Neeuklidovská geometria

V historickom vývoji geometrie nájdeme dva východiskové míľniky, ktoré by sme mohli charakterizovať tromi otázkami:
„Ako to vytvoriť? “
„Prečo to platí?“
„Platí piaty Euklidov postulát?“
Pozrite si práce [GRE], [VAL].

1. Začiatok tejto cesty „Ako “ patrí približne do obdobia dvoch tisícročí pred naším letopočtom, do obdobia mezopotámskeho a egyptského staroveku.
2. Obdobie „Prečo“ zahŕňa obdobie od antického Grécka až po objavy neeuklidovských geometrií. S úctou k velikánom gréckej matematiky a filozofie treba zdôrazniť, že mnohé grécke myšlienky predbehli svoju dobu o dve nasledujúce tisícročia.

Objav neeuklidovských geometrií v 19. storočí patrí k najvýznamnejším historickým etapám vo vývoji matematiky a mal hlboký vplyv na vedu a filozofiu. Slovami M. Greenberga (pozrite si prácu [GRE]): Prenikaním informačno-komunikačných technológií (IKT) do života spoločnosti koncom 20. storočia nášho letopočtu sa začala revolúcia nielen v myslení ľudí ale aj v organizácii a riadení ich práce. Používanie IKT vo vzdelávacom procese sa stalo neodmysliteľnou súčasťou moderného vyučovania. V tejto práci chceme poukázať na nové možnosti riešenia konštrukčných úloh v hyperbolickej neeuklidovskej geometrie využitím nových nástrojov v programe GeoGebra. Zameriame sa na model Poincare Disc, v ktorom budeme riešiť základné geometrické úlohy len použitím "neeuklidovského" pravítka a kružítka.

Definícia.
Neeuklidovská geometria je taká geometria, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (axióma rovnobežnosti) ale spĺňa axiómy incidencie, usporiadania a zhodnosti.

Neeuklidovské geometrie rozdeľujeme do dvoch kategórií:

1. Hyperbolická geometria, v ktorej daným bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve rovnobežky.
2. Parabolická geometria, v ktorej neexistuje žiadna rovnobežka idúca daným bodom neležiacim na danej priamke.

V našej práci sa budeme zaoberať len hyperbolickou rovinnou geometriou.
Za východisko pre hyperbolickú rovinu si vezmeme dvojdielny hyperboloid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.

Uskutočníme dve operácie:

1. Operácia "stotožnenie" každých dvoch bodov hyperboloidu súmerných podľa jeho stredu. Takouto operáciou redukujeme daný hyperboloid len na jednu jeho časť. Takto definovanú dvojicu bodov nazývame združené body. V ďalších úvahách budeme pracovať len s jeho jednou časťou hyperboloidu, napríklad s "hornou časťou".
2. Operácia "prienik" bude predstavovať rez hyperboloidu stredovou rovinou, ktorá je určená dvomi rôznymi bodmi (dvomi združenými dvojicami bodov) a stredom hyperboloidu. Teoreticky stredová rovina môže byť trojakého typu: reálne pretína hyperboloid v hyperbole, môže sa dotýkať hyperboloidu alebo ho nepretína v reálnom prieniku.

Teraz môžeme definovať základné primitívne pojmy pre hyperbolickú geometriu.

1. Bod hyperbolickej roviny je trojakého typu:
   • vlastný bod hyperboloidu je dvojica $\small A, A'$ združených bodov, ktorú nazývame h-bod
   • nevlastný (limitný) bod $\small C_ \infty$ hyperboloidu (stotožnené body na nevlastnej kružnici) nazývame nevlastný bod 1. druhu
   • nevlastné body priestoru Euklidovského priestoru, ktoré na ploche hyperboloidu neležia, nazývame nevlastný bod 2. druhu
   Napríklad bod $\small A$ (spolu so združeným bodom A') hyperboloidu je vlastný h-bod hyperbolickej roviny.
2. Priamka hyperbolickej roviny je krivka, ktorá vznikne ako prienik (rez) hyperboloidu s ľubovoľnou stredovou rovinou¹⁾. Keďže rezy takých rovín môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolických h-priamok.
   • ak prienikom stredovej roviny s hyperboloidom je hyperbola, tak túto krivku (hyperbolu) nazývame h-priamka
   • ak prienik obsahuje len povrchovú priamku asymptotickej²⁾ kužeľovej plochy (rovina sa dotýka hyperboloidu v nekonečne), tak tento prienik budeme považovať za nevlastnú h-priamku 1. druhu (rovina hyperboloid reálne pretne v komplexne združených rovnobežkách)
   • nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná h-priamka 2. druhu.

