Geometria kružnice
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Planimetria a stereometria |
Kniha: | Geometria kružnice |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:41 |
Kružnica, kruh
Definícia.
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu
vzdialenosť rovnú kladnému reálnemu číslu
sa nazýva kružnica so stredom
a polomerom
. Symbolicky
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu
vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu
sa nazýva kruh so stredom
a polomerom
. Symbolicky
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9675b5d61a63b01419a46d9a48e3c7b.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eb9df7abe24e8bbf743fdbfcff51ea53.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
Bod
nazývame stred kružnice resp. stred kruhu a číslo
polomer kružnice resp. kruhu.
Ľubovoľné dva body kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery
rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva
rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
![r> 0 r> 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dc3d2f6a3612fd721e3a759c54de63b4.png)
Ľubovoľné dva body kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery
![\small SA,SB \small SA,SB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce1c024d5cde3296692980151b4d4b96.png)
Tetiva
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70dcdb2c7b6f8c1847050898533f39e8.png)
Definícia.
V geometrii skúmame vlastnosti geometrických útvarov v dvoch základných kategóriách, ktoré zahŕňajú:
- polohové vlastnosti,
- metrické vlastnosti.
- vzájomnú polohu priamky a kružnice,
- vzájomnú polohu dvoch kružníc.
- vzťah medzi veľkosťou stredového uhla a prislúchajúcich obvodových uhloch v kružnici,
- mocnosť bodu ku kružnici.
Je daná kružnica
a priamka
. Nech
je vzdialenosť priamky od stredu kružnice
.
Môžu nastať len tri prípady:
alebo
.
Aktivujte zaškrtávacie políčko v applete.
![\small k (S; r) \small k (S; r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63f84ab4548e268abf06bfc0307412e9.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![\small v = SP \small v = SP](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/97b87b41d2940edb345c2a2270effd17.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
Môžu nastať len tri prípady:
![\small SP > r, SP = r \small SP > r, SP = r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4a3aa56c456a8dc1ebf69a62c4963ee.png)
![\small SP < r \small SP < r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ede19d68dae592d6fd1205efd336fb62.png)
-
Ak má priamka
od stredu
kružnice
vzdialenosť
, tak priamka
kružnicu
nepretína.
-
Ak priamka má od stredu kružnice vzdialenosť rovnú polomeru
, tak má priamka s kružnicou jediný spoločný bod
.
- Priamka, ktorá má s kružnicou jediný spoločný bod, sa nazýva dotyčnica kružnice.
- Spoločný bod priamky a kružnice je bod dotyku.
- Dotyčnica je vždy kolmá na polomer kružnice
.
-
Ak má priamka od stredu kružnice vzdialenosť
, tak má priamka a kružnica dva rôzne spoločné body.
- Priamka, ktorá má s kružnicou dva rôzne spoločné body, sa nazýva sečnica kružnice.
- Spoločné body priamky a kružnice sú ich priesečníky.
Definícia.
Dané dve kružnice
s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka)
)
sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.
Dané dve kružnice
![k_1(S_1;r_1), k_2 (S_2;r_2) k_1(S_1;r_1), k_2 (S_2;r_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1da3d924279dea0d4c3902743b75584e.png)
![\small S_1S_2) \small S_1S_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/733990c7deeef32a74b54ca0a3176184.png)
Veta o obvodových uholch
Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.
-
Priložený applet je motivačný a môžete ho využiť pri skúmaní závislosti veľkosti obvodových uhlov
od polohy bodu
.
-
Veľkosť obvodového uhla nezávisí od polohy bodu
, rozhodujúce sú body
resp. uhol
.
- Konštrukcia oblúka, z ktorého vidieť úsečku pod daným uhlom. Otvorte si konštrukciu Tu.<\li>
- Ak body
sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.
Dôkaz (vety o obvodových uhloch).
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.
Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.
- "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch."
- "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú" (Kniha 1, Tvrdenie V).
Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:
Dôsledok.
Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech
je vnútorný bod uhla
. Potom obvodový uhol
je polovicou stredového
uhla
.
Nech
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small ∡ACB \small ∡ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5e7f8c964ae580b62e50f0a8af6c5b0.png)
![\small ACB \small ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43dea23a8b93336c5ed5325e5c29f23f.png)
![\small ASB \small ASB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/137fb77e4dfcbb6b1014067bc66b6c03.png)
Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech
leží na ramene uhla
Potom obvodový uhol
je tiež polovicou stredového uhla
.
Nech
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small ∡ACB \small ∡ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5e7f8c964ae580b62e50f0a8af6c5b0.png)
![\small ACB \small ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43dea23a8b93336c5ed5325e5c29f23f.png)
![\small ASB \small ASB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/137fb77e4dfcbb6b1014067bc66b6c03.png)
Posuňte bod C proti smeru hodinových ručičiek do krajnej polohy vľavo tak, aby body
ležali na jednej priamke (boli kolineárne). Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.
![\small B, S, C \small B, S, C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0444829f55cc013ebb05afbfd75300b3.png)
Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol
je polovicou stredového uhla
.
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol
![\small ACB \small ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43dea23a8b93336c5ed5325e5c29f23f.png)
![\small ASB \small ASB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/137fb77e4dfcbb6b1014067bc66b6c03.png)
Zrejme platí
. Pozrime sa na rozdiel uhlov pri vrchole
.
Zistíme, že
. Keďže trojuholníky
,
sú rovnoramenné, tak platí
Pozrite si konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Pre bod
môžu nastať len tieto tri prípady, preto je dôkaz vety o obvodových uhloch ukončený.
![\omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta \omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6673a1f47aa658183becdba8f236655.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
![\small \angle ACB= \angle ACS-\angle BCS \small \angle ACB= \angle ACS-\angle BCS](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5847f7b39e2980265322433aeca1cf88.png)
![\small ASC \small ASC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ebbe632d4a0fc488a6a9884c92eb424f.png)
![\small BSC \small BSC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f50934da1c93959dbd7f7facca5574f.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
Príklad.
Určte veľkosti vnútorných (obvodových) uhlov trojuholníka s vrcholmi
na hodinovom ciferníku znázorneného na obrázku "Ciferník". Zmeňte nastavenie hodín na 8:00 a bod Pohyblivý na pozíciu 15:00, určte veľkosti vnútorných uhlov pre takéto nastavenie. Po otvorení appletu, čas môžete meniť použitím posuvníkov.
Určte veľkosti vnútorných (obvodových) uhlov trojuholníka s vrcholmi
![\small Hod, Min, Pohyblivý \small Hod, Min, Pohyblivý](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7558cf875eb5a88610753e9c364431c8.png)
V planimetrii sa pomerne často vyskytujú úlohy, v ktorých sa hľadá množina
bodov s danou vlastnosťou
.
Symolicky to môžeme zapísať takto
. Takéto množiny sa tiež označujú ako "Geometrické miesta bodov (GMB)". Riešenie takýchto úloh sa
skladá z troch častí:
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355f017391e3e7d5b7e86e7865782136.png)
![\small M= \lbrace{X \in E^2; \text{ph}V(X)=1}\rbrace \small M= \lbrace{X \in E^2; \text{ph}V(X)=1}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e1d132e3fdf4cd5f36a818f8aa996ec.png)
Ukážka
♥ Je daná kružnica
a na nej dva body
.
Pre každý priemer (\small XY\) kružnice
zostrojíme (ak existuje) priesečník priamok
.
Určte množinu všetkých takých priesečníkov. Budeme predpokladať, že
nie je priemer kružnice. (Larson 8.1.2.).
V tomto prípade budeme pri experimentovaní postupovať takto:
je kružnicový
oblúk
. Na overenie platnosti výroku "
má vlastnosť
" teraz stačí ukázať, že výroková formula
je tautológia.
To je však zrejmé. Keďže aj opačný postup
je tautológia, tak aj časť C je pravdivý výrok.
♥ Je daná kružnica
![\small k (S, r)) \small k (S, r))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e99c136e5092fa9bf88ebc6aaeceda2.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5abb7419695794b6d9c1f0b33d0df8d5.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small AX, BY \small AX, BY](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3e47bf761996673626db05debce006f.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4124171f6b852a5059881f411546716f.png)
V tomto prípade budeme pri experimentovaní postupovať takto:
- Thalesova veta hovorí, že trojuholníky
sú pravouhlé s pravým uhlom pri vrcholoch
.
- Obvodové uhly
a
majú rovnakú veľkosť
.
- Označme si
a
.
- Súčet uhlov v trojuholníku je 180°, preto
bude
.
- Odtiaľ dostávame, že súčet uhlov
je konštantný pre ľubovoľný priemer
a dva pevné body
.
- Preto aj vrcholové uhly
majú konštantnú veľkosť. To znamená, že body
ležia na kružnicovom oblúku
.
- K nájdeniu oblúka stačí zvoliť jeden priemer
a jeden odpovedajúci priesečník
.
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![\small (APB) \small (APB)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6cdef5ec30549fddf5efd3a3b49ddaf5.png)
![\small X \in M \Rightarrow X \small X \in M \Rightarrow X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2ae91cea1b5391cba9b9592734bc904.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355f017391e3e7d5b7e86e7865782136.png)
![[(1. \wedge 2.) \Rightarrow 4] \Rightarrow (5. \wedge 6.) [(1. \wedge 2.) \Rightarrow 4] \Rightarrow (5. \wedge 6.)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d2466a43806dc0ae93b0078ee6c0d9a.png)
![[(5. \wedge 6.) \Rightarrow 4.] \Rightarrow 1. [(5. \wedge 6.) \Rightarrow 4.] \Rightarrow 1.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1b9ba53c25e2235ca080665d0afdfcae.png)
Poznámky.
- Pri určovaní GMB je mnohokrát najťažší krok A.
- Program GeoGebra tento krok zjednoduší tým, že pomocou nástroja "Množina bodov" (nachádza sa v sekcii nástrojov "Kolmica") vykreslí hľadanú
množinu
.
- Potom je však nutné realizovať kroky B a C.
- Pozrite si aplikovanie tohto nástroja v kurze Didaktika matematiky v knihe Množiny bodov. Dostupné Tu.
Cvičenie.
Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica
so stredom
a polomerom
. Bod
leží zvonka kružnice. Nech
je sečnica
kružnice
vedená bodom
a
sú priesečníky sečnice s kružnicou
.
![\small k(S,r) \small k(S,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/376e2f36a6d801ef990ba9f179932608.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28acd24a6211b4a19687ce89123a567d.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d572956b265c891bdb3bacbcca08e1fd.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/585ec141563b1ad143178d444e0b654e.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/585ec141563b1ad143178d444e0b654e.png)
Skúmajme súčin
. Po otvorení motivačného appletu a experimentovaním s polohou bodu
, môžeme vysloviť hypotézu:
![\small m = |MA| \cdot |MB| \small m = |MA| \cdot |MB|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f35c81583dbc9ca48bb098d9e62c43b.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
Otvorte si motivačný applet Tu.
Otázky.
Je súčin
nezávislý od polohy sečnice
? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov
?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod
leží vo vnútri kružnice
? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.
Je súčin
![\small m = |MA| \cdot |MB| \small m = |MA| \cdot |MB|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6876548c5456f1e1531115933c0bc287.png)
![\small p= \overleftrightarrow{AB} \small p= \overleftrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c972851c0d2930523159564562b65e24.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![\small k(S,r) \small k(S,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/376e2f36a6d801ef990ba9f179932608.png)
Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu
roviny možno priradiť reálne číslo
, pre ktorého absolútnu hodnotu platí
, pričom
Ľubovoľnému bodu
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![m m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png)
![\small |m| = |MA| × |MB| \small |m| = |MA| × |MB|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aa8d9268ccd567b276bd0e1cb44c6fbb.png)
Dôkaz.
Dokázať tento dôsledok je veľmi jednoduché. Stačí zvoliť sečnicu
tak, aby prechádzala stredom kružnice. V takom prípade bude
![\small CD \small CD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1d29055fe12bab1a6b0ea1f9f39ea9b.png)
Poznámka.
V prípade, keď bod
leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky
sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo
záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.
V prípade, keď bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
![\small \triangle MCA, \triangle MBD \small \triangle MCA, \triangle MBD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d3b32c8c6ddb55885408838bf67090e3.png)
![\small m = v^2 -r^2 \small m = v^2 -r^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eeff05fac214ff218721d15379827cce.png)
Nasledujúca veta platí len v prípade, že bod
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![\small |MT| \small |MT|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5de1275b720b7749f6702e2fea5f283c.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb696248eb2c28bc8a9a6dff20438463.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
Veta 2.
Pre mocnosť bodu
, ktorý leží zvonka kružnice
, platí rovnosť
. Bod
je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom
.
Pre mocnosť bodu
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![\small k(S,r) \small k(S,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ded4c1dd1277d0c7b085e809f42d50e5.png)
![\small m = |MT|^2=v^2 -r^2 \small m = |MT|^2=v^2 -r^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/07bb1df9ef8d7696e1e812f8cab528a5.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo veta 1.
Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov
, ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí
.
Pri odvodení vzťahu
môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník
je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.
- Vzťah
platí pro ľubovoľnú sečnicu.
- Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode
.
- Bod
i bod
sa blížia k bodu
.
- Veľkosť úsečky
sa blíži k veľkosti úsečky
.
- Z toho usudzujeme, že súčin
sa blíži k súčinu
.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/414026/mod_book/chapter/9691/MocnostVeta2.png)
![\small \triangle MAT, \triangle MTB \small \triangle MAT, \triangle MTB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/85a6574f5ae73588d729c6b64dbf32da.png)
![\small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|} \small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f8d41afea960cfaecbf4bbddcda4601.png)
Pri odvodení vzťahu
![\small m = |MT|^2=v^2 -r^2 \small m = |MT|^2=v^2 -r^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dd5b5ba8f58b2d978bad35947c14e63.png)
![\small MST \small MST](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e08634c03190262731921a7114624f5.png)
Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice
. Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.
Majme dve nesústredné kružnice
![\small k_i(S_i,r_i), i=1,2 \small k_i(S_i,r_i), i=1,2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a003df590dcc2e040d33441bf8c47d33.png)
Korektnosť definície a konštrukcia chordály.
- Dané kružnice
sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
- Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť
k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
- V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu
, ktorá pretína obe kružnice
. Zostrojme chordály
. Ich priesečník označme
. Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc
. Aktivujte si priložený applet.