Konštrukcia číselných oborov - prirodzené čísla

Prirodzené čísla si ľudia utvárali pri skúmaní vzťahov medzi skupinami reálnych objektov. Pri skúmaní vzťahov medzi skupinami objektov sa abstrahovalo od veľkosti, farby a ďalších vlastností, ale podstatné bolo len to, či predmety dvoch súborov možno zoradiť do dvojíc.
Za najdôležitejšie zistenie pri „počítaní objektov“ bol objav ľudstva, pomocou ktorého dokázali odpovedať na otázku:

V ktorej skupine je menej, viac resp. rovnako objektov?

Z histórie vývoja matematiky sú známe tzv. vrubovky , ktoré slúžili na primitívne určovanie počtu prvkov v skupine. Jedna z najstarších vruboviek bola objavená na Morave v roku 1936.
V siedmom storočí nášho letopočtu indo-arabská matematika zaviedla desiatkovú číselnú sústavu.
Napriek takýmto významným pokrokom sa mnoho storočí nedarilo vytvoriť axiomatickú teóriu prirodzených čísel. Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov.

Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov.

Ani zavedenie desiatkovej číselnej sústavy v 7. storočí ani značný pokrok v oblasti aritmetiky v 12. až 19. storočí, matematikom sa nedarilo vytvoriť axiomatickú teóriu prirodzených čísel.
Geometriu pritom axiomaticky spracoval už Euklides vo svojich Základoch okolo roku 300 pred Kristom. Dokonca Leopold Kronecker (nemecký matematik 1823 - 1891) pri jednej prednáške roku 1886 povedal slávnu vetu:

Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je ľudské dielo.¹⁾

Tieto problémy vyriešil až v 20. storočí G. Peano, ktorý zaviedol prirodzené čísla axiomaticky. Giuseppe Peano (1858 - 1932) bol taliansky matematik, filozof a logik. Bol jedným zo zakladateľov modernej matematickej logiky a výrazne sa podieľal na vzniku teórie množín. Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených čísel, ktorý budeme na jeho počesť nazývať Peanova aritmetika .

Teoretická aritmetika pri zavadzaní a rozširovaní číselných oborov kladie dôraz predovšetkým na:

1. Konštrukciu („vytvorenie“) číselnej množiny („nosiča“).
2. Zavedenie operácií sčítania a násobenia na tejto množine.
3. Popísanie základných vlastností aritmetických operácií.

Zavedenie nového číselného oboru znamená, že v prvom rade musíme

• upopísať spôsob ako vytvoríme konkrétny typ čísla.
• začneme vytvorením množiny prirodzených čísel.
• pri každej ďalšej konštrukcii nového číselného oboru budeme už vychádzať zo známych číselných oborov.

Uvedieme zjednodušenú ukážku konštrukcie číselného oboru racionálnych čísel, ak už poznáme prirodzené čísla i celé čísla a vieme sčítať a vynásobiť ľubovoľné dve prirodzené čísla i celé čísla.

Nech $\small q \in N$ je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a $\small p \in Z$ je ľubovoľné celé číslo. Množinu racionálnych čísel $\small Q$ môžeme zaviesť pomocou relácie ekvivalencie na množine všetkých usporiadaných dvojíc celých čísel.
Takéto dvojice $\small [p,q]$ môžeme interpretovať aj ako zlomky $\small \frac{p}{q}$.

1. Na množine zlomkov $\small Q= \lbrace{ \frac{a}{b}; a \in Z \wedge b \in N^+}\rbrace$ potom definujme rovnosť zlomkov takto: $\small \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \Leftrightarrow a.y=b.x$
2. Ukážte, že rovnosť zlomkov je relácia ekvivalencie, ktorá množinu všetkých zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín.
3. Popíšte tento rozklad.
• Napríklad trieda rozkladu, ktorá obsahuje zlomok $\small 1/2$ bude obsahovať aj zlomky $\small 2/4,3/6,...$.
• Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú.
• Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a vyhlásiť ho za racionálne číslo.
4. Za „reprezentanta“ racionálneho čísla zvolíme každý zlomok $\small \frac{p}{q}$ , ktorý je v základnom tvare. Teda, keď čísla $\small p,q$ sú nesúdeliteľné a zárove $\small q>0$. Inými slovami, ak zlomok $\small \frac{p}{q}$ už nemôžeme krátiť.
5. Množina racionálnych čísel $\small Q$ je množina všetkých zlomkov v základnom tvare.
   Uveďme aj matematický zápis takejto množiny:$\small Q= \lbrace{ \frac{p}{q}; p \in Z \wedge q \in N^+ \wedge D(p,q)=1}\rbrace$
6. Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel potom môžeme zaviesť pomocou pravidiel na súčet a súčin zlomkov. Definujte tieto operácie.

Poznámka.
Takýto spôsob zavedenia racionálnych čísel pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so zlomkami. Pozri Fraction Book.

Cvičenie.
Popíšte číselný obor, ak relácia $\small R \subset N \times N^+$ je daná vzťahom: $\small (m,n) \in R \Leftrightarrow \frac{m-n}{5}$ je celé číslo. (Číslo 5 delí rozdiel $\small m-n$ .)

Východiskovým pojmom Peanovej aritmetiky je prirodzené číslo.

Prirodzené číslo nedefinujeme, podobne ako v euklidovskej geometrii nedefinujeme bod. Takéto východisko pripomína Kroneckerov výrok, že prirodzené sú dané vopred a mi im pripisujeme len nejaké vlastnosti.
Peanova aritmetika si kladie za cieľ vedecky popísať vnútornú štruktúru množiny všetkých prirodzených čísel a zároveň popísať operácie sčítanie a násobenie na tejto množine.

Poznámka.
Giuseppe Peano (1858 - 1932) bol taliansky matematik, bol jedným zo zakladateľov modernej matematickej logiky a podieľal sa na vzniku teórie množín.
Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených čísel, ktorý dnes nazývame Peanova aritmetika.

Existuje množina prirodzených čísel $\small N$ a funkcia $\small \nu: N \rightarrow N$ nasledovník

Funkcia nasledovník spĺňa nasledujúce tri vlastnosti - axiómy

1. Ku každému prirodzenému číslu $\small n$ existuje jediný nasledovník $\small \nu(n)= n' \in N$.
2. Existuje práve jedno prirodzené číslo > $\small 0$, ktoré nie je nasledovníkom žiadneho prirodzeného čísla.
3. Každé dve rôzne prirodzené čísla majú dvoch rôznych nasledovníkov.

Definícia.
Prirodzené číslo, o ktorom hovorí druhá axióma označujeme symbolom $0$ a nazývame nula. Nasledovník nuly $0'$ označíme arabskou číslicou $1$.

Poznámky.

1.  Podobne budeme postupovať pri ďalších nasledovníkoch. Teda budeme používať označenie: $0'=1,1'=2,2'=3, ...$ 
2. Tretia axióma hovorí, že nasledovník je prosté zobrazenie $N→N$.
3. Pripomeňme, že v prvom ročníku na základnej škole deti sa začínajú najskôr zoznamovať s číslami $1,2,3,4,5,6$ a až potom sa stretnú s pojmom nula.

Súčet - ku každým dvom prirodzeným číslam $m,n$ existuje prirodzené číslo $m+n$ nazývané súčet týchto čísel

Súčet dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy

Axióma IV

Nula $0$ je neutrálny prvok vzhľadom na súčet prirodzených čísel. Symbolicky $\forall m \in N: m+0=m$.

Axióma V 

Pre sčítanie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: $\forall m,n \in N: m+n'=(m+n)'$. 

Poznámky.

1. Axióma V je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje sčitovať prirodzené čísla neobmedzene.
2. Všimnime si, že pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Peano vychádzal z existencie čísla nula a existencie funkcie nasledovník.
3. Ak v axióme V položíme $n=0$ , tak dostaneme: $m+0'=(m+0)'=m'=m+1$.

Cvičenie.
Vypočítajte: $3+2$.

Riešenie

1. Zrejme pre prirodzené číslo $2$ platí $2=1'$ .
2. Po dosadení $1'$ za číslo $2$ dostaneme $3+2=3+1'$. 
3. Aplikovaním axiómy V dostaneme $3+2=3+1'=(3+1)'$. 
   
