Vytlačiť celú knihuVytlačiť celú knihu

Budovanie číselných oborov

Portál: Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz: Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie
Kniha: Budovanie číselných oborov
Vytlačil(a): Hosťovský používateľ
Dátum: štvrtok, 4 júna 2026, 01:54

Obsah

Úvod

Aritmetika.
Aritmetika (z gréckeho slova arithmós - číslo) je odbor matematiky, ktorý študuje čísla, ich vzťahy a vlastnosti. Predmetom aritmetiky sú číselné obory (prirodzené, celé, racionálne, reálne a komplexné čísla) a ich vlastnosti. Aritmetika je najstaršia zo základných matematických vied, úzko súvisí s algebrou, geometriou a teóriou čísel.
Aritmetika sa zaoberá predovšetkým operáciami s číslami. Hlavnými operáciami aritmetiky sú:
  1. Sčítanie, ktoré slúži na spočítanie dvoch alebo viacerých čísel. Táto operácia patrí medzi základné operácie aritmetiky a je intuitívna už pre malé deti, pretože vyjadruje prirodzený proces pridávania mnohosti. Výsledkom sčítania je ich súčet.
  2. Odčítanie, je základná matematická operácia, ktorá vyjadruje rozdiel medzi dvoma číslami. Ide o proces, pri ktorom od jedného čísla (menšenca) odoberáme iné číslo (menšiteľ). Výsledkom odčítania je rozdiel.
  3. Násobenie reprezentuje opakované sčítanie rovnakého čísla. Násobenie predstavuje proces opakovaného sčítania rovnakého čísla. Násobenie patrí medzi základné operácie aritmetiky a hrá kľúčovú úlohu v mnohých matematických disciplínach. Výsledok násobenia sa nazýva súčin.
  4. Delenie, ktoré zisťuje, koľkokrát jedno číslo obsahuje iné. Delenie predstavuje proces rozdeľovania množiny alebo hodnoty na rovnaké časti. Výsledkom delenia je podiel. Ak máme dve čísla a (delenec) a b (deliteľ), delenie zapisujeme aj v tvare zlomku  \frac{a}{b} =c , kde 𝑐 je podiel.
Aritmetika tvorí základ pre mnoho ďalších matematických disciplín.
Teoretická aritmetika.
Je oblasť matematiky, ktorá sa špecificky zameriava na hlbšie pochopenie základov a vlastností číselných systémov, operácií s číslami a ich aplikácií.
V tejto publikácii sa zameriame na oblasti teoretickej aritmetiky, ktoré sú určené pre budúcich učiteľov matematiky: Naším cieľom je poskytnúť študentom potrebné teoretické aj didaktické poznatky na efektívne vyučovanie aritmetiky na základných a stredných školách. Zameriame sa na:
  1. Základy číselných systémov.
         História vývoja číselných oborov.
         Budovanie číselných oborov (od prirodzených čísel po reálne čísla). Komplexné čísla a ich vlastnosti.

  2. Operácie sčítanie a násobenie na číselnom obore, zavedenie a ich vlastnosti:
         Základné zákonitosti a ich dôkazy.
         Asociatívny, komutatívny a distributívny zákon. Inverzné a neutrálné prvky pre operácie.
         Rôzne číselné sústavy (desiatková, dvojková, šesťdesiatková atď.).
  3. Teória deliteľnosti.
         Prvočísla a zložené čísla, Euklidov algoritmus.
         Najväčší spoločný deliteľ (NSD) a najmenší spoločný násobok (NSN). Kongruencie a modulárna aritmetika.
  4. Didaktický rozmer predmetu.
         Metódy výučby aritmetiky na základných a stredných školách.
         Použitie vizuálnych pomôcok, digitálnych nástrojov a hier vo výučbe.
         Diagnostiku a podporu žiakov pri zvládaní základných aritmetických operácií.
         Riešenie typických problémov, s ktorými sa žiaci stretávajú pri chápaní čísiel a operácií.
  5. Hlavným cieľom teoretickej aritmetiky je pripraviť študentov na to, aby dokázali:
         Pochopiť a vysvetliť základné aritmetické koncepty.
         Kriticky analyzovať problémy súvisiace s aritmetikou.
         Efektívne a tvorivo vyučovať aritmetiku s dôrazom na porozumenie a logické myslenie žiakov.
\( .\)

Historický vývoj aritmetiky

1. Pravek
Prvé predstavy o čísle pochádzajú už z dávneho obdobia staršej doby kamennej, paleolitu. Sú nerozlučne spojené s obdobím, keď na začiatku štvrtohôr začína človek získavať pomocou nástrojov prostriedky k obžive.
Archeologické vykopávky potvrdzujú, že človek vytvoril prvé aritmetické pojmy už v dobe kamennej. Za prvý dôkaz, že človek už vedel počítať sa považujú vrubovky.
2. Egypt a Babylon
Egypťania a Babylončania (2000 – 500 pred n. l.) používali všetky základné aritmetické operácie už v roku 2000 pred Kristom. Hieroglyfický systém pre egyptské číslice vychádzal zo sčítacích značiek používaných na počítanie. Tento pôvod viedol k hodnotám, ktoré používali desatinný základ, ale nezahŕňali pozičný zápis. Babylončania používali šesťdesiatkový systém.
   
Egypt číselná sústava - odkaz Tu.Babylon číselná sústava - odkaz Tu.
Babylončania a Egypťania poznali základné vlastnosti operácií s prirodzenými číslami, ako je komutatívnosť, asociatívnosť a distributívnosť. Tiež skúmali niektoré vlastnosti súvisiace s deliteľnosťou v obore prirodzených čísel. Nepoznali pojem prvočísla, nebol im známy explicitne. Ich poznatky boli zamerané skôr na praktické výpočty a zlomky.
3. Grécko
Nepretržitý vývoj modernej aritmetiky nastal s érou Gréckej civilizácie. Euklides zhromaždil všetky znalosti tej doby z matematiky a napísal knihu Základy. Jeho práca obsahuje nielen geometriu, ale sú tu zhrnuté všetky výsledky bádania v oblasti matematiky.
Na vznik matematických pojmov a operácií s nimi, pôsobili praktické podnety (obchod, peňažníctvo, zememeračstvo, moreplavby, astronómia...). Starovekým Grékom až do helenistického obdobia chýbal symbol pre nulu a ako číslice používali tri samostatné sady symbolov: jednu pre jednotky, jednu pre desiatky a jednu pre stovky. Pre tisícky by znovu použili symboly pre umiestnenie jednotiek atď. Algoritmus pre sčítanie, odčítanie a delenie bol rovnaký ako dnešný, len algoritmus násobenia sa mierne líšil.
Euclid definoval prvočísla ako čísla deliteľné iba jednotkou a samým sebou. Sformuloval vetu o nekonečnosti prvočísel, ktorú aj dokázal. Uviedol algoritmus na hľadanie najväčšieho spoločného deliteľa (Euklidov algoritmus), čo je základom pre neskoršie pochopenie rozkladu čísel.
Diófantos z Alexandrie (3. storočie n. l.) vo svojom diele Arithmetica sa zaoberal číselnými rovnicami, čím prispel k štúdiu aritmetiky. Diófantos bol známy ako „otec algebry“ a jeho dielo Arithmetica obsahovalo mnoho problémov týkajúcich sa rovníc s celočíselnými koeficientami, ktoré súvisia s deliteľnosťou a aritmetikou. Tieto rovnice dodnes nesú jeho meno - diofantické rovnice. Pozrite si prácu [PAS a kol., 2010] kapitolu 3. Lineárne Diofantické rovnice.
4. Rím
Komplexné výpočty s rímskymi číslicami si na získanie výsledkov vyžadovali pomoc počítacej dosky (alebo rímskeho počítadla). Skoré číselné systémy, ktoré obsahovali pozičný zápis, neboli desiatkové, vrátane šesťdesiatkového (základ 60) systému pre babylonské číslice a vigezimálneho (základ 20) systému, ktorý definoval mayské číslice. Vďaka tomuto konceptu hodnoty miesta prispela možnosť opätovného použitia rovnakých číslic pre rôzne hodnoty k jednoduchším a efektívnejším metódam výpočtu.
       
