Celé čísla a racionálne čísla
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie |
Kniha: | Celé čísla a racionálne čísla |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:41 |
Opis
celé čísla
Celé čísla - úvod
Naše vedomosti z elementárnej matematiky nám napovedajú, že riešenie existuje v inom číselnom obore, v obore celých čísel. Jednoducho, ak budeme aplikovať jednu z ekvivalentných úprav „odčítanie“ čísla 5 k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme
Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme
, ale na pravej strane rovnice to nie je prirodzené číslo. Výsledkom je "číslo
". Toto riešenie skrýva v sebe základnú myšlienku pre zavedenie celých čísel – metódu odčítania.
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![-3 -3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a272d4065df05c54a9e1f108e59a0124.png)
Nech
sú prirodzené čísla. Ak existuje jediné prirodzené číslo
, pre ktoré je splnená rovnosť
, tak toto číslo nazveme rozdielom čísel
v tomto poradí a budeme ho označovať symbolom
.
![m,n \in N m,n \in N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5534bf24e65ec03b4f9c1e8e8bdf7f5.png)
![r \in N r \in N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/86185490ef418f7708d63776505c6718.png)
![m+r=n m+r=n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bf2404b7d6eed33b70322c97c828db6d.png)
![n,m n,m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a29969c6d9596285d21cb4be458063b.png)
![n-m n-m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c257fa5066c9c420b5853fe3254973b8.png)
Opačné číslo
Na vyjadrenie hodnoty menšej ako nula (teplota pod 0^° C a pod.) používame opačné čísla k prirodzeným číslam.
• Opačné číslo k prirodzenému číslu
ak označme symbolom
, tak bude platiť
.
• Číslo opačné k prirodzenému číslu budeme nazývať záporné číslo.
• Opačné číslo k prirodzenému číslu
![n \in N n \in N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b778276b819b3f6c55bee26647f84649.png)
![-n -n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b998366ea8df9f0f2cd00e1e17b74b6.png)
![n+(-n)=(-n)+n=0 n+(-n)=(-n)+n=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f91a1978be2f9377cfcb1045c6e8a2a6.png)
• Číslo opačné k prirodzenému číslu budeme nazývať záporné číslo.
Napríklad pri interpretácii pojmu záporného čísla
s výhodou používame termín „pasíva“. Na druhej strane prirodzené číslo
interpretujme ako „aktíva“. Žiaci potom budú prirodzene chápať, že platí aj rovnosť
alebo rovnosť
.
Túto rovnosť potom využijú pri riešení rovnice
. Po jednoduchej úprave (asociatívnosť sčítania prirodzených čísel) dostanú rovnicu
.
Žiaci už vedia odčítať to isté prirodzené číslo od obidvoch strán rovnice. Ak odčítajú číslo
, tak po odčítaní dostanú „jednoduchšiu“ rovnicu
.
![(-3) (-3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31c2498e1a894b5c31622d9479c65305.png)
![3 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4047386ab7115fcd58f871a285084df2.png)
![3+(-3)=0 3+(-3)=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/024b998d968ee1cc0374fc37c11c5174.png)
![(-3)+3=0 (-3)+3=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d9f9c8dbeaa93a2104ac069e09e5bea2.png)
Túto rovnosť potom využijú pri riešení rovnice
![x+5=2 x+5=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5bfdcb18b58dea52afba213968e997b.png)
![(x+3)+2=2 (x+3)+2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df68f9db3229cf1e6fa68537bc4b3beb.png)
Žiaci už vedia odčítať to isté prirodzené číslo od obidvoch strán rovnice. Ak odčítajú číslo
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
![x+3=0 x+3=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9d2492ad068292c04b7648ca0a052b0.png)
Záporné čísla
Záporné čísla
sa objavili po prvýkrát v čínskej matematike. V knihe „Deväť kapitol matematického umenia“ (202 pred n.l.) sú použité červené „úsečky“ pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/170978/mod_book/chapter/3078/ZaporneCina.png)
Tento systém je opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti bankovníctva, účtovníctva a obchode.
- V 7. storočí nášho letopočtu v Indii, boli záporné čísla použité na vyjadrenie dlhu. Indický matematik Brahmagupta, uvádza pravidlá pre operácie sčítania a násobenia so zápornými číslami. Používal termíny "dlh“ a „úver“.
