Vedecké poznávanie vo vyučovaní matematiky

Nech je daná množina $\small M$ a $r, s, ...$ sú relácie na nej definované. Štruktúru $\small S =$$\{ \small M$$, r, s ,... \}$ môžeme považovať za popis alebo model určitej udalosti. Označme $\small S' =$$\{\small M'$ $, r', s' ,...  \}$ obraz štruktúry $\small S$ v morfizme $m$.

Model $\small S'$ budeme považovať za názornejší než model $\small S$ vtedy a len vtedy, ak subjekt získava z neho informácie efektívnejšie než z modelu $\small S$. Názornejší model¹⁾ je teda pre určitý subjekt zrozumiteľnejší, než model pôvodný.

Formy, prostriedky, metódy a spôsoby znázorňovania.
Súčasná didaktika matematiky vyvinula rôzne efektívne spôsoby názornej a grafickej reprezentácie matematických myšlienok. V prvom rade sú to rôznorodé matematické symboliky, ktoré významne urýchlili pokrok matematickej vedy. Radia sa k nim:

1. množinovo teoretický formalizmus
2. Descartov súradný systém, grafy relácií a funkcií
3. softvérové produkty (Maple, GeoGebra, a pod.)
4. empiricko – konštruktívne spôsoby
5. mentálne a pojmové mapy; iné grafické schémy

V súčasnosti sa dostávajú do popredia problémy v matematickom vzdelávaní, ktoré pramenia predovšetkým z:

1. dlhodobo klesajúcej úrovne matematických vedomostí (zreteľne to vidieť pri prechode na vyšší stupeň vzdelávania)
2. nedostatočného matematického zdôvodňovanie a argumentácie (mnohí učitelia len formálne sprostredkujú žiakom matematické tvrdenia)
3. nevýrazné využívanie moderných technológií (ich (ne)používanie sa prejavilo hlavne pri online vyučovaní).

Ukážka ako urobiť matematiku názornejšiu , zaujímavejšiu. Vybrali sme tematický okruh "Priečky v trojuholníku". Prezentovaná ukážka v sebe spája "krásu matematickej argumentácie" s použitím "modernej technológie". Toto spojenie umocňuje výrok Alberta Einsteina. Pozrite si "Priesečník výšok v trojuholníku" :Tu →

_____________________________________________________________
1) Formy, metódy, spôsoby a prostriedky, ako určitý model pretransformovať na model názornejší sú rôznorodé. (Kuřina, 2000)

Pri problémovom vyučovaní žiak je postavený pred problém, ktorý musí riešiť sám. Východiskom pri problémovom vyučovaní ja formulovanie problému, ktorý žiak by mal riešiť a pritom objavovať nové poznatky a vzťahy medzi nimi.

Problémové vyučovanie predstavuje taký typ vyučovania, pri ktorom žiaci samostatne riešia teoretické alebo praktické problémy, teda žiak je viac činný ako učiteľ.¹⁾

1. Pod matematickým problémom budeme rozumieť situáciu, v ktorej riešiteľ (vybraná osoba) má nájsť cestu z danej východiskovej situácie k vytýčenému cieľu, pričom pri hľadaní takejto cesty sú nevyhnutné určité matematické pojmy a princípy.
2. Podstatou problémového vyučovania je vytváranie problémových situácií (formulovanie problému) a usmerňovanie činnosti žiaka pri hľadaní cesty, ktorá sa na začiatku javí ako neprekonateľná.
3. Hlavným prínosom problémového vyučovania je podnietenie (aktivácia) žiakovej tvorivosti, rozvoj samostatnosti a upevňovanie zodpovednosti za svoju prácu. Nevýhodou problémových úloh je veľká časová náročnosť a rozdielna vedomostná úroveň žiakov.

Problémové vyučovanie uskutočňujeme hlavne prostredníctvom týchto dvoch metód:

• výskumná metóda
• heuristická metóda

Úloha
Pokúste sa odvodiť vzorec pre výpočet $n$- tého člena Fibonacciho postupnosti. Pri jeho odvodení využite riešenie kvadratickej rovnice $x^2-x-1=0$.
 ...

____________________________________________________________________________________________
1) Koníčková, J.: Chcete naučiť žiakov riešiť problémy? Vyskúšajte problémové vyučovanie. Dostupné na EduWord.sk Tu

Výskumná metóda sa svojím charakterom približuje k výskumnej práci vedeckého pracovníka na vysokej škole. O výskumnej metóde v školskej matematike hovoríme vtedy, keď žiaci riešia problémy, ktoré veda už vyriešila a nové sú len zo subjektívneho hľadiska žiakov.

Učiteľ

• hlavný cieľ je naučiť žiakov ovládať metódy vedeckého poznávania
• pred formulovaním výskumného problému, žiakov najskôr vhodne motivuje
• formuluje výskumný problém, pričom ten musí zodpovedať intelektuálnym možnostiam žiakov. Zároveň musí byť dostatočne náročný ale jeho riešenie musí byť v možnostiach žiakov.

Žiaci

• na základe vlastného pozorovania a štúdia faktov vyslovujú čiastkové problémy
• skúmajú určité (konkrétne) situácie, formulujú hypotézy a zostavujú výskumný plán
• postupne hľadajú vlastný spôsob riešenia problému, dokazujú hypotézy

Poznámky.

1. V školskej matematike je často nad rámec vedomostí žiakov dokázať sformulované hypotézy. V takom prípade overujeme platnosť hypotézy na konkrétnych príkladoch.
2. Je potrebné mať na zreteli, že výskumný prístup je v školskej matematike len pracovnou metódou. Pomocou tejto metódy žiaci prenikajú do vnútornej krásy matematiky, a tak nadobúdajú lepší vzťah k nej samej.

Nepochybne medzi progresívne metódy pri riešení problémov v školskej matematike určite patrí aj výskumný prístup pri vyučovaní matematiky a zaraďovanie riešenia matematických problémov do vyučovania. Tento prístup je spracovaný v prácach profesora Kopku z UJEP v Ústí nad Labem.  Do pozornosti študentom - budúcim učiteľom matematiky dávame tieto dve práce:

1. Kopka, J.: Hrozny problému ve školské matematice. UJEP Ústí nad Labem 1999.
2. Kopka, J.: Výskumný přístup při výuce matematiky. UJEP Ústí nad Labem 2004.

Profesor Kopka zdôrazňuje, že

• stratégia alebo taktika pri riešení problémov sa nazýva heuristika. Pozrite si ukážku Tu.
• výskumný prístup pri výučbe školskej matematiky sa v značnej miere opiera o experimentovanie.
• celý výskumný proces môžeme stotožniť so schémou: konkretizácia(špecializácia) → zovšeobecňovanie → vyslovenie hypotézy → dôkaz

Uvedená schéma je v súlade so štruktúrou separovaných a generických modelov, ktorú zaviedol profesor Hejný. 
V ďalšej časti sa zameriame na niekoľko problémov, ktorých riešenie je podrobne popísané v spomínaných prácach prof. Kopku.

Cvičenie - problém

1. Sú dané prvé tri členy postupnosti: 17, 27 a 47. Nájdite medzi nimi nejakú zákonitosť a vypíšte ďalšie členy postupnosti resp. určte vzorec pre výpočet $n$- tého člena takej postupnosti.¹⁾
2. Pokúste sa rozdeliť štvorec aj na iný počet štvorcov než štyri. Pritom sa nepožaduje, aby štvorce boli rovnako veľké.²⁾

________________________________________________________________
1) Kopka, J.: Výskumný přístup při výuce matematiky. UJEP Ústí nad Labem 2004. Str. 60.
2) Kopka, J.: Výskumný přístup při výuce matematiky. UJEP Ústí nad Labem 2004. Str. 93.

Čísla, ktoré sa čítajú rovnako odpredu aj odzadu, ako napríklad 452 254, sa nazývajú palindromy.

