Nasledujúci

Množina reálnych čísel

Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel, ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu.
Konštrukcia, ktorá popíše reálne číslo vychádza z "rezov" na množine racionálnych čísel.
  • Termín reálne číslo zaviedol René Descartes (1637) ako spoločný názov pre racionálne a iracionálne čísla.
  • V staroveku už boli známe iracionálne čísla ako odmocniny niektorých prirodzených čísel \sqrt {2}, \sqrt[3]{2} .
  • Euler (1737) dokázal, že číslo e je iracionálne a Lambert ((1768) dokázal, že Ludolfovo číslo \pi je iracionálne.
  • Charles Hermit (1873) ukázal, že číslo  \pi je transcendentné - nie je riešením algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami.         
  1. Zo strednej školy si možno pamätáte, že \sqrt {2} má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj.
    • dokonca niektorí si pamätajú aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr. \sqrt {2}≈1.41421
    • na stránke Wikipédie môžeme nájsť až 10 miliónov cifier 
    • vyjadriť \sqrt {2}   konečným počtom cifier sa nikomu nemôže podariť
    • existuje racionálne číslo, ktoré aproximuje \sqrt {2} s danou presnosťou. 
  2. Vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch. 
  3. Ak vezmeme do úvahy všetky možné konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu \sqrt {n} . 
  4. V nasledujúcich kapitolách popíšeme dedekindove rezy, pomocou ktorých definujeme reálne čísla.
\( .\)
Nasledujúci