- Európski matematici sa bránili konceptu záporných číslach až do 17. storočia, hoci Fibonacci používal pri riešení finančných problémov záporné čísla (Libier Abaci, 1202).
- Gottfried Wilhelm Leibniz bol prvý matematik, ktorý systematicky využíval záporné čísla.
Poznámky.
- Matematici v rôznych obdobiach považovali záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli).
- Pozrite si modely záporných čísel, ktoré sa používajú vo vyučovaní matematiky. Tu
Celé čísla ako rozdiely
Celé čísla môžeme v širšom význame chápať ako všetky možné rozdiely dvoch prirodzených čísel. Problém je však v tom, že niektoré rozdiely neexistujú v obore prirodzených čísel.
Napríklad ako sme už poukázali rozdiel
, ktorý by mal byť riešením našej rovnice neexistuje v množine prirodzených čísel. Na druhej strane, zrejme aj rozdiel
je riešením našej rovnice.
Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel
a zároveň aj rozdiel
je hľadaným riešením rovnice, tak musí platiť rovnosť
.
Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla
a čísla
k obidvom stranám rovnosti) dostaneme rovnosť
(2+3=0+5\).
![(2-5) (2-5)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a19139d593d216f5ff9dc69b034c0f1e.png)
![(0-3) (0-3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69978d8e7698145b889f9f0bf2c05a0c.png)
Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel
![(2-5) (2-5)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a19139d593d216f5ff9dc69b034c0f1e.png)
![(0-3) (0-3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69978d8e7698145b889f9f0bf2c05a0c.png)
![(2-5)=(0-3) (2-5)=(0-3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d829f436b88dd78373e4a81c5fb453e4.png)
Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla
![5 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aabf1eeeafba492fa8c7343c13f259a4.png)
![3 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43f339494a81e106b98079ba9c2b0f4d.png)
(2+3=0+5\).
To znamená, že dva rozdiely prirodzených čísel
a
budú predstavovať to isté záporné číslo
práve vtedy, ak platí rovnosť
.
![(2-5) (2-5)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a48a43f14f83ea18b85df5a34dca877.png)
![(0-3) (0-3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/50bc9cb76339435f39b6ce8d5e07e289.png)
![(-3) (-3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31c2498e1a894b5c31622d9479c65305.png)
![2+3=0+5 2+3=0+5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af47b1a35601bf8db9304bdabf47d12f.png)
Platnosť poslednej rovnosti vieme bez problémov overiť, pretože sčitovať prirodzené čísla sme sa naučili v prvej kapitole. Z uvedeného vyplýva, že celé čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc prirodzených čísel.
Obor celých čísel
Definícia.
Nech
je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu
na množine
takto:
.
Nech
![N N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4b1432432038fbb6d340407982580cb.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/665be35cfaa3a7a1f5e4efac25cfb25c.png)
![N \times N N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51a3b1dd1625d51f8b73e10ddf761d48.png)
![(a,b)R(c,d)⟺a+d=c+b (a,b)R(c,d)⟺a+d=c+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e9aba25d81a3df892487c112f10c44c1.png)
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel
sú v relácii, ak platí rovnosť
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
![(a,b),(c,d) (a,b),(c,d)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39dff7ff3035fcad3d9222cc77b8ec1d.png)
![a+d=c+b a+d=c+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90b7132f250b630b8e4d215e11e380a1.png)
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
-
Nech
je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech
je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí
, lebo platí
. Odkiaľ dostaneme, že relácia
je reflexívna.
- Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii
.
- Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí:
.
- To je ekvivalentné so vzťahom
, preto platí: relácia
je symetrická.
- Nech platí
a zároveň
.
- Z definície relácie
vyplýva, že musí platiť
a zároveň
. Pripočítajme k prvej rovnosti číslo
a k druhej rovnosti číslo
.
- Dostaneme rovnosti
. Zrejme platí
(komutatívnosť sčítania).
- Ak využijeme, že rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme
.
- Teraz stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme
. To znamená, že relácia
je tranzitívna.
Rozširenie oboru N
Nech
je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad
je množina, ktorej prvky-triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel!
