Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Veta 5 - asociatívnosť sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small a,b,c\in N$ platí: $\small a+(b+c)=(a+b)+c$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $c \in N$.

1. Pre $c=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť $a+(b+1)=(a+b)+1$
Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
$a+(b+1)\overset{def}{=} a+b' \overset{Axiom5}{=} (a+b)'$.
Pre pravú stranu z definície následníka dostaneme
$(a+b)+1 \overset{def}{=} (a+b)'$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $a+(b+c)=(a+b)+c$ platí pre prirodzené číslo $c$.
Ukážeme, že platí aj pre $c+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
$a+(b+(c+1))=(a+b)+(c+1)$.
Pre pravú stranu po úprave dostaneme
$(a+b)+c' \overset{Ax5}{=} ((a+b)+c)'$
pre ľavú stranu dostaneme
$a+(b+c') \overset{Ax5}{=} a+(b+c)' \overset{Ax5}{=} (a+(b+c))'$
3. Podľa indukčného predpokladu a axiómy III sa bude ľavá strana rovnať pravej strane
4. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 6.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small m,n\in N$ platí: $\small m+n'=m'+n$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $m \in N$

1. Pre $m=1$ zrejme platí rovnosť $1+n'=1'+n$ lebo
   Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
   $1+n'\overset{Ax5}{=} (1+n)'\overset{def}{=}(1+n)+1$
   Využitím komutatívnosti (Veta 3) pre ľubovoľné prirodzené číslo $x$ a asociatívnosti (Veta 5)
   dostaneme
   $(1+n)+1 \overset{V3}{=} 1+(1+n) \overset{V5}{=} (1+1)+n \overset{def}{=} 1'+n$
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $m+n' \overset{i.p.}{=} m'+n$ platí pre prirodzené číslo $m$.
   Ukážeme, že platí aj pre $m+1$, , čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $(m+1)+n'=(m+1)'+n$.
   Pre pravú stranu po úprave dostaneme
   $(m+1)'+n \overset{def}{=} (m+1)+1+n \overset{V3}{=} (m+1)+(n+1) \overset{def}{=} (m+1)+n'$
   
3. To znamená, že pravá strana sa rovná ľavej. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 7- asociatívnosť násobenia.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small a,b,c\in N$ platí: $a \cdot (b \cdot c )=(a \cdot b) \cdot c$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $c \in N$

1. Pre $c=1$ zrejme platí rovnosť $a \cdot (b \cdot 1)=(a \cdot b ) \cdot 1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b ) \cdot c$ platí pre prirodzené číslo $c$. Ukážeme, že platí aj pre $c'=c+1$ 
   $a \cdot (b \cdot (c'))=(a \cdot b ) \cdot (c')$.
   Aplikujeme axiómu VII na súčin na ľavej strane 
   $a \cdot (b \cdot (c'))= a \cdot (b \cdot c +b)$
   a po využití disributívnosti súčinu dostaneme
   $a(b \cdot c + b)=ab( c +1)=ab \cdot c'$.
   
3. Tým je dôkaz ukončený.

Poznámky.
    1) Distributívnosť násobenia zľava k sčítaniu ľahko dokážeme pomocou matematickej indukcie priamo zo VII. axiómy.
    2) O distributívnosti násobenia sprava k sčítaniu hovorí nasledujúca veta.

Veta 7.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small m,n\in N$ platí: $\small m' \cdot n=m.n+n$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $n \in N$

1. Pre $n=1$ zrejme platí rovnosť $m' \cdot 1=m.1+1$ lebo
   $m' \cdot 1 =m'=m+1=m.1+1$
2. Predpokladajme, že rovnosť
   $m' \cdot n=m.n+n$
   platí pre prirodzené číslo $n$. Ukážeme, že platí aj pre $n+1=n'$, čo je ekvivalentné rovnosti
   $m'\cdot n'=m.n'+n'$.
   Ľavá strana po aplikovaní distributívnosti zľava resp. axiómy VII
   $m' \cdot n'= m'(n+1)=m'.n+m'$
   následne využitím indukčného predpokladu a komutatívnosti dostaneme
   $m'.n+m'=(m.n+n)+(m+1)=(m.n+m)+(n+1)=m . n'+n'$
3. Tým je dôkaz ukončený.