Celé čísla a racionálne čísla
celé čísla
Obor celých čísel
Definícia.
Nech je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu na množine takto:
.
Nech je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu na množine takto:
.
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel
sú v relácii, ak platí rovnosť
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
- Nech je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí , lebo platí . Odkiaľ dostaneme, že relácia je reflexívna.
- Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii .
- Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: .
- To je ekvivalentné so vzťahom , preto platí: relácia je symetrická.
- Nech platí a zároveň .
- Z definície relácie vyplýva, že musí platiť a zároveň . Pripočítajme k prvej rovnosti číslo a k druhej rovnosti číslo .
- Dostaneme rovnosti . Zrejme platí (komutatívnosť sčítania).
- Ak využijeme, že rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme .
- Teraz stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme . To znamená, že relácia je tranzitívna.