Reálne a komplexné čísla: Vlastnosti rezov | VirtualUMB

Reálne a komplexné čísla

Reálne a komplexné čísla

Dedekindove rezy

Vlastnosti rezov

Dokážte tvrdenia

Nech $\alpha$ je kladný rez na množine racionálnych čísel. Potom podmnožina $-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha)}\rbrace$ je Dedekindov rez.

Nech $-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': x \leq -a }\rbrace$ a nech $0 \in \alpha$ .
1. Najskôr ukážeme, že platí prvá vlastnosť pre rezy: $- \alpha \neq \emptyset$ . Nech $a \in \alpha'$ je racionálne číslo. Zrejme platí
  $-a-1 < -a$ ,
  odkiaľ dostávame
  $(-a-1 \in -\alpha) \Leftrightarrow (- \alpha \neq \emptyset)$ .
2. Druhú vlastnosť budeme dokazovať nepriamo. Predpokladajme sporom, že $- \alpha = Q$ .
  Pre $x \in - \alpha (= Q)$ bude aj $-x \in Q$ . Z definície $-\alpha$ dostávame, že existuje $a \in \alpha'$ také, že
  $(x$ .
  Pretože
  $( a \in \alpha') \wedge (a$
  musí tiež platiť
  $-x \in \alpha'$
  Týmto sme ukázali, že
  $( -x \in Q$ $\Rightarrow -x \in \alpha') \Leftrightarrow (Q \subset \alpha')$
  odkiaľ dostávame, že ( $\alpha= \emptyset$ \), čo je spor.
3. Tretia vlastnosť: $(x \in - \alpha \ \wedge \ \forall x^ \ast \in Q:\ x^ \ast \leq x) \Rightarrow (x^ \ast \in - \alpha)$ .
  Z definície rezu $- \alpha$ vyplýva, že existuje $a \in \alpha': x \leq -a$ . Zrejme platia nerovnosti:
  $x^ \ast \leq x \leq-a$ ,
  odkiaľ
  $x^\ast \leq-a$ ,
  preto platí
  $x^ \ast \in -\alpha$ .
  (interpretujte túto situáciu v applete).
4. Štvrtá vlastnosť: rez $-\alpha$ nemá najväčší prvok. Nepriamo: nech
  $x \in -\alpha$
  je najväčší prvok. Z definície $-\alpha$ dostávame, že existuje $a \in \alpha' \ \wedge -a \in -\alpha$ také, že
  $x$ ,
  čo je spor s vlastnosťou "byť najväčší".

$-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha) }\rbrace$

$(-a \in -\alpha)$

$-a$

$-\alpha$

Pre ľubovoľný kladný rez $\alpha$ platí: $-\alpha \oplus \alpha=0^ \ast$ .

Nech $r \in-\alpha \oplus \alpha$ , potom existujú racionálne čísla $x \in-\alpha,y\in \alpha : r=x+y$ . Z definície rezu $-\alpha$ dostávame, že existuje racionálne číslo $a \in \alpha'$ , pre ktoré je
$x< -a$ .
Keďže $a \in \alpha'$ a $y ∈ \alpha$ , tak musí platiť $y < a$ . Zvoľte si v applete body $x \in -\alpha,y \in \alpha$ tak, aby spĺňali tieto podmienky.

Z monotónnosti sčítania dostaneme
$r = y + x < a + x < a + (-a) = 0$
Z poslednej nerovnosti vyplýva, že
$r \in 0^∗$ ,
preto platí množinová inklúzia
$-\alpha \oplus \alpha ⊆ 0^∗$ .
Ak $r \in 0^∗$ , tak musíme nájsť dve racionálne čísla $x \in -\alpha, y \in \alpha$ , pre ktoré bude platiť: $r=x+y$ . Predpokladajme, že také dve racionálne čísla $x \in -\alpha, y \in \alpha$ existujú. Potom z definície rezu $0^∗$ vyplýva, že
$x+y < 0$ .
Pre racionálne číslo $x \in -\alpha$ musí existovať $a \in \alpha'$ , pričom platí $x < -a$ . Po jednoduchej úprave dostaneme
$(x+y)-y$ .
Predchádzajúca nerovnosť hovorí, že $(r - y) \in−\alpha$ . Zároveň vidíme, že
$r = (r−y)+y \in−\alpha+\alpha$ .
Záver: Ak existujú dve racionálne čísla $x \in -\alpha, y \in \alpha$ s požadovanou vlastnosťou, tak platí
$0^∗ ⊆−\alpha + \alpha$ .

Nech $\alpha$ je kladný rez. Potom podmnožina $\alpha^{-1}= \lbrace{x \in Q^+ ; \exists a \in \alpha': (x \leq a^{-1} ) }\rbrace \cup Q^-$ , kde $Q^-= \lbrace{x;x \leq0 }\rbrace$ je tiež Dedekindov rez
Pre ľubovoľný kladný rez $\alpha$ platí: $\alpha^{-1} \otimes \alpha=1^\ast$ .

Nech $\alpha^{-1}= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq a^{-1} ) }\rbrace$ .

Ukážeme, že $\alpha^{-1} \neq \emptyset$ . Uvažujme dva prípady $1 \in \alpha$ a $(1 \notin \alpha) \Leftrightarrow (1 \in \alpha')$ .

v prvom prípade existuje prirodzené číslo $n \in \alpha$ ale $(n+1) \notin \alpha$ teda patrí do doplnku $(n+1) \in \alpha'$

zrejme platia nerovnosti $n+1 < n+2$ a zároveň platí $\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}$ , odkiaľ dostávame $\frac{1}{n+2} \in \alpha^{-1}$

v druhom prípade $[1 \in \alpha']$ určite existuje číslo $a \in \alpha'; 1 < a$ ,

keďže platí $\frac{1}{a}< 1$ , tak $\frac{1}{a} \in \alpha^{-1}$ .

V oboch prípadoch (i. aj ii.)

$\alpha^{-1} \neq \emptyset$ .

$\alpha^{-1} \neq \emptyset$

Pri dôkaze druhej vlastnosti rezov $(\alpha ^{-1})' \neq \emptyset$ môžeme postupovať opäť tak, že dôkaz rozdelíme do dvoch častí: $1 \in \alpha$ a $1 \notin \alpha$ .
Načrtnite tieto situácie v applete.
Nech $r \in \alpha^{-1}$ a nech $r^ \bullet \in Q$ má vlastnosť $r^ \bullet \leq r$ . Potom aj racionálne číslo $r^ \bullet$ patrí do rezu: $r^ \bullet \in \alpha^{-1}$ .

z definície podmnožiny $\alpha^{-1}$ vyplýva, že existuje $a \in \alpha':\ r < \frac{1}{a}$
keďže $r^ \bullet \leq r \leq \frac{1}{a}$ , tak $r^ \bullet \in \alpha^{-1}$ .
Načrtnite túto situáciu v applete.

Rez $\alpha^{-1}$ nemá najväčší prvok. Dokážeme nepriamo:

nech $r \in \alpha^{-1}$ je najväčší prvok

z definície podmnožiny $\alpha^{-1}$ vyplýva, že existuje $a \in \alpha'$ , pre ktoré je $r < \frac{1}{a}$ .
pre aritmetický priemer $AR= \frac{r+\frac{1}{a}}{2}$ platí $r < AR < \frac{1}{a}$ , preto $AR \in \alpha^{-1}$ , čo je spor.
Načrtnite situáciu v applete.

Nastavte obrázok ...

dôkaz je podobný

$<span class="nolink">\( .$ \)