Reálne a komplexné čísla

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie
Kniha:	Reálne a komplexné čísla

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	sobota, 4 mája 2024, 23:32

Opis

Množina reálnych čísel

Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel, ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu.
Konštrukcia, ktorá popíše reálne číslo vychádza z "rezov" na množine racionálnych čísel.

Termín reálne číslo zaviedol René Descartes (1637) ako spoločný názov pre racionálne a iracionálne čísla.
V staroveku už boli známe iracionálne čísla ako odmocniny niektorých prirodzených čísel $\sqrt {2}, \sqrt[3]{2}$ .
Euler (1737) dokázal, že číslo $e$ je iracionálne a Lambert ((1768) dokázal, že Ludolfovo číslo $\pi$ je iracionálne.
Charles Hermit (1873) ukázal, že číslo $\pi$ je transcendentné - nie je riešením algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami.

Zo strednej školy si možno pamätáte, že $\sqrt {2}$ má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj.

dokonca niektorí si pamätajú aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr. $\sqrt {2}≈1.41421$
na stránke Wikipédie môžeme nájsť až 10 miliónov cifier
vyjadriť $\sqrt {2}$ konečným počtom cifier sa nikomu nemôže podariť
existuje racionálne číslo, ktoré aproximuje $\sqrt {2}$ s danou presnosťou.

Vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch.
Ak vezmeme do úvahy všetky možné konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu $\sqrt {n}$ .
V nasledujúcich kapitolách popíšeme dedekindove rezy, pomocou ktorých definujeme reálne čísla.

$$ .$ $

Pytagorova škola

Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom¹⁾

Hippasus pravdepodobne dospel k záveru, že

$u^2=1^2+1^2$ a po úprave dostal kvadratickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi

$u^2=2$ .

S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel

$Q$ riešenie.

Dôkaz.
Nech existuje racionálne číslo

$r \in Q$ , ktoré je riešením rovnice

$x^2=2$ . Potom zrejme

$r= \frac{p}{q}$ , pričom celé čísla

$p,q$ sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel

$p,q$ je rovný

$1$ .
Po dosadení do rovnice

$x^2=2$ a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť

$p^2=2.q^2$ . Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo

$2$ delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo

$p^2$ je párne, preto musí byť aj číslo

$p$ párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare

$p=2k$ . Po dosadení do rovnosti

$p^2=2.q^2$ dostávame

$(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2$ .
Analogickou úvahou zistíme, že číslo

$q$ je párne. Keďže aj číslo

$p$ je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel

$p,q$ je väčší alebo rovný číslu

$2$ .
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo

$r= \frac{p}{q}$ , kde

$p,q$ sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.

Ak označíme jedno riešenie rovnice

$u^2=2$ symbolom

$\sqrt[]{2}$ (druhá odmocnina z dvoch), tak toto číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj

$-\sqrt[]{2}$ je riešením rovnice

$u^2=2$ a tiež nie je racionálne.

___________________________________________________________________________________________
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.

$$ .$ $

Dedekindove rezy

Reálne čísla zavedieme pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.

Podmnožinu

$\alpha \subset Q$ nazývame Dedekindovým rezom množiny

$Q$ , ak

podmnožina $\alpha$ je neprázdna množina: $\alpha \neq \emptyset$
doplnok $\alpha'$ podmnožiny $\alpha$ v množine $Q$ je tiež neprázdny: $\alpha'= Q-\alpha \neq \emptyset$ .
Nech $a$ je prvkom rezu $\alpha$ a nech $b \in Q$ má vlastnosť $b \leq a$ . Potom musí aj racionálne číslo $b$ patriť do rezu: $b \in \alpha$ .
Rez $\alpha$ nemá najväčší prvok. Ak $a \in \alpha$ , tak existuje $a' \in \alpha$ , pre ktoré je $a < a'$ .

Dedekindov rez si môžeme predstaviť ako rez číselnej osi na dve časti: dolnú a hornú časť.

Dolná časť nemá najväčší prvok.

Definícia.
Množinu všetkých rezov množiny

$Q$ označíme symbolom

$R$ . Prvky patriace do množiny

$R$ nazývame reálne čísla.

Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny

$\alpha \subset Q$ , ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.

Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu $\alpha$ nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina $\alpha \subset Q$ bola „slušne“ usporiadaná:

ak podmnožina $\alpha$ obsahuje racionálne číslo $a$ , tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla $a$
ak by sme na číselnej osi zobrazili bod $A$ reprezentujúci racionálne číslo $a \in Q$ , tak podmnožina $\alpha$ musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu $A$ .

Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu $\alpha \subset Q$ , ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu $(- \infty, \alpha)$ .
Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla

príkladmi iracionálnych čísel sú druhé odmocniny z prvočísel, číslo $\pi$ alebo prirodzený základ logaritmov $e$ .

Vlastnosti rezov.

Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
Nech $r \in Q$ je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina $r^ \ast = \lbrace{ x\in Q; x < r} \rbrace$ je rezom. Dokážte to.

Podmnožina $r^ \ast$ reprezentuje racionálne číslo $r$

množina $0^ \ast$ je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
ukážte, že zobrazenie $\ast : Q \rightarrow R$ je injektívne.

V bode 2. zameňte výrokovú formu za ostanete rez , ktorý reprezentuje iracionálne číslo $\sqrt {2}$ .

$$ .$ $

Súčet reálnych čísel

Nech

$α,β$ sú dva rezy na množine racionálnych čísel:

$\alpha \subset Q, \beta \subset Q$ . V ďalšej časti využijeme fakt, že už vieme sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla.

Definícia
Množinu

$\alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha \wedge b \in \beta }\rbrace$ všetkých možných súčtov nazveme súčtom Dedekindových rezov.

Veta
Množina

$\alpha \oplus \beta$ je rezom na množine racionálnych čísel.

Vytvorme množinu

$\alpha \oplus \beta$ všetkých možných (racionálnych) súčtov

$a+b$ , kde

$a \in \alpha, b \in \beta$ sú racionálne čísla.

Množiny $\alpha, \beta$ sú neprázdne, preto existujú prvky $a \in \alpha, b \in \beta$ . Množina $\alpha \oplus \beta$ je neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo
$r=a+b$ .
Ukážeme, že množina $Q-( \alpha \oplus \beta )$ je neprázdna. Množiny $\alpha, \beta$ sú rezmi, preto existujú prvky
$a' \notin \alpha, b' \notin \beta$

$a \in \alpha, b \in \beta$

$a+b < a'+b'$ .

$a'+b'\notin \alpha \oplus \beta$

$\alpha \oplus \beta \neq Q$ .

Nech $r \in \alpha \oplus \beta$ , potom platí $r=r_1+r_2$ , kde $r_1 \in \alpha, r_2 \in \beta$ . Nech $r'$ je racionálne číslo, pre ktoré platí $r'< r$ (resp. $r=r' + k$ ). Po dosadení dostaneme
$r' =r-k=r_1+(r_2-k)$ ,
čo znamená, že $r'$ je súčtom dvoch racionálnych čísel.
Množina $\alpha \oplus \beta$ nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by $K \in \alpha \oplus \beta$ bol najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla $a \in \alpha , b \in \beta$ , pričom $K=a+b$ . Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že $a \leq b$ .

Keďže $\alpha$ je tiež rez, tak nemá najväčší prvok. Musí existovať racionálne číslo $a'\in \alpha$ s vlastnosťou $a < a'$ . Relácia je monotónna, preto
$K=a+b < a'+b$ ,

$K$

Definícia
Majme Dedekindove rezy

$\alpha, \beta$ na množine racionálnych čísel. Množinu

$\alpha \oplus \beta= \lbrace{a+b;a \in \alpha, b \in \beta }\rbrace$ nazveme súčtom reálnych čísel.

Pri skúmaní vlastností algebraickej štrutúry

$(R,\oplus, \otimes)$ musíme poznať/definovať aj odpovedajúce inverzné prvky. Tiež musíme dokázať niekoľko pomocných tvrdení. Napríklad tvrdenia týkajúce sa súčtu rezov:

Podmnožina $-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': x \leq -a }\rbrace$ je tiež Dedekindov rez.
Pre ľubovoľný rez $\alpha$ platí: $-\alpha \oplus \alpha=0^ \ast$ .

Terminológia

Podmnožinu $-\alpha \subset Q$ nazveme opačným Dedekindových rezom.
Množinu všetkých kladných resp. záporných rezov označíme symbolom $R^+$ resp. $R^-$ .

$$ .$ $

Súčin reálnych čísel

Operáciu násobenia dvoch reálnych čísel zavedieme pomocou súčinu kladných Dedekindových rezov.

Definícia

Rez $\alpha \subset Q$ nazveme kladným Dedekindových rezom, ak dolná časť rezu obsahuje aspoň jedno kladné racionálne číslo:
$\alpha$ je kladný $\Leftrightarrow$ $\exists a \in Q \wedge a >0 ;a \in \alpha$ .
Množinu všetkých kladných rezov označíme symbolom $R^+$ .

ak $\alpha \in R^+$ je kladný rez, potom $-\alpha$ nazývame záporný rez
rez $0^ \ast = \lbrace{x \in Q, x < 0 }\rbrace$ nazývame nulový rez.
množinu všetkých záporných rezov označíme symbolom $R^-$ .

Pre kladné rezy $\alpha, \beta$ zaveďme súčin kladných rezov:

$\alpha \otimes \beta= \lbrace{a \cdot b;a \in \alpha,b \in \beta \ \wedge \ a,b > 0}\rbrace \cup \lbrace{a \in Q; a \leq 0}\rbrace$ .

všetky možné súčiny kladných racionálnych čísel

pridáme všetky záporné

Podobne ako pri súčte, tak aj pre súčin musíme definovať aj odpovedajúce inverzné prvky a zároveň dokázať niekoľko pomocných tvrdení. Napríklad tvrdenia týkajúce sa súččinu rezov:

Nech $\alpha$ je kladný rez. Potom podmnožina $\alpha^{-1}= \lbrace{x \in Q^+ ; \exists a \in \alpha': (x \leq a^{-1} ) }\rbrace \cup Q^-$ , kde $Q^-= \lbrace{x;x \leq0 }\rbrace$ je tiež Dedekindov rez
Pre ľubovoľný kladný rez $\alpha$ platí: $\alpha^{-1} \otimes \alpha=1^\ast$ .

Terminológia: Podmnožinu

$-\alpha^{-1}$ nazveme inverzným Dedekindových rezom ku kladnému rezu

$\alpha$ .

Súčin rezov
Nech

$\alpha, \beta \in R$ sú dva Dedekindove rezy, potom ich súčin

$\alpha \otimes \beta$ definujeme takto:

K vlastnostiam súčinu viac nájdete v práci: Michal Botur: UVOD DO ARITMETIKY

$$ .$ $

Vlastnosti rezov

Dokážte tvrdenia

Nech $\alpha$ je kladný rez na množine racionálnych čísel. Potom podmnožina $-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha)}\rbrace$ je Dedekindov rez.

Nech $-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': x \leq -a }\rbrace$ a nech $0 \in \alpha$ .
1. Najskôr ukážeme, že platí prvá vlastnosť pre rezy: $- \alpha \neq \emptyset$ . Nech $a \in \alpha'$ je racionálne číslo. Zrejme platí
 $-a-1 < -a$ ,
 odkiaľ dostávame
 $(-a-1 \in -\alpha) \Leftrightarrow (- \alpha \neq \emptyset)$ .
2. Druhú vlastnosť budeme dokazovať nepriamo. Predpokladajme sporom, že $- \alpha = Q$ .
 Pre $x \in - \alpha (= Q)$ bude aj $-x \in Q$ . Z definície $-\alpha$ dostávame, že existuje $a \in \alpha'$ také, že
 $(x$ .
 Pretože
 $( a \in \alpha') \wedge (a$
 musí tiež platiť
 $-x \in \alpha'$
 Týmto sme ukázali, že
 $( -x \in Q$ $\Rightarrow -x \in \alpha') \Leftrightarrow (Q \subset \alpha')$
 odkiaľ dostávame, že ( $\alpha= \emptyset$ \), čo je spor.
3. Tretia vlastnosť: $(x \in - \alpha \ \wedge \ \forall x^ \ast \in Q:\ x^ \ast \leq x) \Rightarrow (x^ \ast \in - \alpha)$ .
 Z definície rezu $- \alpha$ vyplýva, že existuje $a \in \alpha': x \leq -a$ . Zrejme platia nerovnosti:
 $x^ \ast \leq x \leq-a$ ,
 odkiaľ
 $x^\ast \leq-a$ ,
 preto platí
 $x^ \ast \in -\alpha$ .
 (interpretujte túto situáciu v applete).
4. Štvrtá vlastnosť: rez $-\alpha$ nemá najväčší prvok. Nepriamo: nech
 $x \in -\alpha$
 je najväčší prvok. Z definície $-\alpha$ dostávame, že existuje $a \in \alpha' \ \wedge -a \in -\alpha$ také, že
 $x$ ,
 čo je spor s vlastnosťou "byť najväčší".

$-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha) }\rbrace$

$(-a \in -\alpha)$

$-a$

$-\alpha$

Pre ľubovoľný kladný rez $\alpha$ platí: $-\alpha \oplus \alpha=0^ \ast$ .

Nech $r \in-\alpha \oplus \alpha$ , potom existujú racionálne čísla $x \in-\alpha,y\in \alpha : r=x+y$ . Z definície rezu $-\alpha$ dostávame, že existuje racionálne číslo $a \in \alpha'$ , pre ktoré je
$x< -a$ .
Keďže $a \in \alpha'$ a $y ∈ \alpha$ , tak musí platiť $y < a$ . Zvoľte si v applete body $x \in -\alpha,y \in \alpha$ tak, aby spĺňali tieto podmienky.

Z monotónnosti sčítania dostaneme
$r = y + x < a + x < a + (-a) = 0$
Z poslednej nerovnosti vyplýva, že
$r \in 0^∗$ ,
preto platí množinová inklúzia
$-\alpha \oplus \alpha ⊆ 0^∗$ .
Ak $r \in 0^∗$ , tak musíme nájsť dve racionálne čísla $x \in -\alpha, y \in \alpha$ , pre ktoré bude platiť: $r=x+y$ . Predpokladajme, že také dve racionálne čísla $x \in -\alpha, y \in \alpha$ existujú. Potom z definície rezu $0^∗$ vyplýva, že
$x+y < 0$ .
Pre racionálne číslo $x \in -\alpha$ musí existovať $a \in \alpha'$ , pričom platí $x < -a$ . Po jednoduchej úprave dostaneme
$(x+y)-y$ .
Predchádzajúca nerovnosť hovorí, že $(r - y) \in−\alpha$ . Zároveň vidíme, že
$r = (r−y)+y \in−\alpha+\alpha$ .
Záver: Ak existujú dve racionálne čísla $x \in -\alpha, y \in \alpha$ s požadovanou vlastnosťou, tak platí
$0^∗ ⊆−\alpha + \alpha$ .

Nech $\alpha$ je kladný rez. Potom podmnožina $\alpha^{-1}= \lbrace{x \in Q^+ ; \exists a \in \alpha': (x \leq a^{-1} ) }\rbrace \cup Q^-$ , kde $Q^-= \lbrace{x;x \leq0 }\rbrace$ je tiež Dedekindov rez
Pre ľubovoľný kladný rez $\alpha$ platí: $\alpha^{-1} \otimes \alpha=1^\ast$ .

Nech $\alpha^{-1}= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq a^{-1} ) }\rbrace$ .

Ukážeme, že $\alpha^{-1} \neq \emptyset$ . Uvažujme dva prípady $1 \in \alpha$ a $(1 \notin \alpha) \Leftrightarrow (1 \in \alpha')$ .

v prvom prípade existuje prirodzené číslo $n \in \alpha$ ale $(n+1) \notin \alpha$ teda patrí do doplnku $(n+1) \in \alpha'$

zrejme platia nerovnosti $n+1 < n+2$ a zároveň platí $\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}$ , odkiaľ dostávame $\frac{1}{n+2} \in \alpha^{-1}$

v druhom prípade $[1 \in \alpha']$ určite existuje číslo $a \in \alpha'; 1 < a$ ,

keďže platí $\frac{1}{a}< 1$ , tak $\frac{1}{a} \in \alpha^{-1}$ .

V oboch prípadoch (i. aj ii.)

$\alpha^{-1} \neq \emptyset$ .

$\alpha^{-1} \neq \emptyset$

Pri dôkaze druhej vlastnosti rezov $(\alpha ^{-1})' \neq \emptyset$ môžeme postupovať opäť tak, že dôkaz rozdelíme do dvoch častí: $1 \in \alpha$ a $1 \notin \alpha$ .
Načrtnite tieto situácie v applete.
Nech $r \in \alpha^{-1}$ a nech $r^ \bullet \in Q$ má vlastnosť $r^ \bullet \leq r$ . Potom aj racionálne číslo $r^ \bullet$ patrí do rezu: $r^ \bullet \in \alpha^{-1}$ .

z definície podmnožiny $\alpha^{-1}$ vyplýva, že existuje $a \in \alpha':\ r < \frac{1}{a}$
keďže $r^ \bullet \leq r \leq \frac{1}{a}$ , tak $r^ \bullet \in \alpha^{-1}$ .
Načrtnite túto situáciu v applete.

Rez $\alpha^{-1}$ nemá najväčší prvok. Dokážeme nepriamo:

nech $r \in \alpha^{-1}$ je najväčší prvok

z definície podmnožiny $\alpha^{-1}$ vyplýva, že existuje $a \in \alpha'$ , pre ktoré je $r < \frac{1}{a}$ .
pre aritmetický priemer $AR= \frac{r+\frac{1}{a}}{2}$ platí $r < AR < \frac{1}{a}$ , preto $AR \in \alpha^{-1}$ , čo je spor.
Načrtnite situáciu v applete.

Nastavte obrázok ...

dôkaz je podobný

$$ .$ $

Teleso R,+,x

Mocnina s reálnym exponentom

Preskúmajte resp. riešte

Riešte rovnice a urobte skúšku správnosti riešenia:
$x^{ \frac{3}{2} }= 8$
$x^{ \frac{3}{2} }= -8$
Odhaľte chybný krok vo výpočte
$-27=(-27)^1=(-27)^{((\frac{2}{3} )( \frac{3}{2}))}=((-27)^{(\frac{2}{3} )})^{( \frac{3}{2})}=9^{\frac{3}{2}}=27$

Mocniny

Mocnina $a^n$ s prirodzeným exponentom $n>0: a^n=(a \times a \times \cdot \cdot \cdot \times a ) n-$ krát
Mocnina $a^n$ s exponentom $n$ , ktorým je záporné celé číslo: $a^n= \frac{1}{a^ {-n}}$
Mocniny s racionálnym exponentom. Nech reálne číslo $a$ je kladné a nech $n= \frac{r}{s}$ je racionálny exponent , kde $r$ je celé číslo a $s$ je kladné celé číslo. Potom je možné robiť úpravy typu

$a^{ \frac {r} {s} }=(a^r )^{ \frac{1}{s} }= \sqrt[s]{a^r} = ( \sqrt[s]{a} )^r=(a^{\frac{1}{s}} )^r$

Predtým ako vo všeobecnosti zadefinujeme mocninu s racionálnym exponentom, tak si pripomenieme riešenie rovníc typu $x^n=a$ .

$$ .$ $

Nezáporná pravá strana

Riešenie rovníc typu

$x^n=a$

Ak reálne číslo

$a$ je rovné nule, tak rovnica

$x^n=a$ má iba jeden koreň

$x=0$ .

Ak reálne číslo

$a$ je kladné a

$n$ je kladné celé číslo, potom rovnica

$x^n=a$ má

Reálne riešenie $x= \sqrt[n]{a}$ (zápis aj v tvare $a^{ \frac{1}{n} }: 8^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{8} =2$ ). Skutočnosť, že $a^{\frac{1}{n} }$ je riešením rovnice vyplýva aj z toho, že po dosadení do ľavej strany rovnice dostaneme

$x^n=(a^{ \frac{1}{n} })^n=a^{ \frac{1}{n} } \times a^{ \frac{1}{n} } \times \cdot \cdot \cdot \cdot \times a^{ \frac{1}{n} }=a^{ \frac{n}{n} }=a^1=a$

v prípade, že $n$ je párne, potom riešením rovnice $x^n=a$ sú aj dva reálne korene, ktoré sú navzájom opačné: t. j.

$x_1=a^{ \frac{1}{n} }= \sqrt[n]{a} >0$

$x_2=-(a^{ \frac{1}{n} })= -\sqrt[n]{a}$

ak je $n$ nepárne, potom rovnica $x^n=a$ má aj kladný reálny koreň
$x=-(a^{ \frac{1}{n} })$ .

Vo všeobecnosti: Ak reálne číslo $a$ je kladné, tak v obore komplexných čísel má rovnica $n-$ tého stupňa práve $n$ koreňov.

Príklad. Vyriešte rovnicu

$x^3=1$ v obore komplexných čísel.
Návod:
Vyjadrite hľadané riešenie

$x$ v goniometrickom tvare

$z=|z|(\cos\alpha + i \sin\alpha )$ alebo použite vzťah

$x^n-1=(x-1) (x^{n-1}+x^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +1 )$ .

$$ .$ $

Záporná pravá strana

Riešenie rovníc typu

$x^n=a$ ak reálne číslo

$a$ je záporné

Nech reálne číslo

$a$ je záporné a nech

$n$ je kladné celé číslo, potom rovnica

$x^n=a$

V prípade, že $n$ je párne celé číslo, potom rovnica $x^n=a$
- nemá riešenie v obore reálnych čísel
- v obore komplexných má $\frac{n}{2}$ komplexne združených koreňov (Riešte $x^4=-16$ ).
Ak je $n$ nepárne, potom rovnica $x^n=a$ má jeden reálny koreň $-(a^{ \frac{1}{n} } )>0$ a $\frac{n-1}{2}$ komplexne združených koreňov (Riešte $x^3=-8$ ).

Nech reálne číslo

$a$ je záporné a nech

$n= \frac{r}{s}$ je racionálny exponent (

$\frac{r}{s}$ je v základnom tvare), potom pre

$r$ celé nepárne číslo a $s$ párne celé číslo rovnica $x^n=a$ má riešenie. Napríklad
$x^{ \frac{3}{2} }=-27 \Leftrightarrow (-27)^{ \frac{2}{3} }= \sqrt[3]{(-27)^2} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{9^3} =9>0$
odkiaľ dostávame: $a^{ \frac{s}{r}} >0$ pre $r=2k+1,s=2l$
$r$ celé nepárne číslo a $s$ nepárne celé číslo rovnica $x^n=a$ má riešenie. Napríklad
$x^{ \frac{3}{1} }=-27 \Leftrightarrow (-27)^{ \frac{1}{3} }= \sqrt[3]{(-27)^1} = -3$
odkiaľ dostávame: $a^{ \frac{s}{r}}$ pre $r=2k+1,s=2l+1$ .

Nech reálne číslo

$a$ je záporné, potom v len prípadoch (1. aj 2.) je možné robiť úpravy typu
$a^{ \frac {r} {s} }=(a^r )^{ \frac{1}{s} }= \sqrt[s]{a^r} = ( \sqrt[s]{a} )^r=(a^{\frac{1}{s}} )^r$

Ak reálne číslo

$a$ je záporné a

$r$ celé párne číslo a

$s$ párne alebo

$r$ celé párne číslo a

$s$ nepárne,

tak úpravy uvedené v predchádzajúcom odseku nie je možné použiť! To je ekvivalentné tvrdeniu, že rovnica

$x^{\frac{s}{r}}=a$
nemá riešenie. Interpretujte to v GeoGebre.

Z uvedeného vyplýva, že mocnina s racionálnym exponentom existuje aj pre záporný základ ale v tom prípade musí byť exponent „nepárny“ (prípady 1. a 2.).

$$ .$ $

Racionálny exponent

Napíšte definíciu mocniny s racionálnym exponentom pre nezáporný aj záporný základ. Použite napríklad text Mocniny

Komplexné čísla - história

Historický rámec zavedenia pojmu komplexného čísla

Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel nebol problém riešenia kvadratickej rovnice so záporným diskriminantom.
Podnetom bol iný problém: algebraické riešenie kubických rovníc.

Kubická rovnica

$az^3+bz^2+bz+c=0$ sa po substitúcii

$z=x- \frac{a}{3}$ redukuje na tvar

$x^3+mx+n=0$ (14.st., Florencia).
Potom stačí uvažovať o troch typoch kubických rovníc:

$x^3+mx=n$ ,

$x^3+n=mx$ a

$x^3=mx+n$ , kde

$m,n$ sú kladné koeficienty.

Kubickú rovnicu

$t^3+pt+q=0$ môžeme riešiť

substitúciou $t=y- \frac{p}{3y}$ , ktorú použil Thomas Harriot (1560-1621)

dostaneme rovnicu šiesteho stupňa, ktorá po úprave vedie k riešeniu

alebo originál Cardanovou metódou, pozri Wikipédiu. Genialita Cardanovho riešenia spočíta v zavedení

novej neznámej $t$ : $t = u + v$ , po dosadení dostaneme: $u^3+ v^3 + (3uv + p) (u + v) + q = 0$ .
v zavedení podmienky $3 u v + p = 0$ , stačí položiť $v = -p/{3u}$ a potom $t =u -p/{3u}$

po dosadení dostaneme $-u^3 +p^3/{27u^3}=q$
substitúcia $z=u^3$ vedie ku kvadratickej rovnici s neznámou $z$ .

Rafael Bombeli (1572) zavádza slovné označenie pre imaginárnu jednotku a vytvoril pravidlá pre prácu s rýdzo imaginárnymi číslami.
Leonard Euler (1777) prvý použil písmeno

$i$ a slovo imaginaire.
Komplexné čísla vyjadroval algebrickom v tvare

$z=x \; + \; y \; i \;$ aj goniometrickom tvare

$z=\left| z \right| ( {cos} \; \alpha+ i \; {sin} \; \alpha)$

Zbierka riešených úloh Tu .

$$ .$ $

Rozšírenie oboru R

Pri riešení kvadratickej rovnice $x^2+1=0$ zistíme, že nemá v obore reálnych čísel riešenie

V opačnom prípade, ak by existovalo reálne číslo

$a∈R$ , ktoré je koreňom hľadanej rovnice, tak musí byť splnená rovnosť

$a^2+1=0$ . Súčet na ľavej strane rovnosti je súčtom dvoch reálnych čísel:

reálneho čísla $a^2$ , ktoré je v tvare druhej mocniny , preto musí platiť $a^2≥0$
čísla $1$ , ktoré je zrejme kladné.

Ich súčet bude kladné číslo väčšie alebo rovné číslu

$1$ . Teda platí

$a^2+1≥1>0$ . To je spor s predpokladom, že existuje reálne číslo

$a$ , ktoré je riešením rovnice

$x^2+1=0$ .

Skutočnosť, že rovnica $x^2+1=0$ nemá v obore reálnych čísel riešenie, nás privádza k myšlienke rozšíriť obor reálnych čísel na taký číselný obor, kde rovnice tohto typu budú mať riešenie.

$$ .$ $

Obor komplexných čísel

Prepokladajme, že existuje nejaké „imaginárne“ číslo

$i$ , pre ktoré platí

$i^2=-1$ .

Nech platí

$i^2=-1$ , potom môžeme zaviesť mocninu súčinu

$(2 \cdot i)^2=(2 \cdot i) \cdot (2 \cdot i)=4 \cdot i^2=-4$ . Vo všeobecnosti pre ľubovoľné reálne číslo

$k$ definujeme

$(k \cdot i )^2=-k^2$ . Čísla

$i,2i,...,ki,...$ nie sú reálne, sú „imaginárne“. S výhodou môžeme použiť symboliku usporiadaných dvojíc.

Reálne číslo $r \in R$ zapíšme ako usporiadanú dvojicu $(r,0)$ .
„Imaginárne“ číslo $k \cdot i$ zapíšme ako usporiadanú dvojicu $(0,k )$ .
Súčet dvojíc definujeme takto: $(x,y) \oplus (u,v)=((x+u), \ (y+v) )$ .
Súčin dvojíc definujeme pomocou vzťahu $(x,y) \otimes (u,v)=((xu-yv),\ (xv+yu))$ .

Definícia
Nech

$C=R×R$ je karteziánsky súčin na množine reálnych čísel, potom prvky karteziánskeho súčinu

$R×R$ nazveme komplexné čísla. Komplexné čísla sú usporiadané dvojice reálnych čísel

$z=(a,b)$ .

Poznámky.

Nech $z=(a,b)$ je komplexné číslo, potom reálne číslo $a$ sa nazýva reálna časť komplexného čísla $z$ . Reálne číslo $b$ sa nazýva imaginárna časť. Dve komplexné čísla $(a,b), (c,d)$ sa rovnajú, ak platí $(a=c) \wedge (b=d)$ .
Pre komplexné čísla $z_1=(a,b), z_2=(c,d)$ definujeme operácie sčítanie a násobenie pomocou operácií na množine usporiadaných dvojíc reálnych čísel.

Definícia
Sčítanie komplexných čísel:

$(a,b) \oplus (c,d) =( a+c,b+d )$

Definícia
Násobenie komplexných čísel:

$(a,b) \otimes (c,d) =( ac-bd,ad+bc )$

$$ .$ $

Algebraický tvar

Každé komplexné číslo

$z=(a,b)$ možno zapísať v tvare

$a+ib$ , kde

$a,b$ sú reálne čísla a

$i$ je imaginárna jednotka, pre ktorú platí

$i^2=-1$ .

Operácie súčet a súčin zavedieme ako súčet a súčin algebraických dvojčlenov:
• pre súčet komplexných čísel bude platiť:

$(a+ib) \oplus (c+id)=((a+c)+i(b+d))$
• pre súčin komplexných čísel bude platiť:

$(a+ib) \otimes (c+id)=((ac-bd)+i(ad+bc))$
Z definície súčinu vyplýva zaujímavá vlastnosť. Ak jedno z komplexných čísel bude reálne (napr.

$c=k,d=0$ ), tak

$k(a+ib)=(ka+ikb)$ .

Definícia
Zápis komplexného čísla v tvare $a+ib$ sa nazýva algebraický.

Nájdite také reálne čísla

$x,y$ , pre ktoré bude platiť:

$(2-i)x+(5+6i)y=1-3i$ .
Riešenie
• ak upravíme ľavú stranu rovnice na tvar a + bi, dostaneme:

$(2x+5y)+i(-x+6y)=1-3i$ .
• ak využijeme vlastnosť, ktorá platí pre rovnosť komplexných čísel, tak dostaneme sústavu rovníc

$2x +5y =1, -x +6y = -3$
Riešením sústavy je dvojica reálnych čísel

$x= \frac{21}{17} , y= \frac{-5}{17}$ .

$$ .$ $

Geometrická interpretácia

Geometrická interpretácia - Gaussova komplexná rovina

Existuje bijektívne zobrazenie

$f$ („prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel

$C$ na euklidovskú rovinu

$Ε_2$ :

$f:C \rightarrow E_2; z=(a,b) \rightarrow Z(a,b)$ ,
kde

$Z(a,b)$ je bod

$Z \in E_2$ so súradnicami

$(a,b)$ .
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla

$z=(a,b)$ resp.

$z=a+ib$ je bod

$Z$ so súradnicami

$(a,b)$ . Pozri obrázok.

Zrejme platia rovnosti:

$sin \ \varphi = \frac{b}{r}$ ,

$cos \ \varphi = \frac{a}{r}$ , kde

$r= \sqrt{a^2+b^2}$ a

$\varphi$ je orientovaný uhol

$∢XOZ$ .
Číslo

$r$ predstavuje veľkosť vektora

$\vec{OZ}$ a nazýva sa absolútna hodnota komplexného čísla a označuje sa symbolom

$\mid z \mid$ : platí

$\mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2}$ .
Z rovností

$sin\ \varphi = \frac{b}{r}, cos \ \varphi = \frac{a}{r}$ môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla

$z=(a,b)$ . Dostaneme

$a=r.cos \ \varphi, b=r.sin \ \varphi$ . Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebraického tvaru komplexného čísla

$a+ib$ . Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla

Definícia
Zápis komplexného čísla v tvare

$z=\mid z \mid(cos \ \varphi+ i.sin \ \varphi )$ sa nazýva goniometrický tvar komplexného čísla.

Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla

$z= \sqrt{3} -i$ .
Riešenie
Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že

$\mid z \mid= \sqrt{3}^2+(-1)^2=2$ .
Potom určíme veľkosť uhla

$\varphi$ , pre ktorý platí

$cos \ \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ a

$sin \ \varphi = \frac{1}{2}$ . Uhol, pre ktorý platia tieto dve rovnosti sa nachádza v IV. kvadrante a jeho veľkosť je

$330^ \circ = \frac{11 \pi }{6}$ .
Goniometrický tvar komplexného čísla je

$z=2(cos \ \frac{5\pi}{6}+ i.sin \ \frac{5\pi}{6} )$ .

$$ .$ $

Vlastnosti operácií

Pre súčet a súčin komplexných čísel platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu.

Niektoré algebraické vlastnosti komplexných čísel:

neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je komplexné číslo $(0,0)$
neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je komplexné číslo $(1,0)$
k ľubovoľnému komplexnému číslu $z=(a,b)$ existuje inverzný prvok vzhľadom na sčítanie

takýto prvok budeme nazývať opačné komplexné číslo, je to dvojica $-z=(-a,-b)$

k ľubovoľnému nenulovému komplexnému číslu $z=(a,b)$ existuje inverzný prvok vzhľadom na súčin

budeme ho označovať symbolom $z^{-1}$

Prvé tri vlastnosti vyplývajú priamo z definície operácií sčítania a násobenia v obore komplexných čísel.

Ukážeme napríklad, že platí komutatívnosť sčítania.

Komutatívnosť sčítania
Pre ľubovoľné dve komplexné čísla

$x= (x_1, x_2), y=(y_1,y_2)$ platí rovnosť:

$(x_1,x_2 ) \oplus (y_1,y_2 )=(y_1,y_2 ) \oplus (x_1,x_2 )$ .

Dôkaz komutatívnosti:

Ľavú stranu skúmanej rovnosti upravíme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel, ktoré sme vyjadrili v algebrickom tvare

dostaneme $(x_1+ix_2 ) \oplus (y_1+iy_2 )=((x_1+y_1 )+i(x_2+y_2 ))$ .

ak využijeme komutatívnosť sčítania reálnych čísel, tak dôjdeme k rovnosti $((x_1+y_1 )+i(x_2+y_2 ))=((y_1+x_1 )+i(y_2+x_2 ))$ .

Pravú stranu rovnosti tiež upravme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel.

dostaneme rovnosť $(y_1,y_2 ) \oplus (x_1,x_2 )=((y_1+x_1 )+i(y_2+x_2))$ .

V prvom aj v druhom prípade sme dostali rovnaký výsledok. To znamená, že platí komutatívny zákon pre sčítanie komplexných čísel.

Dokážte štvrtú vlastnosť konštruktívnym spôsobom:

predpokladajte, že existuje inverzný prvok $z^{-1}=(x,y)$ ku komplexnému číslu $z=(a,b) \neq (0,0) \Leftrightarrow a^2+b^2 \neq 0$
potom musí platiť rovnosť $(a,b) \otimes (x,y)=(1,0)$ , ale táto rovnosť predstavuje rovnicu o dvoch neznámych $x,y$
upravme ju na tvar $(ax-by,bx+ay)=(1,0)$ .
porovnanie usporiadaných dvojíc vedie na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych

$ax-by=1, bx+ay=0$ ,
ktorej riešením sú reálne čísla $x= \frac{a}{a^2+b^2 } , y= \frac{-b}{a^2+b^2 }$ . Pozrite si stránku Matrix calculator.

Absolútnu hodnotu komplexného čísla

$z=(x,y)$ , označujeme symbolom

$|z|$ a deﬁnujeme predpisom

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Vlastnosti absolútnej hodnoty

$|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$|z| = \sqrt{z \bar{z}}$ , kde $\bar{z}= (x,-y)$ je komplexne združené komplexné číslo
$|z_1-z_2| = |z_2-z_1|$ , pre každé $z_1, z_2 \in C$
$|z_1 + z_2| \leq |z_1|+|z_2|$ , pre každé $z_1, z_2 \in C$ (trojuholníková nerovnosť)
Z trojuholníkovej nerovnosti vyplýva nerovnosť $||z_1|-|z_2|| \leq |z_1+z_2|$ pre každé \ $z_1, z_2 \in C$

Pomocou komplexne združeného čísla a absolútnej hodnoty deﬁnujeme podiel komplexných čísel.

Podiel komplexných čísel

$z_1, z_2 \neq 0$ je komplexné číslo v tvare:

$\frac{z_1}{ z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{ z_2 }}{|z_2|^2}$ .

$$ .$ $

Moivreova veta

Francúzsky matematik Abraham de Moivre sformuloval vetu, podľa ktorej môžeme jednoducho umocňovať komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare.

Moivreova veta hovorí, že pre ľubovoľné komplexné číslo

$z=|z|(cos \varphi +i \cdot sin \varphi)$ a ľubovoľné celé číslo

$n$ platí
$z^n=|z|^n( \cos\ n \varphi +i \cdot \sin\ n\varphi)$

Moivrovu vetu pre mocninu dokážeme napríklad pomocou matematickej indukcie, pričom využijeme súčtové vzorce pre sínus a kosínus. Z Moivreovej vety vyplýva aj jej odvodený tvar pre súčin dvoch komplexných čísel.

Pre súčin dvoch komplexných čísel

$z_1=|z_1|( \cos \varphi_1 +i \sin\varphi_1),z_2=|z_2|( \cos \varphi_2 +i \sin\varphi_2)$ platí
$z_1 \otimes z_2 =|z_1| \cdot |z_2|( \cos (\varphi_1+ \varphi_2) +i \sin (\varphi_1+ \varphi_2) )$

Poznámky.

Dôležité je uvedomiť si, že komplexnými číslami končí rozširovanie číselného oboru.
V roku 1799 Gauss dokázal, že každá algebraická rovnica, ktorej koeficienty sú komplexné čísla, má v obore komplexných čísel riešenie.
To znamená, že obor komplexných čísel už nie je potrebné ďalej rozširovať.

$$ .$ $

Príklady

Riešte v obore komplexných čísel rovnicu

$x^2 = - 2i$ .

Ak existuje komplexné číslo $x$ , tak ho možno napísať v algebraickom tvare ako $x = x_1 + ix_2$ .
Potom naša rovnica bude mať tvar $( x_1 + ix_2)^2 = - 2i$ čiže $x_1^2 +x_2^2+2ix_1x_2 = - 2i$ .
Z definície rovnosti komplexných čísel vyplýva, že

reálna časť čísla na ľavej strane tejto rovnice je nula $x_1^2 +x_2^2 = 0$ - 1. rovnica
imaginárna je $2x_1x_2 = - 2$ - 2. rovnica.

Ľavú stranu prvej rovnice rozložíme na súčin podľa vzorca pre rozdiel štvorcov: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2) (x_1 - x_2)$ . Tým sa zbavíme druhých mocnín. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule, ak aspoň jeden z činiteľov je rovný nule. Teda buď $x_1 + x_2$ , alebo $x_1 - x_2$

v prvom prípade je $x_1=- x_2$ v druhom $x_1= x_2$ .

Ak do druhej rovnice dosadíme $x_1=- x_2$ dostaneme $-2(x_1)^2 = -2 \Rightarrow (x_1)^2 = 1$ . Táto rovnica má dva reálne korene $1, -1$ .

pre prvý koreň dostávame $x=1-i$
pre druhý $x=-1+i$ . Ako ľahko overíme, sú obe tieto čísla korene danej rovnice.

Ak predpokladáme, že $x_1=x_2$ , tak dosadením do druhej rovnice dostaneme $2x_1^2=-2$ . Táto rovnica však nemá reálne korene!

Existujú dve komplexné čísla

$1 - i$ a číslo

$-1 + i$ , ktoré sú koreňmi rovnice

$x^2 = - 2i$ .
Vyriešte tento príklad pomocou goniometrického tvaru komplexného čísla.

Pri riešení rovnice vlastne hľadáme druhú odmocninu komplexného čísla.
Položte si otázku, či vždy existuje druhá odmocnina z komplexného čísla. Pokúste sa dokázať, že áno.
Jarník, Jiří: Komplexní čísla a funkce. Praha: Mladá fronta, 1967. Dostupné na Czech Digital Mathematics Library Tu

$$ .$ $

Reálne a komplexné čísla

Opis

Obsah

Množina reálnych čísel

Pytagorova škola

Dedekindove rezy

Súčet reálnych čísel

Súčin reálnych čísel

Vlastnosti rezov

Teleso R,+,x

Mocnina s reálnym exponentom

Nezáporná pravá strana

Záporná pravá strana

Racionálny exponent

Komplexné čísla - história

Rozšírenie oboru R

Obor komplexných čísel

Algebraický tvar

Geometrická interpretácia

Vlastnosti operácií

Moivreova veta

Príklady