Neeuklidovská geometria
Neeuklidovská geometria
Hyperbolická priamka
Pokračovanie dôkazu tvrdenia o priemete h-priamky, v ktorom využijeme tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici.
Tvrdenie
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu .
Pri dôkaze budeme potrebovať aj pojem dvojice inverzných bodov a pojem polárneho prvku v kruhovej inverzii. Viac o kruhovej inverzii nájdete v kurze Planimetria a stereometria
Tu. Najskôr dokážeme lemu:
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu .
Lema
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu a nech bod je obrazom bodu v tejto kruhovej inverzii. Zvoľme si ľubovoľnú ale pevne zvolenú kružnicu prechádzajúcu dvojicou inverzných bodov . Ak kružnica pozostáva výlučne len z dvojíc inverzných bodov vzhľadom na kružnicu - hranicu kruhu , tak kružnica pretína kružnicu - hranicu kruhu kolmo.
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu a nech bod je obrazom bodu v tejto kruhovej inverzii. Zvoľme si ľubovoľnú ale pevne zvolenú kružnicu prechádzajúcu dvojicou inverzných bodov . Ak kružnica pozostáva výlučne len z dvojíc inverzných bodov vzhľadom na kružnicu - hranicu kruhu , tak kružnica pretína kružnicu - hranicu kruhu kolmo.
Dôkaz
Otvorte si applet v programe GeoGebra - dôkaz Tu. Pozrite si tiež prácu [HYP].
V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie.
- Nech body sú priemety bodov h-priamky . Pozrite si priložený obrázok.
- Podľa predchádzajúcej časti dôkazu (i.) platí
. - Odkiaľ: bod je obrazom bodu aj v kruhovej inverzii . Podobne to môžeme povedať aj o bodoch .
- Nech je kružnica určená bodmi , potom v dôsledku mocnosti bodu ku kružnici bude aj bod bodom kružnice .
- Teraz uvažujme o dotykových bodoch na dotyčniciach z bodu ku kružnici .
- Mocnosť bodov ku kružnici
- Z toho vyplýva, že body sú samodružné v kruhovej inverzii .
- Priamky sú dotyčnice ku kružnici . Odkiaľ .
- Kružnica je kolmá na kružnicu . Tým je dôkaz lemy ukončený.
Otvorte si applet v programe GeoGebra - dôkaz Tu. Pozrite si tiež prácu [HYP].
V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie.
Poincarè diskový model (tiež sa používa označenie
Poincarè Disc) hyperbolickej roviny je prezentovaný v euklidovskej rovine ako
otvorený kruh
. Euklidovskú geometriu roviny môžeme považovať za „ontológiu pozadia“.
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincarè diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincarè diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:
- vlastný bod je vnútorný bod kruhu, ktorý je priemetom vlastného h-bodu hyperboloidu;
- koncový bod (resp. nevlastný bod) ležiaci na hranici kruhu, ktorý je priemetom nevlastného bodu 1. druhu;
- priamka je otvorený kružnicový oblúk kruhu - je priemetom h-priamky (hyperboly), pričom tento oblúk leží na kružnici kolmej na hranicu kruhu
Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma bodmi kruhu s výhodou využijeme vlastnosti kruhovej inverzie a konštrukcie popísané v predchádzajúcom dôkaze.
Poznámky
- V ďalšej podkapitole navrhneme v prostredí GeoGebra konštrukciu a zároveň aj nástroj na zostrojenie hyperbolickej priamky určenej dvoma rôznymi bodmi v Poincarè modeli disku. V konštrukcii využijeme inverzné body.
- Pri riešení konštrukčných úloh v Poincarè modeli potrebujeme okrem konštrukcie hyperbolickej priamky potrebovať aj konštrukciu kružnice a ďalších základných euklidovských konštrukcií (kolmica, os úsečky a pod).