec e_2'=([s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[k+s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(0,k)} \small \vec e_1'=([k+s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(k,0)};\\ \small \vec e_2'=([s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[k+s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(0,k)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e7a44d83fd3a9987dbebea6aff9a1390.png)
Súradnice obrazov súradnicových ortonormálnych vektorov sú závisé len od koeficienta
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3b2ad892abd19bf1f81965bd66cd27d1.png)
V súlade s definíciou analytického vyjadrenia afinného zobrazenia môžeme vyjadriť rovnoľahlosť
![\small \mathcal{H} \small \mathcal{H}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfeb678706e72aaef2394ff03e5389b8.png)
![\small
\left(\begin{array}{} x'\\ y' \\ 1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{} k & 0 & o'_1 \\ 0 & k & o'_2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)
\times
\left( \begin{array}{} x \\ y \\ 1 \end{array} \right) \small
\left(\begin{array}{} x'\\ y' \\ 1\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{} k & 0 & o'_1 \\ 0 & k & o'_2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)
\times
\left( \begin{array}{} x \\ y \\ 1 \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28ab2aed033cebea6543068091521fd1.png)
Poznámky.
- Maticu
nazývame matica afinného zobrazenia (rovnoľahlosti), pričom prvky prvého (resp. druhého) stĺpca tejto matice predstavujú súradnice vektora
(resp. vektora
), ktorý je obrazom vektora
(resp. vektora
) v danej rovnoľahlosti. V rovnoľahlosti rovnobežnosť sa zachováva, preto vektory
a
sú lineárne závislé, pričom
.
- V transformačných rovniciach koeficienty pri neznámej
(resp.
) predstavujú súradnice vektora
(resp. vektora
).
Riešenie. Využite riešenie príkladu "Tri body" v kapitole "Afinné zobrazenie". Pozrite si grafické riešenie
Tu.
Úloha.
Vytvorte applet v GeoGebre, ktorý bude generovať transformačné rovnice pre posunutie v rovine.
Vytvorte applet v GeoGebre, ktorý bude generovať transformačné rovnice pre posunutie v rovine.
Pomoc. Inšpirujte sa appletom pre určenie transformačných rovníc posunutia v rovine pomocou programu GeoGebra. Návrh
Tu.
Obraz troch bodov
Nech je daná
- tica bodov
v euklidovskom priestore
taká, že
- tica vektorov
so zamerania
je nezávislá. V tomto prípade sústava
tvorí repér tohto priestoru. Takejto
- tici bodov budeme hovoriť, že je lineárne nezávislá.
Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie
je jednoznačne určené obrazmi
lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru
.Dôkaz tohto tvrdenia nájdete aj v práci [Chalmoviansky, 2022].
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine
, v ktorom sú dané dve trojice odpovedajúcich nekolineárnych bodov. Začneme trojicami, ktoré vyhovujú rovnoľahlosti, čo nám uľahčí kontrolu správnosti určenia transformačných rovníc.
![\small (n+1) \small (n+1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27bfd9077956c93ffacdb21a16032846.png)
![\small A,A_1,...,A_n \small A,A_1,...,A_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af9c22f8666911fa32278bdd93e3d07f.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
![\small (n) \small (n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1577cd78584d9b3a3c91ed05233e83e.png)
![\small \vec a_1=A_1-A,...,\vec a_n=A_n-A \small \vec a_1=A_1-A,...,\vec a_n=A_n-A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43d7ba330e1436c0f9745413bca06baf.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small \mathcal R = \lbrace A; \vec a_1, \vec a_2, . . . , \vec a_n \rbrace \small \mathcal R = \lbrace A; \vec a_1, \vec a_2, . . . , \vec a_n \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/810470658f1b88fc4053a3b0ba884662.png)
![\small (n+1) \small (n+1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27bfd9077956c93ffacdb21a16032846.png)
Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie
![\small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f : \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66df4fcf974a0e62a305016324868252.png)
![\small n + 1 \small n + 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34d563ec9a611b65ff4f3dc8ce59c851.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
Riešenie (riešenie pomocou programu GeoGebra
Tu).
Pre bod
v rovine
platí, že je lineárnou kombináciou bodov
,
preto platí
, pričom
.
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore
majú tvar
,
kde
sú súradnice obrazov vektorov bázy
a súradnice obrazu začiatku repéra
. Dosaďme súradnice
bodov
do týchto transformačných rovníc. Po úprave dostaneme dve rovnice o 6 neznámych
. Konkrétne to budú rovnice
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov
dostaneme ďalšie 4 rovnice.
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.
Pre bod
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/577f3a2270ae2d5475b8149d80b9ff87.png)
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small A(-1,-2) ;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2});C(-3,0) \small A(-1,-2) ;B(\frac{3}{2},-\frac{3}{2});C(-3,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0936b7cf82dfa704a8722ba417a04e3a.png)
![\small X=a(-1,-2)+b(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})+c(-3,0) \small X=a(-1,-2)+b(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})+c(-3,0)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ef676a4c1eb368f1d4c2c08a40694254.png)
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7500ca3ad9b84205ea31dbb85787e123.png)
![\small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q \small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cc84e61d9618d316b97f0b475f1fba8.png)
kde
![\small a,b,c,d,p,q \small a,b,c,d,p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a82186bbdb58f9df1ff6a2a29fd8c9a8.png)
![\small a,b,c,d \small a,b,c,d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e28b804d467c29ea9ccaecbeaeb8bd58.png)
![\small p,q \small p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da828129113d767cc6b9aa662f213978.png)
![\small A, A' \small A, A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/13ed7f09ad354ccd2fe457f35ea22ec5.png)
![\small a,b,c,d,p,q \small a,b,c,d,p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a82186bbdb58f9df1ff6a2a29fd8c9a8.png)
![\small 4 =-1 a-2 c+p \\ \small 2 =-1b-2 d+q. \small 4 =-1 a-2 c+p \\ \small 2 =-1b-2 d+q.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/092e68671926394b3cb164298a1d1a6b.png)
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov
![\small B, B',C,C' \small B, B',C,C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f6e31108ef539f47b5fe91cb380c0d3.png)
![\small \frac{11}{4} =\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}c+p \small \frac{11}{4} =\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}c+p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9fab8b413f7060aec932260a91785858.png)
![\small -\frac{1}{2}=\frac{3}{2}b-\frac{3}{2} d+q \small -\frac{1}{2}=\frac{3}{2}b-\frac{3}{2} d+q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d64d6b19301c45de2788e8df9a25a66f.png)
![\small 2 =-3 a+0 c+p \\ \small 4 =-3b+0 d+q. \small 2 =-3 a+0 c+p \\ \small 4 =-3b+0 d+q.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dc71cf52b4a0cc94fa05a271cf4ffd3.png)
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.
Poznámka.
Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.
Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou GeoGebra vzhľadu "Tabuľka" najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov:
, kde
je názov bodu, ktorého súadnice vkladáme.
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz
, ktorý predstavuje prvú súradnicu bodu
.
Tabuľka má ďalšiu veľkú výhodu: Vstupné pole „A2“ je aktívne voči zmene polohy bodu
. Ak sa poloha bodu
zmení, tak sa automaticky zmení aj
príslušné polia tabuľky
. Analogicky sa aktualizujú aj zvyšné polia tabuľky. Dynamické vstupy nám teda umožnia aktualizovať maticu
sústavy 6 rovníc aj s pravou stranou. Je to matica typu 6×7 s rozsahom je
.
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok.
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.
Matica zobrazenia Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.
Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou GeoGebra vzhľadu "Tabuľka" najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov:
![\small =x(M), y(M) \small =x(M), y(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d647892be4f4f8ea63e75f7e9e32caa2.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz
![\small „=x(A)“ \small „=x(A)“](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af25d094b549eca3d98a030a37100604.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd8debb3b3e403c157b2967da208a506.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd8debb3b3e403c157b2967da208a506.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd8debb3b3e403c157b2967da208a506.png)
![\small „=x(A)“, "=y(A)“ \small „=x(A)“, "=y(A)“](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/356579cadadcd032c2ca684c305b41e3.png)
![\small (A2 ... G7) \small (A2 ... G7)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63d0aeca5e77d242b55d81e224447b94.png)
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok.
![\small
\left(\begin{matrix}
a \\
b \\
c \\
d \\
p \\
q
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
-0,25 \\
-1 \\
-1,25\\
0 \\
1,25\\
1
\end{matrix}\right) \small
\left(\begin{matrix}
a \\
b \\
c \\
d \\
p \\
q
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
-0,25 \\
-1 \\
-1,25\\
0 \\
1,25\\
1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/45c9215f0df2eaade3075d2b4e3686eb.png)
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small \mathcal A= \left( \begin{array}{} -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ -1 & \;\;0 \\ \end{array} \right) \small \mathcal A= \left( \begin{array}{} -\frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ -1 & \;\;0 \\ \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/be8722d56a75e344d8bdb477f168b880.png)
Obraz repéra
Z analytického vyjadrenia afinného zobrazenia
vyplýva, že takéto afinné zobrazenie je jednoznačne určené, ak poznáme obraz
súradného repéru
v tomto zobrazení. Analytické vyjadrenie daného zobrazenia je určené vzťahom (AV) v kapitole "Analytické vyjadrenie".
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny
, ktorá má repér
. Nech tento súradný repér v afinnom zobrazení
sa zobrazí na repér
. Vektory
sú lineárne nezávislé, preto aj ich obrazy
sú zrejme lineárne nezávislé. Dokážte to!
![\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88122ae566ac95155235a82e325c9aad.png)
![\small \mathcal R' = \left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}', \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}'\right\rangle \small \mathcal R' = \left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}', \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}'\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d71e69c9c37efd5acf8420610fdb8384.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ebc9f13dbaa8e07738a330412b16769f.png)
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny
![\small \mathbb E_2=(\mathbb R_2, V_n(\mathbb R)) \small \mathbb E_2=(\mathbb R_2, V_n(\mathbb R))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e3ec9a28a3b3bc6bad20b28cb388d28.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O[0,0];\pmb {e_1}=(1,0),\pmb {e_2}=(0,1)\right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O[0,0];\pmb {e_1}=(1,0),\pmb {e_2}=(0,1)\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2831d609507dca97ba6f6635794431e6.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}'\right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}'\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b2b8b188a8c551c7b3889c7dbc3335a6.png)
![\small \pmb {e_1},\pmb {e_2} \small \pmb {e_1},\pmb {e_2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a364cdc24fdfe766e678a58c6dca98a9.png)
![\small \pmb {e_1}',\pmb {e_2}' \small \pmb {e_1}',\pmb {e_2}'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c6c8e3b5fd4305894215066ac9138511.png)
Maticový zápis pre rovinné afinné zobrazenie
určené obrazom repéra
bude mať nasledovný tvar
alebo
,
kde
sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení
a
je obraz začiatku súradnej sústavy v afinnom zobrazení
.
![\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2 \small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bca28a5d2c9de042b02747659ea3cc47.png)
![\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2} \right\rangle \small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5970166b6b274057e9f00edc2c2ca4d6.png)
![\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c \\ b&d \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right) \small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c \\ b&d \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/280b783e98f7feb87ea69c484f94fc36.png)
![\small
\left(\begin{array}{ccc} x'\\ y'\\1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c&p \\
b&d&q \\
0&0&1
\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{ccc}x \\ y\\1 \end{array}\right) \small
\left(\begin{array}{ccc} x'\\ y'\\1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c&p \\
b&d&q \\
0&0&1
\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{ccc}x \\ y\\1 \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16229e43e3edb622ad1e9342d678b756.png)
kde
![\small (a,b)=f^*(\vec e_1), (c,d)=f^*(\vec e_2) \small (a,b)=f^*(\vec e_1), (c,d)=f^*(\vec e_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e0b6ee3916e21aa8122f4d08eb6a938.png)
![\small f^* \small f^*](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1662783f6a5e06fe984bcb61fa72febf.png)
![\small [p,q]=f(O) \small [p,q]=f(O)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/feb3f3a5de864768600e9bca42c058f3.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
Matica
sa nazýva transformačná matica afinného zobrazenia
.
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom
, môžeme transformačné rovnice určiť priamo pomocou súradníc obrazu počiatku
a súradníc vektorov
. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu
roviny potom môžeme získať tak, že do transformačných rovníc dosadíme súradnice
bodu
.
![\small \mathcal M_f= \left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right) \small \mathcal M_f= \left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4cc87f04c7f7bb9e8cc3d4fa65ad10ed.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom
![\small \left\langle O', \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle \small \left\langle O', \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/292fcf027625d40acda124b714d29327.png)
![\small O' \small O'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c48ca111c79fccbf1cb60bcd4eee5fae.png)
![\small \vec e'_1, \vec e'_2 \small \vec e'_1, \vec e'_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f8dde5480327fe3c42c635c7dff6b30.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P[x_p, y_p] \small P[x_p, y_p]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7bff613390be76a0f1fa7b64a9da5b3.png)
Príklad - obraz bodu
a kružnice euklidovskej roviny.
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
-
Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré postupne zobrazuje body súradného repéra
do bodov
v tomto poradí.
- Určte obraz ľubovoľného bodu
.
- Určte obraz kružnice
pomocou nástroja "Množina bodov".
- Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať. Príklad je prevzatý z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 29).
Riešenie.
- Najskôr musíme určiť obraz súradného repéra
. Keďže začiatok súradnej sústavy bod
je samodružný, tak pre obrazy vektorov
bude platiť
. Transformačné rovnice určíme dosadením súradníc obrazov vektorov
a súradníc bodudo sústavy dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych
Dostaneme transformačné rovnice - Súradnice obrazu ľubovoľného bodu
určíme dosadením jeho súradníc
do transformačných rovníc. Pre súradnice
dostaneme
Výsledok napríklad pre bodje
.
- Samostatná práca: V GeoGebra applete (upravte applet "Kompletné grafické riešenie ..." z príkladu Tri body) si zvoľte si ľubovoľnú kružnicu
a na nej si zvoľte ľubovoľný "Bod na objekte"
. Potom vo vlastnostiach bodu
v definícii zadajte P=L. Nakoniec aktivujte nástroj "Množina bodov" a kliknite postupne na bod
a potom na bod
.
- Na základe obrazu kružnice ide o osovú afinitu, ktorej os je x-ová súradná os. Ukážte, že každý bod x-ovej súradnej osi je samodružný.
- Kompletná konštrukcia - "Dynamický repér" Tu.
Samodružnosť
Definícia (Samodružný bod).
Bod
v afinnom zobrazení
je samodružný práve vtedy, ak sa v zobrazení
zobrazí sám na seba
.
Bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![\small f:\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n \small f:\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df182d59d53d31840f70eaf858cb44aa.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small f(X) = X \small f(X) = X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76ec2c7ec0f7bc79fbcd8738c79e560d.png)
Samodružné body afinnej transformácie pre
jednoducho nájdeme ako riešenie sústavy dvoch rovníc
Vyriešiť tieto rovnice je jednoduché, ak poznáme koeficienty a,b,c,d,p,q.
![\small n=2 \small n=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0a7851ba9944e516dba53a2b655a9671.png)
![\small x=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y=b \cdot x+d \cdot y+q. \small x=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y=b \cdot x+d \cdot y+q.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355a81a587291280deacb362927bced6.png)
Vyriešiť tieto rovnice je jednoduché, ak poznáme koeficienty a,b,c,d,p,q.
Poznámky.
Z pohľadu syntetickej geometrie táto sústava dvoch rovníc predstavuje dve priamky v rovine. Vyriešiť sústavu znamená teda nájsť spoločné body dvoch priamok a to môže byť
Z pohľadu syntetickej geometrie táto sústava dvoch rovníc predstavuje dve priamky v rovine. Vyriešiť sústavu znamená teda nájsť spoločné body dvoch priamok a to môže byť
- prázdna množina – vtedy afinné zobrazenie nemá samodružný bod
- existuje priesečník priamok – afinné zobrazenie má jeden samodružný bod
- priamky sú totožné - afinné zobrazenie má priamku samodružných bodov.
