Číselné obory na základných a stredných školách

Číselný obor je množina čísel (číselná množina), na ktorej sú zavedené základné aritmetické operácie: sčítanie a násobenie. Číselné obory zavádzame postupne:

1. Na 1. stupni ZŠ začíname oborom prirodzených čísel, ktorý na 2. stupni ZŠ rozšírime na obor celých čísel.
2. Obor celých čísel rozšírime na obor racionálnych a obor racionálnych na obor reálnych čísel.
3. Nakoniec ale až na SŠ zavedieme komplexné čísla ako množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, na ktorej vhodne definujeme sčítanie a násobenie. 

Otvorte si applet Tu

Potrebu rozširovania číselných oborov môžeme demonštrovať na riešení rovníc.

1. Na prvom stupni ZŠ
    $\;\Box$$+2=5$
   Pri riešení rovníc tohto typu žiaci používajú metódu priameho dosadzovania/zapisovania. Do rámika $\Box$ vpisujú prirodzené čísla a zisťujú, či vzniknutá rovnosť platí.
   Na tomto stupni vzdelávania základnou metódou pri riešení jednoduchých lineárnych rovníc je experimentálna metóda.
2. Na druhom stupni ZŠ
   1.  $\; 2x-5=0$
      Pri riešení takýchto lineárnych rovníc žiaci 7. ročníka ZŠ využívajú ekvivalentné úpravy.
   2.  $\; x+5=2$
      Pri tejto rovnici ešte ani žiaci 8. ročníka ZŠ nedokážu nájsť správne riešenie.
      Nevedia zdôvodniť, že riešením je záporné číslo.
3. Na strednej škole
   1.  $\;x^2+2x-3=0$
      Pri riešení kvadratických rovníc žiaci 1. ročníka SŠ využívajú okrem ekvivalentných úprav aj
      vzorce pre výpočet koreňov kvadratických rovníc. Pozrite si applet Tu.
   2.  $\; x^2+2x+3=0$
      Pri riešení kvadratických rovníc so záporným diskriminantom žiaci SŠ musia poznať komplexné čísla.

Cvičenie.
Riešte v obore reálnych čísel rovnicu $3x+2=2 \sqrt{6+5x}$. Urobte skúšku.

Jedna z náročných ale zároveň dôležitých etáp pri rozširovaní číselných oborov na základnej škole je rozšírenie oboru prirodzených čísle na obor celých čísel. Zavedenie oboru celých čísel je v súčasnosti zakotvené v učebných osnovách pre 8. ročník ZŠ. Východiskovým pojmom je opačné číslo.
Prv než začneme s charakteristikou procesu výstavby celých čísel na ZŠ a komparáciou učebníc matematiky používaných na ZŠ, uvedieme teoretické východiská k tejto problematike.
Motiváciou pri zavádzaní celých čísel môže byť problém, ktorý nastane pri pokuse riešiť niektoré lineárne rovnice v obore prirodzených čísel. Napríklad:

Jednoduchá algebraická rovnica $x+5=2$, ktorej koeficienty $1,2,5$ sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie.

1. Ak budeme aplikovať ekvivalentnú úpravu „odčítanie“ čísla $5$ k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme $(x+5)-5=2-5$.
2. Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme $x$ a na pravej strane dostanem riešenie v tvare $2-5$.
3. Veľmi ľahko sa presvedčíme, že rozdiel $2-5$ v obore prirodzených čísle neexistuje. Preto je nutné vytvoriť číselný obor, v ktorom takýto rozdiel existuje.
4. Myšlienka vytvorenia nového číselného oboru pomocou "rozdielov dvoch prirodzených čísel"  je nosnou pri zavádzaní oboru celých čísel v teoretickej aritmetike na VŠ.

Vysoká škola - teoretická aritmetika
Na začiatku je vhodné (aj keď nie nutné) zaviesť pojem opačného čísla $m$ k ľubovoľnému prirodzenému číslu $n$, ktoré sa definuje pomocou rovnosti
$n+m=0$.
Celé čísla zavedieme pomocou vhodnej relácie ekvivalencie a rozkladu karteziánskeho súčinu $N \times N$ množiny prirodzených čísel podľa takejto relácie ekvivalencie. Na prednáškach z teoretickej aritmetiky sa dozviete, že táto relácia je definovaná nasledovne:

Nech $\small N$ je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu $\small R$ na množine $\small N \times N$ takto:
$(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b$.

