Celé čísla a racionálne čísla: Súčet a súčin | VirtualUMB

Celé čísla a racionálne čísla

celé čísla

Obor racionálnych čísel

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie

$R$ umožnila vytvorenie „nosiča“ pre racionálne čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin racionálnych čísel.

Nech

$T_{(a,b)},T_{(c,d)}$ sú dve racionálne čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet

$\oplus$ a súčin

$\otimes$ týchto čísel popisujú nasledujúce dve definície.

Definícia.
Sčítanie racionálnych čísel:

$T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{( a \cdot d +c \cdot b ,b \cdot d )}$

Definícia.
Násobenie racionálnych čísel:

$T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c),(b \cdot d )}$

Zvoľme si celé čísla

$\frac{2}{3}, \frac{7}{5}, \frac{-1}{2}$ . Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu

$(Z \times Z^+)/R$ . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy

$T_{(2,3)}$ ≝

$\frac{2}{3}$ ,

$T_{(7,5)}$ , ≝

$\frac{7}{5}$ ,

$T_{(-1,2)}$ ≝

$\frac{-1}{2}$ .
Interpretujme súčet (tried)

$\frac{2}{3} \oplus \frac{7}{5}=T_{(2,3)} \oplus T_{(7,5)}=T_{(2 \cdot 5 + 7 \cdot 3), 3 \cdot 5}=T_{(31,15)}=\frac{31}{15}$
...
Interpretujte súčin tried
...

Poznámky.

Súčet $T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)}$ si ľahko zapamätáme pomocou súčtu zlomkov $\frac{a}{b}+ \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b }{b \cdot d }$ .
Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ $T_{(a,b)} ), T_{(c,d)}$ . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.

$(p,q) \in T_{(a,b)}$

$(r,s) \in T_{(c,d)}$

$<span class="nolink">\( .$ \)