Geometria trojuholníka

Definícia (trojuholník v Hibertovom axiomatickom systéme).
Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $\small ABC$ rozumieme prienik polrovín$\small \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
$\small \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Základné pojmy.

1. Body $\small A, B, C$ sú jeho vrcholy.
2. Jednotlivé úsečky $\small AB,BC,AC$ sú strany $\small \triangle ABC$.
3. Vrcholy a strany tvoria spolu hranicu trojuholníka $\small \triangle ABC$.
4. Body, ktoré sú zároveň vnútornými bodmi polrovín $\small \overrightarrow {ABC}, \overrightarrow {BCA},\overrightarrow {CAB}$ sú vnútorné body alebo vnútro $\small \triangle ABC$.
5. Body, ktoré neležia ani na hranici ani vnútri $\small \triangle ABC$, sú vonkajšie body alebo vonkajšok $\small \triangle ABC$.

Poznámky.

1. Množinové poňatie pojmu trojuholník je vhodné pre SŠ
   Trojuholník $\small ABC$ je množina všetkých bodov, ktoré súčasne ležia v polrovinách $\small \vec{ABC} , \vec{BCA},\vec{CAB}$, pričom body $\small A,B,C$ sú nekolineárne.
2. Pojem trojuholníka vhodný pre 2. stupeň ZŠ
   Nech $\small A, B, C$ sú tri nekolineárne body. Trojuholník $\small ABC$ je časť roviny ohraničená úsečkami $\small ABC$.

Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:

1. Veta o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.
2. Trojuholníkovú nerovnosť.

Veta (Súčet vnútorných uhlov).
Súčet všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je priamy uhol (veľkosť je rovná 180°).

Euklides pri dôkaze tejto vety sa opiera o tvrdenia (pozrite si podkapitolu Vety o trojuholníku)

• T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
• T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"

Interpretácia - existuje mnoho appletov, ktoré interpretujú vetu o súčte vnútorných uhlov. Aktivujte si dva, v ktorých:

Euklidov dôkaz - applet Tu.

Trojuholníky môžeme rozčleniť podľa viacerých kritérií, napríklad podľa:

1. dĺžky jeho strán
2. veľkosti najväčšieho vnútorného uhla.

Vzhľadom na dĺžky (veľkosti) strán v danom trojuholníku rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Rovnostranný trojuholník - všetky strany trojuholníka majú rovnakú dĺžku (sú navzájom zhodné). 
2. Rovnoramenný trojuholník - práve (len) dve strany rovnakej dĺžky (sú navzájom zhodné).
3. Rôznostranný trojuholník - všetky strany majú rozličnú dĺžku (žiadne dve strany trojuholníka nie sú zhodné).

Poznámka
Zdôvodnenie, že neexistuje viac druhov trojuholníkov vyplýva z dichotomického hľadiska. Pre tri veľkosti strán (resp. pre tri čísla: $a,b,c$ môžu nastať len prípady:
                 1. $a=b=c$, 2. $a=b≠c$, 3. $a≠b, a≠c, b≠c$

Vzhľadom na veľkosti veľkosti najväčšieho vnútorného uhla rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Ostrouhlý trojuholník – má všetky vnútorné uhly menšie ako 90° (tri ostré uhly).
2. Pravouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90° (jeden pravý uhol). 
3. Tupouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol väčší ako 90° (tupý uhol) a ostatné uhly má ostré.

V priloženom applete "Rozdelenie trojuholníkov" môžete generovať rôzne typy trojuholníkov tak, že budete pohybovať vrcholmi trojuholníka. Vytvorte rôzne typy trojuholníkov, ktoré sú charakterizované veľkosťou strán a veľkosťou uhlov. Nájdite napríklad takú polohu vrcholov trojuholníka, aby bol pravouhlý a súčasne rovnoramenný (ak taký existuje). Pokúste sa zodpovedať otázku: Koľko rôznych typov trojuholníkov reálne vznikne?

Úloha.
Nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8. Práca [LAR] (Larson, Príklad 8.1.16, Tu)

Riešenie.

1. Geometrické modelovanie/riešenie pomocou GeoGebry vhodné aj pre základné školy.
   
   Applet otvoríte Tu.
2. Konštrukčné riešenie
   
   Applet otvoríte Tu.
3. Algebraické riešenie pomocou kosínusovej vety vhodné pre stredné školy
   $\alpha= cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right)$
   $\beta= cos^{-1}\left( \frac{1}{112} \; \left(x - 113 \right) \right)$
   $x - 64 - 25 = -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos^{-1} \left( 2 \; \pi - cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right) - cos^{-1} \left( \frac{x - 113}{112} \right) \right)$ Applet Tu

Definícia (Deliaci pomer).
Nech $\small A,B,C$ sú tri kolineárne body také, že $\small A \neq B, C \neq B$. Deliaci pomer bodu $\small C$ vzhľadom k bodom $\small A,B$ rozumieme reálne číslo $\lambda$ (označenie $\small (ABC)$), pre ktoré platí
$\small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|}$.
Pre bod $\small C \notin AB$ je $\small (ABC) > 0$ a pre bod $\small C \in AB$ je $\small (ABC) < 0$. Pre $\small C =A$   je zrejme $\small (ABC) = 0$.

Poznámky.

1. V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo $\lambda$, pre ktoré platí:
   $\small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$.
   Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
2. Deliaci pomer stredu úsečky je rovný -1. Dokážte to.
3. Pre tri rôzne kolineárne body platí:
   $\small (BAC) = \frac{1}{(ABC)} ; \;  \;  \;  (ACB) = 1-(ABC); \;  \;  \;  (CAB) = \frac{1}{1−(ABC)}$ .
   Dokážte to.
4. V rovine sú dané dva pevne body $\small A,B$. Množina všetkých bodov $\small X$ tejto roviny, pre ktoré platí
   $\small \frac{|AX|}{|BX|} = k$,
   kde $k$ je reálna konštanta, je kružnica. Dokážte to a vytvorte konštrukciu v GeoGebre.

Cevova veta.
V trojuholníku $\small ABC$ sa priamky $\small {AK},{BK},{CK}$, kde $\small K$ je vnútorným bodom trojuholníka $\small ABC$ a $\small D,E,F$ sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
$\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$

Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod. Uvedieme jej prvú časť dôkazu, ktorý má konštrukčný charakter.
Dôkaz.
1. ($\Rightarrow$): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak $\small S=1$.
2. ($\Leftarrow$): Ak $\small S=1$, tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci [Val, 2005].

Poznámky.
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku sa:

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar $\frac{m}{m} =1$.)
2. Výšky pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr. $\small \frac{|AF|}{|FB|}= \frac{b \cdot cos \; \alpha }{a \cdot cos \; \beta }$, ak $\small CF$ je výška.)
3. Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
4. Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.

Morleyho veta.
Ak v trojuholníku $\small ABC$ zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka $\small KLM$.

Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.

Poznámky.

1. V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety $\small USU$ (uhly pri vrchole $\small U$ ... os uhla, pri vrchole $\small Z$ majú veľkosť $30^ \circ$, strana $\small UZ$ spoločná).
2. V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník $\small UXY$ je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
   • zo zhodnosti trojuholníkov $\small UXZ,UYZ$ vyplýva, že uhly pri vrcholoch $\small X,Y$ sú zhodné,
   • preto sú zhodné aj uhly $\small \angle XYU, \angle YXU: \angle UXY = \angle UXZ-60^ \circ$,
   • zároveň vieme, že platí $\small \angle XUY = \angle BUA = 180^ \circ - 2\alpha - 2\beta$.
   • trojuholníky $\small UXY,UYX$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
   • Odkiaľ pre ich veľkosti dostávame $\small \angle UXY = 180^ \circ -(180^ \circ - \alpha- \beta)= \alpha+ \beta$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
3. Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.
• Ukážte, že strana Morleyovho trojuholníka je $\small  d = 8 \cdot R \cdot$sin$( \alpha )$ sin $\beta )$sin$( \gamma )$, kde $\small R$ je polomer kružnice opísanej $\small \triangle ABC$.

Definícia (Ťažnica trojuholníka).
Nech je daný trojuholník $\small ABC$ a nech $\small A_1$ je stred strany $\small BC$. Úsečka $\small AA_1$ sa nazýva ťažnica trojuholníka $\small ABC$.

V ďalších podkapitolách tejto sekcie dokážeme vlastnosti o ťažniciach trojuholníka.

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode $\small T$. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka.
2. Každá ťažnica je ťažiskom rozdelená na dve časti v pomere $2 : 1$.

Poznámky.

1. Ťažnice trojuholníka $\small ABC$ budeme označovať $t_a, t_b, t_c$.
2. Krajný bod ťažnice $\small t_a=AA_1$ označujeme $\small A_1$ resp. používa sa označenie: $\small S_{BC}$ - stred strany $\small BC$ alebo $\small S_a$ - stred strany $a$.
3. Vlastnosť, že ťažisko rozdeľuje každú ťažnicu v pomere $2 : 1$ sa na ZŠ robí meraním, na stredných školách sa už dokazuje táto vlastnosť.
4. V príprave budúcich učiteľov matematiky sa prezentuje viacero dôkazov. Napríklad ako dôsledok Cevovej vety alebo pomocou osovej afinity transformujeme trojuholník na rovnostranný. Tiež sa využíva aj vhodná rovnoľahlosť $\small H=(T, \kappa= -1/2)$.

Pri hľadaní ťažiska trojuholníka sa sústredíme na skúmanie vlastností priečok rovnobežných s danou stranou trojuholníka.

Experiment.
Vytvorme v GeoGebre model trojuholníka $\small ABC$ rozdeleného na veľmi tenké pásiky, ktoré budú rovnobežné so stranou $\small AB$.

1. Zrejme ťažisko $\small T_p$ každého tenkého pásika bude ležať v jeho "strede"
2. Pásiky budeme postupne zužovať, až dostaneme rovnobežné úsečky $\small PQ$ so stranou $\small AB$
3. Pri posúvaní rovnobežnej úsečky $\small PQ$ pomocou bodu $\small L$ sa bude zaznamenávať stopa jej stredu $\small T_p$
→
4. Stopa ako množina všetkých stredov $\small T_p$ je zrejme úsečka $\small C_1C$, kde $\small C_1$  je stred strany $\small AB$
5. Ťažnica trojuholníka je množina všetkých stredov $\small T_p$ priečok $\small PQ$
6. Učiteľ nabáda žiakov, aby sformulovali otázky súvisiace s ťažnicami trojuholníka. Uvádzame niekoľko vhodných otázok:
• Môže ležať ťažnica mimo trojuholníka?
• Ako zostrojíme ťažnicu trojuholníka?
• Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník $ABC$ ?

Pokračujeme v ďalšom experimente a hľadajme odpovede na otázky:

1. Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník $\small ABC$ ?
→
2. Na aké časti rozdeľuje ťažisko každú ťažnicu?

Experimenty sú spracované podľa práce: [LUK] Lukáč, S.: Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov.(Dostupné Tu).

Veta.
Ťažnice trojuholíka sa pretínajú v jedinom bode T, ktoré nazývame ťažisko.