Úloha:
Janko a Marienka mali za úlohu zistiť ako sa zmenila vonkajšia teplota na školskom dvore medzi 7 hodinou a 10 hodinou. Janko zistil, že teplota vzduchu v tomto časovom úseku stúpla o 5 stupňov, Marienka zistila, že teplota vzduchu o 10 hodine dosiahla len 2 stupne.
Na hodine matematiky mali žiaci 8. triedy vypočítať aká bola teplota vzduchu na školskom dvore ráno o 7 hodine.

1. Žiaci pri riešení dospeli k rovnici $x+5=2$, ktorej koeficienty $1, 2, 5$ sú prirodzené čísla.
2. Zistili, že rovnica v obore prirodzených čísel nemá riešenie.
3. Otázka:        Prečo rovnica $x+5=2$ nemá riešenie v obore prirodzených čísel?
   Odpoveď:   Ekvivalentnou úpravou - pričítaním ľubovoľného prirodzeného čísla $n \geq 0$ k číslu 5 dostaneme 
   $n+5 \geq 0+5=5> 2$.

Východisko pri zavádzaní celých resp. záporných čísel v školskej matematike je pojem opačného čísla.

Základná škola - Opačné čísla v našich učebniciach sú zavedené nasledovne:

1. Šedivý, O. a kol.: Na číselnej osi sú zobrazené symetricky umiestnené body
   odkaz na učebnicu, str. 41, 54 Tu
Na interpretáciu záporných čísel sa používa okrem číselnej osi aj teplomer ako bežná praktická pomôcka pri meraní teploty (aj mínusovej).
2. Žabka, J.,Černek, P.:Vozenie hore - dole výťahom
   odkaz na učebnicu, str. 49 Tu
Na priblíženie pojmu záporného čísla sa používa výťah alebo nadmorská výška - dosť nereálne situácie pre záporné hodnoty.
3. Berovci: Na číselnej osi sú zobrazené symetricky umiestnené body
   odkaz na učebnicu, str. 7 Tu
Pri ukážke záporných čísel sa používajú príklady z oblasti financií a teplomer - naviac sa približuje reálnemu životu.
4. Situácie typu $2-5$ alebo $2+(-5)$ výhodne môžeme modelovať napríklad na financiách (pokúste sa interpretovať toto odčítanie pri platbe platobnou kartou).
5. Zatiaľ nepoužívame názov záporné číslo. 
6. K pojmu záporného/opačného čísla si v rámci cvičenia vytvoríme dynamický applet, na ktorom budeme modelovať situácie o zmene teploty. Pozrite si ukážku teplomeru Tu a výťahu Tu. Na dynamickom teplomere vymodelujte situáciu, ktorá prezentuje riešenie rovnice
   $x+5=2$.

Zapamätajte si závery:

1. Rovnica má len jedno riešenie, preto musí platiť $(-3) = (2- 5 )$.
2. Namiesto zápisu $(-3)$ budeme používať aj zápis $-3$.
3. Čísla zapísané v tvare $-3$ budeme nazývať záporné čísla a čítať ...
   

Modely

1. Zaujímavý model pre upevňovanie pojmu záporné číslo sú čierne a červené paličky. Tento model vychádza z čínskeho spôsobu zápisu záporných čísel. Tento model je vhodný aj pre žiakov základných škôl. Stačí im povedať pravidlo: Jedna čierna a jedna červená palička sa vyruší. Teda rovnaký počet čiernych a červených paličiek dáva nulu. Potom napríklad rovnosť
   $3+ (-2) = 1$
   môžeme reprezentovať ako obrázok.




2. Model profesora Milana Hejného „Tajná chodba“ používa pravidlo:
• Výstup o jeden schod predstavuje prirodzené číslo 1
• Zostup o jeden schod predstavuje záporné číslo (-1)
• Potom matematickú úlohu na sčítanie v obore celých čísel môžeme prezentovať ako prechádzku po chodbe, v ktorej sa nachádzajú viaceré schodištia v smere nahor ako aj nadol.

Číselná os
Pravdepodobne najprirodzenejším a najpraktickejším modelom pre zobrazovanie celých čísel zrejme ostane číselná os.
Nech je daná priamka a nej body $0$ a $1$, pričom $d(0,1) = 1$.


Applet si môžete stuahnuť Tu

Celému číslu $\small a \in Z$ potom priradíme bod $\small A$ na osi $x$ podľa pravidiel:

1. Pre nezáporné číslo $a$ bude jeho obraz bod na polpriamke $\vec{01}$, pričom bude platiť $d(0,A)=a$.
2. Ak číslo $a$ je záporné, tak jeho obraz bude bod $\small  A'$ na opačnej polpriamke k polpriamke $\vec{01}$, pričom pre vzdialenosť bodu $\small A'$ od počiatku bude platiť $d(0,A')=|a|$.

Sčitovanie a odčitovanie

Sčitovanie a odčitovanie celých čísel sa v dostupných učebniciach matematiky zavádza postupne ako súčet:

(uvádzame postup z učebnice Matematika od prof. Šedivého a kol.)
1. dvoch kladných čísel
2. dvoch záporných čísel
3. kladného a záporného
4. dvoch navzájom opačných čísel
5. zdôrazňuje sa tvrdenie: "Odčítať záporné číslo znamená pričítať číslo opačné."
6. samostatná časť je venovaná počítaniu s nulou.

V závere tohto tematického celku je tento postup názorne zhrnutý pri prezentovaní riešenia príkladu:

V učebnici Žabka - Černek je odčítanie dvoch celých čísel prezentované pomocou pričítania opačného čísla:

V učebniciach didaktiky matematiky spravidla nájdeme len symbolické zápisy vlastností sčítania. Napríklad:

1. $a+ (-a) =0,\ ;\cdot 0=0,\; a\cdot1=a$
2. $a+ (-b)=a-b$ ak $a > b$

kde $a,b \in N \ $.

Poznámky.

1. Pre žiakov 8. ročníka sčítanie a odčítanie nepredstavuje náročné učivo, keďže sa s v bežnom živote stretávajú aj s úlohami pre odčítanie, v ktorých je výsledok záporné číslo. Sú to prevažne úlohy o teplote a financiách.
2. Ak ich chceme žiakov naučiť "sčitovať" dve celé čísla musíme s nimi preriešiť dostatočné množstvo príkladov s konkrétnymi číslami, ktoré korešpondujú so situáciami v bežnom živote.
3. Pre sčítanie a odčítanie celých čísel môžete využiť celú škálu modelov vytvorených v prostredí GeoGebra. Ako príklady uvádzame modely
   • "Číselný rad na sčítanie a odčítanie" od autora Bo Kristensen
     
   • "Odčítanie dvoch celých čísel" od autora Kwanchau
     
4. Pri riešení úloh sa používajú aj formulácie typu: "Ak absolútna hodnota čísla je väčšia ..., tak odčítame ...", ktoré sú pre žiakov málo vypovedajúce. Preto uprednostňujeme formulácie: "Ktorá z "cifier" $a,b$ predstavuje väčšie prirodzené číslo".

Medzi základné operácie v aritmetike celých čísel patrí násobenie a delenie celých čísel. V oboch porovnávaných učebniciach (Šedivý, Žabka) sa problematika násobenia celých opiera o násobenie typu
kladné celé číslo $\times$ záporné celé číslo

Šedivý:


Žabka

Na precvičovanie opäť môžeme vybrať celý rad appletov, ktoré intepretujú operácie násobenia a delenia

1. "Násobenie a delenie celých čísel" od Kwanchau:
   
2. "Násobenie a delenie celých čísel" od Mr. Reilly:
   
3. "Násobenie a delenie celých čísel" od Silverman:
   

Tieto dynamické applety učiteľovi môžu významne pomôcť pri výklade násobenia resp. delenia dvoch záporných celých čísel. Tento prípad - obidve celé čísla sú záporné - sa považuje za najkomplikovanejší z pohľadu učiteľovho výkladu.

Cvičenie.
Pripravte si prezentáciu o násobení a delení celých čísel podľa učebnice od autorov Bero a Berová.

$<span class="nolink">\( .$\)

Príklad
Mamka išla nakúpiť zeleninu. Kúpila 6 balení zemiakov a 3kg uhoriek. Spolu tak mala v taške 6kg zeleniny. Na hodine matematiky mali žiaci 8. triedy vypočítať koľko kg váži 1 balenie zemiakov. 

Pri riešení dospeli k algebrickej rovnici $6x+3=6$, ktorej koeficienty $1, 3, 6$ sú celé čísla. Takúto rovnicu však nedokážu vyriešiť v obore celých čísel. Prečo?