4. Opätovným dosadením $0'$ za číslo $1$, dostaneme $3+2=(3+0')'=[(3+0)']'=[3']'=4'=5$.

Definícia.
Súčin - ku každým dvom prirodzeným číslam $m, n$ existuje prirodzené číslo $m \cdot n$ nazývané súčin týchto čísel .

Súčin dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy

Axióma VI

Nula $0$ je agresívny prvok vzhľadom na súčin prirodzených čísel. Symbolicky $\forall m \in N: m \cdot 0=0$.

Axióma VII 

Pre násobenie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: $\forall m,n \in N: m \cdot n'=m \cdot n + m$. 

Poznámky.

1. Axióma VII je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje násobiť prirodzené čísla neobmedzene.
2. Podobne ako pri súčte, axiómy VI a VII definujú súčin ľubovoľného prirodzeného čísla a nuly resp. nasledovníka.
3. V axióme VII je skrytý súčin $m \cdot (n+1)$ , ktorý v súlade s pravidlami v matematike (distributívnosť) chceme, aby sa rovnal súčtu $mn \cdot +m$.

Cvičenie.
Vypočítajte: $3 \cdot 2$.

Riešenie

1. Zrejme pre prirodzené číslo $2$ platí $2=1'$ .
2. Po dosadení $1'$ za číslo $2$ dostaneme $3 \cdot 2=3 \cdot 1'$. 
3. Aplikovaním axiómy VII dostaneme $3 \cdot 2=3 \cdot 1'=(3 \cdot 1+3)$. 
   
4. Opätovným dosadením $0'$ za číslo $1$, dostaneme $3 \cdot 2=3 \cdot 1+3=3 \cdot 0'+3=(3 \cdot 0+3)+3=3 + 3=6$.

Definícia.
Matematická indukcia

Axióma VIII

Ak $M$ je množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje nulu $(0 \in M )$ a zároveň pre každé prirodzené číslo $\forall n \in N$ platí:
[$n \in M \Rightarrow n' \in M$] potom $M=N$.

Poznámka.
Axiómu VIII môžeme formulovať aj pomocou jazyka výrokovej logiky.

Nech $\phi(n)$ je výroková formula jazyka prirodzených čísel, ktorej premenná $n$ má definičný obor množinu prirodzených čísel $N$. Ďalej, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky

•      1. Pre $n=0$ výrok $\phi (0)$ je pravdivý.
•      2. Ak formula $[\forall n (\phi (n) \Rightarrow \phi (n'))]$ je tautológia.

Potom $\phi (n)$ platí pre všetky prirodzené čísla.

Cvičenie.
Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí:$1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$

Riešenie

1. Nech $n=1$, potom ľavá strana je rovná 1 a pravá $1^2=1$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)=k^2$ platí pre $\forall k < n$. 
3. Ukážeme, že platí aj pre  $(k+1) \in N$:
• Počítajme  $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)+ (2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$
4. Podľa axiómy o matematickej indukcii dostávame, že rovnosť $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2$ platí pre všetky prirodzené čísla.
   

Veta 1.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n=0+n$.

Dôkaz.

1. Pre $n=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $1= 0+1$.
   Upravujme pravú stranu rovnosti
   $0+1\overset{def.}{=} 0+0' \overset{Axiom V}{=}(0+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0' \overset{def.}{=} 1$,
   čo je ľavá strana rovnosti.
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $n \overset{i.p.}{=} 0+n$ platí pre prirodzené číslo $n$.
   Musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $n+1= 0+(n+1)$.        (1)
Zrejme pre ľavú stranu rovnosti (1) platí
$n+1 \overset{def.}{=} (n+0') \overset{Axiom V}{=} (n+0)' \overset{Axiom IV}{=} n' \overset{def.}{=} n+1$ .
3. Zároveň úpravou pravej strany rovnosti (1) dostaneme
   $0+(n+1) \overset{def.}{=} 0+(n+0') \overset{Axiom V}{=} 0+(n+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0+n' \overset{Axiom V}{=} (0+n)' \overset{i.p.}{=} n'=n+1$.
4. Tým je dôkaz ukončený.

Symbol v dôkazoch pre indukčný predpoklad: $\overset{i.p.}{=}$.

Veta 2.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small 0=0 \cdot n$.

