Reálne a komplexné čísla
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie |
Kniha: | Reálne a komplexné čísla |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:33 |
Opis
Reálne a komplexné čísla
Množina reálnych čísel
Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel, ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu.
Konštrukcia, ktorá popíše reálne číslo vychádza z "rezov" na množine racionálnych čísel.
Konštrukcia, ktorá popíše reálne číslo vychádza z "rezov" na množine racionálnych čísel.
- Termín reálne číslo zaviedol René Descartes (1637) ako spoločný názov pre racionálne a iracionálne čísla.
-
V staroveku už boli známe iracionálne čísla ako odmocniny niektorých prirodzených čísel
.
-
Euler (1737) dokázal, že číslo
je iracionálne a Lambert ((1768) dokázal, že Ludolfovo číslo
je iracionálne.
- Charles Hermit (1873) ukázal, že číslo
je transcendentné - nie je riešením algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami.
-
Zo strednej školy si možno pamätáte, že
má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj.
- dokonca niektorí si pamätajú aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr.
- na stránke Wikipédie môžeme nájsť až 10 miliónov cifier
- vyjadriť
konečným počtom cifier sa nikomu nemôže podariť
- existuje racionálne číslo, ktoré aproximuje
s danou presnosťou.
- Vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch.
- Ak vezmeme do úvahy všetky možné konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu
.
- V nasledujúcich kapitolách popíšeme dedekindove rezy, pomocou ktorých definujeme reálne čísla.
Pytagorova škola
Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom1)
Hippasus pravdepodobne dospel k záveru, že
![u^2=1^2+1^2 u^2=1^2+1^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de76d10c65450b442ea32e9cc16db082.png)
![u^2=2 u^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/531ea1ec0dda26c1e69c5a1e83c86e02.png)
S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel
riešenie.
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
Dôkaz.
Nech existuje racionálne číslo
, ktoré je riešením rovnice
. Potom zrejme
, pričom celé čísla
sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel
je rovný
.
Po dosadení do rovnice
a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť
. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo
delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá
mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo
je párne, preto musí byť aj číslo
párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare
. Po dosadení do rovnosti
dostávame
.
Analogickou úvahou zistíme, že číslo
je párne. Keďže aj číslo
je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel
je väčší alebo rovný číslu
.
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo
, kde
sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.
Nech existuje racionálne číslo
![r \in Q r \in Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17284617cc679bd6efd7e55143ba4791.png)
![x^2=2 x^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6146f5ae4c94269ed0aa72be547a5af.png)
![r= \frac{p}{q} r= \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b8792bc79b36c6b81d8214bfcc09136.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35c0804c862a635e2fe8371dc43e25d0.png)
Po dosadení do rovnice
![x^2=2 x^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6146f5ae4c94269ed0aa72be547a5af.png)
![p^2=2.q^2 p^2=2.q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7996c677ef8ecb2fac40c798948622a5.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
![p^2 p^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2eeb668df699a011c011097fd79b3ffa.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p=2k p=2k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c94398e2e3bf8ddbec4601260459d40.png)
![p^2=2.q^2 p^2=2.q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7996c677ef8ecb2fac40c798948622a5.png)
![(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2 (2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a8aa8af2b572aee74efd3cc1e63b7b9.png)
Analogickou úvahou zistíme, že číslo
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af72e5dc8af87a2580b23fbf92c543f6.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/594668f17f5992e11f1330ef50cb8494.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo
![r= \frac{p}{q} r= \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b8792bc79b36c6b81d8214bfcc09136.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
Ak označíme jedno riešenie rovnice
symbolom
(druhá odmocnina z dvoch), tak toto číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj
je riešením rovnice
a tiež nie je racionálne.
![u^2=2 u^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/531ea1ec0dda26c1e69c5a1e83c86e02.png)
![\sqrt[]{2} \sqrt[]{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/297a1f700540ffde5fd6e4874d969d54.png)
![-\sqrt[]{2} -\sqrt[]{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/98c948e1f301c9a76f2fb05d26057d97.png)
![u^2=2 u^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/531ea1ec0dda26c1e69c5a1e83c86e02.png)
___________________________________________________________________________________________
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.
Dedekindove rezy
Reálne čísla zavedieme pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.
Podmnožinu
nazývame Dedekindovým rezom množiny
, ak
Dolná časť nemá najväčší prvok.
![\alpha \subset Q \alpha \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87e33ed9df5348df0c39bd4bcbeca20c.png)
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
- podmnožina
je neprázdna množina:
- doplnok
podmnožiny
v množine
je tiež neprázdny:
.
- Nech
je prvkom rezu
a nech
má vlastnosť
. Potom musí aj racionálne číslo
patriť do rezu:
.
- Rez
nemá najväčší prvok. Ak
, tak existuje
, pre ktoré je
.
Dolná časť nemá najväčší prvok.
Definícia.
Množinu všetkých rezov množiny
označíme symbolom
. Prvky patriace do množiny
nazývame reálne čísla.
Množinu všetkých rezov množiny
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny
, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.
![\alpha \subset Q \alpha \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89829d8c0ee238e82523e797bda3dcd8.png)
-
Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu
nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
-
Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina
bola „slušne“ usporiadaná:
- ak podmnožina
obsahuje racionálne číslo
, tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla
- ak by sme na číselnej osi zobrazili bod
reprezentujúci racionálne číslo
, tak podmnožina
musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu
.
-
Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu
, ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu
.
- Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla
Vlastnosti rezov.
- Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
- Nech
je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina
je rezom. Dokážte to.
- Podmnožina
reprezentuje racionálne číslo
- množina
je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
- ukážte, že zobrazenie
je injektívne.
- V bode 2. zameňte výrokovú formu
za
. Dostanete rez
, ktorý reprezentuje iracionálne číslo
.
Súčet reálnych čísel
Nech
sú dva rezy na množine racionálnych čísel:
. V ďalšej časti využijeme fakt, že už vieme sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla.
![α,β α,β](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89e110eb9e3defd56b4f72e8a18bd59f.png)
![\alpha \subset Q, \beta \subset Q \alpha \subset Q, \beta \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49ae618fdd3fef23f2f31ef6460a3089.png)
Vytvorme množinu
![\alpha \oplus \beta \alpha \oplus \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95a93474ae1e42439f95c5d091234c6d.png)
![a+b a+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65c884f742c8591808a121a828bc09f8.png)
![a \in \alpha, b \in \beta a \in \alpha, b \in \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1c7f06566a13958b8e93bdf50e761e51.png)
- Množiny
sú neprázdne, preto existujú prvky
. Množina
je neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo
.
- Ukážeme, že množina
je neprázdna. Množiny
sú rezmi, preto existujú prvky
Zrejme pre ľubovoľné prvky
- Nech
, potom platí
, kde
. Nech
je racionálne číslo, pre ktoré platí
(resp.
). Po dosadení dostaneme
,
čo znamená, žeje súčtom dvoch racionálnych čísel.
- Množina
nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by
bol najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla
, pričom
. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že
.
Keďžeje tiež rez, tak nemá najväčší prvok. Musí existovať racionálne číslo
s vlastnosťou
. Relácia
je monotónna, preto
,
čo je spor s predpokladom, že
![a \in \alpha, b \in \beta a \in \alpha, b \in \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/61efb0dc9a69327704c849201d1b73f4.png)
![a+b < a'+b' a+b < a'+b'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4237ec03b896067d2fb8f3f7c64697b.png)
To znamená, že
![a'+b'\notin \alpha \oplus \beta a'+b'\notin \alpha \oplus \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e15b29ebaa72041730dab4b90c81b7c.png)
![\alpha \oplus \beta \neq Q \alpha \oplus \beta \neq Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f4535b869a07399663aa530680a1ce6d.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c2108477fb2ec15b2eed0538b16aaea.png)
Definícia
Majme Dedekindove rezy
na množine racionálnych čísel. Množinu
nazveme súčtom reálnych čísel.
Majme Dedekindove rezy
![\alpha, \beta \alpha, \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129040bc966cff8a092e84ff7b47a9e3.png)
![\alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha, b \in \beta }\rbrace \alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha, b \in \beta }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ebcac7bdf7b0b8081b775c57415ff82.png)
Súčin reálnych čísel
Operáciu násobenia dvoch reálnych čísel zavedieme pomocou súčinu kladných Dedekindových rezov.
Definícia
-
Rez
nazveme kladným Dedekindových rezom, ak dolná časť rezu obsahuje aspoň jedno kladné racionálne číslo:
je kladný
.
- Množinu všetkých kladných rezov označíme symbolom
.
- ak
je kladný rez, potom
nazývame záporný rez
- rez
nazývame nulový rez.
- množinu všetkých záporných rezov označíme symbolom
.
-
Pre kladné rezy
zaveďme súčin kladných rezov:
![\alpha \otimes \beta= \lbrace{a \cdot b;a \in \alpha,b \in \beta \ \wedge \ a,b > 0}\rbrace \cup \lbrace{a \in Q; a \leq 0}\rbrace \alpha \otimes \beta= \lbrace{a \cdot b;a \in \alpha,b \in \beta \ \wedge \ a,b > 0}\rbrace \cup \lbrace{a \in Q; a \leq 0}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/915c0103652951f46adfe5085445029a.png)
vytvárame všetky možné súčiny kladných racionálnych čísel z obidvoch rezov, ku ktorým pridáme všetky záporné racionálne čísla vrátane nuly.
K vlastnostiam súčinu viac nájdete v práci: Michal Botur: UVOD DO ARITMETIKY
Vlastnosti rezov
Dokážte tvrdenia- Nech
je kladný rez na množine racionálnych čísel. Potom podmnožina
je Dedekindov rez.
-
Nech
a nech
.
- Najskôr ukážeme, že platí prvá vlastnosť pre rezy:
. Nech
je racionálne číslo. Zrejme platí
,
odkiaľ dostávame.
- Druhú vlastnosť budeme dokazovať nepriamo. Predpokladajme sporom, že
.
Prebude aj
. Z definície
dostávame, že existuje
také, že
.
Pretože
musí tiež platiť
Týmto sme ukázali, že
odkiaľ dostávame, že (\), čo je spor.
- Tretia vlastnosť:
.
Z definície rezuvyplýva, že existuje
. Zrejme platia nerovnosti:
,
odkiaľ,
preto platí.
(interpretujte túto situáciu v applete). - Štvrtá vlastnosť: rez
nemá najväčší prvok. Nepriamo: nech
je najväčší prvok. Z definíciedostávame, že existuje
také, že
,
čo je spor s vlastnosťou "byť najväčší".
- Najskôr ukážeme, že platí prvá vlastnosť pre rezy:
- Pre ľubovoľný kladný rez
platí:
.
Dôkaz
- Nech
, potom existujú racionálne čísla
. Z definície rezu
dostávame, že existuje racionálne číslo
, pre ktoré je
.
Keďžea
, tak musí platiť
. Zvoľte si v applete body
tak, aby spĺňali tieto podmienky.
Z monotónnosti sčítania dostaneme
Z poslednej nerovnosti vyplýva, že,
preto platí množinová inklúzia.
- Ak
, tak musíme nájsť dve racionálne čísla
, pre ktoré bude platiť:
. Predpokladajme, že také dve racionálne čísla
existujú. Potom z definície rezu
vyplýva, že
.
Pre racionálne číslomusí existovať
, pričom platí
. Po jednoduchej úprave dostaneme
.
Predchádzajúca nerovnosť hovorí, že. Zároveň vidíme, že
.
Záver: Ak existujú dve racionálne číslas požadovanou vlastnosťou, tak platí
.
- Nech
je kladný rez. Potom podmnožina
, kde
je tiež Dedekindov rez
- Pre ľubovoľný kladný rez
platí:
.
Dôkaz
-
Nech
.
- Ukážeme, že
. Uvažujme dva prípady
a
.
- v prvom prípade existuje prirodzené číslo
ale
teda patrí do doplnku
- v druhom prípade
určite existuje číslo
,
V oboch prípadoch (i. aj ii.) je - Pri dôkaze druhej vlastnosti rezov
môžeme postupovať opäť tak, že dôkaz rozdelíme do dvoch častí:
a
.
Načrtnite tieto situácie v applete. - Nech
a nech
má vlastnosť
. Potom aj racionálne číslo
patrí do rezu:
.
- Rez
nemá najväčší prvok. Dokážeme nepriamo:
- Nastavte obrázok ...
- dôkaz je podobný
![-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha) }\rbrace -\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha) }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/659310aeaac367f1cf446bd4368950dc.png)
![(-a \in -\alpha) (-a \in -\alpha)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f87ac481e994d75389622ed04756604a.png)
![-a -a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/71c2dc1c1ff7db303843cb8caf2c0ed8.png)
![-\alpha -\alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/10784f1c9f4fe96c27a4eb1e27226041.png)
![\alpha^{-1} \neq \emptyset \alpha^{-1} \neq \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34a7bc69fcd0b287aee65890c930ab36.png)
![\alpha^{-1} \neq \emptyset \alpha^{-1} \neq \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34a7bc69fcd0b287aee65890c930ab36.png)
Teleso R,+,x
Mocnina s reálnym exponentom
Preskúmajte resp. riešte.
Mocniny
-
Mocnina
s prirodzeným exponentom
krát
- Mocnina
s exponentom
, ktorým je záporné celé číslo:
- Mocniny s racionálnym exponentom. Nech reálne číslo
je kladné a nech
je racionálny exponent , kde
je celé číslo a
je kladné celé číslo. Potom je možné robiť úpravy typu
-
Predtým ako vo všeobecnosti zadefinujeme mocninu s racionálnym exponentom, tak si pripomenieme riešenie rovníc typu
.
![a^{ \frac {r} {s} }=(a^r )^{ \frac{1}{s} }= \sqrt[s]{a^r} = ( \sqrt[s]{a} )^r=(a^{\frac{1}{s}} )^r a^{ \frac {r} {s} }=(a^r )^{ \frac{1}{s} }= \sqrt[s]{a^r} = ( \sqrt[s]{a} )^r=(a^{\frac{1}{s}} )^r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e7b97dda331b0af77ba047a99702a02.png)
Nezáporná pravá strana
Ak reálne číslo
je kladné a
je kladné celé číslo, potom rovnica
má
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![x^n=a x^n=a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4287d7f288ceac102405099c635ad9b.png)
-
Reálne riešenie
(zápis aj v tvare
). Skutočnosť, že
je riešením rovnice vyplýva aj z toho, že po dosadení do ľavej strany rovnice dostaneme
- v prípade, že
je párne, potom riešením rovnice
sú aj dva reálne korene, ktoré sú navzájom opačné: t. j.
-
ak je
nepárne, potom rovnica
má aj kladný reálny koreň
.
- Vo všeobecnosti: Ak reálne číslo
je kladné, tak v obore komplexných čísel má rovnica
tého stupňa práve
koreňov.