rímske číslice rímske počítadlo - aktivuj Tu abakus
5. Staroveká Čína
Starovekí Číňania mali pokročilé aritmetické štúdie od základných čísel po pokročilú algebru, ktoré sa datujú od dynastie Shang. Používali pozičnú sústavu podobnú gréckej. Taktiež nepoznali symbol pre nulu. Ich symboly boli založené na starovekých prútoch. Boli prví, ktorí pochopili a začali používať záporné čísla.
6. Stredoveké a islamské obdobie (3. – 14. storočie)
V stredoveku bola aritmetika zaradená medzi sedem slobodných umení. Na základe praktického používania aritmetiky, mali význam približné výpočty iracionálnych čísel, ktoré boli nevyhnutné pre geometrické konštrukcie.
Aritmetika sa vyvíjala v Indii a krajinách islamu, odkiaľ najnovšie úspechy tej doby v oblasti matematického myslenia prenikli do západnej Európy. Vyvinuli pozičný číselný zápis a zaviedli symbol pre nulu. V siedmom storočí zaviedol matematik Brahmaputra používanie nuly ako samostatného čísla a určil výsledky pre všetky operácie s nulou okrem výsledku delenia nulou. Al-Chvárizmí (9. storočie) publikoval práce o algebraických algoritmoch (odkiaľ pochádza slovo "algoritmus") rozšírili aritmetiku.
Bolo zavedených 9 arabských číslic, ktoré práve Leonardo Pisánsky rozšíril do celej Európy prostredníctvom svojej knihy Liber Abaci v roku 1202. Napísal: "metóda Indov prevyšuje akúkoľvek známu metódu výpočtov. Je to úžasná metóda, pomocou ktorej sú robené výpočty pomocou deviatich číslic a symbolu nula."
 Leonardo Pisánsky            ukážka z knihy Liber Abaci
Rozkvet algebry v stredovekom islamskom svete a tiež v renesančnej Európe bol výsledkom obrovského zjednodušenia výpočtov prostredníctvom desatinného zápisu.
V stredoveku v Európe rozvoj matematiky stagnoval, no arabskí a indickí matematici (napr. Al-Chvárizmí, 9. storočie) rozvíjali číselnú symboliku a algoritmy.
7. Renesancia, novovek a moderná doba
Na začiatku 17. storočia vynašiel John Napier logaritmy a Fermat potom oddelil teóriu čísel do nezávislej vetvy aritmetiky. Pre numerické výpočty boli vynájdené a široko používané rôzne typy nástrojov - mechanické kalkulačky.
V období renesancie Pierre de Fermat (1607 – 1665) uvádza poznámky na okrajoch svojich matematických kníh k teórii čísel. Dokázal základné vety o deliteľnosti, ktoré neskôr viedli k formalizácii rozkladu čísel.
Leonhard Euler (1707 – 1783) systematizoval Fermatove objavy a položil základy modernej teórie čísel. Sformuloval základnú vetu aritmetiky a skúmal, ako vlastnosti prvočísel ovplyvňujú rôzne štruktúry.
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) v knihe Disquisitiones Arithmeticae (1801) dôkladne dokázal základnú vetu aritmetiky. Základná veta aritmetiky ostáva kľúčovou súčasťou teórie čísel. Uplatňuje sa nielen v kryptografii, ale aj vo vývoji počítačových algoritmov a aplikáciách, ktoré podporujú moderné technológie. sformuloval základnú vetu aritmetiky a skúmal, ako vlastnosti prvočísel ovplyvňujú rôzne štruktúry.
Gauss zaviedol pojem jednoznačného rozkladu na prvočísla ako základný princíp aritmetiky. Jeho práce mali zásadný vplyv na ďalší vývoj algebraickej a aritmetickej teórie.
K axiometrickému vybudovaniu aritmetiky dochádza až v 19. storočí. Na Bolzanovom pojme množín, vybudoval Georg Cantor teóriu kardinálnych a ordinálnych čísel. Na začiatku 20. storočia Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teórie množín, ktorá sa stala okrem iného aj základom pri výstavbe aritmetiky. Giuseppe Peano (1858 –1932) zaviedol obor prirodzených čísel pomocou axióm, ktoré na jeho počesť nazývame Peanove axiómy resp. Peanova aritmetika.
\( .\)

Prirodzené čísla

Prirodzené čísla si ľudia utvárali pri skúmaní vzťahov medzi skupinami reálnych objektov. Pri skúmaní vzťahov medzi skupinami objektov sa abstrahovalo od veľkosti, farby a ďalších vlastností, ale podstatné bolo len to, či predmety dvoch súborov možno zoradiť do dvojíc.
Za najdôležitejšie zistenie pri „počítaní objektov“ bol objav ľudstva, pomocou ktorého dokázali odpovedať na otázku:
V ktorej skupine je menej, viac resp. rovnako objektov?
Z histórie vývoja matematiky sú známe tzv. vrubovky , ktoré slúžili na primitívne určovanie počtu prvkov v skupine. Jedna z najstarších vruboviek bola objavená na Morave v roku 1936.
V siedmom storočí nášho letopočtu indo-arabská matematika zaviedla desiatkovú číselnú sústavu.
Napriek takýmto významným pokrokom sa mnoho storočí nedarilo vytvoriť axiomatickú teóriu prirodzených čísel. Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov.
Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov.
Ani zavedenie desiatkovej číselnej sústavy v 7. storočí ani značný pokrok v oblasti aritmetiky v 12. až 19. storočí, matematikom sa nedarilo vytvoriť axiomatickú teóriu prirodzených čísel.
Geometriu pritom axiomaticky spracoval už Euklides vo svojich Základoch okolo roku 300 pred Kristom. Dokonca Leopold Kronecker (nemecký matematik 1823 - 1891) pri jednej prednáške roku 1886 povedal slávnu vetu:
Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je ľudské dielo.1)
Tieto problémy vyriešil až v 20. storočí G. Peano, ktorý zaviedol prirodzené čísla axiomaticky. Giuseppe Peano (1858 - 1932) bol taliansky matematik, filozof a logik. Bol jedným zo zakladateľov modernej matematickej logiky a výrazne sa podieľal na vzniku teórie množín. Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených čísel, ktorý budeme na jeho počesť nazývať Peanova aritmetika .
Teoretická aritmetika pri zavadzaní a rozširovaní číselných oborov kladie dôraz predovšetkým na:
  1. Konštrukciu („vytvorenie“) číselnej množiny („nosiča“).
  2. Zavedenie operácií sčítania a násobenia na tejto množine.
  3. Popísanie základných vlastností aritmetických operácií.
Zavedenie nového číselného oboru znamená, že v prvom rade musíme
  • upopísať spôsob ako vytvoríme konkrétny typ čísla.
  • začneme vytvorením množiny prirodzených čísel.
  • pri každej ďalšej konštrukcii nového číselného oboru budeme už vychádzať zo známych číselných oborov.
Uvedieme zjednodušenú ukážku konštrukcie číselného oboru racionálnych čísel, ak už poznáme prirodzené čísla i celé čísla a vieme sčítať a vynásobiť ľubovoľné dve prirodzené čísla i celé čísla.
1) E. T. Bell, Men of Mathematics. New York 1986, str. 477.
\( .\)