Dôkaz

1. Pre $n=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť: $0= 0 \cdot n$.
Z axiómy VI vieme, že platí
$0= 1 \cdot 0$.
Jednotka je nasledovník nuly, teda platí $0 \cdot 1=0 \cdot 0'=0 \cdot 0+0=0$. Teda násobenie nuly a jednotky je komutatívne
$0=1 \cdot 0=0 \cdot 1$.
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $0= 0 \cdot n$ platí pre prirodzené číslo $n$. Musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$:
   $0= 0 \cdot (n+1)$.
   Upravujme pravú stranu rovnosti
   $0 \cdot (n+1) \overset{def.}{=} 0 \cdot (n+0') \overset{Axiom V}{=} 0 \cdot (n+0)' = 0 \cdot n'= 0 \cdot n + 0 \overset{i.p.}{=} 0+0=0$ .
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 3.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n+1=1+n$.

Dôkaz.

1. Vo vete 1 sme ukázali, že pre $n=1$ platí rovnosť: $1= 0+1$
• z axiómy IV vieme, že platí $1= 1+0$
• z toho vyplýva, že sčítanie nuly a jednotky je komutatívne, preto platí $1=1+0=0+1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $n+1= 1+n$ platí pre prirodzené číslo $n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $(n+1)+1= 1+(n+1)$
• pre pravú stranu platí $1+(n+1)=1+n'=(1+n)'=(n+1)'=(n+1)+1$, čo je ľavá strana rovnosti
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 4.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo $\small n\in N$ platí: $\small n=n \cdot 1= 1 \cdot n$.

Dôkaz.

1. Musíme ukázať, že platí rovnosť: $1= 1 \cdot 1$
• z axiómy VII vieme, že platí $1 \cdot 1= 1 \cdot 0'=1 \cdot 0 +1=0+1=1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $n= n \cdot 1$ platí pre prirodzené číslo $n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $n+1= (n+1) \cdot 1$
• pre pravú platí $(n+1) \cdot 1=(n+1) \cdot 0'=(n+1) \cdot 0 +(n+1)=n+1$
3. Predpokladajme, že rovnosť $n= 1 \cdot n$ platí pre prirodzené číslo $n$
• musíme ukázať, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné rovnosti $n+1= 1 \cdot (n+1)$
• zrejme platí $1 \cdot (n+1)=1 \cdot n'=1 \cdot n +1=n+1$ 
4. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 5 - asociatívnosť sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small a,b,c\in N$ platí: $\small a+(b+c)=(a+b)+c$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $c \in N$.

1. Pre $c=1$ musíme ukázať, že platí rovnosť $a+(b+1)=(a+b)+1$
Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
$a+(b+1)\overset{def}{=} a+b' \overset{Axiom5}{=} (a+b)'$.
Pre pravú stranu z definície následníka dostaneme
$(a+b)+1 \overset{def}{=} (a+b)'$.
2. Predpokladajme, že rovnosť $a+(b+c)=(a+b)+c$ platí pre prirodzené číslo $c$.
Ukážeme, že platí aj pre $c+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
$a+(b+(c+1))=(a+b)+(c+1)$.
Pre pravú stranu po úprave dostaneme
$(a+b)+c' \overset{Ax5}{=} ((a+b)+c)'$
pre ľavú stranu dostaneme
$a+(b+c') \overset{Ax5}{=} a+(b+c)' \overset{Ax5}{=} (a+(b+c))'$
3. Podľa indukčného predpokladu a axiómy III sa bude ľavá strana rovnať pravej strane
4. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 6.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small m,n\in N$ platí: $\small m+n'=m'+n$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $m \in N$

1. Pre $m=1$ zrejme platí rovnosť $1+n'=1'+n$ lebo
   Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
   $1+n'\overset{Ax5}{=} (1+n)'\overset{def}{=}(1+n)+1$
   Využitím komutatívnosti (Veta 3) pre ľubovoľné prirodzené číslo $x$ a asociatívnosti (Veta 5)
   dostaneme
   $(1+n)+1 \overset{V3}{=} 1+(1+n) \overset{V5}{=} (1+1)+n \overset{def}{=} 1'+n$
2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť $m+n' \overset{i.p.}{=} m'+n$ platí pre prirodzené číslo $m$.
   Ukážeme, že platí aj pre $m+1$, , čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $(m+1)+n'=(m+1)'+n$.
   Pre pravú stranu po úprave dostaneme
   $(m+1)'+n \overset{def}{=} (m+1)+1+n \overset{V3}{=} (m+1)+(n+1) \overset{def}{=} (m+1)+n'$
   