Ukážka
![N= \lbrace{0,1,2,...,...}\rbrace N= \lbrace{0,1,2,...,...}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e732e1c2ee9ad298c28461f514c42736.png)
![N×N∕R N×N∕R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d6494dbd727230d923aaecdd22c334d6.png)
-
Označme symbolom
triedu, ktorá obsahuje dvojicu
} \)\. Potom trieda
bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu
, lebo platí
. Triedu
môžeme určiť vymenovaním jej prvkov:
.
-
Podobne by sme ukázali, že trieda
, ktorá obsahuje dvojicu
bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu
. Symbolicky
.
-
Označenie pre triedy rozkladov
môžeme nahradiť aj inými symbolmi. V literatúre sa objavujú symboly
.
My použijeme jednoduchšie symboly, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel.
-
Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica
je množina, ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako
.
-
Všimnite si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici
, kde
, budú reprezentované prirodzenými číslami.
- V prípade, že
dostneme triedy rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami.
Množina celých čísel
Zhrňme si naše úvahy:
- Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu prirodzených čísel
, ktorú popíšme napríklad Peanovou aritmetikou.
- Vytvoríme množinu všetkých usporiadaných dvojíc
prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu
.
- Dvojice prirodzených čísel zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice
z rovnakej skupiny platí rovnosť
.
- Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.
Definícia.
Nech
je relácia ekvivalencie na množine
, pre ktorú platí:
a nech
je rozklad množiny
podľa relácie
. Potom prvky množiny
budeme nazývať celé čísla.
Nech
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
![N \times N N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51a3b1dd1625d51f8b73e10ddf761d48.png)
![\forall a,b,c,d \in N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b \forall a,b,c,d \in N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/22f6557f11e2da60f5a26ce480fd1c56.png)
a nech
![Z=(N \times N)/R Z=(N \times N)/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eb5159482ba423ef974131c7cb94f343.png)
![N \times N N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51a3b1dd1625d51f8b73e10ddf761d48.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
![Z Z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/136e7596defa3afe882e06588efceef2.png)
Poznámky.
Nech
, potom v prípade:
Nech
![(a,b) \in N \times N (a,b) \in N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1e79fcb1f4dae3574e10ec3553c7ba16.png)
-
triedu rozkladu
budeme označovať symbolom
, kde
je prirodzené číslo, zrejme platí
.
Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom.
-
triedu rozkladu
budeme označovať symbolom
, kde
je prirodzené číslo, zrejme platí
.
Tieto čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých záporných čísel symbolom.
- Pokúste sa definovať kladné čísla.
Súčet a súčin
Relácia ekvivalencie
umožnila vytvorenie „nosiča“ pre celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel.
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
Nech
sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet
a súčin
týchto celých čísel popisujú nasledujúce dve definície.
Interpretácia definícií
![T_{(a,b)},T_{(c,d)} T_{(a,b)},T_{(c,d)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9f3cd021c7724b20e14e117b056eba29.png)
![\oplus \oplus](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aeec9c9e5d9be0dbdb9525df9a71a1a9.png)
![\otimes \otimes](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cb55666d9da0e725f3f954b511b07ad.png)
Zvoľme si celé čísla
. Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu
. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy
≝ 2,
,
≝ 3
≝ -2,
≝ -3.
Interpretujme súčet tried
Interpretujte súčin tried
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny.
Poznámky
![2,-2,3,-3 2,-2,3,-3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73f0738cd6f0022c9b94b06a73d3f043.png)
![(N \times N)/R (N \times N)/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7a9afda2a4990502d014648a2fad0385.png)
![T_{(2,0)} T_{(2,0)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eff33a7ab611ea34ae1df194aeb8e70e.png)
![T_{(3,0)} T_{(3,0)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3a58e4b3d155964fa63332932c2821b7.png)
![T_{(0,2)} T_{(0,2)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c71b2d2e44a2a2b12d1e7405bcd7501d.png)
![T_{(0,3)} T_{(0,3)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/022fe3acb1854cd94bd0586bf11b8d06.png)
Interpretujme súčet tried
![2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5 2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a55a5e387a53f39f0e6dd707ddcc25b9.png)
![3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1 3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b697ee96fff0415bc8dba824170247c.png)
Interpretujte súčin tried
![2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6 2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b05d6250537e3546b15d3ecd3b1c2f2d.png)
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny.
-
Súčin
si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov
.
-
Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“
. Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.
Ak -
Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako množinu:
alebo
.
![(p,q) \in T_{(a,b)} (p,q) \in T_{(a,b)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/029b91db7c55094656a3eebd137fb567.png)
![(r,s) \in T_{(c,d)} (r,s) \in T_{(c,d)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a7f1eeb74f0b2847c22049ea7ba2cb31.png)
Vlastnosti celých čísel
Preštudujte si kapitolu Vlastnosti celých čísel v študijnom texte "Čísla a počítanie"
Absolútna hodnota
Preštudujte si kapitoly
3.2.2 Absolútna hodnota celého čísla
3.2.3 Usporiadanie na množine celých čísel
v študijnom texte "Čísla a počítanie"
Racionálne čísla - úvod
Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo -3 a dostaneme rovnicu
, ktorej riešením nemôže byť celé číslo.
![6x=3 6x=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2b1bab9ddb78c51b36079b20d3a91249.png)
Na chvíľu predpokladajme, že existuje číslo, ktoré je riešením danej rovnice
. Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že také číslo
musí byť podiel
celých čísel
. Teda muselo by platiť:
.
Rovnicu
môžeme upraviť na tvar
. Riešením tejto rovnice je podiel
, teda
.
Zároveň vieme, že rovnica
má nanajvýš jedno riešenie. Dokážte to!
![6x=3 6x=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2b1bab9ddb78c51b36079b20d3a91249.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![3∶6 3∶6](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a57cfd829ddfc68a441959d76dedac66.png)
![3,6 3,6](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75faaeab9c9957ed7fb7754d6c0b846d.png)
![x=(3∶6) x=(3∶6)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1c66f5de32d6496a2552c9f03f784d5d.png)
Rovnicu
![6x+3=6 6x+3=6](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/60d423004c53a4c95006cc05d5b1ab65.png)
![2x+1=2 2x+1=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7b93a5c11b05c64f18c3786d9ed8350.png)
![1∶2 1∶2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/521ca0adff32ffd62a1b03891c19a3fb.png)
![x= (1∶2) x= (1∶2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16013033bda8cf7872c57cba983db8f2.png)
Zároveň vieme, že rovnica
![6x+3=6 6x+3=6](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/60d423004c53a4c95006cc05d5b1ab65.png)
Rovnosť podielov
Racionálne čísla môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné podiely dvoch celých čísel.
Ukázali sme jednu podstatnú skutočnosť.
Ak „podiel“ celých čísel
a zároveň aj podiel
je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť
.
Ak použijeme označenie
a
, tak je zrejmé, že
).
Po vykrátení dostaneme rovnosť
.
Ak „podiel“ celých čísel
![(3∶6) (3∶6)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f843e61e2212b8a36abf310b2f72cfb3.png)
![(1∶2) (1∶2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/41cf4e5a4fd2b6e67cd9941170991137.png)
![(3∶6)=(1∶2) (3∶6)=(1∶2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d508ef1bd2d60b07dab12ed504ab9ff.png)
Ak použijeme označenie
![x_1=(3∶6) x_1=(3∶6)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5ec6775a00e964e722fbbc5a5a2f1a95.png)
![x_2=(1∶2) x_2=(1∶2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f4922479eb076a0c4080282146f0676.png)
![(x_1=x_2 ) \Leftrightarrow (6x_1=6x_2 ) \Leftrightarrow (1.6.x_1=2.3.x_2) (x_1=x_2 ) \Leftrightarrow (6x_1=6x_2 ) \Leftrightarrow (1.6.x_1=2.3.x_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5bbb732f45dbea0affd455245e9390e0.png)
Po vykrátení dostaneme rovnosť
![(1.6=2.3) (1.6=2.3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04dd96885ce54058534ef986aca0026c.png)
Rovnosť podielov dvoch celých čísel sme nahradili rovnosťou, kde sa vyskytuje len súčin celých čísel. Súčin je však neobmedzene definovaná operácia v obore celých čísel, t.j. vieme vynásobiť ľubovoľné dve celé čísla. Z uvedeného vyplýva, že racionálne
čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc celých čísel.
Porovnanie: celé a racionálne
V tejto kapitole nebudeme podrobne rozoberať postup definovania racionálnych čísel. Zameriame sa na vzájomný vzťah medzi zavedením množiny celých čísel a zavedením množiny racionálnych čísel.
