Číselné obory na základných a stredných školách: Pytagorova škola

Reálne čísla

Pytagorova škola

Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom¹⁾

Hippasus pravdepodobne dospel k záveru, že

$u^2=1^2+1^2$ a po úprave dostal kvadratickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi

$u^2=2$ .

S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel

$Q$ riešenie.

Dokážeme to nepriamo.
Nech existuje racionálne číslo

$r \in Q$ , ktoré je riešením rovnice

$x^2=2$ . Potom zrejme

$r= \frac{p}{q}$ , pričom celé čísla

$p,q$ sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel

$p,q$ je rovný

$1$ .
Po dosadení do rovnice

$x^2=2$ a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť

$p^2=2.q^2$ . Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo

$2$ delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo

$p^2$ je párne, preto musí byť aj číslo

$p$ párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare

$p=2k$ . Po dosadení do rovnosti

$p^2=2.q^2$ dostávame

$(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2$ .
Analogickou úvahou zistíme, že číslo

$q$ je párne. Keďže aj číslo

$p$ je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel

$p,q$ je väčší alebo rovný číslu

$2$ .
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo

$r= \frac{p}{q}$ , kde

$p,q$ sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.

___________________________________________________________________________________________
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.

$<span class="nolink">$ .$ $