Príklad rozšírenia

Tvrdenie.
Nech \small q \in N je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a \small p \in Z je ľubovoľné celé číslo. Množinu racionálnych čísel \small Q môžeme zaviesť pomocou usporiadaných dvojíc celých čísel  \small [p,q] resp. ako zlomky \small \frac{p}{q} .
V časti Naivná a axiomatická teória množín uvádzame podrobný dôkaz tejto vety. Dôkaz je založený na nasledovnej schéme:
  1. Na množine zlomkov \small Q= \lbrace{ \frac{a}{b}; a \in Z \wedge b \in N^+}\rbrace potom definujme rovnosť zlomkov takto: \small \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \Leftrightarrow a.y=b.x
  2. Rovnosť zlomkov je relácia, ktorá množinu všetkých zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín.
  3. Popíšeme takýto rozklad.
    • Napríklad trieda rozkladu, ktorá obsahuje zlomok \frac{4}{8} bude obsahovať aj zlomky \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{4}, \dots , \pm \frac{10}{20}, , pretože všetky tieto zlomky majú rovnakú hodnotu. Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú.
    • Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a prehlásiť ho za racionálne číslo. Najjednoduchšia voľba je zlomok v základnom tvare. Napríklad pre racionálne číslo 0,5 môžeme symbolicky písať
      0.5=\frac{1}{2} \stackrel{\small \text{def}}{=} \mathrm{card}\left\{ \dots , -\frac{4}{8},-\frac{3}{6},-\frac{2}{4},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{2}{4}, \dots \right\}
      .
  4. Množina racionálnych čísel \small Q je množina všetkých zlomkov v základnom tvare.
    Matematický zápis takejto množiny je: \small Q= \lbrace{ \frac{p}{q}; p \in Z \wedge q \in N^+ \wedge D(p,q)=1}\rbrace .
  5. Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel potom zavedieme pomocou známych pravidiel pre súčet a súčin zlomkov.
Poznámky.
  1. Ukážte, že rovnosť zlomkov je relácia ekvivalencie, ktorá množinu všetkých zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín.
  2. Takýto spôsob zavedenia racionálnych čísel pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so zlomkami. Pozri Fraction Book.
Cvičenie.
Popíšte číselný obor, ak relácia \small R \subset N \times N^+ je daná vzťahom: \small (m,n) \in R \Leftrightarrow \frac{m-n}{5} je celé číslo. (Číslo 5 delí rozdiel \small m-n .)
\( .\)

Peanova aritmetika

Východiskovým pojmom Peanovej aritmetiky je prirodzené číslo.
Prirodzené číslo nedefinujeme, podobne ako v euklidovskej geometrii nedefinujeme bod. Takéto východisko pripomína Kroneckerov výrok, že prirodzené sú dané vopred a mi im pripisujeme len nejaké vlastnosti.
Peanova aritmetika si kladie za cieľ vedecky popísať vnútornú štruktúru množiny všetkých prirodzených čísel a zároveň popísať operácie sčítanie a násobenie na tejto množine.
Axiómy rozdelíme do štyroch skupín:
  1. Prvá skupina sa viaže na existenciu množiny prirodzených čísel. 
  2. Druhá skupina definuje binárnu operáciu sčítanie. 
  3. Tretia skupina definuje binárnu operáciu násobenie. 
  4. V štvrtá skupina popisuje princíp matematickej indukcie.
Poznámka.
Giuseppe Peano (1858 - 1932) bol taliansky matematik, bol jedným zo zakladateľov modernej matematickej logiky a podieľal sa na vzniku teórie množín.
Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených čísel, ktorý dnes nazývame Peanova aritmetika.
\( .\)

Prvá skupina

Existuje množina prirodzených čísel \small N a funkcia \small \nu: N \rightarrow N nasledovník
Funkcia nasledovník spĺňa nasledujúce tri vlastnosti - axiómy
  1. Ku každému prirodzenému číslu \small n existuje jediný nasledovník \small \nu(n)= n' \in N .
  2. Existuje práve jedno prirodzené číslo > \small 0, ktoré nie je nasledovníkom žiadneho prirodzeného čísla.
  3. Každé dve rôzne prirodzené čísla majú dvoch rôznych nasledovníkov.
Definícia (Nula).
Prirodzené číslo, o ktorom hovorí druhá axióma označujeme symbolom 0 a nazývame nula. Nasledovník nuly 0' označíme arabskou číslicou 1.
Poznámky.
  1.  Podobne budeme postupovať pri ďalších nasledovníkoch. Teda budeme používať označenie: 0'=1,1'=2,2'=3, ...  
  2. Tretia axióma hovorí, že nasledovník je prosté zobrazenie N→N.
  3. Pripomeňme, že v prvom ročníku na základnej škole deti sa začínajú najskôr zoznamovať s číslami 1,2,3,4,5,6 a až potom sa stretnú s pojmom nula.
\( .\)

Druhá skupina

Definícia (Súčet prirodzených čísel).
Ku každým dvom prirodzeným číslam \small m,n existuje prirodzené číslo \small m+n nazývané súčet týchto čísel.
Súčet dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy
Axióma IV
Nula \small 0 je neutrálny prvok vzhľadom na súčet prirodzených čísel. Symbolicky \small \forall m \in N: m+0=m .
Axióma V
Pre sčítanie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: \small \forall m,n \in N: m+n'=(m+n)' .
Poznámky.
  1. Axióma V je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje sčitovať prirodzené čísla neobmedzene.
  2. Všimnime si, že pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Peano vychádzal z existencie čísla nula a existencie funkcie nasledovník.
  3. Ak v axióme V položíme \small n=0 , tak dostaneme: \small m+0'=(m+0)'=m'=m+1 .
Cvičenie.
Vypočítajte: \small 3+2 .
Riešenie
  1. Zrejme pre prirodzené číslo \small 2 platí \small 2=1' .
  2. Po dosadení \small 1' za číslo \small 2 dostaneme \small 3+2=3+1' .
  3. Aplikovaním axiómy V dostaneme \small 3+2=3+1'=(3+1)' .

  4. Opätovným dosadením \small 0' za číslo \small 1 , dostaneme \small 3+2=(3+0')'=[(3+0)']'=[3']'=4'=5 .
\( .\)

Tretia skupina

Definícia (Súčin prirodzených čísel).
Ku každým dvom prirodzeným číslam \small m, n existuje prirodzené číslo \small m \cdot n nazývané súčin týchto čísel.
Súčin dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy
Axióma VI
Nula \small 0 je agresívny prvok vzhľadom na súčin prirodzených čísel. Symbolicky \small \forall m \in N: m \cdot 0=0 .
Axióma VII
Pre násobenie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: \small \forall m,n \in N: m \cdot n'=m \cdot n + m .
Poznámky.
  1. Axióma VII je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje násobiť prirodzené čísla neobmedzene.
  2. Podobne ako pri súčte, axiómy VI a VII definujú súčin ľubovoľného prirodzeného čísla a nuly resp. nasledovníka.
  3. V axióme VII je skrytý súčin \small m \cdot (n+1) , ktorý v súlade s pravidlami v matematike (distributívnosť) chceme, aby sa rovnal súčtu \small mn \cdot +m .
Cvičenie.
Vypočítajte: \small 3 \cdot 2 .
Riešenie.
  1. Zrejme pre prirodzené číslo \small 2 platí \small 2=1' .
  2. Po dosadení \small 1' za číslo \small 2 dostaneme \small 3 \cdot 2=3 \cdot 1' .
  3. Aplikovaním axiómy VII dostaneme \small 3 \cdot 2=3 \cdot 1'=(3 \cdot 1+3) .

  4. Opätovným dosadením \small 0' za číslo \small 1 , dostaneme \small 3 \cdot 2=3 \cdot 1+3=3 \cdot 0'+3=(3 \cdot 0+3)+3=3 + 3=6 .
\( .\)

Matematická indukcia

Definícia (Matematická indukcia ako axióma VIII).
Axióma VIII
Ak \small M je množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje nulu \small (0 \in M ) a zároveň pre každé prirodzené číslo \small \forall n \in N platí:
[\small n \in M \Rightarrow n' \in M ] potom \small M=N .
Poznámka.
Axiómu VIII môžeme formulovať aj pomocou jazyka výrokovej logiky.
Nech \phi(n) je výroková formula jazyka prirodzených čísel, ktorej premenná n má definičný obor množinu prirodzených čísel N . Ďalej, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky
  •      1. Pre \small n=0 výrok \small \phi (0) je pravdivý.
  •      2. Ak formula \small [\forall n (\phi (n) \Rightarrow \phi (n'))] je tautológia.
Potom \small \phi (n) platí pre všetky prirodzené čísla.
Cvičenie.
Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla \small n \geq1 platí: \small 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2 .
Riešenie.
  1. Nech \small n=1 , potom ľavá strana je rovná 1 a pravá \small 1^2=1 .
  2. Predpokladajme, že rovnosť \small 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)=k^2 platí pre \small \forall k < n .
  3. Ukážeme, že platí aj pre \small (k+1) \in N :
    • Počítajme \small 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)+ (2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2 .
  4. Podľa axiómy o matematickej indukcii dostávame, že rovnosť \small 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n^2 platí pre všetky prirodzené čísla.
\( .\)

Vlastnosti operácií

Veta 1.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo \small n\in N platí: \small n=0+n .
Dôkaz.
  1. Pre \small n=1 musíme ukázať, že platí rovnosť: \small 1= 0+1 .
    Upravujme pravú stranu rovnosti
    \small 0+1\overset{def.}{=} 0+0' \overset{Axiom V}{=}(0+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0' \overset{def.}{=} 1 ,
    čo je ľavá strana rovnosti.
  2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť \small n \overset{i.p.}{=} 0+n platí pre prirodzené číslo \small n .
    Musíme ukázať, že platí aj pre n+1 , čo je ekvivalentné s rovnosťou
    \small n+1= 0+(n+1) .        (1)
    3. Zrejme pre ľavú stranu rovnosti (1) platí
    \small n+1 \overset{def.}{=} (n+0') \overset{Axiom V}{=} (n+0)' \overset{Axiom IV}{=} n' \overset{def.}{=} n+1 .
  3. Zároveň úpravou pravej strany rovnosti (1) dostaneme
    \small 0+(n+1) \overset{def.}{=} 0+(n+0') \overset{Axiom V}{=} 0+(n+0)' \overset{Axiom IV}{=} 0+n' \overset{Axiom V}{=} (0+n)' \overset{i.p.}{=} n'=n+1.
  4. Tým je dôkaz ukončený.
Symbol v dôkazoch pre indukčný predpoklad: \small \overset{i.p.}{=} .
Veta 2.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo \small n\in N platí: \small 0=0 \cdot n.
Dôkaz
  1. Pre \small n=1 musíme ukázať, že platí rovnosť: \small 0= 0 \cdot n . Z axiómy VI vieme, že platí
    \small 0= 1 \cdot 0 .
    Jednotka je nasledovník nuly, teda platí \small 0 \cdot 1=0 \cdot 0'=0 \cdot 0+0=0 . Teda násobenie nuly a jednotky je komutatívne
    \small 0=1 \cdot 0=0 \cdot 1 .
  2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť \small 0= 0 \cdot n platí pre prirodzené číslo \small n . Musíme ukázať, že platí aj pre \small n+1 :
    \small 0= 0 \cdot (n+1) .
    Upravujme pravú stranu rovnosti
    \small 0 \cdot (n+1) \overset{def.}{=} 0 \cdot (n+0') \overset{Axiom V}{=} 0 \cdot (n+0)' = 0 \cdot n'= 0 \cdot n + 0 \overset{i.p.}{=} 0+0=0 .
  3. Tým je dôkaz ukončený.
Veta 3.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo \small n\in N platí: \small n+1=1+n .
Dôkaz.
  1. Vo vete 1 sme ukázali, že pre \small n=1 platí rovnosť: \small 1= 0+1
    • z axiómy IV vieme, že platí \small 1= 1+0
    • z toho vyplýva, že sčítanie nuly a jednotky je komutatívne, preto platí \small 1=1+0=0+1
  2. Predpokladajme, že rovnosť \small n+1= 1+n platí pre prirodzené číslo \small n
    • musíme ukázať, že platí aj pre \small n+1 , čo je ekvivalentné rovnosti \small (n+1)+1= 1+(n+1)
    • pre pravú stranu platí 1+(n+1)=1+n'=(1+n)'=(n+1)'=(n+1)+1 , čo je ľavá strana rovnosti
  3. Tým je dôkaz ukončený.
Veta 4.
Pre ľubovoľné prirodzené číslo \small n\in N platí: \small n=n \cdot 1= 1 \cdot n .
Dôkaz.
  1. Musíme ukázať, že platí rovnosť: \small 1= 1 \cdot 1
    • z axiómy VII vieme, že platí \small 1 \cdot 1= 1 \cdot 0'=1 \cdot 0 +1=0+1=1
  2. Predpokladajme, že rovnosť \small n= n \cdot 1 platí pre prirodzené číslo \small n
    • musíme ukázať, že platí aj pre \small n+1 , čo je ekvivalentné rovnosti \small n+1= (n+1) \cdot 1
    • pre pravú platí \small (n+1) \cdot 1=(n+1) \cdot 0'=(n+1) \cdot 0 +(n+1)=n+1
  3. Predpokladajme, že rovnosť \small n= 1 \cdot n platí pre prirodzené číslo \small n
    • musíme ukázať, že platí aj pre \small n+1 , čo je ekvivalentné rovnosti \small n+1= 1 \cdot (n+1)
    • zrejme platí \small 1 \cdot (n+1)=1 \cdot n'=1 \cdot n +1=n+1
  4. Tým je dôkaz ukončený.
\( .\)

