Vedecké poznávanie vo vyučovaní matematiky

PDF formát tejto prednášky si otvoríte Tu.

Vedecké poznávanie možno chápať ako proces, v ktorom sa z pozorovania a experimentovania postupne rodia hypotézy, tieto sa overujú, korigujú a nakoniec zovšeobecňujú do teórií.
Analogicky vo vyučovaní matematiky učiteľ vedie žiakov od problémovej situácie k formulovaniu predpokladov, ich skúmaniu, k dôkazom a aplikáciám. Takýto prístup nielen rozvíja matematické myslenie, ale zároveň napodobňuje proces poznávania v samotnej matematike. 
Významné miesto vo vyučovaní matematiky má vizualizácia, teda efektívne znázorňovanie matematických štruktúr. Už Euklides uprednosťoval kreslenie obrazcov ako súčasť dôkazu, Umožňujú žiakovi nielen sledovať obrázok, ale aj dynamicky manipulovať so skúmanými objektmi.

Cieľom prednášky
je ukázať, ako sa dá prepojiť vedecké poznávanie s vyučovaním matematiky, najmä prostredníctvom problémového vyučovania a heuristických stratégií. Čiastkové ciele prednášky sú:

1. vysvetliť fázy vedeckého poznávania a ich analógiu vo vyučovaní matematiky, 
2. predstaviť problémové vyučovanie a jeho metodické postupy,
3. analyzovať heuristické stratégie a typické učiteľské otázky,
4. ukázať možnosti IKT podpory (Moodle, GeoGebra) na konkrétnych príkladoch.

Didaktická poznámka.
Názornosť a problémovosť sa nedajú vnímať izolovane – učiteľ vytvára pre žiakov „mikro-model“ vedeckého bádania.
Pri probléme „Kde sa pretínajú výšky trojuholníka?, str. 9“ môže žiak najprv pozorovať, potom experimentovať (GeoGebra), vysloviť hypotézu, a nakoniec dôjsť k dôkazu. Takto sa krokmi približuje k metodológii matematiky ako vedy.

Proces vedeckého poznávania má typicky tieto fázy:

1. Problém – objavenie rozporu alebo otázky, ktorú treba riešiť.
2. Hypotéza – predbežný návrh riešenia, vysvetlenie alebo predpoklad.
3. Overenie – skúmanie hypotézy experimentom, modelovaním alebo dôkazom.
4. Zovšeobecnenie – integrácia výsledku do systému poznatkov.

Analogické kroky možno realizovať vo vyučovaní matematiky:

Problém:

učiteľ predloží žiakom netriviálnu úlohu alebo situáciu, ktorá presahuje rutinné postupy.

Hypotéza:

žiaci formulujú predpoklad alebo stratégiu riešenia (napr. odhad, analógia s podobným problémom).

Overenie:

žiaci testujú svoje hypotézy výpočtom, kresbou alebo pomocou dynamického softvéru (GeoGebra).

Zovšeobecnenie:

výsledok sa zasadia do širšieho matematického kontextu a vyvodia sa dôsledky.

Historická vsuvka

Thalés z Milétu (6. stor. pred n. l.) je považovaný za prvého, ktorý matematické poznatky systematicky odvodzoval z pozorovania a logickej úvahy. Jeho známe výroky (napr. o pravom uhle v polkruhu) sú príkladom prechodu od experimentálneho zistenia k teoretickému tvrdeniu.

Euklides (3. stor. pred n. l.) vytvoril v Elementoch súbor definícií, postulátov a dôkazov, čím ukázal, ako sa poznanie systematizuje. Vo svojich dôkazoch často využíval názorné znázorňovanie (konštrukciu obrazcov), ktoré je predchodcom dnešnej vizualizácie v softvéroch typu GeoGebra.

Príklad.
„Kde sa pretínajú výšky trojuholníka?“

Riešenie

1. Motivačná úloha vhodná na experimentovanie
   V danom trojuholníku ABC postupne zostrojte priesečníky $V_1 = v_a \cap v_b, V_2 = v_a \cap v_c, V_3 = v_b \cap v_c$.
   
   Aktivujte applet Ortocentrum - experiment.
2. Formulácia problému
   Zistite, či tieto priesečníky predstavujú jeden a ten istý bod. Použite v GeoGebre príkaz „Vzťah“$\stackrel{?}{a=b}$, ktorý sa nachádza v skupine nástrojov „Uhly“.
3. Stanovenie hypotézy
   Výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode (ortocentrum).
4. Experimentálne overenie hypotézy
   V prostredí GeoGebra žiaci zostroja ľubovoľný trojuholník a jeho výšky. Menia polohu vrcholov trojuholníka a skúmajú, či aj po zmene polohy vrcholu trojuholníka jeho výšky sa opäť pretínajú v jednom bode.
5. Záver „vedeckého“ bádania
   • zovšeobecnenie a formulácia tvrdenia: V každom trojuholníku sa výšky pretínajú v jednom bode
   • diskusia o polohe ortocentra (vnútri, mimo alebo na vrchole trojuholníka)

Možnosti IKT:

• GeoGebra: dynamická manipulácia s vrcholmi trojuholníka umožňuje rýchle experimentovanie a testovanie hypotéz.
• Moodle: úloha typu otvorená odpoveď môže viesť žiakov k tomu, aby zapísali svoje hypotézy a vysvetlili, ako ich overovali. Učiteľ môže prideliť odznaky za originálne heuristické prístupy.

Model $\small S'$ budeme považovať za názornejší než model $\small S$ vtedy a len vtedy, ak subjekt získava z neho informácie efektívnejšie než z modelu $\small S$. Názornejší model¹⁾ je teda pre určitý subjekt zrozumiteľnejší, než model pôvodný.

Úloha.
Vytvorte prezentáciu na tému "Názornosť vo vyučovaní matematiky." Využite zdroj ²⁾.

Formy, prostriedky, metódy a spôsoby znázorňovania.
Súčasná didaktika matematiky vyvinula rôzne efektívne spôsoby názornej a grafickej reprezentácie matematických myšlienok. V prvom rade sú to rôznorodé matematické symboliky, ktoré významne urýchlili pokrok matematickej vedy. Radia sa k nim:

1. množinovo teoretický formalizmus
2. Descartov súradný systém, grafy relácií a funkcií
3. softvérové produkty (WolframAlpha, GeoGebra, Matrix, a pod.)
4. mentálne a pojmové mapy; iné grafické schémy

V súčasnosti sa dostávajú do popredia problémy v matematickom vzdelávaní, ktoré pramenia predovšetkým z:

1. dlhodobo klesajúcej úrovne matematických vedomostí (zreteľne to vidieť pri prechode na vyšší stupeň vzdelávania)
2. nedostatočného matematického zdôvodňovanie a argumentácie (mnohí učitelia len formálne sprostredkujú žiakom matematické tvrdenia)
3. nevýrazné využívanie moderných technológií (ich (ne)používanie sa prejavilo hlavne pri online vyučovaní).

Ukážka ako urobiť matematiku názornejšiu , zaujímavejšiu. Vybrali sme tematický okruh "Priečky v trojuholníku". Prezentovaná ukážka v sebe spája "krásu matematickej argumentácie" s použitím "modernej technológie". Toto spojenie umocňuje výrok Alberta Einsteina. Pozrite si "Priesečník výšok v trojuholníku" :Tu →

_____________________________________________________________
1) Formy, metódy, spôsoby a prostriedky, ako určitý model pretransformovať na model názornejší sú rôznorodé. (Kuřina, 2000)
2) Didaktické okienko. Prednášky z Didaktiky matematiky. Žilinská univerzita FHV 2013. 
     Dostupné na http://kybermatika.uniza.sk/index.php/vystupy/didakticke-okienko

Vedecké poznávanie a problémové vyučovanie sú príbuzné procesy:

1. začínajú identifikáciou problému,
2. vyžadujú tvorbu hypotéz a predpokladov,
3. spoliehajú sa na pozorovanie a experiment,
4. končia analýzou, interpretáciou a závermi.

Pri problémovom vyučovaní žiak je postavený pred problém, ktorý musí riešiť sám. Východiskom pri problémovom vyučovaní ja formulovanie problému, ktorý žiak by mal riešiť a pritom objavovať nové poznatky a vzťahy medzi nimi.

Problémové vyučovanie predstavuje taký typ vyučovania, pri ktorom žiaci samostatne riešia teoretické alebo praktické problémy, teda žiak je viac činný ako učiteľ.¹⁾

1. Pod matematickým problémom budeme rozumieť situáciu, v ktorej riešiteľ (vybraná osoba) má nájsť cestu z danej východiskovej situácie k vytýčenému cieľu, pričom pri hľadaní takejto cesty sú nevyhnutné určité matematické pojmy a princípy.
2. Podstatou problémového vyučovania je vytváranie problémových situácií (formulovanie problému) a usmerňovanie činnosti žiaka pri hľadaní cesty, ktorá sa na začiatku javí ako neprekonateľná.
3. Hlavným prínosom problémového vyučovania je podnietenie (aktivácia) žiakovej tvorivosti, rozvoj samostatnosti a upevňovanie zodpovednosti za svoju prácu. Nevýhodou problémových úloh je veľká časová náročnosť a rozdielna vedomostná úroveň žiakov.

Problémové vyučovanie uskutočňujeme hlavne prostredníctvom týchto dvoch metód:

• výskumná metóda
• heuristická metóda

Cvičenie.
Pokúste sa odvodiť vzorec pre výpočet $n$- tého člena Fibonacciho postupnosti. Pri jeho odvodení využite riešenie kvadratickej rovnice $x^2-x-1=0$.
 
Pozrite si prezentáciu na https://lms.umb.sk/mod/resource/view.php?id=84471.

Výskumná metóda sa svojím charakterom približuje k výskumnej práci vedeckého pracovníka na vysokej škole. O výskumnej metóde v školskej matematike hovoríme vtedy, keď žiaci riešia problémy, ktoré veda už vyriešila a nové sú len zo subjektívneho hľadiska žiakov.

Učiteľ

• hlavný cieľ je naučiť žiakov ovládať metódy vedeckého poznávania
• pred formulovaním výskumného problému, žiakov najskôr vhodne motivuje
• formuluje výskumný problém, pričom ten musí zodpovedať intelektuálnym možnostiam žiakov. Zároveň musí byť dostatočne náročný ale jeho riešenie musí byť v možnostiach žiakov.

Žiaci

• na základe vlastného pozorovania a štúdia faktov vyslovujú čiastkové problémy
• skúmajú určité (konkrétne) situácie, formulujú hypotézy a zostavujú výskumný plán
• postupne hľadajú vlastný spôsob riešenia problému, dokazujú hypotézy

Poznámky.

1. V školskej matematike je často nad rámec vedomostí žiakov dokázať sformulované hypotézy. V takom prípade overujeme platnosť hypotézy na konkrétnych príkladoch.
2. Je potrebné mať na zreteli, že výskumný prístup je v školskej matematike len pracovnou metódou. Pomocou tejto metódy žiaci prenikajú do vnútornej krásy matematiky, a tak nadobúdajú lepší vzťah k nej samej.

Nepochybne medzi progresívne metódy pri riešení problémov v školskej matematike určite patrí aj výskumný prístup pri vyučovaní matematiky a zaraďovanie riešenia matematických problémov do vyučovania. Tento prístup je spracovaný v prácach profesora Kopku z UJEP v Ústí nad Labem.  Do pozornosti študentom - budúcim učiteľom matematiky dávame tieto dve práce:

1. Kopka, J.: Hrozny problému ve školské matematice. UJEP Ústí nad Labem 1999.
2. Kopka, J.: Výskumný přístup při výuce matematiky. UJEP Ústí nad Labem 2004.

Profesor Kopka zdôrazňuje, že

• stratégia alebo taktika pri riešení problémov sa nazýva heuristika. Pozrite si ukážku Tu.
• výskumný prístup pri výučbe školskej matematiky sa v značnej miere opiera o experimentovanie.
• celý výskumný proces môžeme stotožniť so schémou: konkretizácia(špecializácia) → zovšeobecňovanie → vyslovenie hypotézy → dôkaz

Cvičenie.

1. Pokúste sa rozdeliť štvorec aj na iný počet štvorcov než štyri. Pritom sa nepožaduje, aby štvorce boli rovnako veľké.²⁾ Pri riešení využite GeoGebru a AI.   ...  
2. Sú dané prvé tri členy postupnosti: 17, 27 a 47. Nájdite medzi nimi nejakú zákonitosť a vypíšte ďalšie členy postupnosti resp. určte vzorec pre výpočet $n$- tého člena takej postupnosti.¹⁾

________________________________________________________________
1) Kopka, J.: Výskumný přístup při výuce matematiky. UJEP Ústí nad Labem 2004. Str. 60. Výber z práce Tu.
2) Kopka, J.: Výskumný přístup při výuce matematiky. UJEP Ústí nad Labem 2004. Str. 93.

Typické heuristické otázky učiteľa

1. Otázky pri fáze „hľadania“.
• Čo sa stane, ak skúsiš jednoduchší alebo špeciálny prípad?
• Ako by sme situáciu znázornili na obrázku?
• Je možné rozdeliť úlohu na viac menších častí?
• Ako môžeš overiť, či je tvoje riešenie správne?
2. Otázky na prechod k dôkazu.
• Prečo si myslíš, že to bude platiť vždy, nie len v tomto príklade?
• Ktorý krok je v tvojom uvažovaní rozhodujúci a prečo?
• Vieš vysvetliť, čo sa v riešení nemôže zmeniť (čo je invariant)?
• Ako by si presvedčil spolužiaka, ktorý ti neverí?

Čísla, ktoré sa čítajú rovnako odpredu aj odzadu, ako napríklad 452 254, sa nazývajú palindromy.

Príklad.
Ukážte, že všetky štvorciferné palindromy sú deliteľné číslom 11.

Úloha je určená pre žiakov stredných škôl a je vhodná práve pre experimentovanie. Je dosť pravdepodobné, že žiaci nepoznajú pojem "palindrom".  Z toho dôvodu by mal učiteľ ešte pred riadeným výskumným procesom, priblížiť žiakom na konkrétnych prípadoch pojem polindromu. Samotný priebeh heuristického skúmania s danej triede učiteľ koordinuje resp. usmerňuje pokynmi typu: 

1. Vypíšte náhodne niekoľko čísel, ktoré sú polyndromy: 4554 = 11 . 414,  1001 = 11 . 91, ... 
2. Koľko bude všetkých možností? (Je ich 90 - prečo? ) 
3.  Vypíšme niekoľko podľa veľkostí - 1001, 1111, 1221, 1331, 1441,  ...
4. Skúmajme vlastnosti tejto postupnosti - je aritmetická s diferenciou 110?
5. Avšak pri "prechode" cez tisícky ... 1991, 2002, ... , 2992, 3003, ... - diferencia je 11!
6. Prvé číslo 1010 = 11. 91 je deliteľné 11 a každé ďalšie tiež deliteľné 11  $\Rightarrow$ tvrdenie je pravdivé.

Dokážte tvrdenie algebraickou cestou: $abba=1000a+100b+10b+a= \cdot \cdot \cdot$

Problém
Farmár pestuje kapustu vždy v štvorcovom záhone. Tento rok obsahuje jeho štvorcový záhon o 23 hlávok kapusty viac ako vlani. Koľko hlávok kapusty pestuje tento rok?

1. Experimentálne - počet hlávok úrody v každom roku musí byť vyjadrený štvorcovým číslom.
Na obrázku sú znázornené štvorcové čísla. Rozdiely v dvoch po sebe idúcich rokoch postupne tvoria rastúcu postupnosť:

1. 2. rok mínus 1. rok = 3 
2. 3. rok mínus 2. rok = 5 atď.

         . . .

  Riešením musia byť dve po sebe idúce štvorcové čísla, ktorých rozdiel je 23. Teda rozdiel úrody v hľadanom roku musí byť rovný 23. Taký rozdiel je štvorcovom čisle 144.

2. Tabuľkový procesor

1. Prvý riadok v tabuľke predstavuje rok, v ktorom skúmame úrodu.
2. Druhý riadok: úroda v danom roku 
3. Tretí riadok: 2. stĺpec - žiadny údaj,   3. stĺpec - úroda v 2. roku mínus úroda v 1. roku = 3;   4. stĺpec - úroda v 3. rok mínus úroda v 2. rok = 5 atď.

   
  Riešením sú štvorcové čísla: 121 - vlani, 144 - tento rok. Otvorte si Excel Tu.

3. Geometrická cesta - zrejme musí platiť: $x+1+x=23$

V nasledujúcich úlohách číslo $n$ je prirodzené číslo: $n \in N$. Experimentovaním sa pokúste nájsť vzorec (formulu) pre výpočet súčtu prvých $n$ členov postupnosti.

Úlohy

1. Nájdite vzorec pre súčet 
   $1+ 4 + ... + n^2$ .
2. Spočítajte
   $\sum_{i=1}^{n} { \frac{1}{(3i-2)}. \frac{1}{(3i+1)} } = \frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...$.
3. Postupnosť je daná predpisom
   $(1- \frac{1}{2^2} )(1- \frac{1}{3^2} )(1- \frac{1}{4^2} ) \cdot \cdot \cdot (1- \frac{1}{n^2} )$.
   Vypočítajte hodnotu tohto súčinu pre $n=50$. Pozri Tu.

Zadanie (Seminárne - každý študent 1 prezentácia).

1. Vyberte si minimálne 5 úloh zo súboru 54 netradičných úloh z matematiky z práce¹⁾, ktoré spracujte vo forme prezentácie.
2. Ľubovoľná téma z zo zdroja "Didaktické okienko. Prednášky z Didaktiky matematiky." Použite prezentáciu Beamer - dostupná Tu.

Svoje prezentácie doplňte metodickými resp. historickými poznámkami tak, aby boli vhodné pre učiteľov matematiky na 2. stupni ZŠ. a osemročných gymnáziách.

___________________________________________________________________________
1) Somorčík, A.: Paradoxy a provokácie vo vyučovaní matematiky. Osvedčená pdagogická skúsenosť edukačnej praxe, MPC Bratislava 2012. Dostupné Tu PDF Tu.