Vytlačiť celú knihuVytlačiť celú knihu

Staroveké civilizácie

Portál: Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz: Dejiny matematiky
Kniha: Staroveké civilizácie
Vytlačil(a): Hosťovský používateľ
Dátum: piatok, 3 mája 2024, 01:46

Obsah

Mezopotámia

Mezopotámska (sumerská) matematika dosiahla vyššiu úroveň než egyptská.   ... klikni ...


Sumeri zaviedli pozičný číselný systém (hodnotu neurčoval iba znak, ale i jeho poloha).

                                    
  1. Vhodne kombinovali desiatkový a šesťdesiatkový systém. ... klikni ...
    • Úloha . Vytvorte babylonské zápisy (šesťdesiatková číselná sústava) rôznych čísel (desiatková číselná sústava). Pomoc - Euklidov algoritmus.
  2. Rozmach mezopotámskej matematiky pochádza z obdobia vlády kráľa Chammurapiho (1792 – 1750 pred n. l.). 
  3. V tomto období je už aritmetika rozvinutá na algebru. ... klikni ...   

Babylončania vedeli riešiť dokonca niektoré typy kvadratických rovníc. 

  1. Vedeli tiež riešiť niektoré kubické, lineárne rovnice s jednou i dvoma neznámymi.
  2. Poznali i vzorec na výpočet objemov niektorých jednoduchých telies i Pytagorovu vetu v mimoriadnych prípadoch.

Prezrite si text k tejto časti TU a spracujte ďalšie časti vo forme prezentácie. 
Odporúčaná literatúra: Bečvář a kol.: Matematika v Mezopotámii

Babylonské tablety

Najznámejšie babylonské štyri tablety: YBC 7289, Plimpton 322, Susa a Dhibayi tablet

Tablety: Yale tablet YBC 7289 je jedným z veľkej zbierky tabletov v zbierke Yale University a tablet YBC 8633.

                                                                                 

YBC 7289 predstavuje diagram, ktorý popisuje vzťah medzi stranou a uhlopriečkou štvorca. ... viac ...
YBC 8633 predstavuje výpočet obsahov trojuholníkov. ... viac ... 

Plimpton 322 je tablet zo zbierky GA Columbia University – Pytagorova veta.
                    
                        

Jeho dátum vzniku: v rozmedzí 1800 až 1650 pred naším letopočtom.

Susa tablet bol objavený u dnešného mesta Shush v regióne Khuzistan Iráne.   
                    
Tablet skúma, ako vypočítať polomer kruhu opísaného rovnoramennému trojuholníku.

Dhibayi tablet bol jedným z približne 500 tabliet nájdených blízkosti Bagdadu archeológmi v roku 1962. 

Úloha o hľadaní rozmerov obdĺžnika, ktorého plocha a uhlopriečka sú známe.

YBC 8633 Babylonian Partitioned Triangle Problem
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html

Sumeská vzdelanosť

                        
                         Príspevok otvorte Tu. Z tohto príspevku vytvorte prezentáciu.

Egypt

Egyptská matematika [1] 

  1. Egypťania už okolo roku 6000 pred n. l. používali merania založené na častiach tela (dlaň, lakeť). Najstarší matematický text zo starovekého Egypta, ktorý pochádza z egyptského stredného kráľovstva okolo roku 2000 - 1800 pred n. l. 

  2. Najstarší egyptský skript bol hieroglyf, používaný od roku 3000 pred Kristom. do začiatku nášho letopočtu. Nahradil ho (asi okolo roku 2000 pred Kr.) plynulejší skript nazývaný hieratický, ktorý sa používal na rýchlejšie písanie na papyrus. 

  3. Egyptská matematika sa zakladala na desiatkovom systéme a príznačné pre ňu bolo počítanie so zlomkami.

    4.                               
  4. Písomné doklady o úrovni matematiky „papyrusy“ dokazujú, že staroegyptskí matematici už poznali vzorec
    • pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti
    • pre plošný obsah trojuholníka
    • približný výpočet plošného obsahu kruhu.

  5. Väčšina existujúcich matematických papyrusov je napísaná hieraticky. 

Egypťania 

  1. Vedeli riešiť lineárne rovnice s jednou i dvoma neznámymi.
  2. Poznali vzorec na výpočet objemov niektorých jednoduchých telies.
[1] JindřichBečvář(author);MartinaBečvářová(author);HanaVymazalová(author):Matematika vestarověku.EgyptaMezopotámie.(Czech).Praha:Prometheus,2003.pp.9–31.

Počtové operácie


Násobenie

Súčin dvoch prirodzených čísel počítali starí Egypťania zaujímavou metódou. Jedného z činiteľov (najčastejšie väčšieho)  postupne zdvojnásobovali, prípadne používali iné násobky číslami:  5, 10. Napríklad súčin 23 x 74  takto:
                       
Výsledok: 1702 = 23×74  
Súčin 80 x 14 Tu

Delenie 

Delenie prevádzali Egypťania podobnou metódou. Deliteľa postupne zdvojnásobovali resp. použili iné vhodné násobky, pokiaľ z jeho vybraných násobkov nezložili delenca. Napríklad v úlohe R69 je zachytené delenie čísla 1120 číslom 80.

                           
Výsledok: 1120 : 80 = 14

Preskúmajme, čo sa stane, keď delenie nie je so zvyškom. Táto situácia nás privedie k jednej z najviac prepracovanej egyptskej matematiky. K číselnému oboru, k zlomkom.

