Celé čísla a racionálne čísla

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie
Kniha:	Celé čísla a racionálne čísla

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	utorok, 7 mája 2024, 18:45

Opis

celé čísla

Obsah

Celé čísla - úvod
Obor celých čísel
Racionálne čísla - úvod
- Rovnosť podielov
- Porovnanie: celé a racionálne
Obor racionálnych čísel
Školská matematika

Celé čísla - úvod

Rovnica

$x+5=2$ , ktorej koeﬁcienty sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie.

Naše vedomosti z elementárnej matematiky nám napovedajú, že riešenie existuje v inom číselnom obore, v obore celých čísel. Jednoducho, ak budeme aplikovať jednu z ekvivalentných úprav „odčítanie“ čísla 5 k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme

$(x+5)-5=2-5$

Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme

$x$ , ale na pravej strane rovnice to nie je prirodzené číslo. Výsledkom je "číslo

$-3$ ". Toto riešenie skrýva v sebe základnú myšlienku pre zavedenie celých čísel – metódu odčítania.

Nech

$m,n \in N$ sú prirodzené čísla. Ak existuje jediné prirodzené číslo

$r \in N$ , pre ktoré je splnená rovnosť

$m+r=n$ , tak toto číslo nazveme rozdielom čísel

$n,m$ v tomto poradí a budeme ho označovať symbolom

$n-m$ .

Zrejme pre čísla 2, 5 neexistuje rozdiel

$r=2-5$ v obore prirodzených čísel. Určiť tento rozdiel vlastne znamerná vyriešiť rovnicu

$5+r=2$ , čo je naša rovnica z úvodu tejto kapitoly.

$$ .$ $

Opačné číslo

Na vyjadrenie hodnoty menšej ako nula (teplota pod 0^° C a pod.) používame opačné čísla k prirodzeným číslam.
• Opačné číslo k prirodzenému číslu

$n \in N$ ak označme symbolom

$-n$ , tak bude platiť

$n+(-n)=(-n)+n=0$ .
• Číslo opačné k prirodzenému číslu budeme nazývať záporné číslo.

Napríklad pri interpretácii pojmu záporného čísla

$(-3)$ s výhodou používame termín „pasíva“. Na druhej strane prirodzené číslo

$3$ interpretujme ako „aktíva“. Žiaci potom budú prirodzene chápať, že platí aj rovnosť

$3+(-3)=0$ alebo rovnosť

$(-3)+3=0$ .
Túto rovnosť potom využijú pri riešení rovnice

$x+5=2$ . Po jednoduchej úprave (asociatívnosť sčítania prirodzených čísel) dostanú rovnicu

$(x+3)+2=2$ .
Žiaci už vedia odčítať to isté prirodzené číslo od obidvoch strán rovnice. Ak odčítajú číslo

$2$ , tak po odčítaní dostanú „jednoduchšiu“ rovnicu

$x+3=0$ .

Žiaci vedia, že platí rovnosť

$3+(-3)=0$ . Teraz môžu nájsť riešenie rovnice

$x+5=2$ . Bude ním záporné číslo $x=(-3)$ .

Navrhnutý spôsob riešenia rovnice

$x+5=2$ je nepraktický, ktorý žiakom na 2. stupni ZŠ nebude vyhovovať. Zrejme by očakávali, že bude výhodnejšie poznať rozdiel

$(2-5)$ a danú rovnicu potom riešiť pomocou odčítania čísla

$5$ od obidvoch strán rovnice. K tomu budú potrebovať vedomosti o celých číslach.

$$ .$ $

Záporné čísla

Záporné čísla sa objavili po prvýkrát v čínskej matematike. V knihe „Deväť kapitol matematického umenia“ (202 pred n.l.) sú použité červené „úsečky“ pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla.

Tento systém je opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti bankovníctva, účtovníctva a obchode.

V 7. storočí nášho letopočtu v Indii, boli záporné čísla použité na vyjadrenie dlhu. Indický matematik Brahmagupta, uvádza pravidlá pre operácie sčítania a násobenia so zápornými číslami. Používal termíny "dlh“ a „úver“.
Európski matematici sa bránili konceptu záporných číslach až do 17. storočia, hoci Fibonacci používal pri riešení finančných problémov záporné čísla (Libier Abaci, 1202).
Gottfried Wilhelm Leibniz bol prvý matematik, ktorý systematicky využíval záporné čísla.

Poznámky.

Matematici v rôznych obdobiach považovali záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli).
Pozrite si modely záporných čísel, ktoré sa používajú vo vyučovaní matematiky. Tu

$$ .$ $

Celé čísla ako rozdiely

Celé čísla môžeme v širšom význame chápať ako všetky možné rozdiely dvoch prirodzených čísel. Problém je však v tom, že niektoré rozdiely neexistujú v obore prirodzených čísel.

Napríklad ako sme už poukázali rozdiel

$(2-5)$ , ktorý by mal byť riešením našej rovnice neexistuje v množine prirodzených čísel. Na druhej strane, zrejme aj rozdiel

$(0-3)$ je riešením našej rovnice.
Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel

$(2-5)$ a zároveň aj rozdiel

$(0-3)$ je hľadaným riešením rovnice, tak musí platiť rovnosť

$(2-5)=(0-3)$ .
Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla

$5$ a čísla

$3$ k obidvom stranám rovnosti) dostaneme rovnosť
(2+3=0+5\).

To znamená, že dva rozdiely prirodzených čísel

$(2-5)$ a

$(0-3)$ budú predstavovať to isté záporné číslo

$(-3)$ práve vtedy, ak platí rovnosť $2+3=0+5$ .

Platnosť poslednej rovnosti vieme bez problémov overiť, pretože sčitovať prirodzené čísla sme sa naučili v prvej kapitole. Z uvedeného vyplýva, že celé čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc prirodzených čísel.

Dve dvojice prirodzených čísel $(a,b),(c,d)$ budú predstavovať to isté celé číslo, ak bude platiť rovnosť $a+d=c+b$ .

$$ .$ $

Obor celých čísel

Definícia.
Nech

$N$ je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu

$R$ na množine

$N \times N$ takto:
$(a,b)R(c,d)⟺a+d=c+b$ .

Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel

$(a,b),(c,d)$ sú v relácii, ak platí rovnosť

$a+d=c+b$
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).

Veta.
Relácia

$R$ je reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Nech $R$ je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech $(x,x)∈N×N$ je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí $(x,x)R(x,x)$ , lebo platí $x+x=x+x$ . Odkiaľ dostaneme, že relácia $R$ je reflexívna.
Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii $(a,b)R(c,d)$ .

Tento vzťah je ekvivalentný s rovnosťou: $a+d=c+b$ .

Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: $c+b= a+d$ .
To je ekvivalentné so vzťahom $(c,d)R(a,b)$ , preto platí: relácia $R$ je symetrická.

Nech platí $(a,b)R(c,d)$ a zároveň $(c,d)R(e,f)$ .

Z definície relácie $R$ vyplýva, že musí platiť $a+d=c+b$ a zároveň $c+f=d+e$ . Pripočítajme k prvej rovnosti číslo $f$ a k druhej rovnosti číslo $b$ .
Dostaneme rovnosti $a+d+f=c+b+f, c+f+b=d+e+b$ . Zrejme platí $c+b+f=c+f+b$ (komutatívnosť sčítania).
Ak využijeme, že rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme $a+d+f=d+e+b$ .
Teraz stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme $(a,b)R(e,f)$ . To znamená, že relácia $R$ je tranzitívna.

$$ .$ $

Rozširenie oboru N

Relácia

$R$ je reláciou ekvivalencie na množine

$N \times N$ . Existuje rozklad množiny

$N \times N$ podľa relácie

$R$ .

Nech

$N= \lbrace{0,1,2,...,...}\rbrace$ je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad

$N×N∕R$ je množina, ktorej prvky-triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel!

Ukážka

Označme symbolom $T_{(1,0)}$ triedu, ktorá obsahuje dvojicu $(1,0) \in N \times N$ } \)\. Potom trieda $T_{(1,0)}$ bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu $(n+1,n)$ , lebo platí $(1,0)R(n+1,n)⟺1+n=(n+1)+0$ . Triedu $T_{(1,0)}$ môžeme určiť vymenovaním jej prvkov: $T_{(1,0)} ={(1,0),(2,1),(3,2),…,(n+1,n),…}$ .
Podobne by sme ukázali, že trieda $T_{(0,1)}$ , ktorá obsahuje dvojicu $(0,1)$ bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu $(n,n+1)$ . Symbolicky
$T_{(0,1)}= \lbrace{(0,1),(1,2),...,(7,8),...(n,n+1),...}\rbrace$ .
Označenie pre triedy rozkladov $T_{(1,0)}, T_{(0,1)}$ môžeme nahradiť aj inými symbolmi. V literatúre sa objavujú symboly $\overline{1,0},\overline{0,1}$ .
My použijeme jednoduchšie symboly $1, -1$ , čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel.
Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica $(a,b)$ je množina, ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako
$T_{(a,b)}= \lbrace{(x,y) \in N \times N: a+y=x+b}\rbrace$ .
Všimnite si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici $(a,b)$ , kde $a≥b$ , budú reprezentované prirodzenými číslami.
V prípade, že $a$ dostneme triedy rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami.

$$ .$ $

Množina celých čísel

Úvahy o triedach rozkladu

$N \times N/R$ umožňujú zaviesť množinu celých čísel ako množinu tried tohto rozkladu.

Zhrňme si naše úvahy:

Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu prirodzených čísel $N$ , ktorú popíšme napríklad Peanovou aritmetikou.
Vytvoríme množinu všetkých usporiadaných dvojíc $(x,y)$ prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu $N \times N$ .
Dvojice prirodzených čísel zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice $(a,b),(c,d)$ z rovnakej skupiny platí rovnosť
$a+d=c+b$ .
Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.

Definícia.
Nech

$R$ je relácia ekvivalencie na množine

$N \times N$ , pre ktorú platí:
$\forall a,b,c,d \in N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b$
a nech

$Z=(N \times N)/R$ je rozklad množiny

$N \times N$ podľa relácie

$R$ . Potom prvky množiny

$Z$ budeme nazývať celé čísla.

Poznámky.
Nech

$(a,b) \in N \times N$ , potom v prípade:

$a≥b$ triedu rozkladu $T_{(a,b)}$ budeme označovať symbolom $n$ , kde $n=a-b$ je prirodzené číslo, zrejme platí
$T_{(a,b)}=T_{(a-b,0)}≝$ $n$ .
Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom $Z^+$ .
$a$ triedu rozkladu $T_{(a,b)}$ budeme označovať symbolom $-n$ , kde $n=b-a$ je prirodzené číslo, zrejme platí
$T_{(a,b)}=T_{(0,b-a)}≝$ $-n$ .
Tieto čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých záporných čísel symbolom $Z^-$ .
Pokúste sa definovať kladné čísla.

$$ .$ $

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie

$R$ umožnila vytvorenie „nosiča“ pre celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel.

Nech

$T_{(a,b)},T_{(c,d)}$ sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet

$\oplus$ a súčin

$\otimes$ týchto celých čísel popisujú nasledujúce dve definície.

Definícia
Sčítanie celých čísel:

$T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{(a+c,b+d)}$

Definícia
Násobenie celých čísel:

$T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c+b.d),(a.d+b.c)}$

Interpretácia definícií

Zvoľme si celé čísla

$2,-2,3,-3$ . Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu

$(N \times N)/R$ . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy

$T_{(2,0)}$ ≝ 2,

$T_{(3,0)}$ , ≝ 3

$T_{(0,2)}$ ≝ -2,

$T_{(0,3)}$ ≝ -3.
Interpretujme súčet tried

$2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5$

$3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1$
Interpretujte súčin tried

$2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6$
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny.

Poznámky

Súčin $T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)}$ si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov $(a-b)(c-d)=(a.c+b.d)-(a.d+b.c)$ .
Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ $T_{(a,b)} ), T_{(c,d)}$ . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.