Konštrukčný dôkaz.

1. Vyberieme (zvolíme si) dve ťažnice $\small CC_1, BB_1$
2. Zostrojíme rovnobežky s týmito ťažnicami v bodoch $\small B,C_1$. Ich jednoznačnú existenciu zaručuje V. Euklidov postulát.
3. Zostrojíme priesečník $\small D$ týchto rovnobežiek. Vznikne rovnobežník, v ktorom uhlopriečky $\small BC, TD$ sa rozpoľujú.
4. V trojuholníku $\small ABD$ je $\small C_1T$ stredná, odkiaľ dostávame $\small T$ je stred $\small AD$.
5. Podobne pre trojuholník $\small ABC$ je $\small B_1T$ stredná priečka trojuholníka.
6. Z bodov 4 a 5 vyplýva, že priesečník $\small E=BC, TD$ je stred strany. Teda $\small E=A_1$, čo bolo treba dokázať.

Urobte dôkaz pomocou Cevovej vety aj pomocou afinity. Pozrite si dôkaz od Martina Vinklera Tu.

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small KLM$ , ak je dané: $\small KL=8cm$ , $\small LM=7cm$ , $t_k=6cm$.

Rozbor úlohy.

1. V trojuholníku $\small KLA_1$poznáme dĺžky všetkých strán $\small (LA_1 = 1/2 LM)$
2. Môžeme zostrojiť trojuholník $\small KLA_1$ pomocou vety $\small sss$
3. Predĺžením strany $\small LA_1$ zostrojíme bod $\small M$

• urobte konštrukciu trojuholníka $\small KLM$ podľa vyššie uvedeného rozboru (náš návrh Tu),
• urobte diskusiu o počte riešení.

Definícia.
Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka.

Výšky trojuholníka $\small ABC$ budeme označovať $v_a, v_b, v_c$.

1. Výšky sa pretínajú v jednom bode $\small V$.
2. Tento bod sa nazýva priesečník výšok alebo ortocentrum, stiahnite si applet Tu

Úloha.
Zostrojte trojuholník, ak je daná výška $v_c$, uhol $\small α=BAC$ a uhol $\small β=BCA$.

1. Urobte rozbor tejto úlohy a porovnajte s návrhom v priloženom applete →.
2. V priloženom applete deaktivujte Začiarkavacie políčko a navrhnite postup konštrukcie.
3. Urobte symbolický zápis konštrukčných krokov v geometrickom okne 2, pozrite si náš návrh Tu →.
4. Preveďte dôkaz správnosti konštrukcie a urobte diskusiu.

Albert Einstein → (Obrázok je prevzatý z Wikipédie)

Keď som mal dvanásť rokov, zažil som zázrak iného druhu vďaka knižočke¹⁾ o Euklidovej geometrii roviny, ktorá sa mi dostala na začiatku školského roku do rúk.

1. Boli to poučky, ako napríklad, že tri výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
2. Hoci to nie je v nijakom prípade evidentné, predsa sa to dalo dokázať s takou istotou, že pochybnosť sa zdala byť vylúčená.
3. Táto jasnosť a istota spravili na mňa neopísateľný dojem.

Veta (Ortocentrum trojuholníka).
Výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz, ktorý nadchol Einsteina.

1. Urobte analýzu tohto dôkazu. Zodpovedajte na otázky:
• Prečo môžeme zostrojiť rovnobežky $a', b', c'$
• Ktoré vlastnosti rovnobežníkov sa v dôkaze využívajú?
• Vedeli by ste ich dokázať?
2. Vaša argumentácia by mala vychádzať z elementárnych Euklidových tvrdení a postulátov.

Vyššie uvedený dôkaz sa opiera o dve základné tvrdenia:

1. V rovnobežníku protiľahlé strany majú rovnakú veľkosť. Pozrite si Euclid's Elements, Book I, Proposition 34.
2. Priamka prechádzajúca stredom kruhu a stredom tetivy je kolmá na túto tetivu a rozpoľuje túto tetivu. Pozrite si Euclid's Elements, , Book III, Proposition 3. Toto tvrdenie bolo pravdepodobne známe už Thálesovi.

V trojuholníku $\small ABC$ sú dané stredy strán $\small A_1 \in CB,B_1 \in AB,C_1 \in AB$. Spojte tieto body úsečkami.

Definícia (Stredná priečka trojuholníka).
Úsečky $\small A_1B_1$, $\small A_1C_1$, $\small B_1C_1$ sa nazývajú stredné priečky trojuholníka $\small ABC$.

Veta.

1. Trojuholník $\small ABC$ sa rozdelil na štyri "rovnaké, zhodné" trojuholníky: $\small \bigtriangleup AB_1C_1 \simeq \bigtriangleup A_1BC_1 \simeq \bigtriangleup A_1B_1C \simeq \bigtriangleup A_1B_1C_1$.
2. Úsečky, ktoré vznikli spojením narysovaných stredov, sú rovnobežné s protiľahlými stranami trojuholníka.
3. Úsečky, ktoré vznikli spojením narysovaných stredov, majú polovičnú dĺžku ako protiľahlé strany v trojuholníku.

Dôsledok.

1. Stredná priečka trojuholníka je rovnobežná so stranou trojuholníka.
2. Jej veľkosť sa rovná polovici veľkosti strany, s ktorou je rovnobežná.

Definícia.
Bod trojuholníka, ktorý je invariantný vzhľadom na rovnoľahlosť, sa nazýva trojuholníkové centrum (triangle Center).

Najznámejšie sú napríklad

1. ťažisko, ortocentrum - popísané v predchádzajúcich častiach,
2. stred kružnice opísanej a vpísanej - budú charakterizované v ďalších častiach.
   
