Planimetria a stereometria

V historickom vývoji geometrie nájdeme dva východiskové míľniky, ktoré by sme mohli charakterizovať tromi otázkami:
„Ako to vytvoriť? “
„Prečo to platí?“
„Platí piaty Euklidov postulát?“
Pozrite si práce [GRE], [VAL].

1. Začiatok tejto cesty „Ako “ patrí približne do obdobia dvoch tisícročí pred naším letopočtom, do obdobia mezopotámskeho a egyptského staroveku.
2. Obdobie „Prečo“ zahŕňa obdobie od antického Grécka až po objavy neeuklidovských geometrií. S úctou k velikánom gréckej matematiky a filozofie treba zdôrazniť, že mnohé grécke myšlienky predbehli svoju dobu o dve nasledujúce tisícročia.

Objav neeuklidovských geometrií v 19. storočí patrí k najvýznamnejším historickým etapám vo vývoji matematiky a mal hlboký vplyv na vedu a filozofiu. Slovami M. Greenberga (pozrite si prácu [GRE]): Prenikaním informačno-komunikačných technológií (IKT) do života spoločnosti koncom 20. storočia nášho letopočtu sa začala revolúcia nielen v myslení ľudí ale aj v organizácii a riadení ich práce. Používanie IKT vo vzdelávacom procese sa stalo neodmysliteľnou súčasťou moderného vyučovania. V tejto práci chceme poukázať na nové možnosti riešenia konštrukčných úloh v hyperbolickej neeuklidovskej geometrie využitím nových nástrojov v programe GeoGebra. Zameriame sa na model Poincare Disc, v ktorom budeme riešiť základné geometrické úlohy len použitím "neeuklidovského" pravítka a kružítka.

Definícia.
Neeuklidovská geometria je taká geometria, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (axióma rovnobežnosti) ale spĺňa axiómy incidencie, usporiadania a zhodnosti.

Neeuklidovské geometrie rozdeľujeme do dvoch kategórií:

1. Hyperbolická geometria, v ktorej daným bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve rovnobežky.
2. Parabolická geometria, v ktorej neexistuje žiadna rovnobežka idúca daným bodom neležiacim na danej priamke.

V našej práci sa budeme zaoberať len hyperbolickou rovinnou geometriou.
Za východisko pre hyperbolickú rovinu si vezmeme dvojdielny hyperboloid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.

Uskutočníme dve operácie:

1. Operácia "stotožnenie" každých dvoch bodov hyperboloidu súmerných podľa jeho stredu. Takouto operáciou redukujeme daný hyperboloid len na jednu jeho časť. Takto definovanú dvojicu bodov nazývame združené body. V ďalších úvahách budeme pracovať len s jeho jednou časťou hyperboloidu, napríklad s "hornou časťou".
2. Operácia "prienik" bude predstavovať rez hyperboloidu stredovou rovinou, ktorá je určená dvomi rôznymi bodmi (dvomi združenými dvojicami bodov) a stredom hyperboloidu. Teoreticky stredová rovina môže byť trojakého typu: reálne pretína hyperboloid v hyperbole, môže sa dotýkať hyperboloidu alebo ho nepretína v reálnom prieniku.

Teraz môžeme definovať základné primitívne pojmy pre hyperbolickú geometriu.

1. Bod hyperbolickej roviny je trojakého typu:
   • vlastný bod hyperboloidu je dvojica $\small A, A'$ združených bodov, ktorú nazývame h-bod
   • nevlastný (limitný) bod $\small C_ \infty$ hyperboloidu (stotožnené body na nevlastnej kružnici) nazývame nevlastný bod 1. druhu
   • nevlastné body priestoru Euklidovského priestoru, ktoré na ploche hyperboloidu neležia, nazývame nevlastný bod 2. druhu
   Napríklad bod $\small A$ (spolu so združeným bodom A') hyperboloidu je vlastný h-bod hyperbolickej roviny.
2. Priamka hyperbolickej roviny je krivka, ktorá vznikne ako prienik (rez) hyperboloidu s ľubovoľnou stredovou rovinou¹⁾. Keďže rezy takých rovín môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolických h-priamok.
   • ak prienikom stredovej roviny s hyperboloidom je hyperbola, tak túto krivku (hyperbolu) nazývame h-priamka
   • ak prienik obsahuje len povrchovú priamku asymptotickej²⁾ kužeľovej plochy (rovina sa dotýka hyperboloidu v nekonečne), tak tento prienik budeme považovať za nevlastnú h-priamku 1. druhu (rovina hyperboloid reálne pretne v komplexne združených rovnobežkách)
   • nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná h-priamka 2. druhu.

Poznámky.

1. Stredová rovina (priamka) je rovina (priamka) prechádzajúca stredom $O$ hyperboloidu.
2. Asymptotická kužeľová plocha je rotačná plocha, ktorá sa dotýka rotačného hyperboloidu v nevlastnej kužeľosečke.
3. Nevlastný (limitný) bod $\small C_ \infty$ hyperboloidu (stotožnené body na nevlastnej kružnici) nazývame nevlastný h-bod 1. druhu.
4. Nevlastné body priestoru Euklidovského priestoru, ktoré na ploche hyperboloidu neležia, nazývame nevlastný h-bod 2. druhu.
5. Keďže rezy stredových rovín s hyperboloidom môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolických h-priamok:
   • ak prienik obsahuje len povrchovú priamku asymptotickej kužeľovej plochy (rovina sa dotýka hyperboloidu v nekonečne), tak tento prienik budeme považovať za nevlastnú h-priamku 1. druhu (rovina hyperboloid reálne pretne v komplexne združených rovnobežkách)
   • ak stredová rovina nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná h-priamka 2. druhu.