$(p,q) \in T_{(a,b)}$

$(r,s) \in T_{(c,d)}$

Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako množinu:
$Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}$
alebo
$Z={ 0,±1,±2,±3,...}$ .

$$ .$ $

Vlastnosti celých čísel

Preštudujte si kapitolu Vlastnosti celých čísel v študijnom texte "Čísla a počítanie"

Absolútna hodnota

Preštudujte si kapitoly

3.2.2 Absolútna hodnota celého čísla

3.2.3 Usporiadanie na množine celých čísel

v študijnom texte "Čísla a počítanie"

Racionálne čísla - úvod

Rovnica

$6x+3=6$ , ktorej koeﬁcienty sú celé čísla nemá v obore celých čísel riešenie.

Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo -3 a dostaneme rovnicu

$6x=3$ , ktorej riešením nemôže byť celé číslo.

Na ľavej strane rovnice

$6x=3$ máme párne číslo

$2 \cdot (3x)=2 \cdot k$ , ale na pravej nepárne číslo

$3=2 \cdot 1+1$ . To nie je možné!

Na chvíľu predpokladajme, že existuje číslo, ktoré je riešením danej rovnice

$6x=3$ . Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že také číslo

$x$ musí byť podiel

$3∶6$ celých čísel

$3,6$ . Teda muselo by platiť:

$x=(3∶6)$ .
Rovnicu

$6x+3=6$ môžeme upraviť na tvar

$2x+1=2$ . Riešením tejto rovnice je podiel

$1∶2$ , teda

$x= (1∶2)$ .
Zároveň vieme, že rovnica

$6x+3=6$ má nanajvýš jedno riešenie. Dokážte to!

Zistili sme, že riešením rovnice

$6x+3=6$ sú „podiely“

$(3∶6), (1∶2)$ . Takéto podiely v obore celých čísel neexistujú. Na druhej strane, ak vytvoríme číselný obor, v ktorom rovnica bude mať riešenie, tak musí platiť
$(3∶6)=(1∶2)$ .

V nasledujúcej časti vytvoríme obor racionálnych čísel, v ktorom naša rovnica

$6x+3=6$ bude mať riešenie.

$$ .$ $

Rovnosť podielov

Racionálne čísla môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné podiely dvoch celých čísel.

Ukázali sme jednu podstatnú skutočnosť.
Ak „podiel“ celých čísel

$(3∶6)$ a zároveň aj podiel

$(1∶2)$ je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť

$(3∶6)=(1∶2)$ .
Ak použijeme označenie

$x_1=(3∶6)$ a

$x_2=(1∶2)$ , tak je zrejmé, že

$(x_1=x_2 ) \Leftrightarrow (6x_1=6x_2 ) \Leftrightarrow (1.6.x_1=2.3.x_2)$ ).
Po vykrátení dostaneme rovnosť
$(1.6=2.3)$ .

Rovnosť podielov

$(3∶6)=(1∶2))$ je ekvivalentná s rovnosťou súčinov

$(1.6=2.3)$ ..

Rovnosť podielov dvoch celých čísel sme nahradili rovnosťou, kde sa vyskytuje len súčin celých čísel. Súčin je však neobmedzene definovaná operácia v obore celých čísel, t.j. vieme vynásobiť ľubovoľné dve celé čísla. Z uvedeného vyplýva, že racionálne čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc celých čísel.

Dvojice celých čísel

$(a,b),(c,d)$ budú predstavovať to isté racionálne číslo, ak bude platiť rovnosť

$a \cdot d=c \cdot b$ .

$$ .$ $

Porovnanie: celé a racionálne

V tejto kapitole nebudeme podrobne rozoberať postup definovania racionálnych čísel. Zameriame sa na vzájomný vzťah medzi zavedením množiny celých čísel a zavedením množiny racionálnych čísel.

Pri celých číslach sú východiskom prirodzené čísla a pri racionálnych číslach už môžeme použiť celé čísla! Relácia ekvivalencie pri celých číslach predstavuje „rozdiel“ prirodzených čísel a pri racionálnych číslach je to „podiel“ celých čísel.

Upozornenie Pri racionálnych číslach musí pre každú dvojicu

$(x,y)$ platiť:

$y \neq 0$ .

$$ .$ $

Obor racionálnych čísel

Definícia.
Nech

$Z$ je množina všetkých celých čísel. Definujme binárnu reláciu

$R$ na množine

$Z \times Z^+$ takto:
$(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a \cdot d=c \cdot b$ .

Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel

$(a,b),(c,d)$ sú v relácii, ak platí rovnosť

$a \cdot d=c \cdot b$ (súčin prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčinu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).

Veta.
Relácia

$R$ je reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Nech $R$ je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech $(x,x)∈Z×N$ je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí $(x,x)R(x,x)$ , lebo platí $x \cdot x=x \cdot x$ . Odkiaľ dostaneme, že relácia $R$ je reflexívna.
Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii $(a,b)R(c,d)$ .

Tento vzťah je ekvivalentný s rovnosťou: $a \cdot d=c \cdot b$ .

Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: $c \cdot b=a\cdot d$ .
To je ekvivalentné so vzťahom $(c,d)R(a,b)$ , preto platí: relácia $R$ je symetrická.

Nech platí $(a,b)R(c,d)$ a zároveň $(c,d)R(e,f)$ .

Z definície relácie $R$ vyplýva, že musí platiť $a \cdot d=c \cdot b$ a zároveň $c \cdot f=e \cdot d$ .
...
Teraz stačí aplikovať ... To znamená, že relácia $R$ je tranzitívna.

$$ .$ $

Triedy rozkladu

Úvahy o triedach rozkladu

$Z \times Z^+/R$ umožňujú zaviesť množinu racionálnych čísel ako množinu tried tohto rozkladu.

Zhrňme si naše úvahy:

Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu celých čísel.
Vytvoríme množinu takých usporiadaných dvojíc $(x,y) \in Z \times Z^+$ , v ktorých $y >0$ .
Dvojice zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice $(a,b),(c,d)$ z rovnakej skupiny platí rovnosť $a \cdot d=c \cdot b$ .

Uvedieme definíciu množiny racionálnych čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.

Definícia.
Nech

$R$ je relácia ekvivalencie na množine

$Z \times Z^+$ , pre ktorú platí:

$\forall (a,b),(c,d) \in Z\times Z^+: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a \cdot d=c \cdot b$
a nech

$Q=((Z \times Z^+)/R$ je rozklad

$Z \times Z^+$ podľa relácie

$R$ . Potom prvky množiny

$Q$ budeme nazývať racionálne čísla.

Poznámky.
Nech

$(a,b) \in N \times N$ , potom v prípade:

$$ .$ $

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie

$R$ umožnila vytvorenie „nosiča“ pre racionálne čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin racionálnych čísel.

Nech

$T_{(a,b)},T_{(c,d)}$ sú dve racionálne čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet

$\oplus$ a súčin

$\otimes$ týchto čísel popisujú nasledujúce dve definície.

Definícia.
Sčítanie racionálnych čísel:

$T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{( a \cdot d +c \cdot b ,b \cdot d )}$

Definícia.
Násobenie racionálnych čísel:

$T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c),(b \cdot d )}$

Zvoľme si celé čísla

$\frac{2}{3}, \frac{7}{5}, \frac{-1}{2}$ . Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu

$(Z \times Z^+)/R$ . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy

$T_{(2,3)}$ ≝

$\frac{2}{3}$ ,

$T_{(7,5)}$ , ≝

$\frac{7}{5}$ ,

$T_{(-1,2)}$ ≝

$\frac{-1}{2}$ .
Interpretujme súčet (tried)

$\frac{2}{3} \oplus \frac{7}{5}=T_{(2,3)} \oplus T_{(7,5)}=T_{(2 \cdot 5 + 7 \cdot 3), 3 \cdot 5}=T_{(31,15)}=\frac{31}{15}$
...
Interpretujte súčin tried
...

Poznámky.

Súčet $T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)}$ si ľahko zapamätáme pomocou súčtu zlomkov $\frac{a}{b}+ \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b }{b \cdot d }$ .
Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ $T_{(a,b)} ), T_{(c,d)}$ . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.

$(p,q) \in T_{(a,b)}$

$(r,s) \in T_{(c,d)}$

$$ .$ $

Hustota racionálnych čísel

Nech

$a,b∈ Q$ sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body

$A,B$ . Dokážte, že aritmetický priemer

$(a+b)/2$ je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi je stred úsečky

$AB$ .

