Predchádzajúci
Nasledujúci

Obor celých čísel

Rozširenie oboru N

Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine N \times N . Existuje rozklad množiny N \times N podľa relácie R .
Nech N= \lbrace{0,1,2,...,...}\rbrace je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad N×N∕R je množina, ktorej prvky-triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel!
  Ukážka
  1. Označme symbolom T_{(1,0)} triedu, ktorá obsahuje dvojicu (1,0) \in N \times N } \)\. Potom trieda T_{(1,0)} bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (n+1,n), lebo platí (1,0)R(n+1,n)⟺1+n=(n+1)+0. Triedu T_{(1,0)} môžeme určiť vymenovaním jej prvkov: T_{(1,0)} ={(1,0),(2,1),(3,2),…,(n+1,n),…}. 
  2. Podobne by sme ukázali, že trieda T_{(0,1)} , ktorá obsahuje dvojicu (0,1) bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (n,n+1) . Symbolicky
              T_{(0,1)}= \lbrace{(0,1),(1,2),...,(7,8),...(n,n+1),...}\rbrace .
  3. Označenie pre triedy rozkladov T_{(1,0)}, T_{(0,1)} môžeme nahradiť aj inými symbolmi. V literatúre sa objavujú symboly \overline{1,0},\overline{0,1} .
    My použijeme jednoduchšie symboly 1, -1 , čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel.
  4. Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica (a,b) je množina, ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako
              T_{(a,b)}= \lbrace{(x,y) \in N \times N: a+y=x+b}\rbrace . 
  5. Všimnite si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici (a,b) , kde a≥b, budú reprezentované prirodzenými číslami. 
  6. V prípade, že a dostneme triedy rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami.
\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci