Predchádzajúci
Nasledujúci

Poznávací proces

Zlomky na ZŠ

Obsahové a výkonové štandardy pre tematický okruh Zlomky na ZŠ zahŕňajú:
  1. Zlomok ako časť celku, chápať, prečítať, zapísať, znázorniť diagramom
  2. Zlomok ako číslo, umiestniť na osi. Nulový a jednotkový, pravý a nepravý zlomok. Prevod na zmiešané číslo. Vyjadrenie desatinným číslom.
  3. Porovnávanie a usporiadanie. Rovnaké zlomky v inom tvare. Základný tvar. Rozširovanie a krátenie.
  4. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakým a rôznym menovateľom.
  5. Násobenie a delenie zlomkov prirodzeným číslom a zlomkom. Krátenie do kríža. Úprava výsledku na základný tvar, resp. zmiešané číslo.
Na zlomok sa môžeme pozerať z hľadiska mnohosti, operátora a adresy. (Hejný a kol., 1989)
  1. Mnohosť odpovedá na otázku „Koľko?“
  2. Operátor sa chápe ako príkaz zmeny, napr. zober z toho 3/4.
  3. Adresa hovorí o usporiadaní, o zaradení do štruktúry, v matematike ide najčastejšie o umiestnenie na číselnú os.

    4.                                            Applet je dostupný Tu, stiahnite si ho a preložte do slovenčiny!
Profesor Hejný identifikuje kritické miesta vo vyučovaní zlomkov.
  1. Prvá predstava zlomku je vo forme operátora – nie 3/4 ako číslo, ale ako vziať 3/4 z niečoho. Ako časť koláča, ktorú si odkrojím.
  2. Pochopiť zlomok ako mnohosť vyžaduje abstrakciu. Pomôžeme si číselnou osou. Zlomok 3/4 predstavuje primárne adresu na číselnej osi. Avšak reprezentuje aj mnohosť – dĺžka úsečky od začiatku osi v čísle 0 po číslo 3/4. A tiež reprezentuje operátor – vyčlenenie troch štvrtín z úsečky s krajnými bodmi 0, 1.
  3. Pred zavedením súčtu a súčinu zlomkov je potrebné doviesť žiaka od predstavy zlomku ako operátora ku zlomku ako mnohosti.
Pri interpretácii zlomkov využívame tri praktické (klasické) modely :
    • úsečka (tyč, doska)
    • kruh (torta, pizza)
    • obdĺžnik rozdelený na štvorčeky (čokoláda).
Každý z nich reprezentuje pevnú jednotku, ktorú rozdeľujeme na časti. Ak ide o 3/4, štandardná predstava je taká, že rozdelíme tortu na 4 kúsky a naložíme si tri. Slovné vyjadrenia postupne skracujeme a povieme už len „štvrtina“. Takto sa utvára abstraktnejšia predstava zlomku ako mnohosti.
Ďalší krok je vziať 3/4 z dvoch tort, potom 3/4 z ľubovoľného celočíselného počtu tort a napokon 3/4 z torty, ktorá už raz bola rozkrájaná. Napríklad 3/4 z polovice torty. Názorná dynamická vizualizácia týchto krokov je práve hlavným cieľom DGS.
Z pohľadu vyššej matematiky (Teoretická aritmetika) zlomky v školskej matematike chápeme ako racionálne čísla, pričom dva zlomky \frac{a}{b}, \frac{c}{d} budú predstavovať to isté racionálne číslo, ak bude platiť rovnosť
ad = cb
Počas štúdia na VŠ sme zistili, že množina racionálnych čísel obsahuje všetky zlomky, ktorých čitateľ je celé číslo a menovateľ je kladné prirodzené číslo.
Pri zavádzaní operácií sčítania a násobenia racionálnych čísel v školskej matematike sa opierame o sčítanie a násobenie zlomkov. Pre ľubovoľné dva zlomky \frac{a}{b}, \frac{c}{d} platí:

sčítanie         \frac{a}{b} + \frac{c}{d}= \frac{ad+cb}{bd}
násobenie    \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{ac}{bd}
Úloha
Posúďte Cilkino uvažovanie resp. jej riešenie.
Ukážka z práce "Hejný, M. a kol., 25 kapitol z didaktiky matematiky".
Cilka chodí do 6. triedy a doteraz mala  samé jednotky. V druhom polroku došlo k zmene učiteľa matematiky, ktorý ku koncu prvej hodiny dal náročnú úlohu.
Úloh
Koľko šestín je nutné pridať k dvom tretinám, aby sme dostali štyri štvrtiny?
Cilkino riešenie
Cilka chcela od pána učiteľa vysvetliť návod na riešenie takýchto úloh. Keď sa dozvedela, že návod neexistuje, zneistela. Za pomoci pána učiteľa a množstva obrázkov, ktoré jej pán učiteľ ponúkol, Cilka nedokázala určiť správny výsledok.
Nevzdávala sa. Nakoniec však zažiarila a zvolala: "Už to viem! Je to na odčítanie zlomkov. Akože 4/4 mínus 2/3. To som vyrátala a dostala som 4/12. Ale to (zvýši hlas) treba ešte vykrátiť dvomi, aby sme mali šestiny. To sú dve šestiny. Takže sú to dva. Je to tak?
Záver - zhodnotenie učiteľa: "Radosť Cilky a moja bezmocnosť spôsobili, že som túto polopravdu zbabelo odsúhlasil a vzdal som sa ďalšieho vysvetľovania."
Poznámky.
  1. Podľa prof. Hejného: "Zrejme pre Cilku zlomok nie je objekt, ale len dvojica čísel oddelená vodorovnou čiarou." Súhlasíte s týmto názorom?
  2. V čom je výnimočný Cilkin algebraický postup?
  3. Pokúste sa vytvoriť vhodný separovaný model, ktorý by pomohol Cilke vyriešiť túto úlohu a argumentačne zdôvodniť riešenie. Náš návrh modelu si stiahnite Tu.
  4. Analyzujte situáciu keby sme pozmenili úlohu takto: Koľko tretín je nutné pridať k dvom pätinám, aby sme dostali štyri štvrtiny?
  5. Ktorú z metód v takto pozmenenej úlohe je výhodnejšie aplikovať - Cilkinu, či (nezverejnenú) metódu "nového" učiteľa?
  6. Nájdite univerzálny (generický) model na interpretáciu úloh typu: Koľko \frac{1}{p} treba pridať k \frac{1}{q} , aby sme dostali \frac{m}{m} ?
Pozrite si knihu appletov ku zlomkom Tu a prácu Zlomky a Geogebra1)
______________________________________________________________________
1) Podmanický, M.: Zlomky a GeoGebra, Práca DPŠ, FPV UMB 2020. Dostupné Tu
2) Študentská prezentácia - Hejný, M. a kol.: 25 kapitol/Zlomky. Dostupné Tu

\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci