Geometria kružnice

Definícia.
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu $S$  vzdialenosť  rovnú kladnému reálnemu číslu $r$ sa nazýva kružnica so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Symbolicky Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu $\small S$ vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu $r$ sa nazýva kruh so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Symbolicky

Bod $\small S$ nazývame stred kružnice resp. stred kruhu a číslo $r> 0$ polomer kružnice resp. kruhu.
Ľubovoľné dva body kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery $\small SA,SB$ rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva $\small AB$ rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.

Definícia.
Dané dve kružnice $k_1(S_1;r_1), k_2 (S_2;r_2)$ s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka) $\small S_1S_2)$ ) sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.

Ak majú kružnice len jeden spoločný bod $\small k_1 ∩ k_2 = T$, tak hovoríme, že kružnice sa dotýkajú.

1. Kružnice majú vonkajší dotyk , ak platí: $\small S_1S_2 = r_1 + r_2$.
2. Kružnice majú vnútorný dotyk, ak platí: $\small S_1S_2 = r_1 - r_2$.

Nech $\small ACB$ je oblúk kružnice $\small k (S; r)$ a jemu prislúchajúci obvodový uhol $\small ∢ ACB$. Skúmajme jeho veľkosť.

Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.

Otvorte motivačný applet Tu.

1. Priložený applet je motivačný a môžete ho využiť pri skúmaní závislosti veľkosti obvodových uhlov $\small ∢ ACB$ od polohy bodu $\small C$.
2. Veľkosť obvodového uhla nezávisí od polohy bodu $\small C$, rozhodujúce sú body $\small A,B$ resp. uhol $ω$.
3. Konštrukcia oblúka, z ktorého vidieť úsečku pod daným uhlom. Otvorte si konštrukciu Tu.<\li>
4. Ak body $\small A, B$ sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.
   Definícia.
   Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou $\small AB$ je kružnica $k$ s priemerom $\small AB$ okrem bodov $\small A, B$. Kružnicu $k$ nazývame Thálesova kružnica.

Dôkaz (vety o obvodových uhloch).
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.

1. "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch."
2. "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú" (Kniha 1, Tvrdenie V).

Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:

Dôsledok.

Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ je vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

1. Zvoľme bod $\small C$ na kružnici $\small k(S, r=SA$ tak, aby bod $\small S$ bol vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$.
2. Podľa predchádzajúceho dôsledku veľkosť vonkajšieho uhla $\small \angle ASC_1$ trojuholníka $\small ASC$ pri vrchole $\small S$ je rovná dvojnásobku veľkosti uhla $\small \angle SCA$ pri základni rovnoramenného trojuholníka $\small ASC$. Podobne pre trojuholník $\small BSC$ platí $\small \angle BSC_1$=2.$\small \angle SCB$.
3. Odtiaľ dostávame
   $\small \angle ASB$=2.\( \small \angle ACB).

Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ leží na ramene uhla $\small ∡ACB$ Potom obvodový uhol $\small ACB$ je tiež polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Posuňte bod C proti smeru hodinových ručičiek do krajnej polohy vľavo tak, aby body $\small B, S, C$ ležali na jednej priamke (boli kolineárne). Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.

Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Zrejme platí $\omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta$. Pozrime sa na rozdiel uhlov pri vrchole $\small C$. Zistíme, že $\small \angle ACB= \angle ACS-\angle BCS$. Keďže trojuholníky $\small ASC$, $\small BSC$ sú rovnoramenné, tak platí Pozrite si konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Pre bod $\small C$ môžu nastať len tieto tri prípady, preto je dôkaz vety o obvodových uhloch ukončený.

Príklad.
Určte veľkosti vnútorných (obvodových) uhlov trojuholníka s vrcholmi $\small Hod, Min, Pohyblivý$ na hodinovom ciferníku znázorneného na obrázku "Ciferník". Zmeňte nastavenie hodín na 8:00 a bod Pohyblivý na pozíciu 15:00, určte veľkosti vnútorných uhlov pre takéto nastavenie. Po otvorení appletu, čas môžete meniť použitím posuvníkov.