Poznámky.

1. Stredová rovina (priamka) je rovina (priamka) prechádzajúca stredom $O$ hyperboloidu.
2. Asymptotická kužeľová plocha je rotačná plocha, ktorá sa dotýka rotačného hyperboloidu v nevlastnej kužeľosečke.
3. Nevlastný (limitný) bod $\small C_ \infty$ hyperboloidu (stotožnené body na nevlastnej kružnici) nazývame nevlastný h-bod 1. druhu.
4. Nevlastné body priestoru Euklidovského priestoru, ktoré na ploche hyperboloidu neležia, nazývame nevlastný h-bod 2. druhu.
5. Keďže rezy stredových rovín s hyperboloidom môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolických h-priamok:
   • ak prienik obsahuje len povrchovú priamku asymptotickej kužeľovej plochy (rovina sa dotýka hyperboloidu v nekonečne), tak tento prienik budeme považovať za nevlastnú h-priamku 1. druhu (rovina hyperboloid reálne pretne v komplexne združených rovnobežkách)
   • ak stredová rovina nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná h-priamka 2. druhu.

Poincarè model

• model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• stred premietanie je vrchol $\small V'=(0,0,-1)$ (spodná časť) hyperboloidu
• premietame do roviny kolmej na os hyperboloidu, ktorá prechádza stredom hyperboloidu $\small O=(0,0,0)$.

• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je zrejme otvorený kruh $\omega=(O,\; r < 1)$
• tento otvorený kruh so stredom $\small O$ sa nazýva Poincarè Disc

Tvrdenie

1. Priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu $\small \omega (O,\; r=1)$.
2. Priemetom h-priamky (hyperboly) je otvorený kružnicový oblúk kruhu, ktorý je kolmý na jeho hranicu $\omega$.

Dôkaz

1. Dôkaz prvej časti tohto tvrdenia vyplýva z vlastností stredového premietania, v ktorom sa kužeľová plocha obaľujúca hyperboloid zobrazí do kružnice $\small (O,\; r=1)$. To znamená, že ľubovoľný bod hyperboloidu sa zobrazí do vnútra kruhu $\small \omega (O,\; r \leq 1)$. 
2. Dôkaz druhej časti o priemete h-priamky (reálne stredovej hyperboly) rozdelíme na dve etapy i. a ii.
   1. Nech $\small A,A'$ je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech $\small A_1,A'_1$ sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností $a_1,a'_1$ bodov $\small A_1,A'_1$ od stredu $\small O$ hyperboloidu platí:
      $a_1 \times a'_1=[ \frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}-1)] \times [\frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}+1)]=1$.
      Dôkaz toho, že súčin vzdialeností $\small | OA_1| \times | OA'_1|$ je konštantný je prezentovaný v nižšie priloženom applete.
      
      Dynamický obrázok si otvoríte Tu; interpretácia na hyperboloide Tu.
   2. Musíme ešte dokázať, že priemety h-bodov $\small A$ h-priamky (hyperboly) v označení $\small A_1$ ležia na kružnici kolmej na kružnicu $\small \omega (O,\; r=1)$. Dôkaz je v ďalšej kapitole tejto práce. Pri dôkaze budeme potrebovať tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici.

Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica $\small k (S_k, r_k)$ a bod $\small O$, ležiaci zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small O$ a nech $\small A_1, A'_1$ sú priesečníky sečnice $p$ s kružnicou $\small k (S_k, r_k)$. Pod mocnosťou bodu $\small O$ ku kružnici $\small k (S_k, r_k)$ rozumieme číslo $m$, pre ktoré platí: $\small m = |OA_1| . |OA'_1|$.

Viac o mocnosti bodu ku kružnice nájdete v kurze Planimetria a stereometria Tu. Vlastnosť mocnosť stačí vhodne aplikovať na náš prípad. Ilustráciu tvrdenia o priemete h-priamky prezentuje nasledujúci applete. Podrobný dôkaz (časti ii.) nájde čitateľ v ďalšej podkapitole s názvom "Hyperbolická priamka". Pozrite si tiež kapitolu "The Poincaré Disk Model" v práci [HIT].

Beltramiho-Kleinov model
Model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu do roviny kolmej na os hyperboloidu, pričom

• stred premietanie je stred hyperboloidu - bod $\small O=(0,0,0)$
• rovina, do ktorej premietame je dotyková rovina hyperboloidu v jeho vrchole $\small V=(0,0,1)$
• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je otvorený kruh $\small k=(V,r=1)$, ak $a=b=c=1$
• kruh s vrcholom $\small V$ a polomerom $r=1$ sa nazýva Klein Disc
• priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu.

Zhrnutie

1. Bodmi Beltrami Kleinovho modelu sú body Klein Disku.
2. Priamkami sú tetivy tohto disku.

V obidvoch hyperbolických modeloch (Beltrami a Poincarè) neplatí axióma rovnobežnosti.

1. V obidvoch prípadoch existuje viac ako jedna rovnobežka.
2. Existencia rovnobežky vyplýva z prvých skupín axióm.
3. V modeli "Sféra" nemáme zaručenú ani existenciu rovnobežky.
4. Kleinov disk a Poincarè disk sú modely, ktoré vzniknú aj premietaním  do vhodnej roviny. Pozri Disk a hyperboloid.
5. Výhodou modelu Klein je, že priamky v tomto modeli sú euklidovské (rovné) tetivy. Nevýhodou je, že model nie je konformný (kruhy a uhly sú skreslené).
6. Neeuklidovská hyperbolická geometria reprezentovaná Poincarè diskom je konformná.

Tvrdenie
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$.

Lema
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$ a nech bod $\small A'$ je obrazom bodu $\small A$ v tejto kruhovej inverzii. Zvoľme si ľubovoľnú ale pevne zvolenú kružnicu $k$ prechádzajúcu dvojicou inverzných bodov $\small A,A'$. Ak kružnica $k$ pozostáva výlučne len z dvojíc inverzných bodov vzhľadom na kružnicu - hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$, tak kružnica $k$ pretína kružnicu  - hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$  kolmo.

Dôkaz

1. Nech body $\small A,B$ sú priemety bodov h-priamky $\small AB$. Pozrite si priložený obrázok.
2. Podľa predchádzajúcej časti dôkazu (i.) platí
   $| OA| \times | OA'|=| OB| \times | OB'|=1$.
3. Odkiaľ: bod $\small A'$ je obrazom bodu $\small A$ aj v kruhovej inverzii $(O,\;r = 1)$. Podobne to môžeme povedať aj o bodoch $\small B,B'$.
4. Nech $k$ je kružnica určená bodmi $\small A,A',B$, potom v dôsledku mocnosti bodu $\small O$ ku kružnici $k$ bude aj bod $\small B'$ bodom kružnice $k$.
5. Teraz uvažujme o dotykových bodoch $\small P,Q$ na dotyčniciach z bodu $\small O$ ku kružnici $k$.
6. Mocnosť bodov $\small A,B,P,Q$ ku kružnici $k$
   $\small \left| OB \right| \times \left|OB' \right|=\left| OP \right|^2=\left| OQ \right|^2=1$
7. Z toho vyplýva, že body $\small P,Q$ sú samodružné v kruhovej inverzii $(O,\;r = 1)$.
8. Priamky $\small \overleftrightarrow{OP}, \overleftrightarrow{OQ}$ sú dotyčnice ku kružnici $k$. Odkiaľ $\small \overleftrightarrow{SP} ⟂\; \overleftrightarrow{OP}, \; \overleftrightarrow{SP}⟂ \; \overleftrightarrow{OP}$.
9. Kružnica $k$ je kolmá na kružnicu $\omega$.
Tým je dôkaz lemy ukončený.

V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie.

Priemetom h-priamky $\small AB$ je otvorený oblúk $\small \widehat{PAQ}$ na kružnici $k$.

Poincarè diskový model (tiež sa používa označenie Poincarè Disc) hyperbolickej roviny je prezentovaný v euklidovskej rovine ako otvorený kruh $\omega = \lbrace{(x, y) : x^2 + y^2 < 1; x,y \in \mathcal{R} }\rbrace$. Euklidovskú geometriu roviny môžeme považovať za „ontológiu pozadia“.
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincarè diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:

• vlastný bod je vnútorný bod kruhu, ktorý je priemetom vlastného h-bodu hyperboloidu;
• koncový bod (resp. nevlastný bod) ležiaci na hranici kruhu, ktorý je priemetom nevlastného bodu 1. druhu;
• priamka je otvorený kružnicový oblúk kruhu - je priemetom h-priamky (hyperboly), pričom tento oblúk leží na kružnici kolmej na hranicu kruhu
Zostrojiť bod v Poincaré modeli znamená zostrojiť bod vo vnútri kruhu ω, čo nie je žiadny problém.
Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma bodmi kruhu s výhodou využijeme vlastnosti kruhovej inverzie a konštrukcie popísané v predchádzajúcom dôkaze.

