Kružnica, kruh

Definícia.
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu S   vzdialenosť  rovnú kladnému reálnemu číslu r  sa nazýva kružnica so stredom \small S a polomerom r . Symbolicky
\small k = \lbrace{x \in \mathbb{E^2 };\; | SX|=r \rbrace} .
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu \small S vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu r sa nazýva kruh so stredom \small S a polomerom r . Symbolicky
\small K= \lbrace{x \in \mathbb{E^2 };\; \left| SX \right| \leq r \rbrace} .
Bod \small S nazývame stred kružnice resp. stred kruhu a číslo r> 0 polomer kružnice resp. kruhu.
Ľubovoľné dva body kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery \small SA,SB rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva \small AB rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.

Otvorte si applet Tu.
Definícia.
  1. Nech je daná kružnica \small k(S;r) a body \small A,B, ktoré rozdeľujú kružnicu na dva kružnicové oblúky. Uhol \small ASB nazývame stredový uhol prislúchajúci k oblúku \small AB.
  2. Ak na kružnici zvolíme tri body \small A,B,C, potom uhol \small ACB sa nazýva obvodový uhol prislúchajúci k oblúku \small AB.
V geometrii skúmame vlastnosti geometrických útvarov v dvoch základných kategóriách, ktoré zahŕňajú:
  1. polohové vlastnosti,
  2. metrické vlastnosti.
V tejto kapitole budeme skúmať:
  1. vzájomnú polohu priamky a kružnice,
  2. vzájomnú polohu dvoch kružníc.
a z hľadiska metrického sa zameriame na:
  1. vzťah medzi veľkosťou stredového uhla a prislúchajúcich obvodových uhloch v kružnici, 
  2. mocnosť bodu ku kružnici.
Nech je daná kružnica \small k (S; r) a priamka p. Skúmajme vzájomnú polohu kružnice k a priamky p.
Je daná kružnica \small k (S; r) a priamka p. Nech \small v = SP je vzdialenosť priamky od stredu kružnice k.
Môžu nastať len tri prípady: \small SP > r, SP = r  alebo \small SP < r. Aktivujte zaškrtávacie políčko v  applete.

Otvorte si applet Tu.
  1. Ak má priamka p od stredu \small S kružnice k vzdialenosť v > r, tak priamka p kružnicu k nepretína.
    • Priamka p sa nazýva nesečnica kružnice k.
  2. Ak priamka má od stredu kružnice vzdialenosť rovnú polomeru v=r , tak má priamka s kružnicou jediný spoločný bod \small T .
    • Priamka, ktorá má s kružnicou jediný spoločný bod, sa nazýva dotyčnica kružnice.
    • Spoločný bod priamky a kružnice je bod dotyku.
    • Dotyčnica je vždy kolmá na polomer kružnice \small ST .
  3. Ak má priamka od stredu kružnice vzdialenosť v < r, tak má priamka a kružnica dva rôzne spoločné body.
    • Priamka, ktorá má s kružnicou dva rôzne spoločné body, sa nazýva sečnica kružnice.
    • Spoločné body priamky a kružnice sú ich priesečníky.
Príklad.
Je daná kružnica \small k(S; r) a jej dotyčnica t . Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú kružnice k tak aj priamky t a majú pritom polomer d .

Otvorte riešenie Tu.
Definícia.
Dané dve kružnice k_1(S_1;r_1), k_2 (S_2;r_2) s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka) \small S_1S_2) ) sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.
Ak pre dve kružnice platí: \small S_1S_2 > r_1 + r_2 , tak nemajú spoločný bod: k_1 ∩ k_2 = ∅ . Hovoríme, že kružnice ležia mimo seba.
Ak pre dve kružnice platí: \small r_1 - r_2 < S_1S_2 < r_1 + r_2 , tak kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch \small A,B).
Ak pre dve kružnice platí:   0 < S_1S_2 < r_1 - r_2 , tak jedna kružnica leží vo vnútri druhej.

V applete zmeňte polohu bodu \small S_2, otvorte applet Tu.
Ak majú kružnice len jeden spoločný bod \small k_1 ∩ k_2 = T , tak hovoríme, že kružnice sa dotýkajú.
  1. Kružnice majú vonkajší dotyk , ak platí: \small S_1S_2 = r_1 + r_2 .
  2. Kružnice majú vnútorný dotyk, ak platí: \small S_1S_2 = r_1 - r_2 .
\( .\)