Úloha
Ukážte, že všetky štvorciferné palindromy sú deliteľné číslom 11.

Úloha je určená pre žiakov stredných škôl a je vhodná práve pre experimentovanie. Je dosť pravdepodobné, že žiaci nepoznajú pojem "palindrom".  Z toho dôvodu by mal učiteľ ešte pred riadeným výskumným procesom, priblížiť žiakom na konkrétnych prípadoch pojem polindromu. Samotný priebeh heuristického skúmania s danej triede učiteľ koordinuje resp. usmerňuje pokynmi typu: 

1. Vypíšte náhodne niekoľko čísel, ktoré sú polyndromy: 4554 = 11 . 414,  1001 = 11 . 91, ... 
2. Koľko bude všetkých možností? (Je ich 90 - prečo? ) 
3.  Vypíšme niekoľko podľa veľkostí - 1001, 1111, 1221, 1331, 1441,  ...
4. Skúmajme vlastnosti tejto postupnosti - je aritmetická s diferenciou 110?
5. Avšak pri "prechode" cez tisícky ... 1991, 2002, ... , 2992, 3003, ... - diferencia je 11!
6. Prvé číslo 1010 = 11. 91 je deliteľné 11 a každé ďalšie tiež deliteľné 11  $\Rightarrow$ tvrdenie je pravdivé.

Dokážte tvrdenie algebraickou cestou: $abba=1000a+100b+10b+a= \cdot \cdot \cdot$

Trojuholníkové čísla sú dané nasledujúcimi explicitnými vzorcami:


( T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+ \cdot \cdot \cdot +n={\frac {n(n+1)}{2}} \)

Súčet dvoch po sebe idúcich trojuholníkových čísel je štvorcové číslo.

1. Experimentálne overenie tvrdenia
   Tvrdenie môže byť dokázané graficky polohovaním trojuholníkov v opačných smeroch    

   6 + 10 = 16

     

   10 + 15 = 25



2. Algebraický dôkaz 
   $T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}$.

Figurálne (polygonálne) čísla s vyšším počtom strán môžu byť tiež graficky znázornené podľa tohto pravidla, hoci bodky už nebudú tvoriť dokonale pravidelnú mrežu, ako je uvedené vyššie.

• Pentagonálne čísla
   


• Šesťuholníkové čísla
  

• Prezentácia k téme Tu

Problém
Farmár pestuje kapustu vždy v štvorcovom záhone. Tento rok obsahuje jeho štvorcový záhon o 23 hlávok kapusty viac ako vlani. Koľko hlávok kapusty pestuje tento rok?

1. Experimentálne - počet hlávok je vyjadrený štvorcovým číslom

. . .

  Riešením musia byť dve po sebe idúce štvorcové čísla, ktorých rozdiel je 23.

2. Tabuľkový procesor

  Riešením sú štvorcové čísla: 121 - vlani, 144 - tento rok. Otvorte si Excel Tu.

3. Geometrická cesta - zrejme musí platiť: $x+1+x=23$

Učitelia matematiky by mali poznať definíciu pojmu na rôznych úrovniach vzdelávania a jeho rozsah. Napr. pri pojme druhá odmocnina nezáporného reálneho čísla je nutné si uvedomiť:

1. Pojem odmocnina vo všeobecnom význame, ktorý poznajú z odbornej vysokoškolskej prípravy
2. Rozsah v akom sa tento pojem zavádza v učive matematiky príslušného stupňa školy
3. Spôsob akým pojem odmocnina budú prezentovať žiakom

Východiská pri zavádzaní pojmu odmocnina sú rôzne na nižšom stupni vzdelávania a vedeckým prístupom:
     "Druhá mocnina a odmocnina" v 8. ročníku základnej školy ale aj na strednej škole
     "Funkcia a funkcia inverzná" sú základnými pojmami už v prvom ročníku na vysokej škole.
Pri voľbe spôsobu zavádzania pojmu odmocnina majú učitelia k dispozícii "celú" pedagogiku, psychológiu a didaktiku matematiky.