Asociatívnosť

Veta 5 - asociatívnosť sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla \small a,b,c\in N platí: \small a+(b+c)=(a+b)+c .
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na \small c \in N .
  1. Pre \small c=1 musíme ukázať, že platí rovnosť \small a+(b+1)=(a+b)+1
    2. Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
    \small a+(b+1)\overset{def}{=} a+b' \overset{Axiom5}{=} (a+b)' .
    Pre pravú stranu z definície následníka dostaneme
    \small (a+b)+1 \overset{def}{=} (a+b)' .
  2. Predpokladajme, že rovnosť \small a+(b+c)=(a+b)+c platí pre prirodzené číslo c .
    3. Ukážeme, že platí aj pre \small c+1 , čo je ekvivalentné s rovnosťou
    \small a+(b+(c+1))=(a+b)+(c+1) .
    Pre pravú stranu po úprave dostaneme
    \small (a+b)+c' \overset{Ax5}{=} ((a+b)+c)'
    pre ľavú stranu dostaneme
    \small a+(b+c') \overset{Ax5}{=} a+(b+c)' \overset{Ax5}{=} (a+(b+c))'
  3. Podľa indukčného predpokladu a axiómy III sa bude ľavá strana rovnať pravej strane
  4. Tým je dôkaz ukončený.
Veta 6.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla \small m,n\in N platí: \small m+n'=m'+n .
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na \small m \in N
  1. Pre (\small m=1 \) zrejme platí rovnosť \small 1+n'=1'+n lebo
    Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
    \small 1+n'\overset{Ax5}{=} (1+n)'\overset{def}{=}(1+n)+1
    Využitím komutatívnosti (Veta 3) pre ľubovoľné prirodzené číslo \small x a asociatívnosti (Veta 5)
    dostaneme
    \small (1+n)+1 \overset{V3}{=} 1+(1+n) \overset{V5}{=} (1+1)+n \overset{def}{=} 1'+n
  2. Predpokladajme (i.p.), že rovnosť \small m+n' \overset{i.p.}{=} m'+n platí pre prirodzené číslo \small m.
    Ukážeme, že platí aj pre \small m+1 , čo je ekvivalentné s rovnosťou
    \small (m+1)+n'=(m+1)'+n .
    Pre pravú stranu po úprave dostaneme
    \small (m+1)'+n \overset{def}{=} (m+1)+1+n \overset{V3}{=} (m+1)+(n+1) \overset{def}{=} (m+1)+n'
  3. To znamená, že pravá strana sa rovná ľavej. Tým je dôkaz ukončený.
Veta 7- asociatívnosť násobenia.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla \small a,b,c\in N platí: a \cdot (b \cdot c )=(a \cdot b) \cdot c .
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na \small c \in N
  1. Pre \small c=1 zrejme platí rovnosť \small a \cdot (b \cdot 1)=(a \cdot b ) \cdot 1
  2. Predpokladajme, že rovnosť (\small a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b ) \cdot c \) platí pre prirodzené číslo \small \small c . Ukážeme, že platí aj pre \small c'=c+1
    \small a \cdot (b \cdot (c'))=(a \cdot b ) \cdot (c').
    Aplikujeme axiómu VII na súčin na ľavej strane
    \small a \cdot (b \cdot (c'))= a \cdot (b \cdot c +b)
    a po využití disributívnosti súčinu dostaneme
    \small a(b \cdot c + b)=ab( c +1)=ab \cdot c' .
  3. Tým je dôkaz ukončený.
Poznámky.
    1) Distributívnosť násobenia zľava k sčítaniu ľahko dokážeme pomocou matematickej indukcie priamo zo VII. axiómy.
    2) O distributívnosti násobenia sprava k sčítaniu hovorí nasledujúca veta.
Veta 7.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla \small m,n\in N platí: \small m' \cdot n=m.n+n .
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na \small n \in N
  1. Pre \small n=1 zrejme platí rovnosť \small m' \cdot 1=m.1+1 lebo
    \small m' \cdot 1 =m'=m+1=m.1+1
  2. Predpokladajme, že rovnosť
    \small m' \cdot n=m.n+n
    platí pre prirodzené číslo \small n. Ukážeme, že platí aj pre \small n+1=n' , čo je ekvivalentné rovnosti
    \small m'\cdot n'=m.n'+n' .
    Ľavá strana po aplikovaní distributívnosti zľava resp. axiómy VII
    \small m' \cdot n'= m'(n+1)=m'.n+m'
    následne využitím indukčného predpokladu a komutatívnosti dostaneme
    \small m'.n+m'=(m.n+n)+(m+1)=(m.n+m)+(n+1)=m . n'+n'
  3. Tým je dôkaz ukončený.
\( .\)

Komutatívnosť

Veta 8 - komutatívnosť sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla \small m,n\in N platí: \small m+n=n+m .
Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na \small n \in N
  1. Pre \small n=1 podľa vety 3 platí rovnosť: \small m+1= 1+m
  2. Predpokladajme, že rovnosť
    \small m+n \overset{i.p.}{=} n+m
    platí pre prirodzené číslo \small n . Ukážeme, že platí aj pre \small n+1 , čo je ekvivalentné s rovnosťou
    \small m+(n+1)= (n+1)+m .
    Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
    \small m+(n+1) \overset{def}{=} m+n' \overset{Axiom V }{=} (m+n)'
    Využitím dôsledku 1 dostaneme pre pravú stranu \small n'+m \overset{D1}{=} n+m' \overset{Axiom V }{=} (n+m)'=(m+n)'
  3. Tým je dôkaz ukončený.
Veta 9 - komutatívnosť násobenia.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla \small n\in N platí: \small m \cdot n=n \cdot m .
Dôkaz
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na \small n \in N
  1. Pre \small n=1 platí rovnosť: \small m \cdot 1= 1 \cdot m - vlastnosť jednotky
  2. Predpokladajme, že rovnosť
    \small m \cdot n \overset{ip}{=} n \cdot m
    platí pre prirodzené číslo \small n . Ukážeme, že platí aj pre \small n+1 , čo je ekvivalentné s rovnosťou
    \small m \cdot (n+1)= (n+1) \cdot m resp. s rovnosťou
    \small m \cdot n'= n' \cdot m .
    Pre ľavú stranu predchádzajúcej rovnosti platí
    \small m\cdot n' \overset{Axiom VII }{=} m.n+m .
    Využitím dôsledku 2 dostaneme pre pravú stranu
    \small n' \cdot m \overset{D2 }{=} n.m+m \overset{i.p.}{=} m.n+m .
  3. Tým je dôkaz ukončený.
\( .\)

Celé čísla

Rovnica x+5=2 , ktorej koeficienty sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie.
Naše vedomosti z elementárnej matematiky nám napovedajú, že riešenie existuje v inom číselnom obore, v obore celých čísel. Jednoducho, ak budeme aplikovať jednu z ekvivalentných úprav „odčítanie“ čísla 5 k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme
(x+5)-5=2-5
a po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme x . Ale na pravej strane rovnice dostaneme rozdiel 2-5 , ktorý nepredstavuje prirodzené číslo resp. nevieme od čísla 2 odčítať číslo 5 v obore prirodzených čísel.
Zrejme chceme, aby naším výsledkom bolo "číslo" -3 . Dostať takéto riešenie znamená vytvoriť nový číselný obor - celé čísla. Nami navrhnuté riešenie riešenie skrýva v sebe základnú myšlienku pre zavedenie celých čísel – metódu odčítania. V tomto prípade riešenie predstavuje usporiadanú dvojica prirodzených čísel (2,5).
Definícia (Rozdiel prirodzených čísel).
Nech m,n \in \small \mathbb N sú prirodzené čísla. Ak existuje jediné prirodzené číslo r \in \small  \mathbb N , pre ktoré je splnená rovnosť m+r=n , tak toto číslo nazveme rozdielom čísel n,m v tomto poradí a budeme ho označovať symbolom n-m .
Zrejme pre čísla 2, 5 neexistuje rozdiel r=2-5 v obore prirodzených čísel. Určiť tento rozdiel vlastne znamerná vyriešiť rovnicu 5+r=2 , čo je naša rovnica z úvodu tejto kapitoly.
\( .\)

Opačné číslo

Na vyjadrenie hodnoty menšej ako nula (teplota pod 0^° C a pod.) používame opačné čísla k prirodzeným číslam.
      • Opačné číslo k prirodzenému číslu n \in N ak označme symbolom -n , tak bude platiť n+(-n)=(-n)+n=0 .
      • Číslo opačné k prirodzenému číslu budeme nazývať záporné číslo.
Napríklad pri interpretácii pojmu záporného čísla (-3) s výhodou používame termín „pasíva“. Na druhej strane prirodzené číslo 3 interpretujme ako „aktíva“. Žiaci potom budú prirodzene chápať, že platí aj rovnosť
      3+(-3)=0 alebo rovnosť (-3)+3=0 .
Túto rovnosť potom využijú pri riešení rovnice x+5=2 . Po jednoduchej úprave (asociatívnosť sčítania prirodzených čísel) dostanú rovnicu
      (x+3)+2=2 .
Žiaci už vedia odčítať to isté prirodzené číslo od obidvoch strán rovnice. Ak odčítajú číslo 2 , tak po odčítaní dostanú „jednoduchšiu“ rovnicu
      x+3=0.
Žiaci vedia, že platí rovnosť 3+(-3)=0 . Teraz môžu nájsť riešenie rovnice x+5=2 . Bude ním záporné číslo x=(-3).
Navrhnutý spôsob riešenia rovnice x+5=2 je nepraktický, ktorý žiakom na 2. stupni ZŠ nebude vyhovovať. Zrejme by očakávali, že bude výhodnejšie poznať rozdiel (2-5) a danú rovnicu potom riešiť pomocou odčítania čísla 5 od obidvoch strán rovnice. K tomu budú potrebovať vedomosti o celých číslach.
\( .\)

Záporné čísla

Záporné čísla sa objavili po prvýkrát v čínskej matematike. V knihe „Deväť kapitol matematického umenia“ (202 pred n.l.) sú použité červené „úsečky“ pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla.
                       
Tento systém je opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti bankovníctva, účtovníctva a obchode.
  • V 7. storočí nášho letopočtu v Indii, boli záporné čísla použité na vyjadrenie dlhu. Indický matematik Brahmagupta, uvádza pravidlá pre operácie sčítania a násobenia so zápornými číslami. Používal termíny "dlh“ a „úver“.
  • Európski matematici sa bránili konceptu záporných číslach až do 17. storočia, hoci Fibonacci používal pri riešení finančných problémov záporné čísla (Libier Abaci, 1202).
  • Gottfried Wilhelm Leibniz bol prvý matematik, ktorý systematicky využíval záporné čísla.
Poznámky.
  1. Matematici v rôznych obdobiach považovali záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli). 
  2. Pozrite si modely záporných čísel, ktoré sa používajú vo vyučovaní matematiky. Tu
\( .\)

Celé čísla ako rozdiely

Celé čísla môžeme v širšom význame chápať ako všetky možné rozdiely dvoch prirodzených čísel. Problém je však v tom, že niektoré rozdiely neexistujú v obore prirodzených čísel.
Napríklad ako sme už poukázali rozdiel (2-5), ktorý by mal byť riešením našej rovnice neexistuje v množine prirodzených čísel. Na druhej strane, zrejme aj rozdiel (0-3) je riešením našej rovnice.
Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel (2-5) a zároveň aj rozdiel (0-3) je hľadaným riešením rovnice, tak musí platiť rovnosť
(2-5)=(0-3).
Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla 5 a čísla 3 k obidvom stranám rovnosti) dostaneme rovnosť
(2+3=0+5\).
To znamená, že dva rozdiely prirodzených čísel (2-5) a (0-3) budú predstavovať to isté záporné číslo (-3) práve vtedy, ak platí rovnosť 2+3=0+5 .
Platnosť poslednej rovnosti vieme bez problémov overiť, pretože sčitovať prirodzené čísla sme sa naučili v prvej kapitole. Z uvedeného vyplýva, že celé čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc prirodzených čísel.
Dve dvojice prirodzených čísel (a,b),(c,d) budú predstavovať to isté celé číslo, ak bude platiť rovnosť a+d=c+b.
\( .\)

Obor celých čísle

Definícia. 
Nech N je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu R na množine N \times N takto:
(a,b)R(c,d)⟺a+d=c+b .
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel (a,b),(c,d) sú v relácii, ak platí rovnosť
a+d=c+b
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
Veta.
Relácia R je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
  1. Nech R je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech (x,x)∈N×N je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí (x,x)R(x,x) , lebo platí x+x=x+x . Odkiaľ dostaneme, že relácia R je reflexívna.
  2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii (a,b)R(c,d) . 
    • Tento vzťah je ekvivalentný s rovnosťou: a+d=c+b . 
    • Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: c+b= a+d . 
    • To je ekvivalentné so vzťahom (c,d)R(a,b) , preto platí: relácia R je symetrická. 
  3. Nech platí (a,b)R(c,d) a zároveň (c,d)R(e,f) . 
    • Z definície relácie R vyplýva, že musí platiť a+d=c+b a zároveň c+f=d+e . Pripočítajme k prvej rovnosti číslo f a k druhej rovnosti číslo b . 
    • Dostaneme rovnosti a+d+f=c+b+f, c+f+b=d+e+b . Zrejme platí c+b+f=c+f+b (komutatívnosť sčítania). 
    • Ak využijeme, že rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme a+d+f=d+e+b . 
    • Teraz stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme (a,b)R(e,f) . To znamená, že relácia R je tranzitívna.
\( .\)

Rozšírenie oboru N

Tvrdenie.
Nech \small R je reláciou ekvivalencie na množine \small \mathbb N \times \mathbb N. Potom existuje rozklad množiny \small \mathbb N \times \mathbb N podľa relácie \small R .
Dôkaz.
Vyplýva z toho, že relácia \small R je reláciou ekvivalencie na množine \small \mathbb N \times \mathbb N. Trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica \small (a,b) je množina, ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako
\small T_{(a,b)}= \lbrace{(x,y) \in \mathbb N \times \mathbb N: a+y=x+b}\rbrace .
Pre triedy rozkladu platí:
  1. Ak dve triedy \small T_{(a,b)}, T_{(c,d)} majú spoločný prvok \small (x,y) , tak zrejme
    \small (x, y) \in T_{(a,b)} \cap T_{(c,d)} \Rightarrow \begin{cases} a+y = x+b \\ c+y = x+d \\ \end{cases} .
    Po krížovom sčítaní týchto dvoch rovníc, tak dostaneme \small a + d = c+b  \Rightarrow T_{(a,b)}= T_{(c,d)} .
  2. K ukončeniu dôkazu potrebujeme ukázať, že (\small \mathbb N \times \mathbb N )/ R je naozaj rozklad. To znamená, že pre ľubovoľnú dvojicu \small (x,y) \in \mathbb N \times \mathbb N existuje trieda \small T_{(a,b)} rozkladu, do ktorej patrí dvojica \small (x,y) . Dôkaz tejto časti prenechávame študentovi učiteľstva matematiky. 
Ukážka - rozšírenie oboru prirodzených čísel.
Nech \small N= \lbrace{0,1,2,...,...}\rbrace je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad \small N×N∕R je množina, ktorej prvky-triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel!
  1. Označme symbolom \small T_{(1,0)} triedu, ktorá obsahuje dvojicu \small (1,0) \in N \times N . Potom trieda \small T_{(1,0)} bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu \small (n+1,n), lebo platí \small (1,0)R(n+1,n)⟺1+n=(n+1)+0. Triedu \small T_{(1,0)} môžeme určiť vymenovaním jej prvkov: \small (1,0),(2,1),(3,2),…,(n+1,n),…
  2. Podobne by sme ukázali, že trieda \small T_{(0,1)} , ktorá obsahuje dvojicu \small (0,1) bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu \small (n,n+1) . Symbolicky
              \small T_{(0,1)}= \lbrace{(0,1),(1,2),...,(7,8),...(n,n+1),...}\rbrace .
  3. Označenie pre triedy rozkladov \small T_{(1,0)}, T_{(0,1)} môžeme nahradiť aj inými symbolmi. V literatúre sa objavujú symboly \small \overline{\lbrace{1,0}\rbrace},\overline{\lbrace{0,1}\rbrace} , \small \text card \lbrace{1,0\rbrace} ,\; \text card \lbrace{0,1\rbrace} .
    My použijeme jednoduchšie symboly \small 1, \; -1, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel.
  4. Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica \small (a,b) je množina, ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako
              \small T_{(a,b)}= \lbrace{(x,y) \in N \times N: a+y=x+b}\rbrace .
  5. Všimnite si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici \small (a,b) , kde a≥b, budú reprezentované prirodzenými číslami. 
  6. V prípade, že \small a dostneme triedy rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami.
\( .\)

Množina celých čísel

Úvahy o triedach rozkladu \small \mathbb N \times \mathbb N/R umožňujú zaviesť množinu celých čísel ako množinu tried tohto rozkladu.
Zhrňme si naše úvahy:
  1. Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu prirodzených čísel \small \mathbb N , ktorú popíšme napríklad Peanovou aritmetikou.
  2. Vytvoríme množinu všetkých usporiadaných dvojíc \small (x,y) prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu \small \mathbb N \times \mathbb N .
  3. Dvojice prirodzených čísel zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice \small (a,b),(c,d) z rovnakej skupiny platí rovnosť \small a+d=c+b .
  4. Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.
Definícia.
Nech \small R je relácia ekvivalencie na množine \small \mathbb N \times \mathbb N , pre ktorú platí:
\small \forall a,b,c,d \in \mathbb N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b
a nech Z=(\small \mathbb N \times \mathbb N)/R je rozklad množiny \small \mathbb N \times \mathbb N podľa relácie \small R . Potom prvky množiny \small Z budeme nazývať celé čísla.
Poznámky.
Nech \small (a,b) \in \small \mathbb N \times \mathbb N , potom v prípade:
  1. Ak \small  a≥b, tak triedu rozkladu \small T_{(a,b)} budeme označovať symbolom \small n, kde \small n=a-b je prirodzené číslo. Zrejme platí
    \small T_{(a,b)}=T_{(a-b,0)}≝ n.
    Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom \small Z^+.
  2. Ak \small  a < b , tak triedu rozkladu \small T_{(a,b)} budeme označovať symbolom \small -n, kde \small n=b-a je prirodzené číslo, zrejme platí
    \small T_{(a,b)}=T_{(0,b-a)}≝ -n.
    Tieto čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých záporných čísel symbolom \small Z^-.
\( .\)

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie \small R umožnila vytvorenie „nosiča“ pre celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel.
Definícia - súčet celých čísel.
Nech \small T_{(a,b)},T_{(c,d)} sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom ich súčtom \small T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} bude trieda \small T_{(a+c,b+d)}. Teda súčet tried je určený vzťahom
(S) \small T_{(a+c,b+d)} ≝ T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}
Súčin dvoch tried budeme definovať nasledovne:
Definícia - súčin celých čísel.
Nech \small T_{(a,b)},T_{(c,d)} sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom ich súčinom \small T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} bude trieda \small T_{(a+c,b+d)}. Teda súčet tried je určený vzťahom
(N) \small \( T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c+b.d),(a.d+b.c)}
Interpretácia definícií.
Zvoľme si celé čísla \small 2,-2,3,-3 . Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu \small (\mathbb N \times \mathbb N)/R . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že sú to triedy
\small T_{(2,0)} ≝ 2; \small T_{(3,0)} ≝ 3
\small T_{(0,2)} ≝-2; \small T_{(0,3)} ≝ -3
Interpretujme súčet tried
\small 2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5
\small 3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1  
Interpretujte súčin tried
\small 2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny.
Poznámky.
  1. Súčin \small T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)} si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov \small (a-b)(c-d)=(a.c+b.d)-(a.d+b.c) .
  2. Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ \small T_{(a,b)} ), T_{(c,d)} . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.
Tvrdenie- korektnosť súčtu a súčinu. Ak \small (p,q) \in T_{(a,b)} a zároveň \small (r,s) \in T_{(c,d)} , tak
  1. \small T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{(p,q)} \oplus T_{(r,s)} .
  2. Analogicky pre súčin platí
  3. \small T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)}=T_{(p,q)} \otimes T_{(r,s)} .
Dokážte predchádzajúce tvrdenia v rámci seminárnych cvičení.Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako 
\small \mathbb Z= \lbrace{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}\rbrace alebo \small \mathbb Z= \lbrace{0,±1,±2,±3,...}\rbrace .
\( .\)

Ďalšie vlastnosti

Algebraické vlastnosti oboru celých čísel (asociatívnosť, komutatívnosť, ... operácií) si môžete naštudovať v kapitole Vlastnosti celých čísel v práci Čísla a počítanie.

Racionálne čísla - úvod

Úloha.
Ukážte, že rovnica \small 6x+3=6 , ktorej koeficienty sú celé čísla nemá v obore celých čísel riešenie.
Riešenie.
Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo -3 a dostaneme rovnicu \small 6x=3 , ktorej riešením nemôže byť celé číslo.
Zdôvodnenie. Na ľavej strane rovnice \small 6x=3 máme párne číslo \small 2 \cdot (3x)=2 \cdot k , ale na pravej nepárne číslo \small 3=2 \cdot 1+1 . To nie je možné!
Poznámky.
Na chvíľu predpokladajme, že existuje číslo, ktoré je riešením danej rovnice \small 6x=3 . Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že také číslo \small x musí byť podiel \small 3∶6 celých čísel \small 3,6 . Teda muselo by platiť:
\small x=(3∶6) .
Rovnicu \small 6x+3=6 môžeme upraviť na tvar \small 2x+1=2 . Riešením tejto rovnice je podiel \small 1∶2 , teda
\small x= (1∶2) .
Zároveň vieme, že rovnica \small 6x+3=6 má nanajvýš jedno riešenie. Dokážte to!
Zistili sme, že riešením rovnice 6x+3=6 sú „podiely“ \small (3∶6), (1∶2) . Takéto podiely v obore celých čísel neexistujú. Na druhej strane, ak vytvoríme číselný obor, v ktorom rovnica bude mať riešenie, tak musí platiť
\small (3∶6)=(1∶2) .
V nasledujúcej časti vytvoríme obor racionálnych čísel, v ktorom naša rovnica \small 6x+3=6 bude mať riešenie.
Racionálne čísla môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné podiely dvoch celých čísel. Vyšie sme popísali podstatnú skutočnosť. Ak „podiel“ celých čísel \small (3∶6) a zároveň aj podiel \small (1∶2) je hľadaným riešením rovnice \small 6x+3=6 , potom musí platiť rovnosť
\small (3∶6)=(1∶2),
ktorá je ekvivalentná s rovnosťou
\small (1.6=2.3) .
Teda: Rovnosť podielov \small (3∶6)=(1∶2)) je ekvivalentná s rovnosťou súčinov \small (1.6=2.3).
Rovnosť podielov dvoch celých čísel sme nahradili rovnosťou, kde sa vyskytuje len súčin celých čísel. Súčin je však neobmedzene definovaná operácia v obore celých čísel, t.j. vieme vynásobiť ľubovoľné dve celé čísla. Z uvedeného vyplýva, že racionálne čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc celých čísel. Budeme postupovať analogicky ako pri zavádzaní oboru celých čísel. Najskôr popíšeme reláciu ekvivalencie na množine karteziánskeho súčinu množiny celých čísel.
Relácia \small R.
Dvojice celých čísel \small (a,b),(c,d) budú v relácii \small R (budú predstavovať to isté racionálne číslo), ak bude platiť rovnosť
\small a \cdot d=c \cdot b .
\( .\)

Obor racionálnych čísel

Definícia.
Nech Z je množina všetkých celých čísel. Definujme binárnu reláciu \small R na množine \small \mathbb Z \times \mathbb Z^+ takto:
\small (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a \cdot d=c \cdot b .
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel \small \small (a,b),(c,d) sú v relácii, ak platí rovnosť
\small \small a \cdot d=c \cdot b
(súčin prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčinu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
Tvrdenie.
Relácia \small R je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
Dôkaz.
  1. Nech \small R je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech \small (x,x)∈\mathbb Z \times \mathbb Z^+ je ľubovoľná dvojica tohto karteziánskeho súčinu. Potom zrejme platí \small (x,x)R(x,x) , lebo platí \small x \cdot x=x \cdot x . Odkiaľ dostaneme, že relácia \small R je reflexívna.
  2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii \small (a,b)R(c,d) .
    • To je ekvivalentné s rovnosťou: \small a \cdot d=c \cdot b .
    • Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: \small \small c \cdot b=a\cdot d.
    • To je ekvivalentné so vzťahom (c,d)R(a,b) , preto platí: relácia \small \small R je symetrická.
  3. Nech platí \small \small (a,b)R(c,d) a zároveň \small \small (c,d)R(e,f) .
    • Z definície relácie \small \small R vyplýva, že musí platiť \small \small a \cdot d=c \cdot b a zároveň \small \small c \cdot f=e \cdot d.
    • Po sčítaní týchto rovníc a po vykrátení dostaneme ...
    • Teraz stačí aplikovať ... To znamená, že relácia \small R je tranzitívna.
Definícia (Množina racionálnych čísel).
Nech \small R je relácia ekvivalencie na množine \small \mathbb Z \times \mathbb Z^+ , pre ktorú platí:
\small \forall (a,b),(c,d) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^+ : (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a \cdot d=c \cdot b
a nech \small \mathbb Q=((\mathbb Z \times \mathbb Z^+ )/R je rozklad \small \mathbb Z \times \mathbb Z^+ podľa relácie \small R . Potom prvky množiny \small \mathbb Q budeme nazývať racionálne čísla.
\( .\)