Poznámky

1. V ďalšej podkapitole navrhneme v prostredí GeoGebra konštrukciu a zároveň aj nástroj na zostrojenie hyperbolickej priamky určenej dvoma rôznymi bodmi v Poincarè modeli disku. V konštrukcii využijeme inverzné body.
2. Pri riešení konštrukčných úloh v Poincarè modeli potrebujeme okrem konštrukcie hyperbolickej priamky potrebovať aj konštrukciu kružnice a ďalších základných euklidovských konštrukcií (kolmica, os úsečky a pod).

Poznámky.

1. Konštrukcie v Poincarè Disku si uľahčíme, ak v GeoGebre vytvoríme vlastné nástroje, ktorými sa "vykreslí" resp. zostrojí požadovaný útvar.
2. Vychádzame z tvrdenia, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k Poincarè disku.
3. Najskôr musíme popísať konštrukciu, ktorá vytvorí požadovaný kolmý oblúk (obraz h-priamky).
4. Potom pomocou makier vytvoríme nástroj, pomocou ktorého sa zostrojí požadovaný kolmý oblúk.

Príklad (Vytvorenie nástroja).
Daný je kruh $\small \omega (O, r=1)$ a body $\small A, B$ ležiace vnútri kruhu, pričom úsečka $\small AB$ nie je priemerom. Zostrojte obraz hyperbolickej h-priamky určenej bodmi $\small A, B$ v prostredí GeoGebra.

Riešenie - zostrojenie kružnicového oblúka v Euklidovskej rovine
Predpokladajme, že aspoň jeden z bodov $\small A, B$ je vnútorný bod kruhu $\small \omega$ a je rôzny od stredu $\small O$. Podľa už dokázaného tvrdenie je hľadaná h-priamka kružnicový oblúk, ktorý je určený bodmi $\small A, B$ a zároveň leží na kružnici kolmej ku kruhu $\small \omega (O, r=1)$. Pozrite si nasledujúci obrázok.
Postup euklidovskej konštrukcie.

1. V kruhovej inverzii $\small \omega (O, r=1)$ zostrojíme obrazy $\small A', B'$ bodov $\small A, B$.
2. Zostrojíme kružnicu $k$ určenú bodmi $\small A, A', B'$ alebo bodmi $\small A, B, B'$. Nájdeme priesečníky $\small K,L$.
3. Na kružnici $\small k (S_k, r)$ vyznačíme menší z oblúkov, ktoré sú určené krajnými bodmi $\small K,L$.
4. Menší oblúk je hľadaný obraz hyperbolickej priamky $\small AB$. Túto konštrukciu si otvoríte Tu.

Konštrukciu kružnicového oblúka, ktorá zohľadňuje aj prípady

1. úsečka $\small AB$ je priemerom kružnice $\small \omega (O, r=1)$ - v konštrukcii tento prípad má názov "Diameter"
2. obidva body $\small A, B$ ležia na kružnici $\small \omega (O, r=1)$ ale nie sú priemerom - v konštrukcii tento prípad má názov "Nevlastne",
nájdete v nami vytvorenom applete Tu.

Túto konštrukciu si uložte do vášho PC napríklad pod názvom "h-Priamka". Táto konštrukcia bude východiskom pre vytvorenie Nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz h-priamky v Poincarè modeli.
Postup na vytvorenie nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz hyperbolickej priamky v Poincarè modeli.

1. Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor uložený s názvom "h-Priamka".
2. V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
3. Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
   • ako výstupné objekty vyberte oblúk "hPriamka" (otvorte si aj algebraické okno)
   • ako vstupné objekty vyberte body: $\small A,B$
   • vhodne pomenujte nástroj, napr. "hPriamka", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
   • v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body a potom klikni na kružnicu"
   • zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov" (nie je nutné).
4. Ak už vidíte novú ikonku nástroja hPriamka, tak v tejto konštrukcii kliknite v stĺpci Súbor na Nový.
5. Nákresňa je "čistá" ale ikonka hPriamka je tam (ak nie, tak Prispôsobte paletu nástrojov) . Teraz si vytvorte kružnicu $\small (O, r=1$ a vhodne zväčšite plochu nárysne. Uložte si tento súbor napr. s názvom Nástroj hPriamka.

Nami novovytvorený nástroj hPriamka v GeoGebre na zostrojenie obrazu h-priamky v modeli Poincaré Disc $\small \omega$ s polomerom $r=1$ si môžete otvoriť Tu (je umiestnený vpravo na lište nástrojov).
Používanie nástroja hPriamka je analogické ako v euklidovskej rovine. Najskôr si zvoľte dva rôzne body vo vnútri kruhu $\small \omega$ - pomocou nástroja Bod. Potom aktivujte nástroj hPriamka a program vykreslí kružnicový oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).

Cvičenie.
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorého sa vykreslí obraz hyperbolickej úsečky (časti hyperboly) v modeli Poincarè Disku.
Využite kompletnú konštrukciu hPriamky.
Pokračujte v tejto konštrukcii krokmi:

1. zostrojte stred oblúka "hPriamka", ktorý označte napr. $\small S_h$
2. potom zostrojte oblúk s názvom "hUsecka" určený stredom $\small S_h$ a krajnými bodmi $\small A,B$ a
3. následne vytvorte GeoGebra nástroj s rovnakým názvom "hUsecka".

Porovnajte vaše riešenie s riešením Tu.

Nech sú dané dva rôzne body $\small S$ a $\small A$ na hyperboloide. 

1. Uvažujme o kružnici $\small k=(S; r= | SA|$, ktorej všetky body sú bodmi hyperboloidu. Symbolicky: $\small \forall X \in k \Rightarrow X \in HYP$.
2. Nech bod $\small B$ je stredovo súmerný k bodu $\small A$ podľa stredu $\small S$, potom bod $\small B$ je tiež bodom kružnice $k$ a zároveň bodom hyperboloidu.
3. Nech $\rho$ je určená bodmi $\small A,S$ a bodom StredPremietania. Táto rovina pretína daný dvojdielny hyperboloid v hyperbole (v applete červená krivka).
4. Zostrojme dotyčnice k tejto hyperbole v bodoch $\small A,B$ a ich priesečník $\small S_1$.
5. Potom platí nasledujúce tvrdenie, ktoré uvádzame bez dôkazu. K dôkazu sú potrebné širšie znalosti stredového premietania kužeľosečiek.

Tvrdenie
Priemetom kružnice $\small k=(S; r=|SA|$ do stredovej roviny (Poincaré disku $\small  \omega= \lbrace{x^2+y^2< 1; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$) je kružnica $\small k'=(S'_1; r= | S'_1A'|$,

Poznámka.
Na základe tohto tvrdenia môžeme uskutočniť konštrukciu, pomocou ktorej zostrojíme kružnicu v Poincaré disku určenú stredom $\small S$ a bodom $\small A$ a na základe tejto konštrukcie aj nástroj v GeoGebre pomocou, ktorého narysujeme kružnicu v modeli Poincaré Disc.

Poznámka.
Teraz už máme tri základné (euklidovské) nástroje: hPriamku hUsecku a hKružnicu v Geogebre.

Základné "hyperbolické" konštrukcie v Poincarè Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$, ktoré sú zovšeobecnením euklidovských konštrukcií, sú prezentované formou riešených úloh. Pri riešení úloh z z neeuklidovskej geometrie je vhodné, aby ste si najskôr stiahli applet "Poincaré Disk" vytvorený v prostredí GeoGebra. Pomocou tohto appletu vieme zostrojiť hyperbolickú úsečku a priamku; kružnicu určenú stredom a bodom resp. polomerom; vieme určiť vzdialenosť dvoch bodov.

Riešené úlohy z neeuklidovskej geometrie.

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABC$ pomocou hyperbolických kružníc $\small k_1=(A,AB), k_2=(B,AB)$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I).
   Riešenie Tu.
2. Zostrojte hyperbolickú priamku $\mu \subset \omega$, ktorá je osou úsečky $\small \alpha =AB$, kde $\small A,B \in \omega$.
   Návod:
   1. Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholník $\small ABC, ABC'$, kde $\small C'$ je súmerný bod podľa priamky $\small AB$.
   2. V trojuholníku $\small ABC$ zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi $\small C,C'$.
   3. Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
   4. Riešenie Tu.
3. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \in \alpha$. Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AP, PC$ ukážte, že uhly pri päte kolmice sú pravé.
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
4. Zostrojte hyperbolickú rovnobežku k hyperbolickej priamke $\small a=AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \notin a$. Využite vlastnosť striedavých uhlov.

Poznámka.
Euklidove tvrdenia využívané v tejto časti platia aj v hyperbolickej geometrii, keďže sú nezávislé na piatom Euklidovom postuláte.

Cvičenie.

Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$.


1. Zostrojte rovnoramenný trojuholník $\small ABC$ so základňou $\small AB$ pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AB, AC$ a k hPriamkam $\small AB, BC$ určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
2. Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.
3. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá neprechádza bodom $\small P \notin \alpha$.
   
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
4. Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka $\small ABC$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).
   

Poznámky.

1. Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
2. Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka $\small ABC$ je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice $k$ a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
3. Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.