V planimetrii sa pomerne často vyskytujú úlohy, v ktorých sa hľadá množina $\small M$ bodov s danou vlastnosťou $\small V$. Symolicky to môžeme zapísať takto $\small M= \lbrace{X \in E^2; \text{ph}V(X)=1}\rbrace$. Takéto množiny sa tiež označujú ako "Geometrické miesta bodov (GMB)". Riešenie takýchto úloh sa skladá z troch častí:

1. Najskôr musíme určiť základné charakteristické prvky danej množiny (najčastejšie experimentálne) resp. komplexne popísať danú množinu $\small M$. Potom overiť platnosť výrokov:
2. $\small X \in M \Rightarrow X$ má vlastnosť $\small V$,
3. ak $\small X$ má vlastnosť $\small V$, tak patrí do množiny $\small M$.

Ukážka
♥ Je daná kružnica $\small k (S, r))$ a na nej dva body $\small A,B$. Pre každý priemer (\small XY\) kružnice $k$ zostrojíme (ak existuje) priesečník priamok $\small AX, BY$. Určte množinu všetkých takých priesečníkov. Budeme predpokladať, že $AB$ nie je priemer kružnice. (Larson 8.1.2.).
V tomto prípade budeme pri experimentovaní postupovať takto:

1. Thalesova veta hovorí, že trojuholníky $\small XAY, XBY$ sú pravouhlé s pravým uhlom pri vrcholoch $\small A,B$.
2. Obvodové uhly $\small \angle AXB$ a $\small \angle BYA$ majú rovnakú veľkosť $\alpha$.
3. Označme si $\small \phi = \angle AXY$ a $\small \psi = \angle BYX$.
4. Súčet uhlov v trojuholníku je 180°, preto bude $\phi+\alpha =90°- \psi, \; \psi+ \alpha =90°- \phi$.
5. Odtiaľ dostávame, že súčet uhlov $\phi+ \psi$ je konštantný pre ľubovoľný priemer $\small XY$ a dva pevné body $\small AB$.
6. Preto aj vrcholové uhly $\small \angle XPY=\angle APB$ majú konštantnú veľkosť. To znamená, že body $\small P$ ležia na kružnicovom oblúku $\small (APB)$.
7. K nájdeniu oblúka stačí zvoliť jeden priemer $\small XY$ a jeden odpovedajúci priesečník $\small P=AX \cap BY$.

Postup, ktorý sme popísali v týchto 7 krokoch, zahŕňa časť A aj časť B. Experimentálne sme stanovili, že množina $\small M$ je kružnicový oblúk $\small (APB)$. Na overenie platnosti výroku "$\small X \in M \Rightarrow X$ má vlastnosť $\small V$" teraz stačí ukázať, že výroková formula $[(1. \wedge 2.) \Rightarrow 4] \Rightarrow (5. \wedge 6.)$ je tautológia. To je však zrejmé. Keďže aj opačný postup $[(5. \wedge 6.) \Rightarrow 4.] \Rightarrow 1.$ je tautológia, tak aj časť C je pravdivý výrok.

Poznámky.

1. Pri určovaní GMB je mnohokrát najťažší krok A.
2. Program GeoGebra tento krok zjednoduší tým, že pomocou nástroja "Množina bodov" (nachádza sa v sekcii nástrojov "Kolmica") vykreslí hľadanú množinu $\small M$.
3. Potom je však nutné realizovať kroky B a C.
4. Pozrite si aplikovanie tohto nástroja v kurze Didaktika matematiky v knihe Množiny bodov. Dostupné Tu.

Cvičenie.

1. Akú veľkosť má uhol $\small \angle CDB$? (Thálesova veta)

Zadanie Tu.
2. Daný je trojuholník a kružnica k so stredom $\small S$, vpísaná do trojuholníka. Body dotyku kružnice k so stranami trojuholníka sú označené $\small D, E, F$. Veľkosť uhla \small $\small \small \angle DAE$ je 32°. Akú veľkosť má uhol \small $\small \angle DFE$?
   
   Zadanie Tu.

Je daná kružnica $\small k(S,r)$ so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Bod $\small M$ leží zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small M$ a $\small A,B$ sú priesečníky sečnice s kružnicou $k$ .

Skúmajme súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$. Po otvorení motivačného appletu a experimentovaním s polohou bodu $\small M$, môžeme vysloviť hypotézu:

Otvorte si motivačný applet Tu.

Otázky.
Je súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$ nezávislý od polohy sečnice $\small p= \overleftrightarrow{AB}$? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov $\small A,B$?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice $\small k(S,r)$? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.

Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu $\small M$ roviny možno priradiť reálne číslo $m$ , pre ktorého absolútnu hodnotu platí $\small |m| = |MA| × |MB|$, pričom

1. $m > 0$ pre bod $\small M$ ležiaci mimo kružnice (vonkajší bod kružnice),
2. $m = 0$ pre bod $\small M$ ležiaci na kružnici (bod kružnice),
3. $m < 0$ pre bod $\small M$ ležiaci vnútri kružnice (vnútorný bod kružnice).
Číslo $m$ sa nazýva mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $k$.

Veta 1.
Mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $\small k(S,r)$ nezávisí od polohy sečnice kružnice, ktorá prechádza bodom $\small M$ .

Dôkaz.

1. Uvažujme o trojuholníkoch $\small \triangle MCA, \triangle MBD$.
2. Obvodové uhly k oblúku $\small AC$ pri vrcholoch $\small B,D$ sú zhodné.
3. Uhol $\xi$ pri vrchole $\small M$ je spoločný pre obidva trojuholníky.
4. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné.
5. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{MB|}{|MD|}=\frac{ |MC|}{|MA|}$.
6. Odtiaľ dostávame $\small |MA| × |MB| = |MC| × |MD|=$konštanta.
7. Tým je dôkaz ukončený.

Dokázať tento dôsledok je veľmi jednoduché. Stačí zvoliť sečnicu $\small CD$ tak, aby prechádzala stredom kružnice. V takom prípade bude

• $\small \left| MD\right|=\left| MS\right|+\left| SD\right|=v+r$  a
• $\small \left| MC\right|=\left| MS\right|-\left| SC\right|=v-r$.
Po vynásobení $(v+r)(v-r)=v^2-r^2$.

Poznámka.
V prípade, keď bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo $\small m = v^2 -r^2$ záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.

Veta 2.
Pre mocnosť bodu $\small M$, ktorý leží zvonka kružnice $\small k(S,r)$, platí rovnosť $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$. Bod $\small T$ je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom $\small M$.

Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo veta 1.

1. Vzťah $\small |m| = |MA| × |MB|$ platí pro ľubovoľnú sečnicu.
2. Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode $\small T$.
3. Bod $\small A$ i bod $\small B$ sa blížia k bodu $\small T$.
4. Veľkosť úsečky $\small MA$ sa blíži k veľkosti úsečky $\small MT$.
5. Z toho usudzujeme, že súčin $\small MA × MB$ sa blíži k súčinu $\small MT × MT = {MT}^2$.

Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov $\small \triangle MAT, \triangle MTB$, ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|}$.
Pri odvodení vzťahu $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$ môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník $\small MST$ je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.

Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.

Korektnosť definície a konštrukcia chordály.

1. Dané kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$ sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
2. Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť $m = 0$ k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
3. V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu $\small  k_3(S_3,r_3)$, ktorá pretína obe kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Zostrojme chordály $\small  chord(k_i,k_3)=\overleftrightarrow{A_iB_i}, \; i=1,2$. Ich priesečník označme $\small P$. Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Aktivujte si priložený applet.