Transformačné rovnice budú mať tvar
Nasledujúci obrázok predstavuje grafickú interpretáciu tohto afinného zobrazenie v rovine. Bod
je pohyblivý, ktorého obraz je bod
.
Bod
má v afinnom zobrazení súradnice
, kde (\small a,b,c,d,p,q\) sú súradnice obrazu repéra.
Applet k tomuto cvičeniu si môžete otvoriť
Tu.
Samodružné body afinnej transformácie jednoducho nájdeme ako riešenie rovnice
.
Po rozpísaní dostaneme sústava dvoch rovníc, ktorá bude mať tvar
Ľahko nahliadneme, že rovnice sú lineárne závislé (dokonca rovné). Preto množina bodov, ktoré sú riešením danej sústavy je priamka
.
Presnejšie: každý bod priamky
je samodružný. Zobrazenie, ktoré má priamku bodovo samodružnú, je buď osová súmernosť alebo osová afinita. V našom prípade je to osová súmernosť s osou súmernosti
.
![\small x=\; \; 0 \cdot x-1 \cdot y+2 \\ \small y=-1 \cdot x+0 \cdot y+2. \small x=\; \; 0 \cdot x-1 \cdot y+2 \\ \small y=-1 \cdot x+0 \cdot y+2.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/699ea85a22c32bcf828f1989b42cdcda.png)
Nasledujúci obrázok predstavuje grafickú interpretáciu tohto afinného zobrazenie v rovine. Bod
![\small M(x(M),y(M)) \small M(x(M),y(M))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c31ae9a7b9aa65edc235c4f845a078c1.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/331154bab275733d9777a05401ca3a0d.png)
![\small M' \small M'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/331154bab275733d9777a05401ca3a0d.png)
![\small M'((a x(M) + c y(M) + p, b x(M) + d y(M) + q) \small M'((a x(M) + c y(M) + p, b x(M) + d y(M) + q)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/170bfcaa4a709d27b9ac6df0fe69f5bc.png)
Samodružné body afinnej transformácie jednoducho nájdeme ako riešenie rovnice
![\small (\begin{array}{} x & y \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 2 & 2\end{array} \right) \small (\begin{array}{} x & y \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 2 & 2\end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a59c3f1e8393e3284267d4785028fac.png)
Po rozpísaní dostaneme sústava dvoch rovníc, ktorá bude mať tvar
![\small x=0 \cdot x- y+2 \\ \small y=- x+0 \cdot y+2 \small x=0 \cdot x- y+2 \\ \small y=- x+0 \cdot y+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fde269f252f100f0b1c3d503bc105c53.png)
Ľahko nahliadneme, že rovnice sú lineárne závislé (dokonca rovné). Preto množina bodov, ktoré sú riešením danej sústavy je priamka
![\small y=-x+2 \small y=-x+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9185d0823f09c41abe5dc0d957b03b8.png)
![\small {y=-x+2} \small {y=-x+2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2e5a1cbf917ad7b58a92665557197e06.png)
je samodružný. Zobrazenie, ktoré má priamku bodovo samodružnú, je buď osová súmernosť alebo osová afinita. V našom prípade je to osová súmernosť s osou súmernosti
![\small y=-x+2 \small y=-x+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9185d0823f09c41abe5dc0d957b03b8.png)
Úlohy.
Určite samodružné body afinného zobrazenia určeného transformačnými rovnicami:
Určite samodružné body afinného zobrazenia určeného transformačnými rovnicami:
Riešenie
- Po úprave dostaneme
Applet Tu. - Po úprave dostaneme
.
- Použite nástroje CAS "Riešenie sústavy rovníc".
Zhodnostné zobrazenia
Analytické vyjadrenia zhodnostných zobrazení
Geometrické resp. konštrukčné vlastnosti zhodnostných zobrazení nájdete
Tu.
Definícia
Zobrazenie
v rovine budeme nazývať zhodnostné zobrazenie, ak pre každé dva body
a ich obrazy
platí
.
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.
Zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small X, Y \in \mathbb E_2 \small X, Y \in \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5839b5fb11f8de77ed891f6522a7484b.png)
![\small f(X), f(Y ) \small f(X), f(Y )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c087ea9a7726f800f220699b42dfd644.png)
![\small |XY | = |f(X)f(Y)| \small |XY | = |f(X)f(Y)|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d8cb4324bc500c754f20c6fc2a96d58.png)
Inými slovami zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti bodov.
Dôkaz
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie
spĺňa podmienku zachovania kolineárnosti a deliaceho pomeru.
Nech
sú kolineárne body
, potom zrejme aj body (\small f(A), f(B),f(C) \) sú navzájom rôzne.
Bez ujmy na obecnosti môžeme predpokladať, že pre usporiadanie bodov
platí
. Bod
leží medzi bodmi
.
Ukážeme, že body
sú kolineárne a zároveň platí
.
. Načrtnite si obrázok.
Treba dokázať, že zhodnostné zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small A \neq B \neq C \neq A \small A \neq B \neq C \neq A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e2ece134a80e4fb759eed5c09d8bb7b.png)
![\small \mathbb E^n \small \mathbb E^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/928218657430761f0eabcc172c55276b.png)
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88db76319f4544b245f0671a769a9e15.png)
![\small \mu (ABC) \small \mu (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/339576a850c6951a051b188b17edd45f.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/57aeb704b1cab6a566f8b267b676274a.png)
![\small A,C \small A,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd5eb7c3182d4f557f624521b67ecd0d.png)
Ukážeme, že body
![\small f(A), f(B),f(C) \small f(A), f(B),f(C)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25f6a47c148a590ad6b6649325a7271f.png)
![\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5ddf60d9b908689ebb413ccfd92c49c.png)
- Prvú časť tvrdenia dokážeme sporom. Nech body
nie sú kolineárne, potom vytvárajú trojuholník a na základe trojuholníkovej nerovnosti dostaneme spor.
- Teda body
ležia na jednej priamke. Pre ich usporiadanie môžu nastať dva prípady, z ktorých iba prípad, keď bod
leží medzi bodmi
vyhovuje podmienkam:
.
![\small (ABC) = (f(A)f(B)f(C)) \small (ABC) = (f(A)f(B)f(C))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5ddf60d9b908689ebb413ccfd92c49c.png)
Osová súmernosť je oproti ostatným zhodným zobrazeniam niečím výnimočná. Má jednu veľmi zaujímavú vlastnosť, skladaním osových súmerností sa dajú získať
všetky zhodné zobrazenia v rovine. Z toho dôvodu začneme analytickým vyjadrením osovej súmernosti.
Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/444451/mod_book/chapter/11811/AfinneZobr_GeomModel_OsovaSum%20%282%29.png)
Geometrická interpretácia osovej súmernosti ako afinnej transformácie: Odvodenie rovníc Tu, Verzia "Repér" Tu
Posunutie
Posunutie je afinné zobrazenie určené vektorom posunutia
, kde
.
Posunutie je analyticky určené rovnicou
a prepísaním do maticového tvaru
(1)
čo predstavuje transformačné rovnice
.
![\small \vec u = \overrightarrow{OO'} \small \vec u = \overrightarrow{OO'}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7ca4ca9528a47225e43acaa69ca8e13c.png)
![\small O'=[p,q], \vec u =(p,q) \small O'=[p,q], \vec u =(p,q)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/935a5f780f2084c71e7899ad6977cd4f.png)
![\small X' = X+ \vec u \small X' = X+ \vec u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f26ef67b85121f9d138e256b707ca523.png)
a prepísaním do maticového tvaru
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fcbbfe72dbbcad3a6b7412a04695b235.png)
čo predstavuje transformačné rovnice
![\small x'=x+p \\ \small y'=y+q \small x'=x+p \\ \small y'=y+q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3d8aca37a4085ed2c6c657a2eea5d8.png)
Tvrdenie
Posunutie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Posunutie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Riešenie
Poznáme obraz počiatku súradnej sústavy:
a dosadením do vzťahu (1) dostaneme rovnice
.
Pomoc - otvorte si applet Tu.
Poznáme obraz počiatku súradnej sústavy:
![\small O' = [1,2] \small O' = [1,2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/10dcc2e27b46ae55829443bf31127cf3.png)
![\small x'=x+1 \\ \small y'=y+2 \small x'=x+1 \\ \small y'=y+2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e9314890c098913bc85b2a7e3fbaf2e.png)
Pomoc - otvorte si applet Tu.
Rozšírené matice.
Umožňujú vytvárať zložené zhodné zobrazenia. Pozrite si prezentáciu Tu.
Umožňujú vytvárať zložené zhodné zobrazenia. Pozrite si prezentáciu Tu.
Osová súmernosť
Zhodnostné zobrazenie v rovine Osová súmernosť - ukážka
Osová súmernosť určená troma bodmi.
- Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti
budeme potrebovať obrazy troch rôznych bodov a ich obrazy v danej osovej súmernosti.
Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva rôzne samodružné body a nejaký tretí bod tak, aby všetky tri boli nekolineárne. Takými bodmi pri takto danej osi súmernosti sú napríklad- dva body na osi súmernosti
, pre ktoré platí
a
, prípad ak jeden z koeficientov
je rovný nule sa rieši zvlášť;
- a tretí bod nech je počiatok súradnej sústavy
. Súradnice
jeho obrazu
určíme napríklad pomocou "Matrix calculator":
.
- dva body na osi súmernosti
- Potom dosadíme súradnice obrazov
do vzťahov
pričom musí platiť
.
Dostaneme sústavu troch rovníc a využitím Matrix calculator dostaneme riešenie
Osová súmernosť určená repérom.
Pri určovaní transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti
môžeme s výhodou použiť obraz súradného repéra
Postupne nájdeme:
![\small o: \; ax+by+c=0 \small o: \; ax+by+c=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4881aa4a5c12b8e9d2a387d0e6450271.png)
![\small \left\langle O', \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1},\vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}\right\rangle. \small \left\langle O', \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1},\vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}\right\rangle.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72df1361ebf5ed4d27965f98ff38a646.png)
Postupne nájdeme:
- Obraz počiatku súradnej sústavy
, ktorý určíme ako bod súmerný k bodu
. Ten určíme pomocou priesečníka
priamky
kolmej na priamku
, ktorá prechádza bodom
. Najskôr určíme
- Na určenie transformačných rovníc potrebujeme ešte aspoň dva rôzne body a ich obrazy v danej osovej súmernosti. Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva samodružné body.
Takými bodmi sú ľubovoľné dva body na osi súmernosti
.
- Zvoľme si
a
, prípad ak jeden z koeficientov
je rovný nule sa rieši zvlášť.
- Potom dosadíme súradnice obrazov
do vzťahu
(1)
a dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
Otáčanie
Otáčanie je afinné zobrazenie určené stredom otáčania a uhlom otáčania. Analytické vyjadrenie má maticový tvar
(2)
kde
je uhol otočenia a
je celé číslo. Napríklad otočenie o orientovaný uhol
okolo
počiatku má analytický predpis
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e56bd1e659ff5cd14efd097e2e2b72c5.png)
kde
![\small \alpha \neq k \cdot 360° \small \alpha \neq k \cdot 360°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5896ba118d0d26562242af4b83ef56d0.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b05aac4b8e5187e600ab0de41c0b1a8b.png)
![\small \alpha = +90° \small \alpha = +90°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c63714280b55d3d89238b1fed6a1029.png)
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36b8561f8e3ee19a91a8298bf2737e5.png)
Tvrdenie
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Príklad
V rovine je otočenie určené stredom
a o orientovaným uhlom
. Určite jeho transformačné rovnice a obraz kružnice
.
V rovine je otočenie určené stredom
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
![\small α = −60° \small α = −60°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f299aca5e01ff97812a92291d0165d12.png)
![\small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9 \small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5defaeb85d945b272024944135bc4f16.png)
Riešenie
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu
dosadíme do vzťahu (2 dostaneme rovnice
![\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q , \small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89bcb091d70c8f43dd40a9c5c8551595.png)
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu
, ktorý je samodružný.
Riešením je bod
.
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením
do transformačných rovníc. Polomer kružnice sa v zhodnom zobrazení nemení a bude rovný
. Zostrojte obraz kružnice v GeoGebre pomocou nástroja "Množina bodov" v applete Tu.
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu
![\small O' = [p,q] \small O' = [p,q]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3ae7aa8eed85755323e42a70d98402.png)
![\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q , \small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89bcb091d70c8f43dd40a9c5c8551595.png)
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
Riešením je bod
![\small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}] \small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ab3384edd44c065d24163885cb44633.png)
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
![\small r=3 \small r=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02ee3d5c6d96590bc25da997485889c1.png)
Vzor a obraz
Nech je dané afinné zobrazenie
, v ktorom sa súradný repér zobrazí na repér
.
V tejto kapitole sa budeme zaoberať
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small \mathcal R' = \left \langle O'; \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle \small \mathcal R' = \left \langle O'; \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90dc58bc2a6f5cc77e6ae41a164149fd.png)
- obrazom bodu v afinnom zobrazení
- obrazom priamky v afinnom zobrazení
- hľadaním vzoru k obrazu bodu
Poznámky.
- Obraz ľubovoľného bodu
v afinnom zobrazení
určíme jednoducho tak, že súradnice tohto bodu dosadíme do transformačných rovníc. Dostaneme rovnosti
, pričom čísla
predstavujú súradnice bodu
.
- Určiť obraz priamky
v afinnom zobrazení znamená určiť rovnicu priamky
. To môžeme urobiť dvoma spôsobmi.
- Ak priamka
je určená dvomi rôznymi bodmi
, tak súradnice bodov
dosadíme do transformačných rovníc afinného zobrazenia. Výpočtom popísanom v predchádzajúcom odseku určíme súradnice bodov
, ktorými bude určená priamka
. Potom určíme napríklad parametrické rovnice priamky
.
- Ak priamka
je určená rovnicou (napr. vo všeobecnom tvare
), tak do transformačných rovníc
dosadíme za premenné
súradnice všeobecného bodu
priamky. Tento bod určíme pomocou parametra
v tvare
. (V prípade. že
zvolíme parameter
). Po dosadení dostaneme parametrické rovnice obrazu priamky
.
- Ak priamka
- Nájsť vzor
k danému obrazu
v afinnom zobrazení
určíme tak, že súradnice obrazu bodu
dosadíme do transformačných rovníc za premenné
. Dostaneme sústavu dvoch rovních o neznámych
. Riešenie tejto súsatavy predstavuje súradnice hľadaného vzoru.
Riešenie
Analytické riešenie: Transformačné rovnice sú
![\small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}. \small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91b20123a27336e5ff36e24b75c35677.png)
Analytické riešenie: Transformačné rovnice sú
![\small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}. \small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91b20123a27336e5ff36e24b75c35677.png)
- Pre priamku
má jej ľubovoľný bod
súradnice
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme sústavu parametrických rovníc
Výsledok: po úprave na všeobecný tvar dostaneme rovnicu obrazu priamky:
Na syntetické riešenie použite applet Tu. - Keďže každý bod priamky \small x=1 \) má prvú súradnicu rovnú 1, tak stačí hodnotu \small x=1 \) dosadiť do transformačných rovníc a dostaneme rovnice
Po dosadení do druhej rovnice
dostaneme rovnicu obrazu priamky
.
Príklad.
Dané je afinné zobrazenie transformačnými rovnicami
.
Ktoré body sa zobrazia do bodov [9, 8] a [−6, 1]?
Dané je afinné zobrazenie transformačnými rovnicami
![\small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1} \small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76817383987c82f4a1073c54dcf25261.png)
Ktoré body sa zobrazia do bodov [9, 8] a [−6, 1]?
Riešenie
Súradnice bodu [9, 8] dosadíme do transformačných rovníc za premenné
. Riešením je dvojica
. Otvorte si applet na riešenie rovníc Tu.
Súradnice bodu [9, 8] dosadíme do transformačných rovníc za premenné
![\small x',y' \small x',y'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70a251c8f946ebcacc9130372447bde4.png)
![\small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\} \small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9bd4ec144953184b724665310e86514b.png)
Cvičenie
Vektory a počítanie s nimi
- Vyriešte sústavu rovníc s parametrom
v obore
a tiež v obore
.
Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu. - Vyriešte sústavu rovníc v obore
.
Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu. - Zistite, či množina
všetkých usporiadaných dvojíc resp. trojíc spolu s dvoma binárnymi operáciami
je vektorovým priestorom nad poľom reálnych čísel
, ak
- Sú dané body
. Nájdite vektory
a zistite ich dĺžky. Zadanie Tu. - [Mon 1.1.3.] Sú dané body
. Určte polohu bodu
tak, aby
- V rovine je daný pravidelný 6-uholník
.
- K vektorom
nájdite ďalšie orientované úsečky, ktoré reprezentujú dané vektory.
Otvorte si model šesťuholníka Tu. - Určte koľko viazaných (voľných) vektorov je určených vrcholmi pravidelný 6-uholník
.
- K vektorom
- [Monoszová 1.1.11.] až [Monoszová 1.1.17.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Prvá časť Tu.
- Daný je pravidelný šesťuholník
. Vyjadrite vektory
ako lineárne kombinácie vektorov.
- V rovine je daný šesťuholník, ktorého vrcholy sú určené vzťahmi:
.
Dokážte, že tento šesťuholník je súmerný podľa stredu. Zadanie Tu. Riešenie Tu.
- Nech
sú nekolineárne vektory. Určte číslo
tak, aby vektory
boli kolineárne.
- Ukážte, že vektor
je lineárnou kombináciou vektorov
ale nie je LK vektorov
.
- Vyjadrite vektor
ako LK vektorov
.
- Ukážte, že vektory
sú lineárne (ne)závislé.
- Vyjadríte vektor
ako lineárnu kombináciu vektorov
- Nech vektory
sú lineárne nezávislé. Zistite, či vektory
sú závislé alebo nezávislé.
- Množina
je báza vektorového priestoru
. Určte súradnice vektora
vzhľadom k tejto báze, ak poznáte jeho súradnice
vzhľadom ku kanonickej báze
. [Hašek 4.2.]
- Daný je vektorový priestor
.
- Nech
je báza priestoru
. Nájdite vektor vo
, ktorého súradnice vzhľadom k báze
sú
.
- [Hašek 4.6.1] až [Hašek 4.6.8] Linearni algebra a geometrie. Dostupné Tu.
- Vypočítajte veľkosti uhlov a dĺžky strán v trojuholníku
, ak .
. Riešenie ...
- Vypočítate uhol vektorov
a
, ak
- Nech
. Rozhodnite, či napísaný objekt je bod alebo vektor a určte jeho súradnice.
a)
b)[
c) - [Monoszová 2.1.1.] až [Monoszová 2.1.23.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.
- [Monoszová 2.2.1.] až [Monoszová 2.3.7.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Druhá časť Tu.
- [Monoszová 1.2.1.a] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
- [Monoszová 1.2.1.b] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.2.a] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.4 ] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.5.b] Riešenie Tu.
- [Monoszová 1.2.5.c] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
- Riešte úlohy [Monoszová 1.3.1.] až [Monoszová 1.3.5.].
- Vypočítajte súradnice bodu
v afinnej súradnicovej sústave
, ak
.
- V rovine danej bodmi
zvoľte afinnú súradnicovú sústavu
. Zistite, aké súradnice má bod M v
, ak jeho súradnice v
sú
.
- V rovine je daný trojuholník
a body
v tomto poradí ako stredy strán
. Nájdite súradnice vrcholov trojuholníka v afinnej sústave súradníc
.
- V rovine je daný pravidelný šesťuholník
. Nájdite súradnice vrcholov tohto 6-uholníka v afinnej súradnicovej sústave
.
- Riešte úlohy [Monoszová 1.4.1.] až [Monoszová 1.4.18.].
- Zistite, či body
incidujú s podpriestorom
pre
.
Návod: Bodleží v podpriestore práve vtedy, keď jeho súradnice vyhovujú parametrickému vyjadreniu, t. j.:
. Napíšte najskôr parametrické rovnice podpriestoru a dosaďte súradnice bodu
. [Vranková, 3L1].
- Dokážte, že pre každé
množina bodov
priestoru
je afinne závislá. Akú dimenziu má jej afinný obal?
- Určte aspoň jedno parametrické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza bodom
a obsahuje priamku
.
- Riešte úlohy z práce (Tisoň, 2011) k téme: Lineárne podpriestory, parametrické a všeobecné vyjadrenia.
- Vyšetrite vzájomnú polohu danej priamky
a roviny
v
, ak:
,
. [Vranková, 4L1].
- Zistite vzájomnú polohu priamky
a roviny
v
, ak
,
.
- Zistite vzájomnú polohu priamok
- Určte afinné zobrazenie
zobrazujúce repér
: Vo všetkých prípadoch určte množinu samodružných bodov.
- Afinné zobrazenie
je dané transformačnými rovnicami
. Určte
- Dané je afinné zobrazenie
. Určite
- Určte afinné zobrazenie, pre ktoré sú body priamky
samodružné a bod [0, 0] sa zobrazí do [−1, −2].
- Dané je afinné zobrazenie
. Na priamke
nájdite bod
, ktorého obraz leží na tej istej priamke. Pomoc: najskôr určte obraz
a potom priesečník (\small P= p\cap p' \). Priamku
určte aj konštrukčne ako GMB.
Riešené príklady
- Nájdite maticu afinnej transformácie
, pričom platí
.
Riešenie.
Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
Repér pre dané afinné zobrazenie je. Transformačné rovnice budú mať analytické vyjadrenie
Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bodje samodružný, tak musí pre jeho obraz
platiť:
.
Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme,
čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformáciaje zhodné zobrazenie. Preto priamka samodružných bodov
je osou súmernosti.
Geometrická interpretácia - riešenie Tu - V rovine je posunutie určené vektorom
. V posunutí sa trojuholník
so súradnicami
zobrazí sa na trojuholník
so súradnicami
.
a) Narysujte obrazv GeoGebre pomocou nástroja Posunutie.
b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
Návod: Poznáme obrazya ich dosadením spolu so súradnicami
do rovnice
dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
Riešenie.
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.
Cvičenie.
- Riešte úlohy zo zbierky Monoszová - čast 4.3, 4.4. a 4.5.
- Zistite, či posunutie
roviny
pre pevne zvolený vektor posunutia
je afinné zobrazenie.
- Určite obraz trojuholníka
, kde
v stredovej súmernosti určené analytickým vyjadrením
. Návod pozri v práci (Ptáčková, 2016, str.64), dostupné Tu.
- Riešte ďalšie úlohy z práce (Ptáčková, 2016, od str.65).
- Je daná osová súmernosť osou
, ktorá je určená bodmi
a štvoruholník
. Narysujte obraz štvoruholníka obraz
v GeoGebre pomocou nástroja Osová súmernosť. Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti. Určte analytické vyjadrenie tejto osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy
.
Literatúra
Doporučená literatúra
- Analytická geometria v rovine a v priestore - prehľad pre SŠ. Dostupné Tu.
- Brajerčík, J., Demko, M.: Matematika pre študentov prírodovedných odborov. Kapitoly 5 a 6. Univerzitná knižnica Prešov. Dostupné Tu..
- Čižmár, J.: O význame základného poľa v geometrii. In: Matematika v proměnách věků. V. Praha: Matfyzpress, 2007. 978-80-7378-017-3, pp. 83-96. Dostupné Tu
- Belan. A.: Skriptá - preklad. Dostupné Tu.
- Duplák, J.: Afinná a Euklidovská geometria. PU v Prešove, FHPV Katedra matematiky, 2004. Dostupné Tu ..
- Hanzel, P.: Afinné transformácie - východiskové pojmy. FPV UMB B. Bystrica 2023. Dostupné Tu.
- Hanzel, P.: Rozšírené matice. Prezentácia. FPV UMB B. Bystrica 2023. Dostupné Tu.
- Hašek, R.: Linearni algebra a geometrie. Pedagogická fakulta JU, Č. Budějovice 2020. Dostupné Tu.
- Hašek, R.: Planimetrie - afinné zobrazení. Pedagogická fakulta JU, Č. Budějovice 2019. Dostupné Tu.
- Haviar, M.: Algebra III. Lineárna algebra. Pedagogická fakulta UMB, 2000, skriptá. Dostupné Tu.
- Hejný, M., Zaťko, V., Kršňák, P.: Geometria 1. SPN, Bratislava, 1985.
- Hlinená, D.: Lineárne transformácie. FEKT VUT Brno. Prenášky 7 až 10. Dostupné Tu.
- Chalmovianska, J.: Afinný priestor. FMFI UK Bratislava. Dostupné Tu.
- Chalmoviansky, P.: Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov. Dostupné Tu.
- Končel, J.: Využití internetu ve výuce analytické geometrie na střední škole. Diplomová práca. Univerzita Karlova v Praze, 2011. Dostupné Tu.
- Kontrová, L.,Stachová, D.: Matematický kufrík, ŽU Žílina 2011, KEGA 046 ŽU – 4/2011. Dostupné Tu. Nastavte si kapitolu 3.
- Kršňák, P.: Analytická geometria. PF Banská Bystrrica 1975.
- Vranková, E.: Geometria 2 – Analytická geometria lineárnych útvarov. Trnavská univerzita v Trnave. ISBN 978-80-8082-681-9. Dostupné Tu.
- Monoszová, G.: Analytická geometria 1 - Kapitola I, Afinný priestor. FPV UMB B. Bystrica. Dostupné Tu.
- Monoszová, G.: Analytická geometria 1 - Kapitola II, Euklidovský priestor. FPV UMB B. Bystrica. Dostupné Tu.
- Monoszová, G.: Analytická geometria 2 - Kapitola III. FPV UMB B. Bystrica. Dostupné Tu.
- Olšák, P.:Lineární algebra. Praha, 2000-2007. Dostupné Tu.
- Ptáčková, T.: Analytická reprezentace shodných zobrazení na středních školách. Diplomová práca MFF UK Praha 2016. Dostupné Tu.
- Tisoň, K.: Geometria 1. Materiály pre študentov na FMFI Bratislava, 2011. Dostupné Tu.
- Vodičková, V.: Aplikácie vektorového súčinu. Dostupné Tu.
- Zlatoš, P.: Lineárna algebra a geometria. Marenčin PT, Bratislava 2011. ISBN 9788081141119. Dostupné Tu.
- Monoszová, G.: Zbierka úloh z analytickej geometrie, FPF 2008, B. Bystrica. Prvá časť Tu. Druhá časť Tu. Výsledky Tu.
- Priklady.com - zbierka úloh s výsledkami. Kapitola - analyticka-geometria. Dostupné Tu.
- Sleziak: Vektorový priestor. Prezentácia Tu.
- Sbírka řešených úloh na Katedře didaktiky fyziky Matematicko-fyzikální fakulty UK. Dostupné Tu.
Zbierky