Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

 Vektory a počítanie s nimi      .    Cvičenia vo formáte Beamer Tu.

1. Vyriešte sústavu rovníc s parametrom $\small p \in \mathbb R$ v obore $\small \mathbb R$ a tiež v obore $\small \mathbb Z^3_5$
   $\small \begin{matrix} 4x+2y+3z=1 \\ 2x+y+3z=2 \\ 4x+2z=p+2 \end{matrix}$.
   Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu.
2. Vyriešte sústavu rovníc v obore $\small \mathbb R$
   $\left(\small \begin{matrix} -4 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} \frac{-1}{2} \\ \frac{-3}{2} \\ \frac{5}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 1 \\ \frac{-3}{2} \end{matrix}\right)$.
   Pozrite si geometrickú interpretáciu Tu.
3. Zistite, či množina $\small V$ všetkých usporiadaných dvojíc resp. trojíc spolu s dvoma binárnymi operáciami $\small ( +,⋅)$ je vektorovým priestorom nad poľom reálnych čísel $\small \mathbb R$, ak
   • $\small V=\lbrace{(3r,r);\; r \in \mathbb R }\rbrace$,
   • $\small V=\lbrace{(1-3r,r);\; r \in \mathbb R }\rbrace$ ,
   • $\small V=\lbrace{(mr,r);\; r \in \mathbb R, m \in \mathbb N }\rbrace$ ,
   • $\small V=\lbrace{(x,y,0);\; x,y \in \mathbb R }\rbrace$,
   kde sčítanie vektorov je definované ako súčet po zložkách usporiadaných dvojíc a násobenie skalárom je násobenie jednotlivých zložiek skalárom.
4. Sú dané body $\small A=[-1,2], \;B=[5,1] ,\;C=[1,3]$. Nájdite vektory
   $\small \overrightarrow{BA}, \; 3 \cdot \overrightarrow{CA}, \;\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}, \;3 \cdot \overrightarrow{AC}-2 \cdot \overrightarrow{BC}$
   a zistite ich dĺžky. Zadanie Tu.
5. [Mon 1.1.3.] Sú dané body $\small A,B$. Určte polohu bodu $\small C$ tak, aby
   • vektory $\small \overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}$ boli umiestnením toho istého vektora.
   • vektory $\small \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ boli umiestnením toho istého vektora.
6. V rovine je daný pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$.
   • K vektorom $\small \overrightarrow{AB}=B-A,\; \overrightarrow{AC}=C - A, \;\overrightarrow{AD}=D - A$ nájdite ďalšie orientované úsečky, ktoré reprezentujú dané vektory.
     Otvorte si model šesťuholníka Tu.
   • Určte koľko viazaných (voľných) vektorov je určených vrcholmi pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$.
7. [Monoszová 1.1.11.] až [Monoszová 1.1.17.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Prvá časť Tu.

Lineárna kombinácia vektorov

1. Daný je pravidelný šesťuholník $\small ABCDEF$. Vyjadrite vektory
   $\small \overrightarrow{AB}=B-A,\;\overrightarrow{BC}=C-B,\; \overrightarrow{CD}= D-C, \; \overrightarrow{FE}=E-F, \; \overrightarrow{DE}= E-D$
   ako lineárne kombinácie vektorov $\small \pmb a = B-A, \pmb b = -A$.
2. V rovine je daný šesťuholník, ktorého vrcholy sú určené vzťahmi:
   $\small A,\; A + \pmb u,\; A + 2 \pmb u + \pmb v, \; A + 2 \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb v$.
   Dokážte, že tento šesťuholník je súmerný podľa stredu $\small S = A + u + v$. Zadanie Tu. Riešenie Tu.
3. Nech $\small a, b$ sú nekolineárne vektory. Určte číslo $\small \lambda$ tak, aby vektory $\small \pmb c = \lambda \pmb a + 5 \pmb b,\; \pmb d = 3 \pmb a - \pmb b$ boli kolineárne.
4. Ukážte, že vektor $\small (3,5)$ je lineárnou kombináciou vektorov $\small (-2,4),(2,1)$ ale nie je LK vektorov $\small (-1,2),(2,-4)$.
5. Vyjadrite vektor $\small (1,3,-1)$ ako LK vektorov $\small (-1,2,1),(1,0,-1),(1,1,-1)$.
6. Ukážte, že vektory $\small (-1,2,-1),(0,1,0),(1,-1,1)$ sú lineárne (ne)závislé.
7. Vyjadríte vektor $\small (1,2,3)$ ako lineárnu kombináciu vektorov $\small (1,2,-1);(-2,1,0);(0,-3,1).$
8. Nech vektory $\small \pmb v_1, \pmb v_2, , \pmb v_3$ sú lineárne nezávislé. Zistite, či vektory $\small \pmb u_1=3 \cdot \pmb v_1, \pmb u_2= 2 \cdot \pmb v_1+\pmb v_2- \pmb v_3, \pmb u_3= \pmb v_1-\pmb v_2+ \pmb v_3$ sú závislé alebo nezávislé.

