Celé čísla a racionálne čísla
celé čísla
Obor celých čísel
Množina celých čísel
Zhrňme si naše úvahy:
- Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu prirodzených čísel , ktorú popíšme napríklad Peanovou aritmetikou.
- Vytvoríme množinu všetkých usporiadaných dvojíc prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu .
- Dvojice prirodzených čísel zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice
z rovnakej skupiny platí rovnosť
. - Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.
Definícia.
Nech je relácia ekvivalencie na množine , pre ktorú platí:
a nech je rozklad množiny podľa relácie . Potom prvky množiny budeme nazývať celé čísla.
Nech je relácia ekvivalencie na množine , pre ktorú platí:
a nech je rozklad množiny podľa relácie . Potom prvky množiny budeme nazývať celé čísla.
Poznámky.
Nech , potom v prípade:
Nech , potom v prípade:
-
triedu rozkladu
budeme označovať symbolom
, kde
je prirodzené číslo, zrejme platí
.
Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom . -
triedu rozkladu
budeme označovať symbolom
, kde
je prirodzené číslo, zrejme platí
.
Tieto čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých záporných čísel symbolom . - Pokúste sa definovať kladné čísla.