3. To znamená, že pravá strana sa rovná ľavej. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 7- asociatívnosť násobenia.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small a,b,c\in N$ platí: $a \cdot (b \cdot c )=(a \cdot b) \cdot c$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $c \in N$

1. Pre $c=1$ zrejme platí rovnosť $a \cdot (b \cdot 1)=(a \cdot b ) \cdot 1$
2. Predpokladajme, že rovnosť $a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b ) \cdot c$ platí pre prirodzené číslo $c$. Ukážeme, že platí aj pre $c'=c+1$ 
   $a \cdot (b \cdot (c'))=(a \cdot b ) \cdot (c')$.
   Aplikujeme axiómu VII na súčin na ľavej strane 
   $a \cdot (b \cdot (c'))= a \cdot (b \cdot c +b)$
   a po využití disributívnosti súčinu dostaneme
   $a(b \cdot c + b)=ab( c +1)=ab \cdot c'$.
   
3. Tým je dôkaz ukončený.

Poznámky.
    1) Distributívnosť násobenia zľava k sčítaniu ľahko dokážeme pomocou matematickej indukcie priamo zo VII. axiómy.
    2) O distributívnosti násobenia sprava k sčítaniu hovorí nasledujúca veta.

Veta 7.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small m,n\in N$ platí: $\small m' \cdot n=m.n+n$.

Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $n \in N$

1. Pre $n=1$ zrejme platí rovnosť $m' \cdot 1=m.1+1$ lebo
   $m' \cdot 1 =m'=m+1=m.1+1$
2. Predpokladajme, že rovnosť
   $m' \cdot n=m.n+n$
   platí pre prirodzené číslo $n$. Ukážeme, že platí aj pre $n+1=n'$, čo je ekvivalentné rovnosti
   $m'\cdot n'=m.n'+n'$.
   Ľavá strana po aplikovaní distributívnosti zľava resp. axiómy VII
   $m' \cdot n'= m'(n+1)=m'.n+m'$
   následne využitím indukčného predpokladu a komutatívnosti dostaneme
   $m'.n+m'=(m.n+n)+(m+1)=(m.n+m)+(n+1)=m . n'+n'$
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 8 - komutatívnosť sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small m,n\in N$ platí: $\small m+n=n+m$.

Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $n \in N$

1. Pre $n=1$ podľa vety 3 platí rovnosť: $m+1= 1+m$
2. Predpokladajme, že rovnosť
   $m+n \overset{i.p.}{=} n+m$
   platí pre prirodzené číslo $n$. Ukážeme, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $m+(n+1)= (n+1)+m$.
   Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
   $m+(n+1) \overset{def}{=} m+n' \overset{Axiom V }{=} (m+n)'$
   Využitím dôsledku 1 dostaneme pre pravú stranu $n'+m \overset{D1}{=} n+m' \overset{Axiom V }{=} (n+m)'=(m+n)'$
3. Tým je dôkaz ukončený.

Veta 9 - komutatívnosť násobenia.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla $\small n\in N$ platí: $\small m \cdot n=n \cdot m$.

Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na $n \in N$

1. Pre $n=1$ platí rovnosť: $m \cdot 1= 1 \cdot m$ - vlastnosť jednotky
2. Predpokladajme, že rovnosť
   $m \cdot n \overset{ip}{=} n \cdot m$
   platí pre prirodzené číslo $n$. Ukážeme, že platí aj pre $n+1$, čo je ekvivalentné s rovnosťou
   $m \cdot (n+1)= (n+1) \cdot m$ resp. s rovnosťou
   $m \cdot n'= n' \cdot m$.
   Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
   $m\cdot n' \overset{Axiom VII }{=} m.n+m$ .
   Využitím dôsledku 2 dostaneme pre pravú stranu
   $n' \cdot m \overset{D2 }{=} n.m+m \overset{i.p.}{=} m.n+m$.
3. Tým je dôkaz ukončený.