Súčet a súčin

Relácia ekvivalencie \small R umožnila vytvorenie „nosiča“ pre racionálne čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin racionálnych čísel.
Nech \small T_{(a,b)},T_{(c,d)} sú dve racionálne čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet \small \oplus a súčin \small \otimes týchto čísel popisujú nasledujúce dve definície.
Definícia (Sčítanie racionálnych čísel).
\small T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{( a \cdot d +c \cdot b ,b \cdot d )}
Definícia (Násobenie racionálnych čísel).
\small T_{(a,b)} \otimes T_{(c,d)} =T_{(a.c),(b \cdot d )}
Zvoľme si podiely \small \frac{2}{3}, \frac{7}{5}, \frac{-1}{2}. Z definície relácie ekvivalencie \small R vyplýva, že tieto podiely sú prvkami istých tried rozkladu \small (Z \times Z^+)/R . Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy 
     \small T_{(2,3)} ≝ \frac{2}{3} , \small T_{(7,5)} , ≝ \small \frac{7}{5} , \small T_{(-1,2)} ≝ \small \frac{-1}{2}.
Interpretujme súčet (tried)
     \small \frac{2}{3} \oplus \frac{7}{5}=T_{(2,3)} \oplus T_{(7,5)}=T_{(2 \cdot 5 + 7 \cdot 3), 3 \cdot 5}=T_{(31,15)}=\frac{31}{15}
    ...  
Interpretujte súčin tried
     ...  
Poznámky.
  1. Súčet T_{(a,b)} ) \otimes T_{(c,d)} si ľahko zapamätáme pomocou súčtu zlomkov \frac{a}{b}+ \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b }{b \cdot d } .
  2. Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“ T_{(a,b)} ), T_{(c,d)} . Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.
  3. Ak
(p,q) \in T_{(a,b)}
  1. a zároveň
(r,s) \in T_{(c,d)}
  1. , tak:
    1. T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)} =T_{(p,q)} \oplus T_{(r,s)}
    2. a zároveň
    3. T_{(a,b)}  \otimes T_{(c,d)}=T_{(p,q)} \otimes T_{(r,s)} . 
\( .\)

Hustota Q

Cvičenie.
Nech \small a,b∈ \mathbb Q sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body \small A,B. Dokážte, že aritmetický priemer \small (a+b)/2 je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi je stred úsečky \small AB.
Riešenie. Nech \small a=m/n,b=r/s a zároveň \small a \leq b .
  1. Pre aritmetický priemer \small AP(a,b) môžu nastať dva prípady:
    1. Zlomok \small \frac{a+b}{2}= \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s} je v základnom tvare (nemožno ho krátiť).
      • V tomto prípade daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu \small T_{(m \cdot s+r \cdot n,2 \cdot n \cdot s)}.
    2. Zlomok \small \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s} nie je v základnom tvare. Vtedy existuje nenulové prirodzené číslo \small k, ktorým zlomok vykrátime na základný tvar \small \frac{p}{q} . Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť \small \frac{a+b}{2} =\frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}= \frac{p \cdot k }{q \cdot k } = \frac{p}{q} .
        • Z týchto rovností ľahko odvodíme, že daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu \small T_{(p,q)} .
  2. Z predchádzajúceho vyplýva, že zlomok \small \frac{a+b}{2} reprezentuje racionálne číslo, pre ktoré platí \small a \leq \frac{a+b}{2} \leq b
  3. Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché.
    • Stačí si uvedomiť, že pre stred \small S úsečky \small AB platí vzťah \small |AS|=|SB|.
  4. K úplnosti dôkazu je potrebné ukázať, že platí rovnosť \small \frac{a+b}{2} = \frac{( \frac{m}{n} + \frac{r}{s})}{2} = \frac{m \cdot s+r \cdot n }{2 \cdot n \cdot s}

Definícia.
Nech \small \leq je relácia usporiadania na množine \small M . Ak pre každé dva prvky \small x,y \in M s vlastnosťou \small x < y existuje prvok \small z taký, že \\small x < z < y \), tak množina \small M sa nazýva husto usporiadaná.
Keďže pre aritmetický priemer \small AP(a,b) racionálnych čísel \small  a \leq b platí \small a \leq AP(a,b) \leq b, tak platí aj nasledujúce tvrdenie.
Tvrdenie.
Množina racionálnych čísel je husto usporiadaná.
\( .\)

Školská matematika

Racionálne čísla v školskej matematike zavádzame pomocou zlomkov, pričom dva zlomky \small \frac{a}{b}, \frac{c}{d} budú predstavovať to isté racionálne číslo, ak bude platiť rovnosť \small ad = cb .
Množinu racionálnych čísel v školskej matematike zavádzame ako množinu, ktorá obsahuje všetky zlomky, ktorých čitateľ je celé číslo a menovateľ je kladné prirodzené číslo.
Pri zavádzaní operácií sčítania a násobenia racionálnych čísel v školskej matematike sa opierame o sčítanie a násobenie zlomkov. Nech \small a,c \in Z ,b,d \in N^+ , potom v obore \small (\mathbb Q,+, \cdot ) platí pre:
    1. sčítanie         \small \frac{a}{b}+ \frac{c}{d}= \frac{ad+cb}{bd}
    2. násobenie         \small \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{ac}{bd}
Poznámky.
  1. Pri sčitovaní zlomkov s rôznymi znamienkami niekedy žiaci "kopírujú" postup pre odčítanie celých čísel.
  2. Napríklad pri súčte \small ( - \frac{2}{3}) + \frac{5}{7} skúmajú, ktoré z čísel \small \frac{2}{3} , \frac{5}{7} je väčšie.
  3. Obor \small \mathbb Q racionálnych čísel je množina všetkých zlomkov \small \frac{p}{q} , kde p \in Z a q \in N^+ , na ktorej sú definované operácie sčítania a násobenia.
  4. V prípade, že čísla \small p, q sú nesúdeliteľné (ich najväčší spoločný deliteľ je rovný \small 1 ), hovoríme že zlomok \small \frac{p}{q} je v základnom tvare.
  5. Množinu racionálnych čísel môžeme reprezentovať všetkými zlomkami, ktoré sú v základnom tvare.
  6. Mimochodom sú to aj všetky celé čísla, lebo pre \small a \in Z je zlomok \small \frac{a}{1} v základnom tvare a teda reprezentuje racionálne číslo.
Cvičenie.
Vytvorte alebo nájdite vhodný applet, ktorý vám pomôže zodpovedať otázky:
     Ako sa mení hodnota zlomku \small \frac{p}{q}, keď zväčšujeme číslo \small p ?
     Ako ovplyvňuje hodnotu zlomku zväčšenie menovateľa \small q ?
Pozrite si knihu appletov ku zlomkom Tu a v nej kapitolu Fractions on a numberline
\( .\)