Súradnice vektorov v báze, Dimenzia a báza

1. Množina $\small M=\left\langle(1,1),(2,3)\right\rangle$ je báza vektorového priestoru $\small \mathbb R^2$. Určte súradnice vektora $\small \vec{u}$ vzhľadom k tejto báze, ak poznáte jeho súradnice $\small \vec{u}=(7,12)$ vzhľadom ku kanonickej báze $\small \left\langle \vec{e_1}=(1,0), \vec{e_2}=(0,1)\right\rangle$. [Hašek 4.2.]
2. Daný je vektorový priestor $\small W=[(1,0,2),(2,4,1),(1,2,3)]⊂\mathbb{\pmb Z^3_5}$.
   • Zistite, či vektory $\small \vec{u},\vec{v}$ so súradnicami v kanonickej báze $\small \vec{u}=(2,3,3),\vec{v}=(1,2,1)$ patria do obalu $\small [(1,0,2),(2,4,1),(1,2,3)]$ v obore $\small \mathbb{\pmb Z^3_5}$.
   • Nájdite nejakú bázu $\small B$ priestoru $\small W$ a určite jeho dimenziu. Určte súradnice vektora $\small \vec{x}$, ak $\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(3,4,3)$. Priestor $\small W$ obsahuje trojice prvkov telesa $\small \mathbb{\pmb Z_5}$ zvyškových tried modulo 5. 
3. Nech $\small S =(\vec a (-1, 1, 2),\;\vec b(-2, -1, 3),\;\vec c (0, 2, 1))$ je báza priestoru $\small V_3(\mathbb R)$. Nájdite vektor vo $\small V_3(\mathbb R)$, ktorého súradnice vzhľadom k báze $\small S$ sú $\small (2, 1, -2)$.
4. [Hašek 4.6.1] až [Hašek 4.6.8] Linearni algebra a geometrie. Dostupné Tu.

Skalárny súčin, Vonkajší súčin, Schmidtov ortogonalizačný proces

1. Na priestore $\small \mathbb R^3$ je daný skalárny súčin $\small f$, ktorý má vzhľadom ku kanonickej báze analytické vyjadrenie
   $\small f(x,y)=3x_1y_1+x_2y_2+2x_3y_3$
   Určite normy a odchýlku vektorov $\small a=(1,2,3) a b=(1,2,1)$
2. ♥ Ukážte, že zobrazenie $\small f$ v priestore $\small \mathbb R^4$, ktoré má vzhľadom na kanonickú bázu analytický výraz
   $\small f(x,y) = x₁y₁ + x₁y₄ + 2x₂y₂ + 3x₃y₃ + 2x₃y₄ + x₄y₁ + 2x₄y₃ + 3x₄y₄$
   je skalárnym súčinom.
   • Nájdite nejakú ortogonálnu a ortonormálnu bázu priestoru $\small \mathbb R^4$.
   • Zistite, či sú vektory $\small \vec{x},\vec{y}$ na seba kolmé:
     $\small \vec{x} = (1,0,3,-2), \vec{y} = (2,-1,1,2)$.
   • Určte, aký uhol zvierajú vektory $\small \vec{u},\vec{v}$:
     $\small \vec{u} = (2,1,0,1), \vec{v} = (0,3,1,-1)$.
   • Určte ortogonálne doplnky podpriestorov $\small W₁, W₂$ v priestore $\small \mathbb R^4$:
     $\small W₁ = [x], W₂ = [u,v]$.
   Riešenie tejto úlohy vypracujte v  $\small TeX$ vo formáte v šablóne Beamer a odovzdajte ho v časti "Plusové body". Za správne riešenie získate dva plusové body. Akceptujú sa len prvé dve správne riešenia.
3. Vypočítate uhol vektorov $\small \vec{u}$ a $\small \vec{v}$, ak $\small \vec{u} = (3,1) ; \vec{v} = (2,4).$
4. [Monoszová 2.2.1.] až [Monoszová 2.3.7.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Riešenie MON 2.1.7 Tu.

