Celé čísla a racionálne čísla: Množina celých čísel

Celé čísla a racionálne čísla

celé čísla

Úvahy o triedach rozkladu

$N \times N/R$ umožňujú zaviesť množinu celých čísel ako množinu tried tohto rozkladu.

Zhrňme si naše úvahy:

Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu prirodzených čísel $N$ , ktorú popíšme napríklad Peanovou aritmetikou.
Vytvoríme množinu všetkých usporiadaných dvojíc $(x,y)$ prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu $N \times N$ .
Dvojice prirodzených čísel zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice $(a,b),(c,d)$ z rovnakej skupiny platí rovnosť
$a+d=c+b$ .
Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.

Definícia.
Nech

$R$ je relácia ekvivalencie na množine

$N \times N$ , pre ktorú platí:
$\forall a,b,c,d \in N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b$
a nech

$Z=(N \times N)/R$ je rozklad množiny

$N \times N$ podľa relácie

$R$ . Potom prvky množiny

$Z$ budeme nazývať celé čísla.

Poznámky.
Nech

$(a,b) \in N \times N$ , potom v prípade:

$a≥b$ triedu rozkladu $T_{(a,b)}$ budeme označovať symbolom $n$ , kde $n=a-b$ je prirodzené číslo, zrejme platí
$T_{(a,b)}=T_{(a-b,0)}≝$ $n$ .
Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom $Z^+$ .
$a$ triedu rozkladu $T_{(a,b)}$ budeme označovať symbolom $-n$ , kde $n=b-a$ je prirodzené číslo, zrejme platí
$T_{(a,b)}=T_{(0,b-a)}≝$ $-n$ .
Tieto čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých záporných čísel symbolom $Z^-$ .
Pokúste sa definovať kladné čísla.

$<span class="nolink">$ .$ $