Konštrukcia číselných oborov - prirodzené čísla
Vlastnosti operácií
Asociatívnosť
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na .
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na .
- Pre musíme ukázať, že platí rovnosť Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
- Predpokladajme, že rovnosť platí pre prirodzené číslo . Ukážeme, že platí aj pre , čo je ekvivalentné s rovnosťou
- Podľa indukčného predpokladu a axiómy III sa bude ľavá strana rovnať pravej strane
- Tým je dôkaz ukončený.
.
Pre pravú stranu z definície následníka dostaneme
.
.
Pre pravú stranu po úprave dostaneme
pre ľavú stranu dostaneme
Dôkaz.
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
Budeme dokazovať matematickou indukciou vzhľadom na
- Pre
zrejme platí rovnosť
lebo
Pre ľavú stranu po úprave dostaneme
Využitím komutatívnosti (Veta 3) pre ľubovoľné prirodzené číslo a asociatívnosti (Veta 5)
dostaneme
-
Predpokladajme (i.p.), že rovnosť platí pre prirodzené číslo
.
Ukážeme, že platí aj pre , , čo je ekvivalentné s rovnosťou
.
Pre pravú stranu po úprave dostaneme
- To znamená, že pravá strana sa rovná ľavej. Tým je dôkaz ukončený.
Poznámky.
1) Distributívnosť násobenia zľava k sčítaniu ľahko dokážeme pomocou matematickej indukcie priamo zo VII. axiómy.
2) O distributívnosti násobenia sprava k sčítaniu hovorí nasledujúca veta.
1) Distributívnosť násobenia zľava k sčítaniu ľahko dokážeme pomocou matematickej indukcie priamo zo VII. axiómy.
2) O distributívnosti násobenia sprava k sčítaniu hovorí nasledujúca veta.