Metrické vlastnosti vektorov, Cauchy-Schwarzova nerovnosť

1. Vypočítajte veľkosti uhlov a dĺžky strán v trojuholníku $\small ABC$, ak .$\small A = [1,-2],\; B = [-3,3],\; C = [1,3]$. Riešenie ...
2. Nech $\small A = [1, 3], B = [-1, 5], \vec u=(2,-5), \vec v= (−3, 1)$. Rozhodnite, či napísaný objekt je bod alebo vektor a určte jeho súradnice.
        a)$\small 1/2(B-A)-\vec v$
        b)$\small (B-A)-(A+\vec u)$[
        c)$\small A+\vec v-\vec u$
3. [Monoszová 2.1.1.] až [Monoszová 2.1.23.] Zbierka úloh z analytickej geometrie. Dostupné Tu.

Afinný priestor

1. [Monoszová 1.2.1.a] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.
2. [Monoszová 1.2.1.b] Riešenie Tu.
3. [Monoszová 1.2.2.a] Riešenie Tu.
4. [Monoszová 1.2.4   ] Riešenie Tu.
5. [Monoszová 1.2.5.b] Riešenie Tu.
6. [Monoszová 1.2.5.c] Riešenie alg. Tu; geom. Tu.

Lineárna súradnicová sústava

1. Riešte úlohy [Monoszová 1.3.1.] až [Monoszová 1.3.5.].
2. Vypočítajte súradnice bodu $\small Q = P + (2\vec u - \vec v) ∈ A^4$ v afinnej súradnicovej sústave $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \pmb {e_3},\pmb {e_4} \right\rangle$, ak $\small P = O + (-e_2 + e_4/2); \vec u = e_3 - \sqrt2 e_4;\vec v = -3e_1 + e_2 - e_3- 2e_ 4$.
3. V rovine danej bodmi $\small A = [2, 1, 3], B = [2, 4, 0], C = [−3, 0, 4]$ zvoľte afinnú súradnicovú sústavu $\small \left\langle A, B − A, C − A⟩\right\rangle$. Zistite, aké súradnice má bod M v $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \pmb {e_3} \right\rangle$, ak jeho súradnice v $\small \left\langle A, B − A, C − A⟩\right\rangle$ sú $\small [5, 3])$.
4. V rovine je daný trojuholník $\small \triangle ABC$ a body $\small D, E, F$ v tomto poradí ako stredy strán $\small BC, CA, AB$. Nájdite súradnice vrcholov trojuholníka v afinnej sústave súradníc $\small \left\langle F, E-F, D-F \right\rangle$.
5. V rovine je daný pravidelný šesťuholník $\small ABCDEF$. Nájdite súradnice vrcholov tohto 6-uholníka v afinnej súradnicovej sústave $\small \left\langle A,B-A,C-A\right\rangle$.