Východisko pri zavádzaní racionálnych čísel v školskej matematike je pojem zlomku.

1. Na chvíľu predpokladajme, že existuje celé číslo, ktoré je riešením danej rovnice $6x=3$.
2. Z vlastností operácie násobenia vieme, že také číslo $x$ je rovné podielu $3 : 6$. Teda muselo by platiť: $x= \frac{3}{6}$. 
3. Zároveň zo základnej školy vieme, že rovnicu $6x+3=6$ môžeme upraviť na tvar $2x+1=2$.
4. Riešením tejto rovnice je aj číslo $x= \frac{1}{2}$, ktoré tiež nie je celé.  
   
5. Zistili sme, že rovnica $6x+3=6$ sú má dve riešenia: „podiely“ $(3:6),(1:2)$ resp. zlomky $x= \frac{3}{6}$, $x= \frac{1}{2}$.

Záver:  Keďže rovnica má len jedno riešenie, tak musí platiť $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Reálne čísla sú čísla racionálne a čísla iracionálne, pričom iracionálne čísla sú čísla, ktoré sa nedajú vyjadriť v tvare zlomku $\frac{p}{q}$.

Termín reálne číslo zaviedol René Descartes (1637) ako spoločný názov pre racionálne a iracionálne čísla

• Viac ako dve tisíc rokov boli známe typy iracionálnych čísel ako odmocniny niektorých prirodzených čísel $\sqrt {2}, \sqrt[3]{2}$ ...
• Euler (1737) dokázal, že číslo $e$ je iracionálne a Lambert ((1768) dokázal, že Ludolfovo číslo $\pi$ je iracionálne
• Charles Hermit (1873) ukázal, že číslo $\pi$ je transcendentné - nie je riešením algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami  
  

Z pohľadu školskej matematiky je dôležité, aby žiaci chápali vzájomný vzťah medzi reálnym číslom a jeho geometrickou interpretáciou.
Každému reálnemu číslu odpovedá práve jeden bod na číselnej osi. Ide o východisko k analytickej geometrii priestoru $E_1$. 

Dokážeme to nepriamo. 
Nech existuje racionálne číslo $r \in Q$, ktoré je riešením  rovnice $x^2=2$. Potom zrejme $r= \frac{p}{q}$, pričom celé čísla $p,q$ sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$ je rovný $1$.
Po dosadení do rovnice $x^2=2$ a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť $p^2=2.q^2$. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo $2$ delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo $p^2$ je párne, preto musí byť aj číslo $p$ párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare $p=2k$. Po dosadení do rovnosti $p^2=2.q^2$ dostávame
            $(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2$ .
Analogickou úvahou zistíme, že číslo $q$ je párne. Keďže aj číslo $p$ je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$ je väčší alebo rovný číslu $2$.
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo $r= \frac{p}{q}$, kde $p,q$ sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.

1. V GeoGebre vytvorte applet pre model "Teplomer". Postup konštrukcie si otvorte Tu.
2. Vytvorte aspoň jednu prezentáciu s niektorou s tém:
• Diofantické rovnice
• Fibonacciho čísla
• Trojuholníkové čísla

Cvičenie

1. Nech $a,b$, kde $a,b,c$ sú prirodzené čísla. Potom existujú také celé čísla $s,t$, že $sa+tb=$ nsd$(a,b)$. Použite matematickú indukciu a Euklidov algoritmus. Larson, 3.1.2.
2. Rovnica $ax+by=c$, kde $a,b,c$ sú celé čísla, má celočíselné riešenie práve vtedy, keď $d=$ nsd$(a,b)$ delí $c$. Ak navyše $(x_0,y_0)$ je nejaké celočíselné riešenie, tak pre každé celé číslo $k$ aj čísla $x'=\frac{x_0-bk}{d} ,\; y'=\frac{y_0-ak}{d}$ sú riešením a všetky celočíselné riešenia majú tento tvar. Larson, 3.1.4.
3. Navrhnite postup ako nabrať jeden liter vody ak máme k dispozícii len 9 a 16 litrovú nádobu.
4. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ je zlomok $\frac{21n+4}{14n+3}$ v základnom tvare. Larson, 3.1.5.
5. Dokážte, že pre každé dve za sebou idúce Fibonacciho čísla $F_n, F_{n+1}, n>2$ sú navzájom nesúdeliteľné v základnom tvare. Larson, 3.1.10.