Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Súčet - ku každým dvom prirodzeným číslam $m,n$ existuje prirodzené číslo $m+n$ nazývané súčet týchto čísel

Súčet dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy

Axióma IV

Nula $0$ je neutrálny prvok vzhľadom na súčet prirodzených čísel. Symbolicky $\forall m \in N: m+0=m$.

Axióma V 

Pre sčítanie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: $\forall m,n \in N: m+n'=(m+n)'$. 

Poznámky.

1. Axióma V je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje sčitovať prirodzené čísla neobmedzene.
2. Všimnime si, že pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Peano vychádzal z existencie čísla nula a existencie funkcie nasledovník.
3. Ak v axióme V položíme $n=0$ , tak dostaneme: $m+0'=(m+0)'=m'=m+1$.

Cvičenie.
Vypočítajte: $3+2$.

Riešenie

1. Zrejme pre prirodzené číslo $2$ platí $2=1'$ .
2. Po dosadení $1'$ za číslo $2$ dostaneme $3+2=3+1'$. 
3. Aplikovaním axiómy V dostaneme $3+2=3+1'=(3+1)'$. 
   
4. Opätovným dosadením $0'$ za číslo $1$, dostaneme $3+2=(3+0')'=[(3+0)']'=[3']'=4'=5$.