V súčasnosti je popísaných viac ako 16 tisíc trojuholníkových centier. Každý bod v zozname je identifikovaný indexovým číslom $\small X _n$ a názvom.

Menej známe ale často využívané v konštrukciách sú Eulerova priamka a Feurbachova kružnica deviatich bodov.

Definícia (Eulerova priamka).
V ľubovoľnom trojuholníku, s výnimkou rovnostranného, ležia ortocentrum $\small O$, ťažisko $\small T$ a stred opísanej kružnice $\small S$S na jednej priamke, ktorú nazývame  Eulerova priamka. Pre ich vzdialenosti platí $\small |OS| = 2 |TS|$. V rovnostrannom trojuholníku body $\small O, T, S$ splývajú.

Pozrite si dôkaz od Martina Vinklera, prípadne navrhnite iný dôkaz s využitím rovnoľahlosti Tu.

Definícia (Feuerbachova kružnica).
Nech $\small ABC$ je všeobecný trojuholník, $\small A_0,B_0,C_0$ nech sú päty jeho výšok, $\small A_1,B_1,C_1$ nech sú stredy jeho strán, $\small V$ nech je priesečník výšok a $\small P, Q, R$ nech sú postupne stredy úsečiek $\small AV, BV, CV$. Potom $9$ bodov $\small A_0,B_0,C_0,A_1,B_1,C_1,P, Q, R$ leží na jednej kružnici, ktorú nazývame Feuerbachova kružnica. Pozrite si konštrukčný dôkaz Tu.

Definícia.
Kružnica, ktorá prechádza všetkými troma vrcholmi trojuholníka sa nazýva kružnica opísaná trojuholníku.

Konštrukčne pri hľadaní stredu opísanej kružnice postupujme takto:

1. Zvolíme si ľubovoľné dve strany trojuholníka a zostrojíme ich osi .
2. Priesečník týchto osí je stred $\small S$ kružnice opísanej trojuholníku $\small ABC$.
3. Zároveň je nutné dokázať, že os tretej strany trojuholníka $\small ABC$ prechádza vždy týmto priesečníkom.
   (dôkaz už poznal Tháles) $\small \left( \left| AS\right| =\left| BS \right| ∧\left| BS\right| =\left| CS \right| \right) ⇒\left( \left| AS\right| =\left| CS \right| \right)$.
4. Z tejto konštrukcie vyplýva aj tvrdenie, že každému trojuholníku možno opísať práve jednu kružnicu.

Z uvedenej konštrukcie ľahko zodpovieme na otázky:

1. Bude ležať stred kružnice opísanej $\small S$ vždy vnútri trojuholníka?
2. Kde leží stred kružnice opísanej u pravouhlých trojuholníkov? 

Tvrdenie.
Na osi úsečky $\small AB$ ležia všetky stredy kružníc, ktoré prechádzajú obidvomi bodmi $\small A, B$.

Dôkaz uvádza Euklides v Knihe 1, Tvrdenie X., pozri kapitolu "Euklidovské konštrukcie".

Definícia.

1. Kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku sa nazýva Tálesova kružnica.
2. Stred Tálesovej kružnice leží v strede prepony $\small AB$ trojuholníka $\small ABC$.
3. Hovoríme, že Tálesova kružnica je zostrojená nad priemerom $\small AB$.

Vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku.

1. Veľkosť polomeru opísanej kružnice určuje vzťah $r= \frac{a}{2 \sin \alpha}= \frac{b}{2 \sin \beta}= \frac{c}{2 \sin \gamma }$
2. Spojnica stredu opísanej kružnice a vrcholu trojuholníka je kolmá k strane jeho ortického trojuholníka (tzv. Nagelova veta →).
3. Kružnica deviatich bodov je rovnoľahlým obrazom opísanej kružnice so stredom rovnoľahlosti v ťažisku trojuholníka a koeficientom $\kappa = - 0,5$.

Ortický trojuholník je trojuholník, ktorý je tvorený spojnicami pat výšok trojuholníka.

Definícia.
Ak z ľubovoľného bodu $\small X$ opísanej kružnice zostrojíme kolmice k jednotlivým stranám trojuholníka, tak päty týchto kolmíc budú ležať na jednej priamke. Túto priamku nazývame Simsonova priamka. Ak bod $\small X$ spojíme s ortocentrom (priesečník výšok trojuholníka), tak Simsonova priamka prechádza stredom tejto úsečky.

Definícia. Kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka sa nazýva vpísaná kružnica.

Vlastnosti

1. Stred kružnice vpísanej trojuholníku $\small ABC$ je priesečník osí jeho vnútorných uhlov
2. Stred kružnice vpísanej trojuholníku je vnútorným bodom trojuholníka
3. Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka, pre jeho veľkosť platí:
• $\rho = {\frac {2S}{o}}$ $o$ = obvod trojuholníka, $\small S$ = obsah
• $\rho =\frac{1}{2} (a+b+c) \cdot \ tg( \frac{ \ \alpha}{2}) \cdot \ tg( \frac{ \ \beta}{2}) \cdot \ tg( \frac{ \ \gamma }{2})$
  
4. Vzdialenosť medzi stredmi kružnice vpísanej a opísanej je $d={\sqrt {r^{2}-2r\rho }}$
   

Cvičenie.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$, pre ktorý je dané: $v_c = 5\; cm, , b = 6\; cm, \rho = 2\; cm$ →

Definícia. Kružnica, ktorá sa zvonka dotýka strany trojuholníka a dvoch priamok, ktoré sú predĺžením zvyšných strán trojuholníka sa nazýva kružnica pripísaná trojuholníku.

Vlastnosti

1. Stred kružnice pripísanej trojuholníku $\small ABC$ je priesečník osi jedného vnútorného uhla a dvoch vonkajších uhlov pri zvyšných dvoch vrcholoch.
2. Každý trojuholník má tri pripísané kružnice.
3. Vzdialenosť vrcholu trojuholníka $\small A$ od dotykového bodu $\small T_i$ pripísanej kružnice je rovná polovici obvodu trojuholníka $\small | AT_i| =\frac{O_{ABC}}{2}$.

Veta (Veta o osi vnútorného uhla). V každom trojuholníku platí, že os vnútorného uhla delí protiľahlú stranu v rovnakom pomere, ako je pomer dĺžok príslušných priľahlých strán.

Cvičenie.

1. Vyhľadajte v Euklidových Základoch tvrdenia - Kniha I. T/34 a Kniha III, T/3.
2. Vyhľadajte v literatúre iné dôkazy vety o ortocentre trojuholníka.

Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku $\small ABC$, v ktorom prepona má veľkosť $c$ a odvesny majú veľkosti $a,b$ platí $\color\green{c^2}=\color\navy{a^2}+\color\red {b^2}$ .

Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.

1. Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
2. Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
3. Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu.  
4. Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.
5. Dôkaz "bez slov" →. Doplňte "slová" pre tento dôkaz - urobte slovné/písomné zdôvodnenie.

Poznámky.

1. Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
2. Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
   • na špagáte uviazali rovnomerne 12 uzlov,
   • prvý a posledný uzol upevnili na tom istom mieste - $\small A$ a štvrtý na mieste $\small C$ a siedmy na $\small B$,
   • vznikol pravý uhol $\small ABC$.

Veta (Obrátená pytagorova veta).
Ak v trojuholníku $\small ABC$ platí pre dĺžky strán $c^2=a^2+b^2$, tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou $c$.

Príklad.
Dané sú sústredné kružnice $\small k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2$. Určte vzťah medzi obsahom medzikružia ohraničeného kružnicami $k_1, k_2$ a obsahom kruhu nad tetivou $\small XY$ kružnice $k_1$, ktorá sa dotýka kružnice $k_2$. Riešenie
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety (Wiki odkaz Tu). Otvorte si applet Tu

Pytagorova veta uvedená v Euklidových Základoch: Kniha 1, tvrdenie XLVII).

Veta (Pytagorova veta - znenie uvedené v Základoch).
V pravouhlých trojuholníkoch štvorec na strane oproti pravému uhlu ležiaci je rovný súčtu štvorcov na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol.

Dôkaz.

1. $\small ABC$ je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom $\small BAC$. Hovorím, že štvorec na $\small BC$ sa rovná (súčtom) štvorcov na $BA$ a $\small AC$.
2. Nech je narysovaný
• na $\small BC$ štvorec $\small BDEC$
• na $\small BA$ a $\small AC$ štvorce $\small GB$ a $\small HC$. (T.46)
3. Bodom $\small A$ je vedená rovnobežka $\small AL$ k $\small BD$ alebo k $\small CE$ (T.31) a spojnice (úsečky) $\small AD$ a $\small FC$. (Post.1)
4. Vzhľadom na to, že každý z uhlov $\small BAC$ a $\small BAG$ je pravý, z toho vyplýva, že priamkou $\small BA$ a bodom $\small A$ na ňom dve priame línie $\small AC$ a $\small AG$, ktoré nie sú ležiace na tej istej strane, spôsobujú, že susedné uhly sa rovnajú dvom pravým uhlom (Def.22)
• preto $\small CA$ je v priamke s $\small AG$ (tvoria jednu priamku) (T.14)
• z rovnakého dôvodu je $\small BA$ tiež v priamke s $\small AH$.
• 
5. Pretože uhol $\small DBC$ sa rovná uhlu $\small FBA$, pretože každý je pravý (Post.4)
• pridajte uhol $\small ABC$ do každého, preto sa celý uhol $\small DBA$ rovná celému uhlu $\small FBC$ (Kon.2)
6. Keďže $\small DB$ sa rovná $\small BC$ a $FB$ sa rovná $\small BA$ (Def.22),
• obe strany $\small AB$ a $\small BD$ sa rovnajú obom stranám $\small FB$ a $\small C$ a 
  uhol $\small ABD$ sa rovná uhlu $\small FBC$, preto základňa $\small AD$ sa rovná základni $\small FC$ a
  trojuholník $\small ABD$ sa rovná (je zhodný) trojuholníku $\small FBC$. (T.4)
• →
7. Teraz rovnobežník $\small BL (BDLA_0)$ je dvakrát väčší ako trojuholník $\small ABD$, pretože majú rovnakú základňu $\small BD$ a
   sú medzi tými istými rovnobežkami $\small BD$ a $\small AL$ (majú spoločnú výšku). (T.41)
8. A štvorec $\small GB (ABFG)$ je dvakrát väčší ako trojuholník $\small FBC$, pretože opäť majú rovnakú základňu $\small FB$ a
   sú medzi tými istými rovnobežkami $\small FB$ a $\small GC$. (T.41) 
9. Preto sa rovnobežník $\small BL$ rovná štvorcu $\small GB$. (Kon.2)
10. Podobne, ak vedieme spojnice (úsečky) $\small AE$ a $\small BK$, rovnobežník $\small CL$ sa rovná štvorcu $\small HC$. Preto sa celý štvorec $\small BDEC$ rovná súčtu dvoch štvorcov $\small GB$ a $\small HC$. (Kon.2) 
11. A štvorec $\small BDEC$ je narysovaný na $\small BC$ a štvorce $\small GB$ a $\small HC$ na $\small BA$ a $\small AC$. Teda štvorec na $\small BC$ sa rovná súčtu štvorcov na $\small BA$ a $\small AC$. 
    

V dôkaze boli použité tieto zdroje z Euklidových Základov:

1. Definícia 22: Zo štvorstranných útvarov je štvorec, ktorý je rovnako rovnostranný a pravouhlý; obdĺžnik, ktorý je pravouhlý, ale nie rovnostranný; kosoštvorec, ktorý je rovnostranný, ale nie pravouhlý; kosodĺžnik, ktorý má opačné strany a uhly rovno navzájom, ale nie je ani rovnostranný, ani pravouhlý. Okrem týchto sú to štvoruholníky, ktoré sa nazývajú lichobežníky (rôznobežníky). 
2. Postulát 1: Nech je úlohou nakresliť priamku z ktoréhokoľvek bodu do ktoréhokoľvek bodu. Tento prvý postulát hovorí, že vzhľadom na akékoľvek dva body, ako sú A a B, existuje priamka AB, ktorá ich má ako koncové body. (Porovnaj s postulátom 5).
3. Postulát 4: To, že všetky pravé uhly sa navzájom rovnajú. 
4. Tvrdenie 4: Ak dva trojuholníky majú dve strany rovnajúce sa dvom stranám a majú uhly obsiahnuté v rovnakých rovných priamkach rovnaké, potom majú tiež základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom respektíve, a síce oproti rovnakým stranám. Veta o zhodnosti trojuholníkov - sus 
5. Tvrdenie 14: Ak na priamke a v bode na nej sú dve priamky, ktoré neležia na tej istej strane, sa súčet susedných uhlov rovná dvom pravým uhlom, potom sú tieto dve priamky navzájom k sebe v priamke (tvoria jednu priamku). Tvrdenie 31 Vytvor priamku cez daný bod rovnobežne s danou priamkou. 
6. Tvrdenie 41: Ak rovnobežník má rovnakú základňu s trojuholníkom a je medzi tými istými rovnobežkami, rovnobežník je dvakrát väčší ako trojuholník. 
7. Tvrdenie 46: Na danej priamke narysuj štvorec. (Súčasná matematická formulácia tejto vety: Nad danou úsečkou je možné narysovať štvorec.) 
8. Koncepcia/Zásada 2: Ak sú rovnosti pridané do rovnováhy, potom celky sú rovnaké. 
9. Koncepcia/Zásada 5: Celok je väčší než časť.

Cvičenie.
Vytvorte si vlastný applet, ktorým budete interpretovať Euklidov dôkaz Pytagorovej vety. Pozrite si náš návrh:

Veta (Euklidova veta o výške).
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony.

Dôkaz.
Nech v pravouhlom trojuholníku $\small ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $\small C$ je $\small v_c=CC_0$ výška na preponu $\small AB$.
Zrejme platí:

1. výška $v_c$ pravouhlého trojuholníka rozdelí trojuholník na ďalšie dva pravouhlé trojuholníky,
2. päta výšky $v_c$ rozdelí preponu na dva úseky priľahlé k odvesnám trojuholníka: $c_a$ a $c_b$,
3. zo vzťahu $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$ dostávame $\alpha = 90^\circ - \beta$,
4. všetky tri vzniknuté trojuholníky sú navzájom podobné: $\small ACB \sim AC _0C \sim CC_0B$ .

Z podobnosti trojuholníkov $\small ACB \sim AC_0C$ a $\small ACB \sim CC_0B$ vyplýva: $v_c : c_b = c_a : v_c$. Po úprave dostaneme vzťah ${v_c}^2= c_a . c_b$.
Tým je dôkaz Euklidovej vety o výške ukončený. Dôkaz, ktorý využíva zhodnosť od Vinklera nájdete Tu.

Veta (Euklidova veta o odvesne).
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.

Dôkaz.
Z podobnosti trojuholníkov $\small ABC$ a $\small CBC_0$ vyplýva: $a : c= c_a : a$. Po úprave dostaneme vzťah $a^2= c . c_a$.
Z podobnosti trojuholníkov $\small ABC$ a $\small ACC_0$ odvodíme druhú Euklidovu vetu $b^2= c . c_b$.

Cvičenie.
Dokážte Pytagorovu vetu pomocou Euklidových viet.

Význam pojmov Zhodnosť a Podobnosť vo všeobecnosti možno vykladať rôznymi spôsobmi. V geometrii tieto termíny bežne sa používajú v prípadoch, ktoré sa týkajú merania.  Prídavné meno zhodné (kongruentné) sa často používa na označenie predmetov, ktoré sa môžu prekrývať, zatiaľ čo podobné je voľnejšia myšlienka, ktorá spája predmety rovnakého charakteru.

1. Fráza "zhodné objekty" sa používa na opis útvarov, ktoré za určitých okolností navzájom sa dajú premiestniť tak, aby "sa prekrývali". Charakteristika dvoch zhodných geometrických útvarov sa v matematike opiera o systém axióm. Zhodné útvary majú rovnaké rozmery a možno ich prekrývať, zatiaľ čo podobné útvary sú tie, ktoré sa zdajú byť identické, ale nemožno ich prekrývať. Obe tieto frázy môžu v širších súvislostiach označovať množstvo iných vecí.
2. Termín "podobnosť" je odvodené z latinského slova "similis", čo znamená "ako alebo podobné". V matematickej oblasti si podobnosť vyžaduje dva objekty, ktoré majú rovnaký tvar, ale nie nevyhnutne rovnakú veľkosť.