Pri celých číslach sú východiskom prirodzené čísla a pri racionálnych číslach už môžeme použiť celé čísla! Relácia ekvivalencie pri celých číslach predstavuje „rozdiel“ prirodzených čísel a pri racionálnych číslach je to „podiel“ celých čísel.
Obor racionálnych čísel
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel
sú v relácii, ak platí rovnosť
(súčin prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčinu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
![(a,b),(c,d) (a,b),(c,d)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39dff7ff3035fcad3d9222cc77b8ec1d.png)
![a \cdot d=c \cdot b a \cdot d=c \cdot b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a0edb0d96f04b4e5b1a73fc23ecb3120.png)
-
Nech
je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech
je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí
, lebo platí
. Odkiaľ dostaneme, že relácia
je reflexívna.
- Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii
.
- Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí:
.
- To je ekvivalentné so vzťahom
, preto platí: relácia
je symetrická.
- Nech platí
a zároveň
.
Triedy rozkladu
Úvahy o triedach rozkladu
umožňujú zaviesť množinu racionálnych čísel ako množinu tried tohto rozkladu.
![Z \times Z^+/R Z \times Z^+/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b1b11af4f282f6efe302866ef7f12df0.png)
Zhrňme si naše úvahy:
Uvedieme definíciu množiny racionálnych čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.
Súčet a súčin
Relácia ekvivalencie
umožnila vytvorenie „nosiča“ pre racionálne čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin racionálnych čísel.
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
Nech
sú dve racionálne čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet
a súčin
týchto čísel popisujú nasledujúce dve definície.
![T_{(a,b)},T_{(c,d)} T_{(a,b)},T_{(c,d)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9f3cd021c7724b20e14e117b056eba29.png)
![\oplus \oplus](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aeec9c9e5d9be0dbdb9525df9a71a1a9.png)
![\otimes \otimes](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cb55666d9da0e725f3f954b511b07ad.png)
Zvoľme si celé čísla
. Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu
. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy
≝
,
,
≝
,
≝
.
Interpretujme súčet (tried)
...
Interpretujte súčin tried
...
![\frac{2}{3}, \frac{7}{5}, \frac{-1}{2} \frac{2}{3}, \frac{7}{5}, \frac{-1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9afd08efa10d34469c181e10ff5cee88.png)
![(Z \times Z^+)/R (Z \times Z^+)/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c897f8e01d4790ffdf4d0531a30e692f.png)
![T_{(2,3)} T_{(2,3)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6cb6bc9fbcc1f2c67a94bbb38abb2dd8.png)
![\frac{2}{3} \frac{2}{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f9190da809c552b426d490c9c6e43847.png)
![T_{(7,5)} T_{(7,5)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c83bad2bd6ac522455203f3f52a3e7a2.png)
![\frac{7}{5} \frac{7}{5}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c07e2441254916b31442accab82d55c5.png)
![T_{(-1,2)} T_{(-1,2)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ae70b21a84bec14f0b07618295eb2d87.png)
![\frac{-1}{2} \frac{-1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4147b65f8d64c4e53b82bb142c690347.png)
Interpretujme súčet (tried)
![\frac{2}{3} \oplus \frac{7}{5}=T_{(2,3)} \oplus T_{(7,5)}=T_{(2 \cdot 5 + 7 \cdot 3), 3 \cdot 5}=T_{(31,15)}=\frac{31}{15} \frac{2}{3} \oplus \frac{7}{5}=T_{(2,3)} \oplus T_{(7,5)}=T_{(2 \cdot 5 + 7 \cdot 3), 3 \cdot 5}=T_{(31,15)}=\frac{31}{15}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f99dbeec6cabb879ae29c79465238d77.png)
...
Interpretujte súčin tried
...
Poznámky.
Hustota racionálnych čísel
Nech
sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body
. Dokážte, že aritmetický priemer
je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi je stred úsečky
.
![a,b∈ Q a,b∈ Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a67125f90b12680b35435f55da3c123.png)
![A,B A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png)
![(a+b)/2 (a+b)/2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32aa1f10ed2db3cb33f04be4635cf65c.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png)
Nech
a zároveň
![a=m/n,b=r/s a=m/n,b=r/s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d286006be0382a74f1dd54dc86c1aa81.png)
![a \leq b a \leq b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c586d8795fb2c0aa0d724896e8277e72.png)
- Pre aritmetický priemer
môžu nastať dva prípady:
- Zlomok
je v základnom tvare (nemožno ho krátiť).
- Zlomok
nie je v základnom tvare. Vtedy existuje nenulové prirodzené číslo
, ktorým zlomok vykrátime na základný tvar
. Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť
.
- Z predchádzajúceho vyplýva, že zlomok
reprezentuje racionálne číslo, pre ktoré platí
- Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché.
- K úplnosti dôkazu je potrebné ukázať, že platí rovnosť
Nech
je relácia usporiadania na množine
. Ak pre každé dva prvky
s vlastnosťou
existuje prvok
taký, že
, tak množina
sa nazýva husto usporiadaná.
Keďže pre aritmetický priemer
racionálnych čísel
platí
, tak platí aj nasledujúce tvrdenie:
![\leq \leq](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f18400dfd925910c6bede1f332dfc59.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
![x,y \in M x,y \in M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/901807be7a4366dea9b6319779607665.png)
![x < y x < y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c294c71450177c22179886dbcfde502b.png)
![z z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25af810aa748842731df94a4b0e9aa06.png)
![x < z < y x < z < y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/795064f68e410172ccda97365c0ececb.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
Keďže pre aritmetický priemer
![AP(a,b) AP(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84b8666832ee844c1b31dd37c79185de.png)
![a \leq b a \leq b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ce3d7e07829b9d3592be707a90b67c0.png)
![a \leq AP(a,b) \leq b a \leq AP(a,b) \leq b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f727c8a92ad2e562387489814f9ee09b.png)
Množina racionálnych čísel je
husto usporiadaná.
Školská matematika
Racionálne čísla v školskej matematike zaádzame pomocou zlomkov, pričom dva zlomky
budú predstavovať to isté racionálne číslo, ak bude platiť rovnosť
.
![\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \frac{a}{b}, \frac{c}{d}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f1ba5d2840954d644f65699d7c054a9f.png)
![ad = cb ad = cb](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adde51a064b3484bc55042885a5bcff8.png)
Množina racionálnych čísel je množina, ktorá obsahuje všetky zlomky, ktorých čitateľ je celé číslo a menovateľ je kladné prirodzené číslo.
Pri zavádzaní operácií sčítania a násobenia racionálnych čísel v školskej matematike sa opierame o sčítanie a násobenie zlomkov. Nech
, potom v obore
\) platí pre:
Pri zavádzaní operácií sčítania a násobenia racionálnych čísel v školskej matematike sa opierame o sčítanie a násobenie zlomkov. Nech
![a,c \in Z ,b,d \in N^+ a,c \in Z ,b,d \in N^+](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66d191e3faf46cd3a95e509b42debb77.png)
![(Q,+, \cdot ) (Q,+, \cdot )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2b850a8a315dfec82f679f95790636cc.png)
Poznámky.
- Pri sčitovaní zlomkov s rôznymi znamienkami niekedy žiaci "kopírujú" postup pre odčítanie celých čísel.
- Napríklad pri súčte
skúmajú, ktoré z čísel
je väčšie.
- Obor
racionálnych čísel je množina všetkých zlomkov
, kde
a
, na ktorej sú definované operácie sčítania a násobenia.
-
V prípade, že čísla
sú nesúdeliteľné (ich najväčší spoločný deliteľ je rovný
), hovoríme že zlomok
je v základnom tvare.
- Množinu racionálnych čísel môžeme reprezentovať všetkými zlomkami, ktoré sú v základnom tvare.
-
Mimochodom sú to aj všetky celé čísla, lebo pre
je zlomok
v základnom tvare a teda reprezentuje racionálne číslo.
Vytvorte alebo nájdite vhodný applet, ktorý vám pomôže zodpovedať otázky:
Ako sa mení hodnota zlomku
, keď zväčšujeme číslo
?
Ako ovplyvňuje hodnotu zlomku zväčšenie menovateľa
?
Pozrite si knihu appletov ku zlomkom Tu a v nej kapitolu Fractions on a numberline
Ako sa mení hodnota zlomku
![\frac{p}{q} \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fefb8f97e1da0d03ad8e7400e0b4a58f.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
Ako ovplyvňuje hodnotu zlomku zväčšenie menovateľa
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af72e5dc8af87a2580b23fbf92c543f6.png)
Pozrite si knihu appletov ku zlomkom Tu a v nej kapitolu Fractions on a numberline