![x^n=(a^{ \frac{1}{n} })^n=a^{ \frac{1}{n} } \times a^{ \frac{1}{n} } \times \cdot \cdot \cdot \cdot \times a^{ \frac{1}{n} }=a^{ \frac{n}{n} }=a^1=a x^n=(a^{ \frac{1}{n} })^n=a^{ \frac{1}{n} } \times a^{ \frac{1}{n} } \times \cdot \cdot \cdot \cdot \times a^{ \frac{1}{n} }=a^{ \frac{n}{n} }=a^1=a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3b203d617a47d34ad4462d35d9b691b1.png)
![x_1=a^{ \frac{1}{n} }= \sqrt[n]{a} >0 x_1=a^{ \frac{1}{n} }= \sqrt[n]{a} >0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/513ff965cf0bf4314986fddb07b33cad.png)
![x_2=-(a^{ \frac{1}{n} })= -\sqrt[n]{a} x_2=-(a^{ \frac{1}{n} })= -\sqrt[n]{a}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9085fe8a62506f64a31b37646e6a6f01.png)
Záporná pravá strana
Nech reálne číslo
je záporné a nech
je kladné celé číslo, potom rovnica
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![x^n=a x^n=a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4287d7f288ceac102405099c635ad9b.png)
-
V prípade, že
je párne celé číslo, potom rovnica
- nemá riešenie v obore reálnych čísel
- v obore komplexných má
komplexne združených koreňov (Riešte
).
-
Ak je
nepárne, potom rovnica
má jeden reálny koreň
a
komplexne združených koreňov (Riešte
).
Z uvedeného vyplýva, že mocnina s racionálnym exponentom existuje aj pre záporný základ ale v tom prípade musí byť exponent „nepárny“ (prípady 1. a 2.).
Racionálny exponent
Napíšte definíciu mocniny s racionálnym exponentom pre nezáporný aj záporný základ. Použite napríklad text Mocniny
Komplexné čísla - história
Historický rámec zavedenia pojmu komplexného čísla
- Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel nebol problém riešenia kvadratickej rovnice so záporným diskriminantom.
- Podnetom bol iný problém: algebraické riešenie kubických rovníc.
Kubická rovnica
sa po substitúcii
redukuje na tvar
(14.st., Florencia).
Potom stačí uvažovať o troch typoch kubických rovníc:
,
a
, kde
sú kladné koeficienty.
![az^3+bz^2+bz+c=0 az^3+bz^2+bz+c=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2947fd0bb46097a029232bc7a633c920.png)
![z=x- \frac{a}{3} z=x- \frac{a}{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/be53440445e2dac2d420fd48b3f53eb1.png)
![x^3+mx+n=0 x^3+mx+n=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/209d68ee2f5d136921a3efb76040ebf9.png)
Potom stačí uvažovať o troch typoch kubických rovníc:
![x^3+mx=n x^3+mx=n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/063823607a980a88a471f75234c5f056.png)
![x^3+n=mx x^3+n=mx](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e00f01aa8f752f89a51e268ec80c51b7.png)
![x^3=mx+n x^3=mx+n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc3478b5af7994cff840bf6b5d517211.png)
![m,n m,n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a95c03f62724bc8ec933dcf0ce3905d.png)
Kubickú rovnicu
môžeme riešiť
![t^3+pt+q=0 t^3+pt+q=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e45a9099cdee3e61688c219088d2e94.png)
- substitúciou
, ktorú použil Thomas Harriot (1560-1621)
- dostaneme rovnicu šiesteho stupňa, ktorá po úprave vedie k riešeniu
- alebo originál Cardanovou metódou, pozri Wikipédiu. Genialita Cardanovho riešenia spočíta v zavedení
Rozšírenie oboru R
V opačnom prípade, ak by existovalo reálne číslo
, ktoré je koreňom hľadanej rovnice, tak musí byť splnená rovnosť
. Súčet na ľavej strane rovnosti je súčtom dvoch reálnych čísel:
. Teda platí
. To je spor s predpokladom, že existuje reálne číslo
, ktoré je riešením rovnice
.
![a∈R a∈R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5a9c2a46fd044e3810598ba6b2e42d21.png)
![a^2+1=0 a^2+1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f98f52a6ae5bd3dc493785d0e9bde6c.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9d9dff9320e27082b15b4ed7a086ba83.png)
![a^2+1≥1>0 a^2+1≥1>0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5fea9455bf27889573e174990a33cdce.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/99020cb24bd13238d907c65cc2b57c03.png)
![x^2+1=0 x^2+1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/11c9c5c82d259e69cd2689e9641b8093.png)
Obor komplexných čísel
Nech platí
, potom môžeme zaviesť mocninu súčinu
. Vo
všeobecnosti pre ľubovoľné reálne číslo
definujeme
. Čísla
nie sú reálne, sú „imaginárne“. S výhodou môžeme použiť symboliku usporiadaných dvojíc.
![i^2=-1 i^2=-1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac0b9b2423ec0018a87090b01dd5a4bd.png)
![(2 \cdot i)^2=(2 \cdot i) \cdot (2 \cdot i)=4 \cdot i^2=-4 (2 \cdot i)^2=(2 \cdot i) \cdot (2 \cdot i)=4 \cdot i^2=-4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ba117082ed445c2e860b79d92202e1a7.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![(k \cdot i )^2=-k^2 (k \cdot i )^2=-k^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d00a5625ec955763488b8739d98c7a70.png)
![i,2i,...,ki,... i,2i,...,ki,...](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b01589d69823ef5545ea4427607a386f.png)
Definícia
Nech
je karteziánsky súčin na množine reálnych čísel, potom prvky karteziánskeho súčinu
nazveme komplexné čísla. Komplexné čísla sú usporiadané dvojice reálnych čísel
.
Nech
![C=R×R C=R×R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f22d8014a391c4a52f2d384b461b4627.png)
![R×R R×R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/141e0253759ad70fad35aeab08360f1c.png)
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04d7c0931ecc39fb1c6d42971f4ee185.png)
Poznámky.
Algebraický tvar
Každé komplexné číslo
možno zapísať v tvare
, kde
sú reálne čísla a
je imaginárna jednotka, pre ktorú platí
.
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dddc834692610019090a111baa8fbbd2.png)
![a+ib a+ib](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ca6eda2c98a9fad9cc243777d6f501c.png)
![a,b a,b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e227c72cd04fd4d7cc6242750ca79f2c.png)
![i i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adc981d848c16e6bfd42376fa5603738.png)
![i^2=-1 i^2=-1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/642b0555e9d7da33841c5169a536a928.png)
Operácie súčet a súčin zavedieme ako súčet a súčin algebraických dvojčlenov:
• pre súčet komplexných čísel bude platiť:
• pre súčin komplexných čísel bude platiť:
Z definície súčinu vyplýva zaujímavá vlastnosť. Ak jedno z komplexných čísel bude reálne (napr.
), tak
.
• pre súčet komplexných čísel bude platiť:
![(a+ib) \oplus (c+id)=((a+c)+i(b+d)) (a+ib) \oplus (c+id)=((a+c)+i(b+d))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4bedb1223adb5171b776bc0f0b0ce11.png)
• pre súčin komplexných čísel bude platiť:
![(a+ib) \otimes (c+id)=((ac-bd)+i(ad+bc)) (a+ib) \otimes (c+id)=((ac-bd)+i(ad+bc))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4431c298765cf8891393d755d18d80b7.png)
Z definície súčinu vyplýva zaujímavá vlastnosť. Ak jedno z komplexných čísel bude reálne (napr.
![c=k,d=0 c=k,d=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d9ebeb7389db746ae7ddc5d1356fc710.png)
![k(a+ib)=(ka+ikb) k(a+ib)=(ka+ikb)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ae65286864f65ba1effbe2ecd3f26daf.png)
Geometrická interpretácia
Geometrická interpretácia - Gaussova komplexná rovina
Existuje bijektívne zobrazenie
(„prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel
na euklidovskú rovinu
:
,
kde
je bod
so súradnicami
.
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla
resp.
je bod
so súradnicami
. Pozri obrázok.
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![C C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/699e902f5598ca623370f833cffb1a57.png)
![Ε_2 Ε_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e70181582e6869ff9f4fe1ff7382de3.png)
![f:C \rightarrow E_2; z=(a,b) \rightarrow Z(a,b) f:C \rightarrow E_2; z=(a,b) \rightarrow Z(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30edaac4bf93086f3402dcda0f2fca09.png)
kde
![Z(a,b) Z(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dd479a28ef6f42d537618b26b06ded5.png)
![Z \in E_2 Z \in E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5cc495ade0bc487e18a234732fcd88e.png)
![(a,b) (a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cdf6328be9cc6c9873b8d6a4b6018e91.png)
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04d7c0931ecc39fb1c6d42971f4ee185.png)
![z=a+ib z=a+ib](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/caa088e40e1257d46bb9d1c89aa08c80.png)
![Z Z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/136e7596defa3afe882e06588efceef2.png)
![(a,b) (a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cdf6328be9cc6c9873b8d6a4b6018e91.png)
Zrejme platia rovnosti:
,
, kde
a
je orientovaný uhol
.
Číslo
predstavuje veľkosť vektora
a nazýva sa
absolútna hodnota komplexného čísla a označuje sa symbolom
: platí
.
Z rovností
môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla
. Dostaneme
. Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebraického tvaru komplexného čísla
. Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla
![sin \ \varphi = \frac{b}{r} sin \ \varphi = \frac{b}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f0ccb7c8b79e6f1ee758cbf313bc713.png)
![cos \ \varphi = \frac{a}{r} cos \ \varphi = \frac{a}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e13ea18e778cb1c5c8b903a67cc0c110.png)
![r= \sqrt{a^2+b^2} r= \sqrt{a^2+b^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c696ef56625ce3bb21b33f52d14cd82.png)
![\varphi \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d1102fcd20cb8d1367a42df048a5025.png)
![∢XOZ ∢XOZ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ad017825492a8b0c30300c54a6b5308e.png)
Číslo
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\vec{OZ} \vec{OZ}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dddbb383a879a32b17a946c46ab3d2be.png)
![\mid z \mid \mid z \mid](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83d5c36721835b9252fb39562730fc1c.png)
![\mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2} \mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3a7ccbbbb7ed3ec7c88ad01796ef91df.png)
Z rovností
![sin\ \varphi = \frac{b}{r}, cos \ \varphi = \frac{a}{r} sin\ \varphi = \frac{b}{r}, cos \ \varphi = \frac{a}{r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7e8ef8a7fe637554960c50333317f8e.png)
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dddc834692610019090a111baa8fbbd2.png)
![a=r.cos \ \varphi, b=r.sin \ \varphi a=r.cos \ \varphi, b=r.sin \ \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da27af73c0fb82bbffef04e5612476e4.png)
![a+ib a+ib](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de8796a27b1a82013857216bd70329f9.png)
Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla
.
Riešenie
Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že
.
Potom určíme veľkosť uhla
, pre ktorý platí
a
. Uhol, pre ktorý platia tieto dve rovnosti sa nachádza v IV. kvadrante a jeho veľkosť je
.
Goniometrický tvar komplexného čísla je
.
![z= \sqrt{3} -i z= \sqrt{3} -i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/700d34ce0436b0f8d4973be690b264ad.png)
Riešenie
Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že
![\mid z \mid= \sqrt{3}^2+(-1)^2=2 \mid z \mid= \sqrt{3}^2+(-1)^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7fc145a5b8b0620b9c8e9e7d032684c5.png)
Potom určíme veľkosť uhla
![\varphi \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
![cos \ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} cos \ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/09fa0182754a252156e9ffe5738a264b.png)
![sin \ \varphi = \frac{1}{2} sin \ \varphi = \frac{1}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ffc021aded77925c4949926a0d5f1ee4.png)
![330^ \circ = \frac{11 \pi }{6} 330^ \circ = \frac{11 \pi }{6}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51afb9178e7708428e1289ca4491e724.png)
Goniometrický tvar komplexného čísla je
![z=2(cos \ \frac{5\pi}{6}+ i.sin \ \frac{5\pi}{6} ) z=2(cos \ \frac{5\pi}{6}+ i.sin \ \frac{5\pi}{6} )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3f29bd9126835f585fa327be6b22ebe.png)
Vlastnosti operácií
Pre súčet a súčin komplexných čísel platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu.