Nech

$a=m/n,b=r/s$ a zároveň

$a \leq b$

Pre aritmetický priemer $AP(a,b)$ môžu nastať dva prípady:

Zlomok $\frac{a+b}{2}= \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}$ je v základnom tvare (nemožno ho krátiť).

V tomto prípade daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu $T_{(m \cdot s+r \cdot n,2 \cdot n \cdot s)}$ .

Zlomok $\frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}$ nie je v základnom tvare. Vtedy existuje nenulové prirodzené číslo $k$ , ktorým zlomok vykrátime na základný tvar $\frac{p}{q}$ . Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť $\frac{a+b}{2} =\frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}= \frac{p \cdot k }{q \cdot k } = \frac{p}{q}$ .

Z týchto rovností ľahko odvodíme, že daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu $T_{(p,q)}$ .

Z predchádzajúceho vyplýva, že zlomok $\frac{a+b}{2}$ reprezentuje racionálne číslo, pre ktoré platí $a \leq \frac{a+b}{2} \leq b$

Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché.

Stačí si uvedomiť, že pre stred $S$ úsečky $AB$ platí vzťah $|AS|=|SB|$ .

K úplnosti dôkazu je potrebné ukázať, že platí rovnosť $\frac{a+b}{2} = \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}$

Nech

$\leq$ je relácia usporiadania na množine

$M$ . Ak pre každé dva prvky

$x,y \in M$ s vlastnosťou

$x < y$ existuje prvok

$z$ taký, že

$x < z < y$ , tak množina

$M$ sa nazýva husto usporiadaná.
Keďže pre aritmetický priemer

$AP(a,b)$ racionálnych čísel

$a \leq b$ platí

$a \leq AP(a,b) \leq b$ , tak platí aj nasledujúce tvrdenie:

Množina racionálnych čísel je husto usporiadaná.

$$ .$ $

Školská matematika

Racionálne čísla v školskej matematike zaádzame pomocou zlomkov, pričom dva zlomky $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ budú predstavovať to isté racionálne číslo, ak bude platiť rovnosť $ad = cb$ .

Množina racionálnych čísel je množina, ktorá obsahuje všetky zlomky, ktorých čitateľ je celé číslo a menovateľ je kladné prirodzené číslo.
Pri zavádzaní operácií sčítania a násobenia racionálnych čísel v školskej matematike sa opierame o sčítanie a násobenie zlomkov. Nech

$a,c \in Z ,b,d \in N^+$ , potom v obore

$(Q,+, \cdot )$ \) platí pre:

sčítanie $\frac{a}{b}+ \frac{c}{d}= \frac{ad+cb}{bd}$
násobenie $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{ac}{bd}$

Poznámky.

Pri sčitovaní zlomkov s rôznymi znamienkami niekedy žiaci "kopírujú" postup pre odčítanie celých čísel.
Napríklad pri súčte $( - \frac{2}{3}) + \frac{5}{7}$ skúmajú, ktoré z čísel $\frac{2}{3} , \frac{5}{7}$ je väčšie.
Obor $Q$ racionálnych čísel je množina všetkých zlomkov $\frac{p}{q}$ , kde $p \in Z$ a $q \in N^+$ , na ktorej sú definované operácie sčítania a násobenia.
V prípade, že čísla $p, q$ sú nesúdeliteľné (ich najväčší spoločný deliteľ je rovný $1$ ), hovoríme že zlomok $\frac{p}{q}$ je v základnom tvare.
Množinu racionálnych čísel môžeme reprezentovať všetkými zlomkami, ktoré sú v základnom tvare.
Mimochodom sú to aj všetky celé čísla, lebo pre $a \in Z$ je zlomok $\frac{a}{1}$ v základnom tvare a teda reprezentuje racionálne číslo.

Vytvorte alebo nájdite vhodný applet, ktorý vám pomôže zodpovedať otázky:
Ako sa mení hodnota zlomku

$\frac{p}{q}$ , keď zväčšujeme číslo

$p$ ?
Ako ovplyvňuje hodnotu zlomku zväčšenie menovateľa

$q$ ?
Pozrite si knihu appletov ku zlomkom Tu a v nej kapitolu Fractions on a numberline

$$ .$ $