Formulujme didaktický problém
Pri preberaní druhej odmocniny žiaci nedokážu uspokojivo odpovedať na otázku prečo nemôže byť 
         $\sqrt {64} = -8$,
keďže platí $(-8).(-8) = 64$. Uvedieme dve ukážky od učiteľov z praxe. 

A.  Metóda expozičná (metóda dialogická, metóda problémová, ZŠ - 8. ročník) Krajčiová, J.: Mocniny resp. Matematika v dialógoch
Učiteľov záver
A výsledky by boli dva? Aj $4$ aj $-4$? Preto sa matematici dohodli, že za výsledok sa vezme len číslo kladné, prípadne nezáporné. Už si môžeme definovať druhú odmocninu.

Majme nezáporné číslo a. Druhou odmocninou z čísla $a$ nazývame také nezáporné číslo $b$, pre ktoré platí:
$b^2 = a$
Zapisujeme
 $\sqrt{a} = b$

Pri zavádzaní matematických pojmov učiteľ musí mať na zreteli, že takmer celá matematika je založená na historicky overenej dohode a precíznej logike.

Metóda priameho prenosu poznatkov (prednáška, opis, vysvetľovanie) Elektronické prípravy - © 2010 Martin Krynický Tu

Druhá odmocnina - základná škola	Inverzná funkcia - stredná škola	Druhá odmocnina - stredná škola

Základní škola - 7. ročník

Olda učitelům moc nevěří, a proto se hned ptá:
"Proč neplatí, že $\small \sqrt{25} \neq-5$, když $\small -5^2 = 25$? Jak to je?"
Olda má pravdu, podle všeho, co jsme si dosud říkali, bychom mohli psát i $\small \sqrt{25} = -5$. V matematice však nikdy nepíšeme $\small \sqrt{25} = -5$, ze dvou základních důvodů:
1. vždy se snažíme o jednoznačné výsledky (aby se všichni shodli na správném výsledku) ⇒ jednu ze dvou možností zakážeme (raději tu zápornou, abychom se nemuseli starat o znaménka, navíc dluhy stejně nikdo nemá rád)
2. druhou odmocninu jsme v geometrii brali jako délku strany čtverce a ta nemůže být záporná.

Ze dvou čísel, jejichž druhá mocnina se rovná 25, bereme za druhou odmocninu pouze kladné číslo 5. Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo.

Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom¹⁾

Hippasus pravdepodobne dospel k záveru, že $u^2=1^2+1^2$ a po úprave dostal kvadratickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi $u^2=2$.

Tvrdenie.
S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel $\small Q$ riešenie.

Dokážeme to nepriamo.
Nech existuje racionálne číslo $\small r \in Q$, ktoré je riešením rovnice $x^2=2$. Potom zrejme $r= \frac{p}{q}$, pričom celé čísla $p,q$ sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$je rovný $1$.
Po dosadení do rovnice $x^2=2$ a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť $p^2=2.q^2$. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo $2$ delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo $p^2$ je párne, preto musí byť aj číslo $p$ párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare $p=2k$. Po dosadení do rovnosti $p^2=2.q^2$ dostávame
$(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2$.
Analogickou úvahou zistíme, že číslo $q$ je párne. Keďže aj číslo $p$ je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$ je väčší alebo rovný číslu $2$.
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo $r= \frac{p}{q}$, kde $p,q$ sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.

Poznámka.
Ak označíme jedno riešenie rovnice $u^2=2$ symbolom $\sqrt[]{2}$ (druhá odmocnina z dvoch), tak toto číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj $-\sqrt[]{2}$  je riešením rovnice $u^2=2$ a tiež nie je racionálne.

Cvičenie.
Zapíšte dôkaz ... v GeoGebre.

Reálne čísla zavádzame pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.

