Predchádzajúci
Nasledujúci

Obor racionálnych čísel

Hustota racionálnych čísel

Nech a,b∈ Q sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body A,B. Dokážte, že aritmetický priemer (a+b)/2 je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi je stred úsečky AB.
Nech a=m/n,b=r/s a zároveň a \leq b
  1. Pre aritmetický priemer AP(a,b) môžu nastať dva prípady:
    1. Zlomok \frac{a+b}{2}= \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s} je v základnom tvare (nemožno ho krátiť). 
      • V tomto prípade daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu T_{(m \cdot s+r \cdot n,2 \cdot n \cdot s)}. 
    2. Zlomok \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s} nie je v základnom tvare. Vtedy existuje nenulové prirodzené číslo k, ktorým zlomok vykrátime na základný tvar \frac{p}{q} . Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť \frac{a+b}{2} =\frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}= \frac{p \cdot k }{q \cdot k } = \frac{p}{q} . 
        • Z týchto rovností ľahko odvodíme, že daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu T_{(p,q)} .
  2. Z predchádzajúceho vyplýva, že zlomok \frac{a+b}{2} reprezentuje racionálne číslo, pre ktoré platí a \leq \frac{a+b}{2} \leq b
  3. Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché. 
    • Stačí si uvedomiť, že pre stred S úsečky AB platí vzťah |AS|=|SB|.
  4. K úplnosti dôkazu je potrebné ukázať, že platí rovnosť \frac{a+b}{2} = \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}
Nech \leq je relácia usporiadania na množine M . Ak pre každé dva prvky x,y \in M s vlastnosťou x < y existuje prvok z taký, že x < z < y , tak množina M sa nazýva husto usporiadaná.
Keďže pre aritmetický priemer AP(a,b) racionálnych čísel a \leq b platí a \leq AP(a,b) \leq b, tak platí aj nasledujúce tvrdenie:
Množina racionálnych čísel je husto usporiadaná.
\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci