Planimetria a stereometria

Definícia (trojuholník v Hibertovom axiomatickom systéme).
Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $\small ABC$ rozumieme prienik polrovín$\small \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
$\small \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Základné pojmy.

1. Body $\small A, B, C$ sú jeho vrcholy.
2. Jednotlivé úsečky $\small AB,BC,AC$ sú strany $\small \triangle ABC$.
3. Vrcholy a strany tvoria spolu hranicu trojuholníka $\small \triangle ABC$.
4. Body, ktoré sú zároveň vnútornými bodmi polrovín $\small \overrightarrow {ABC}, \overrightarrow {BCA},\overrightarrow {CAB}$ sú vnútorné body alebo vnútro $\small \triangle ABC$.
5. Body, ktoré neležia ani na hranici ani vnútri $\small \triangle ABC$, sú vonkajšie body alebo vonkajšok $\small \triangle ABC$.

Poznámky.

1. Množinové poňatie pojmu trojuholník je vhodné pre SŠ
   Trojuholník $\small ABC$ je množina všetkých bodov, ktoré súčasne ležia v polrovinách $\small \vec{ABC} , \vec{BCA},\vec{CAB}$, pričom body $\small A,B,C$ sú nekolineárne.
2. Pojem trojuholníka vhodný pre 2. stupeň ZŠ
   Nech $\small A, B, C$ sú tri nekolineárne body. Trojuholník $\small ABC$ je časť roviny ohraničená úsečkami $\small ABC$.

Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:

1. Veta o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.
2. Trojuholníkovú nerovnosť.

Veta (Súčet vnútorných uhlov).
Súčet všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je priamy uhol (veľkosť je rovná 180°).

Euklides pri dôkaze tejto vety sa opiera o tvrdenia (pozrite si podkapitolu Vety o trojuholníku)

• T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
• T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"

Interpretácia - existuje mnoho appletov, ktoré interpretujú vetu o súčte vnútorných uhlov. Aktivujte si dva, v ktorých:

Euklidov dôkaz - applet Tu.