Reálne a komplexné čísla
Dedekindove rezy
Vlastnosti rezov
Dokážte tvrdenia
- Nech
je kladný rez na množine racionálnych čísel. Potom podmnožina
je Dedekindov rez.
-
Nech
a nech
.
- Najskôr ukážeme, že platí prvá vlastnosť pre rezy:
. Nech
je racionálne číslo. Zrejme platí
,
odkiaľ dostávame
.
- Druhú vlastnosť budeme dokazovať nepriamo. Predpokladajme sporom, že
.
Pre
bude aj
. Z definície
dostávame, že existuje
také, že
.
Pretože
musí tiež platiť
Týmto sme ukázali, že
odkiaľ dostávame, že ( \), čo je spor.
- Tretia vlastnosť: .
Z definície rezu
vyplýva, že existuje
. Zrejme platia nerovnosti:
,
odkiaľ
,
preto platí
.
(interpretujte túto situáciu v applete).
- Štvrtá vlastnosť: rez
nemá najväčší prvok. Nepriamo: nech
je najväčší prvok. Z definície
dostávame, že existuje
také, že
,
čo je spor s vlastnosťou "byť najväčší".
V definícii opačného rezu
nie je nutná podmienka . Dá sa dokázať, že prvok
je prvkom rezu
.
- Pre ľubovoľný kladný rez
platí: .
Dôkaz
- Nech
, potom existujú racionálne čísla
. Z definície rezu
dostávame, že existuje racionálne číslo
, pre ktoré je
.
Keďže a
, tak musí platiť . Zvoľte si v applete body
tak, aby spĺňali tieto podmienky.
Z monotónnosti sčítania dostaneme
Z poslednej nerovnosti vyplýva, že
,
preto platí množinová inklúzia
.
- Ak
, tak musíme nájsť dve racionálne čísla
, pre ktoré bude platiť:
. Predpokladajme, že také dve racionálne čísla
existujú. Potom z definície rezu
vyplýva, že
.
Pre racionálne číslo
musí existovať
, pričom platí . Po jednoduchej úprave dostaneme
.
Predchádzajúca nerovnosť hovorí, že
. Zároveň vidíme, že
.
Záver: Ak existujú dve racionálne čísla
s požadovanou vlastnosťou, tak platí
.
- Nech
je kladný rez. Potom podmnožina
, kde
je tiež Dedekindov rez
- Pre ľubovoľný kladný rez
platí: .
Dôkaz
-
Nech
.
- Ukážeme, že
. Uvažujme dva prípady
a
.
- v prvom prípade existuje prirodzené číslo
ale
teda patrí do doplnku
- zrejme platia nerovnosti
a zároveň platí
, odkiaľ dostávame
- v druhom prípade
určite existuje číslo
,
- keďže platí
, tak
.
V oboch prípadoch (i. aj ii.) je .
Keďže
obsahuje aspoň jedno kladné racionálne čéslo, tak obsahuje aj všetky záporné racionálne čísla (prečo?).
- Pri dôkaze druhej vlastnosti rezov
môžeme postupovať opäť tak, že dôkaz rozdelíme do dvoch častí:
a
.
Načrtnite tieto situácie v applete.
- Nech
a nech
má vlastnosť
. Potom aj racionálne číslo
patrí do rezu:
.
- z definície podmnožiny vyplýva, že existuje
- keďže
, tak
.
Načrtnite túto situáciu v applete.
- Rez
nemá najväčší prvok. Dokážeme nepriamo:
- nech
je najväčší prvok
- z definície podmnožiny vyplýva, že existuje
, pre ktoré je
.
- pre aritmetický priemer
platí
, preto
, čo je spor.
Načrtnite situáciu v applete.
-
Nastavte obrázok ...
- dôkaz je podobný
\)