Podmnožinu $\alpha \subset Q$ nazývame Dedekindovým rezom množiny $Q$, ak

1. podmnožina $\alpha$ je neprázdna množina: $\alpha \neq \emptyset$
   
2. doplnok $\alpha'$ podmnožiny $\alpha$ v množine $Q$ je tiež neprázdny: $\alpha'= Q-\alpha \neq \emptyset$.
3. Nech $a$ je prvkom rezu $\alpha$ a nech $b \in Q$ má vlastnosť $b \leq a$. Potom musí aj racionálne číslo $b$ patriť do rezu: $b \in \alpha$.
4. Rez $\alpha$ nemá najväčší prvok. Ak $a \in \alpha$, tak existuje $a' \in \alpha$, pre ktoré je $a < a'$. 

Dedekindov rez si môžeme predstaviť ako rez číselnej osi na dve časti: dolnú a hornú časť.

Dolná časť nemá najväčší prvok.

Definícia 
Množinu všetkých rezov množiny $Q$ označíme symbolom $R$. Prvky patriace do množiny $R$ nazývame reálne čísla.

Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny $\alpha \subset Q$, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.

1. Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu $\alpha$ nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
2. Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina $\alpha \subset Q$ bola „slušne“ usporiadaná:
• ak podmnožina $\alpha$ obsahuje racionálne číslo $a$, tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla $a$
• ak by sme na číselnej osi zobrazili bod $A$ reprezentujúci racionálne číslo $a \in Q$, tak podmnožina $\alpha$ musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu $A$.
3. Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu $\alpha \subset Q$, ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu $(- \infty, \alpha)$.
4. Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla
• príkladmi iracionálnych čísel sú druhé odmocniny z prvočísel, číslo $\pi$ alebo prirodzený základ logaritmov $e$. 

Vlastnosti rezov

1. Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
2. Nech $r \in Q$ je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina $r^ \ast = \lbrace{ x\in Q; x < r} \rbrace$ je rezom. Dokážte to.
3. Podmnožina $r^ \ast$ reprezentuje racionálne číslo $r$ 
• množina $0^ \ast$ je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
• ukážte, že zobrazenie $\ast : Q \rightarrow R$ je injektívne.
  
4. V bode 2. zameňte výrokovú formu $x < r$ za $x^2 < 2$. Dostanete rez $\rho = \lbrace{ x\in Q; x^2 < 2} \rbrace$, ktorý reprezentuje iracionálne číslo $\sqrt {2}$. 

__________________________________________________________________________________________
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.

Úloha
Pokúste sa odvodiť vzorec pre výpočet $n$- tého člena Fibonacciho postupnosti. Pri jeho odvodení využite riešenie kvadratickej rovnice $x^2-x-1=0$. Pozrite si prezentáciu Fibonacciho postupnosť Tu.
 

V nasledujúcich úlohách číslo $n$ je prirodzené číslo: $n \in N$. Experimentovaním sa pokúste nájsť vzorec (formulu) pre výpočet súčtu prvých $n$ členov postupnosti.

Úlohy

1. Nájdite vzorec pre súčet 
   $1+ 4 + ... + n^2$ .
2. Spočítajte
   $\sum_{i=1}^{n} { \frac{1}{(3i-2)}. \frac{1}{(3i+1)} } = \frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...$.
3. Postupnosť je daná predpisom
   $(1- \frac{1}{2^2} )(1- \frac{1}{3^2} )(1- \frac{1}{4^2} ) \cdot \cdot \cdot (1- \frac{1}{n^2} )$.
   Vypočítajte hodnotu tohto súčinu pre $n=50$. Pozri Tu.

Zadanie (seminárne).
Vyberte si minimálne 3 úlohy zo súboru 54 netradičných úloh z matematiky z práce¹⁾, ktoré spracujte vo forme prezentácie.

Svoje prezentácie doplňte metodickými resp. historickými poznámkami tak, aby boli vhodné pre učiteľov matematiky na 2. stupni ZŠ. a osemročných gymnáziách.

___________________________________________________________________________
1) Somorčík, A.: Paradoxy a provokácie vo vyučovaní matematiky. Osvedčená pdagogická skúsenosť edukačnej praxe, MPC Bratislava 2012. Dostupné Tu