Porovnávacia tabuľka prevzatá z UnAcademy                                                                        

	Zhodný	Podobný
Význam	Vzťahuje sa na postavy alebo čokoľvek iné, čo má rovnakú veľkosť a tvar a môže sa navzájom prekrývať.	Používa sa na opis postáv alebo iných objektov, ktoré majú podobnú veľkosť a tvar, ale nie sú identické z hľadiska rozmerov.
Presnosť	Geometricky "presné" a prekrývajúce sa útvary/obrazce sú známe ako zhodné útvary.	Slangová fráza pre identické postavy, ktoré majú veľa spoločného, pokiaľ ide o tvar ale nie veľkosť.
Orientácia	Dokonca aj keď sú umiestnené v opačných orientáciách, zhodné postavy sa navzájom prekrývajú.	Aj keď sú usporiadané v rovnakom smere, podobné objekty sa navzájom neprekrývajú.

Definícia.

1. Dva trojuholníky $\small \triangle ABC,\triangle A'B'C'$ sú zhodné, ak sa zhodujú vo všetkých odpovedajúcich stranách a vo všetkých odpovedajúcich uhloch. Označujeme $\small \triangle ABC \simeq \triangle A'B'C'$.
2. Dva trojuholníky $\small \triangle ABC,\triangle A'B'C'$ sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné. Označujeme $\small \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

Veta (o zhodnosti trojuholníkoch).

1. (sus)  Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle nimi zovretom sú zhodné.
2. (sss)  Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v troch stranách sú zhodné.
3. (usu)  Ak sa dva trojuholníky zhodujú v jednej strane a v dvoch uhloch priľahlých, tak sú zhodné.
4. (Ssu)  Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej strane, tak sú zhodné.

Dôkaz.

1. Euklidových Základoch je veta sformulovaná ako Proposition 4 (Euclid's Elements, Book I ).
   
   1. Nech $\small ABC, DEF$ sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany $\small AB, AC$ rovné dvom stranám $\small DE, DF$. Konkrétne $\small AB$ rovná $\small DE$ a $\small AC$ rovná $\small DF$ a uhol $\small BAC$ je rovný uhlu $\small EDF$.
   2. Hovorím (Euklides), že základňa $\small BC$ sa rovná aj základni $\small EF$, trojuholník $\small ABC$ sa rovná trojuholníku $\small DEF$ a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$. 
   Nepriamy dôkaz
   1. Nech trojuholník $\small ABC$ je uložený na trojuholníku $\small DEF$ a ak je bod $\small A$ umiestnený na bode $\small D$ a priamka $\small AB$ na $\small DE$. 
   • Potom bod $\small B$ sa zhoduje s bodom $\small E$, pretože $\small AB$ sa rovná $\small DE$. 
   2. Priamka $\small AC$ sa tiež rovná $\small DF$, pretože uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.  
   • Preto sa bod $\small C$ zhoduje s bodom $\small F$, teda $\small AC$ sa rovná $\small DF$. 
   3. Ale $\small B$ sa tiež zhoduje s $\small E$, a preto základňa $\small BC$ sa zhoduje so základňou $\small EF$ a rovná sa jej. 
   • V opačnom prípade by bodmi $\small E$, $\small F$ boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
   4. Takže celý trojuholník $\small ABC$ sa zhoduje s celým trojuholníkom $\small DEF$ a rovná sa. 
   5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$ .
   3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.
      
      Ilustračný obrázok vety (sus).
2. V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ).
   
   1. Nech trojuholník $\small ABC$ je prenesený na trojuholník $\small DEF$ tak, aby bod $\small B$ bol umiestnený na bode $\small E$ a priamka $\small BC$ na $\small EF$.
   2. Potom bod $\small C$ sa prekrýva (zhoduje) s bodom $\small F$, pretože $\small BC$ sa rovná $\small EF$.
   3. Ukážeme, že aj úsečka $\small BA$ resp. $\small CA$ sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou $\small ED$ resp. $\small FD$. Budeme dokazovať nepriamo.
      1. Nech základňa $\small BC$ sa prekrýva (zhoduje) so základňou $\small EF$ ale strany $\small BA$ a $\small AC$ sa neprekrývajú so stranami $\small ED$ a $\small DF$ (zobrazia vedľa ako $\small EG$ a $\small GF$. Uvažujme prípad, keď bod $\small G$ bude v polrovine $\small \vec{DFL}$.
      2. Z Euklidovho tvrdenia Proposition 7 (Euclid's Elements, Book I)vyplýva:
   • Keďže trojuholník $\small EDG$ je rovnoramenný, tak uhol $\small DGE$ rovná uhlu $\small GDE$.
   • Z polohy bodu $\small G$ vyplýva, že uhol $\small GDE$ je väčší ako uhol $\small GDF$.
   • Tiež trojuholník $\small GDF$je rovnoramenný, preto aj uhol $\small GDF$ rovná uhlu $\small DGF$.
   • Z polohy bodu $\small G$ vyplýva, že uhol $\small GDF$ väčší ako uhol $\small GDE$, čo je spor.
   • Preto musí byť bod $\small D$ totožný s bodom $\small G$.
   • Podobne postupujeme v prípade, ak bod $\small G$ bude v polrovine $\small \vec{DFE}$.
     
   4. Ukázali sme, že strana $\small BA$ resp. $\small AC$ sa prekrýva so stranou $\small ED$ resp. $\small DF$. To znamená, že uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.
   5. Teraz stačí použiť vetu $sus$ a dostávame tvrdenie: trojuholníky $\small ABC$ a $\small DEF$ sú zhodné.

V trojuholníkoch $\small ASC, BSC$ odpovedajúce strany majú rovnakú dĺžku. Keďže

1. ramená rovnoramenného trojuholníka sú zhodné úsečky,
2. stred $\small S$ rozpoľuje základňu $\small AB$, preto $\small AS=BS$,
3. $\small v_c=CS$ je spoločná strana pre obidva trojuholníky $\small preto, BSC$ preto platí :
V trojuholníkoch odpovedajúce strany majú rovnakú veľkosť, preto $\small \bigtriangleup ASC \simeq \bigtriangleup BSC$.

Poznámky.

1. Tháles: V rovnoramennom trojuholníku uhly pri základni sú zhodné.
2. Euklides: Základy/Proposition 5 (Euclid's Elements, Book I. )

Príklad 3. (Veta Ssu)
Na osi $o$ ostrého uhla $\small AVB$ zostrojte vnútri uhla $\small AVB$ bod $S$. Zostrojte kružnicu $o$ $\small k=(S,r)$ tak, aby platilo $r > VS$ .
Označte priesečníky priamky $\small AV$ s kružnicou $k$ ako $\small M,N$ a priesečníky priamky $\small BV$ s kružnicou $k$ ako $\small P,Q$ .

Dokážte, že úsečky $\small MN, PQ$majú rovnakú veľkosť.

Analýza úlohy. 

1. Najskôr sa pokúste dokázať rovnosť $\small VQ = VN$ pomocou zhodnosti trojuholníkov: $\small ΔNVS ≅ ΔQVS$ .
Pre tieto trojuholníky platí: 
• strana $\small VS$ je spoločná obom trojuholníkom 
• $\small SN≅ SQ$ (polomery kružnice $\small k$
• $\small ∢SVN ≅ ∢SVQ$ (os uhla - zhodné polovice uhla $\small ∢BVA$ ) 

Záver. Trojuholníky sú zhodné podľa vety $\small Ssu$, preto aj tretie strany sú zhodné: $\small VQ ≅ VN$.
2. Potom dokážte rovnosť $\small VM = VP$ pomocou zhodnosti trojuholníkov: $\small ΔPVS ≅ ΔMVS$ .
   
   
   Pre tieto trojuholníky platí:
   • strana $\small VS$ je spoločná obom trojuholníkom
   • $\small SM ≅ SP$ (polomery kružnice $k$)
   • $\small ∢SVM ≅ ∢SVP$ (súčet zhodných vrcholových uhlov a polovíc uhla $\small ∢BVA$ )
   Záver. Trojuholníky sú zhodné podľa vety $\small Ssu$, preto aj tretie strany sú zhodné: $\small VM ≅ VP$
3. K ukončeniu dôkazu si stačí uvedomiť, že úsečky $\small MN$ a $\small PQ$ získame sčítaním dvoch dvojíc zhodných úsečiek, platí $\small MN ≅ PQ$.

Príklad 4.
...

... ...

Definícia.
Dva trojuholníky $\small △ABC, △A_1B_1C_1$ sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné.

Trojuholník $\small △ABC$ je podobný trojuholníku $\small △A_1B_1C_1$, práve vtedy keď existuje kladné číslo $k$ také, že pre ich strany platí:

• $\small \left| \begin{matrix} AB \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} A_1B_1 \end{matrix} \right|$,
• $\small \left| \begin{matrix} AC \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} A_1C_1 \end{matrix} \right|$, 
• $\small \left| \begin{matrix} BC \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} B_1C_1 \end{matrix} \right|$ 

a pre ich uhly platí:

• $\alpha \simeq \alpha_1$,
• $\beta \simeq \beta_1$, 
• $\gamma \simeq \gamma_1$. 

Definícia.
Pomer $k$ nazývame koeficient podobnosti trojuholníkov. Pre rôzne hodnoty koeficientu dostávame:

• $k > 1$ - zväčšenie,
• $k < 1$ - zmenšenie,
• $k = 1$ - trojuholníky sú zhodné.

 Tu

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$ , ak sú dané jeho výšky $v_a,v_b,v_c$

Rozbor.

1. Hľadajme súvislosti medzi výškami trojuholníka a jeho stranami. Použijeme vzťah pro obsah trojuholníka: $\small S = \frac{1}{2} a . v_a$.
2. Z neho vyplýva, že $\small 2 . S = a .v_a = b . v_b = c . v_c$ a teda $a : b : c = 1/v_a : 1/v_b : 1/v_c$.
3. Označme $a´= 1/v_a,  b´ = 1/v_b ,  c´= 1/v_c$  
   
4. Uvažujme o ľubovoľnom trojuholníku $\small A´B´C´$ so stranami $a´,b´,c´$.
5. Takýto trojuholník je podobný trojuholníku $\small ABC$, lebo pomer odpovedajúcich strán je konštantný.

Uvažujme teraz o ľubovoľnom trojuholníku $\small KLM$ so stranami $v_a,v_b,v_c$ .

1. V trojuholníku $\small KLM$ označme jeho výšky $a´,b´,c´$. 
2. Zrejme platí: $v_a : v_b : v_c = 1/a´: 1/b´: 1/c´$. Toto tvrdenie vyplýva z analýzy urobenej v druhom bode rozboru tejto úlohy. 
3. Po úprave dostaneme $1/v_a : 1/v_b : 1/v_c = a´: b´: c´ = a : b : c$ .
4. Konštrukciu začneme zostrojením trojuholníka $\small KLM$ so stranami $v_a,v_b,v_c$
• následne zostrojíme trojuholník $\small A´B´C´$ so stranami $a´, b´, c´$
• nakoniec zostrojíme trojuholník $\small ABC$ podobný trojuholníku $\small A´B´C´$.

Diskusia. Úloha má práve jedno riešenie, ak výšky spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.

Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.