Afinný podpriestor

1. Riešte úlohy [Monoszová 1.4.1.] až [Monoszová 1.4.18.].
2. Zistite, či body $\small M = [9,-2,5], N = [4, 1, 6]$ incidujú s podpriestorom $\small \left\langle A, \vec u, \vec v \right\rangle$ pre $\small A = [1, 3, 2], \vec u = (2, -1, 1), \vec v = (1, -1, 0)$.
   Návod: Bod $\small M$ leží v podpriestore práve vtedy, keď jeho súradnice vyhovujú parametrickému vyjadreniu, t. j.: $\small M = A + r\vec u + s\vec v$. Napíšte najskôr parametrické rovnice podpriestoru a dosaďte súradnice bodu $\small M$. [Vranková, 3L1].
3. Dokážte, že pre každé $\small t, u ∈ R$ množina bodov $\small {[1, 0, 1], [3, 3, 5], [4, 1, 6], [1 + 2t + 3u, 3t + u, 1 + 4t + 5u]}$ priestoru $\small R^3$ je afinne závislá. Akú dimenziu má jej afinný obal?
4. Určte aspoň jedno parametrické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza bodom $\small N = [-2, 3, 0]$ a obsahuje priamku $\small p = \lbrace{x = 1, y = 2 + t, z = 2 - t}\rbrace$.
5. Riešte úlohy z práce (Tisoň, 2011) k téme: Lineárne podpriestory, parametrické a všeobecné vyjadrenia.
6. Vyšetrite vzájomnú polohu danej priamky $\small p$ a roviny $\small \alpha$ v $\small A^4$, ak: $\small p: \lbrace{x_1 = 1 + t, x_2 = 2 + 2t, x_3 = 3 + 3t, x_4 = 4 + 4t}\rbrace$, $\small \alpha: \lbrace{x_1 + x_2 + 1 = 0, x_3 – x_4 = 0}\rbrace$. [Vranková, 4L1].
7. Zistite vzájomnú polohu priamky $\small p$ a roviny $\small \alpha$ v $\small A^3$, ak $\small p: \lbrace{x = 1 + 10t, y = 3 - 2t, z = -2 + 3t}\rbrace$, $\small \alpha: \lbrace{ x + 2y - 2z - 11 = 0}\rbrace$.
8. Zistite vzájomnú polohu priamok
       $\small x=-3t,y=2+3t,z=1$
       $\small x=1+5t,y=1+13t,z=1+10t$
9. Určte afinné zobrazenie $\small f:\mathbb E_2→ \mathbb E_2$ zobrazujúce repér $\small \mathcal R =\left\langle O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right\rangle$:
   • $\small O=[0, 0],\overrightarrow{e_1}= [1, 0], \overrightarrow{e_2}=[0, 1]$ do $\small O'=[1, 1], \overrightarrow{e'_1}=[0, 1], \overrightarrow{e'_2}=[ 1 , 0]$. 
   • $\small O=[0, 0],\overrightarrow{e_1}= [1, 0], \overrightarrow{e_2}=[0, 1]$ do $\small O'=[0, 0], \overrightarrow{e'_1}=[-1, 0], \overrightarrow{e'_2}=[ 0 , -1$. 
   Vo všetkých prípadoch určte množinu samodružných bodov.
10. Afinné zobrazenie $\small f:\mathbb E_2→ \mathbb E_2$ je dané transformačnými rovnicami $\small {x' = 2x + 3y + 5, y' = 4x-3y - 2}$. Určte
    • do akých bodov sa zobrazia body [0, 0], [5, 2], [−1, 4]
    • ako sa zobrazia priamky $\small 2x + 3y + 5 = 0, 4x-3y-2 = 0,2x-6y-7 = 0$
    • grafickú interpretáciu v GeoGebre a zistite, čo je obrazom súradných osí v rovine, použite model "Repér" Tu
    Návod: najskôr určte obrazy súradného repéru a potom transformačné rovnice.
11. Dané je afinné zobrazenie $\small f: {x' = 3x + y − 6, y' = x + y + 1}$. Určite
    • obrazy bodov [0, 3], [1,4], [−1, -1]
    • ktoré body sa zobrazia do bodov [-11, 0], [-7, 2] a [1, 6]
    • ako sa zobrazia priamky $\small x-y+3=0, x-2y+11 = 0$

Afinné zobrazenie

1. Riešte úlohy zo zbierky [BILL] od strany 82.
2. Určte afinné zobrazenie, pre ktoré sú body priamky $\small a ≡ 2x + y + 1 = 0$ samodružné a bod [0, 0] sa zobrazí do [−1, −2].
3. Dané je afinné zobrazenie $\small {x'= 3x+4y−12, y' = 4x−3y+6}$. Na priamke $\small p : 7x − 2y − 24 = 0$ nájdite bod $\small P$, ktorého obraz leží na tej istej priamke. Pomoc: najskôr určte obraz $\small f:p→ p'$ a potom priesečník (\small P= p\cap p' \). Priamku $\small p'$ určte aj konštrukčne ako GMB.

Rôzne úlohy

1. Riešte úlohy z :
2. • Tisoň, K.: Geometria 1. Materiály pre študentov na FMFI Bratislava, 2011., dostupné Tu.
   • Monoszová, G.: Zbierka úloh z analytickej geometrie, FPF 2008, B. Bystrica. Prvá časť Tu. Druhá časť Tu. Výsledky Tu.
3. Riešte úlohu Monosz_Pr122ab, grafická interpretácia Tu.

Riešené príklady

1. Nájdite maticu afinnej transformácie $\small f:\mathbb E_2→ \mathbb E_2$ , pričom platí
   $\small O=[0, 0] \rightarrow O'=[1, 1]$
   $\small \overrightarrow{e_1} =[1, 0] \rightarrow \overrightarrow{e'_1} =(0, -1)$
   $\small \overrightarrow{e_2}=[0, 1] \rightarrow \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0)$.
   Riešenie.
   Keďže máme obraz repéra, tak môžeme použiť geometrický model "Obraz repéru" Tu, v ktorom nastavíme odpovedajúce hodnoty pre obraz repéra.
   Repér pre dané afinné zobrazenie je $\small O'=[1, 1], \overrightarrow{e'_1}=(0, -1 , \overrightarrow{e'_2}=(-1, 0) \rbrace$. Transformačné rovnice budú mať analytické vyjadrenie
   $\small  x'=\;\;0 \cdot x -1 \cdot y+1=-y+1\\\small y'=-1 \cdot x +0 \cdot y +1=-x+1$
   Skúmajme, či táto transformácia má samodružné body. Ak bod $\small M=[x, y]$ je samodružný, tak musí pre jeho obraz $\small f(M)=M'[x', y']$ platiť:
   $\small x'=x, y'=y$.
   Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme
   $\small x=-y+1, y=-x +1$,
   čo je množina bodov = priamka. Neskôr ukážeme, že transformácia $f$ je zhodné zobrazenie. Preto priamka samodružných bodov $\small x+y-1=0$ je osou súmernosti.
   Geometrická interpretácia - riešenie Tu
2. V rovine je posunutie určené vektorom $\small  \vec u = (1, -2)$. V posunutí sa trojuholník $\small KLM$ so súradnicami $\small K = [1; 1], L = [4; 3], M = [2; 5]$ zobrazí sa na trojuholník $\small K'L'M'$ so súradnicami $\small K'= [2; -1], L' = [5; 1], M' = [3; 3]$.
   a) Narysujte obraz $\small K'L'M'$ v GeoGebre pomocou nástroja Posunutie.
   b) Nájdite analytické vyjadrenie tejto zhodnosti.
   Návod: Poznáme obrazy $\small O'= [1; -2], K' = [2; -1], M' = [3; 3]$ a ich dosadením spolu so súradnicami $\small K = [1; 1], M = [2; 5]$ do rovnice
   $\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 1 & -2\end{array} \right)$
   dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
   $\small \;\;\;2=a \cdot 1+c \cdot 1+1 \\ \small -1=b \cdot 1+d \cdot 1-2$
   $\small \;\;\;3=a \cdot 2+c \cdot 5+1 \\ \small \;\;\;3=b \cdot 2+d \cdot 5-2$
   Riešenie.
   Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Pomoc - otvorte si applet Tu.

Cvičenie.

1. Riešte úlohy zo zbierky Monoszová - čast 4.3, 4.4. a 4.5.
2. Zistite, či posunutie $\small f$ roviny $\small \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2, f(X)=X' = X+\vec{u}$ pre pevne zvolený vektor posunutia $\small \vec{u}$ je afinné zobrazenie.
3. Určite obraz trojuholníka $\small KLM$, kde $\small K = [−3; 5], L = [−5; 2], M = [1; 3]$ v stredovej súmernosti určené analytickým vyjadrením
   $\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} -1 & 0 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} -4 & 8\end{array} \right)$. Návod pozri v práci (Ptáčková, 2016, str.64), dostupné Tu.
4. Riešte ďalšie úlohy z práce (Ptáčková, 2016, od str.65).
5. Je daná osová súmernosť osou $q$, ktorá je určená bodmi $\small  Q_1 = [-2; -3], Q_2 = [4; 3]$ a štvoruholník $\small KLMN$. Narysujte obraz štvoruholníka obraz $\small KLMN$ v GeoGebre pomocou nástroja Osová súmernosť. Štvoruholník zvoľte tak, aby jeho dve strany pretínali os súmernosti. Určte analytické vyjadrenie tejto osovej súmernosti. Návod analogický ako v predchádzajúcej úlohe alebo zostrojte obrazy $\vec e_i$.