Niektoré algebraické vlastnosti komplexných čísel:
Ukážeme napríklad, že platí komutatívnosť sčítania.
- neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je komplexné číslo
- neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je komplexné číslo
- k ľubovoľnému komplexnému číslu
existuje inverzný prvok vzhľadom na sčítanie
- k ľubovoľnému nenulovému komplexnému číslu
existuje inverzný prvok vzhľadom na súčin
Prvé tri vlastnosti vyplývajú priamo z definície operácií sčítania a násobenia v obore komplexných čísel.
- Dôkaz komutatívnosti:
- Ľavú stranu skúmanej rovnosti upravíme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel, ktoré sme vyjadrili v algebrickom tvare
- Pravú stranu rovnosti tiež upravme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel.
- V prvom aj v druhom prípade sme dostali rovnaký výsledok. To znamená, že platí komutatívny zákon pre sčítanie komplexných čísel.
- Dokážte štvrtú vlastnosť konštruktívnym spôsobom:
- predpokladajte, že existuje inverzný prvok
ku komplexnému číslu
- potom musí platiť rovnosť
, ale táto rovnosť predstavuje rovnicu o dvoch neznámych
- upravme ju na tvar
.
- porovnanie usporiadaných dvojíc vedie na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych
-
,
- ktorej riešením sú reálne čísla
. Pozrite si stránku Matrix calculator.
Vlastnosti absolútnej hodnoty
Moivreova veta
Francúzsky matematik Abraham de Moivre sformuloval vetu, podľa ktorej môžeme jednoducho umocňovať komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare.
Moivrovu vetu pre mocninu dokážeme napríklad pomocou matematickej indukcie, pričom využijeme súčtové vzorce pre sínus a kosínus. Z Moivreovej vety vyplýva aj jej odvodený tvar pre súčin dvoch komplexných čísel.
Poznámky.
- Dôležité je uvedomiť si, že komplexnými číslami končí rozširovanie číselného oboru.
- V roku 1799 Gauss dokázal, že každá algebraická rovnica, ktorej koeficienty sú komplexné čísla, má v obore komplexných čísel riešenie.
- To znamená, že obor komplexných čísel už nie je potrebné ďalej rozširovať.
Príklady
- Ak existuje komplexné číslo
, tak ho možno napísať v algebraickom tvare ako
.
- Potom naša rovnica bude mať tvar
čiže
.
- Z definície rovnosti komplexných čísel vyplýva, že
- Ľavú stranu prvej rovnice rozložíme na súčin podľa vzorca pre rozdiel štvorcov:
. Tým sa zbavíme druhých mocnín. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule, ak aspoň jeden z činiteľov je rovný nule. Teda buď
, alebo
- Ak do druhej rovnice dosadíme
dostaneme
. Táto rovnica má dva reálne korene
.
- Ak predpokladáme, že
, tak dosadením do druhej rovnice dostaneme
. Táto rovnica však nemá reálne korene!
![1 - i 1 - i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2ce9573ea1c3a5c9200f5a5e215b3898.png)
![-1 + i -1 + i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33a33dda095ae627fc8e3e3c00aed16a.png)
![x^2 = - 2i x^2 = - 2i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c96df7ee04ddd51dc93901e14e64d6b.png)
Vyriešte tento príklad pomocou goniometrického tvaru komplexného čísla.
Pri riešení rovnice vlastne hľadáme druhú odmocninu komplexného čísla.
Položte si otázku, či vždy existuje druhá odmocnina z komplexného čísla. Pokúste sa dokázať, že áno.
Jarník, Jiří: Komplexní čísla a funkce. Praha: Mladá fronta, 1967. Dostupné na Czech Digital Mathematics Library Tu
Položte si otázku, či vždy existuje druhá odmocnina z komplexného čísla. Pokúste sa dokázať, že áno.
Jarník, Jiří: Komplexní čísla a funkce. Praha: Mladá fronta, 1967. Dostupné na Czech Digital Mathematics Library Tu