Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel $(a,b),(c,d)$ sú v relácii, ak platí rovnosť $a \cdot d=c \cdot b$ (súčin prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčinu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).

1. Nech $R$ je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech $(x,x)∈Z×N$ je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí $(x,x)R(x,x)$, lebo platí $x \cdot x=x \cdot x$. Odkiaľ dostaneme, že relácia $R$ je reflexívna.
2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii $(a,b)R(c,d)$. 
• Tento vzťah je ekvivalentný s rovnosťou: $a \cdot d=c \cdot b$. 
• Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: $c \cdot b=a\cdot d$. 
• To je ekvivalentné so vzťahom $(c,d)R(a,b)$, preto platí: relácia $R$ je symetrická. 
3. Nech platí $(a,b)R(c,d)$ a zároveň $(c,d)R(e,f)$. 
• Z definície relácie $R$ vyplýva, že musí platiť $a \cdot d=c \cdot b$ a zároveň $c \cdot f=e \cdot d$. 
• ... 
• Teraz stačí aplikovať ... To znamená, že relácia $R$ je tranzitívna.