Vypočítajte 43÷8
             
Keďže 43 = 8 + 32 + 1 + 2, výsledkom je 5 + 1⁄8 + 1⁄4.
Úlohy
          R21:   1⁄3 + 1⁄15 doplňte do 1. 
                             1 - (1⁄3 + 1⁄15) = 1⁄5 + 1⁄15  
                              1⁄3 + 1⁄5 + 1⁄15 + 1⁄15 = 1
Poznámka k riešeniu. V prvom kroku sa využíva spoločný menovateľ, totiž 15. Do 1 teda chýba 4⁄15 , ktoré sa dohľadajú v písomnom výpočte 4÷15.
           R22:   2⁄3 +1⁄30 doplňte do 1. 
Poznámka k riešeniu. Spoločným menovateľom je u týchto zlomkov 30, teda dohľadáva sa 9⁄30. Výsledok: 1⁄5 + 1⁄10
          R23: 1⁄4 + 1⁄8 + 1⁄10 + 1⁄30 + 1⁄45 doplňte do 2⁄3.  Výsledok: 1⁄9 + 1⁄40

Papyrusy

Informácie o egyptskej matematike pochádzajú asi z najznámejších papyrusov:  Rhindovho a Moskovského

  1. Rhindov papyrus bol napísaný pisárom Ahmosem asi v 1650 pred naším letopočtom, ale ktorý je prepisom staršieho papyru napísaného za Amenehmeta III z 19. storočia p. n. l. Rhindov papyrus® obsahuje 84 úloh. Viac Tu. 
    • Úloha R224 z Rhindovho papyrusu Tu
  2. Moskovský papyrus, ktorého pôvod sa datuje do 18. storočia p. n. l.. obsahuje 25 úloh.
  3. V týchto dokumentoch nachádzame výpočty plochy polí, výpočet objemov (napr. obilných sýpok).
  4. Ďalej sú tam úlohy so zlomkami, úlohy s aritmetickou a geometrickou postupnosťou.
V Rhindovom papyruse je úloha R40, v ktorej sa pracuje s aritmetickou postupnosťou:

„Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.“ [1] 

Poznámky k pôvodnému riešeniu, ktorý je uvedený na papyruse.
  1. Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia. 
  2. Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní. 

Analyzujte ďalšie úlohy z Rhindovho papyrusu [2] .

[1] Bečvár J., Bečvářová M., Vymazalová H.(ed.): Matematika ve starověku Egypt a Mezopotámie. Prometheus, Praha 2003, s. 69
[2] Vymazalová H.(ed.): Matematika ve starověku Egypt ... , Praha 2006.

R40 - pôvodné riešenie


Úloha je riešená metódou chybného predpokladu.

Pôvodné riešenie vychádza z predstavy aritmetickej postupnosti tvaru: \lbrace{1, 1+d, 1+2d, 1+3d, 1+4d}\rbrace . Chybným predpokladom je to, že prvým členom tejto postupnosti explicitne stanovili číslo 1.
Pôvodné riešenie:   
  1. Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
    • 1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]. 
  2. Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame 
    •   d=5 \frac{1}{2} . 
  3. Ide teda o postupnosť 2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23 , ktorej súčet je 60. 
  4. Číslo 60 musíme vynásobiť číslom 1 \frac{2}{3} aby sme získali požadovaný súčet 100. 
  5. Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti. 

Hľadaná aritmetická postupnosť je teda: 1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3}, ktorej diferencia je 9 \frac{1}{6} . 

    Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený.

V súčasnosti by sa tento príklad mohol počítať takto:   
  1. Chybný predpoklad by sa nahradil neznámou a. Dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych: 
    • a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100
    • a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )]. 

  2.     Jednoduchým výpočtom by sme sa dostali k tomu istému riešeniu.

    \( .\)

India a Čína

Indickí matematici v mnohom predbehli európsku matematiku dokonca o niekoľko storočí.
Už okolo dvoch tisíc rokov pred n. l. vznikli postupy pre výpočet obsahov geometrických obrazcov.
Indickí matematici sformulovali obdobu Pytagorovej vety.
Matematický text Súlvasútra (vznikol okolo roku 500 pred Kr.) obsahuje výpočty obsahov a objemov telies.
Zrejme staviteľské umenie viedlo tiež k vypracovaniu náuky o trojuholníkových a štvorcových číslach.
Pri výpočtoch pracovali starí Indovia aj s približnými hodnotami iracionálnych čísel.
Niektoré úlohy riešili na úrovni lineárnych alebo kvadratických rovníc, poprípade k sústavám lineárnych rovníc.
Niektoré typy rovníc vyžadovali výpočet druhej odmocniny, ktoré Indovia počítali iteračnou metódou.
Najstaršie čínske texty pochádzajú z 1. tisícročia pred Kr.
V traktáte o čou pi (Traktát o meracej tyči) sa využíva podobnosť trojuholníkov, Pytagorova veta a operácie so zlomkami.
Zostavili zbierku 246 matematických úloh Matematika v deviatich knihách.
V zbierke sa objavil desiatkový pozičný systém (najstaršia desiatková sústava) a nula (prázdne miesto).
Starí Číňania riešili aj kvadratické rovnice a dokonca aj kubické rovnice.
Bol odvodený vzorec pre objem gule.

Študentské prezentácie

  1. Aritmetické operácie v Mezopotámii  
    • Autori: Bc. Dominika Ihradská, Bc. Anna Koššová, Bc. Nikola Slobodová, Bc. Romana Trnková, 5. roč., ZS 2019 
    • Otvoríte Tu
  2. Riešenie rovníc v starovekej Mezopotámii
    • Autori: Bc. Miriama Repková, Bc. Miroslav Blšák, Bc. Soňa Skubanová4. roč., ZS 2019 
    • Otvoríte Tu