Predchádzajúci
Nasledujúci

Obor celých čísel

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie R umožnila vytvorenie „nosiča“ pre celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel.
Nech T_{(a,b)},T_{(c,d)} sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet \oplus a súčin \otimes týchto celých čísel popisujú nasledujúce dve definície.
Definícia 
Sčítanie celých čísel: T_{(a,b)}  \oplus T_{(c,d)} =T_{(a+c,b+d)}
Definícia 
Násobenie celých čísel: T_{(a,b)}  \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c+b.d),(a.d+b.c)}
Interpretácia definícií
Zvoľme si celé čísla 2,-2,3,-3 . Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu (N \times N)/R . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy
     T_{(2,0)} ≝ 2,  T_{(3,0)}, ≝ 3
     T_{(0,2)} ≝ -2, T_{(0,3)} ≝ -3.
Interpretujme súčet tried
     2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5
     3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1  
Interpretujte súčin tried
     2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny. 
Poznámky
  1. Súčin T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)} si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov (a-b)(c-d)=(a.c+b.d)-(a.d+b.c) .
  2. Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ T_{(a,b)} ), T_{(c,d)} . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.
    3. Ak (p,q) \in T_{(a,b)} a zároveň (r,s) \in T_{(c,d)} , tak:
    1. T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{(p,q)} \oplus T_{(r,s)}
      2. a zároveň
    2. T_{(a,b)}  \otimes T_{(c,d)}=T_{(p,q)} \otimes T_{(r,s)} .
  3. Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako množinu:
         Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
    alebo
         Z={ 0,±1,±2,±3,...} .
\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci