Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny - posunutím a rovnoľahlosťou. Tieto zobrazenia v syntetickom poňatí geometrie definujeme jednoducho pomocou

• pevne zvoleného vektora -posunutie,
• pevne zvoleného bodu a skalára - homotétia alebo tiež rovnoľahlosť.
Ukážeme, že tieto zobrazenia sú afinné a určíme ich transformačné matice.

Rovnoľahlosť $\small \mathcal{H}: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$ pre pevne zvolený stred rovnoľahlosti $\small S$ a koeficient rovnoľahlosti $\small k \in \lbrace{\mathbb R - {0}}\rbrace$ je afinné zobrazenie.

Dôkaz.
Rovnoľahlosť $\small \mathcal{H}=(S,k)$ v euklidovskej rovine bodu $\small X$ priraďuje bod $\small X'$ taký, že pre deliaci pomer bodov $\small S,X,X'$ platí $\small (X'XS)=k$. Z definície deliaceho pomeru dostaneme vzťah
(h) $\small \mathcal{H}: X' = S+k(X−S)$,
kde $\small S[s_1,s_2] \in \mathbb E_2$ je zvolený stred rovnoľahlosti a $\small k$ je reálny koeficient.

V prvom kroku musíme ukázať (dokázať), že obrazom troch kolineárnych bodov v rovnoľahlosti sú opäť tri kolineárne body. Najskôr dokážeme toto tvrdenie analyticky.

Nech $\small A[a_1,a_2],B[b_1,b_2],C[c_1,c_2]$ sú ľubovoľné tri navzájom rôzne kolineárne body. Dvomi bodmi $\small A,B$ je určená práve jediná priamka $\small p=\overleftrightarrow{AB}$. Podľa predpokladu bod $\small C$ je bodom priamky $\small p$. V takom prípade existuje parameter $\small t$ taký, že platia rovnosti
$\small c_1=a_1+t(b_1-a_1)$,
$\small c_2=a_2+t(b_2-a_2)$.
Označme $\small A'[a'_1,a'_2],B'[b'_1,b'_2],C'[c'_1,c'_2]$ obrazy bodov $\small A,B,C$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$. Potom súradnice týchto bodov musia spĺňať vzťah (h), čo vedie k rovnostiam
$\small a'_i=s_i+k(a_i-s_i)$
$\small b'_i=s_i+k(b_i-s_i)$
$\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)$
pre $\small i=1,2$. Upravujme posledný výraz
$\small c'_i=s_i+k(c_i-s_i)=s_i-ks_i+k(a_i-t(b_i-a_i))=$
$\small =s_i-ks_i+ka_i-kt(b_i-a_i))= [𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]−𝑘𝑡(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖−𝑎_𝑖+𝑠_𝑖)=$
$\small=𝑎′_𝑖−𝑘𝑡[(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖)−(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖)]=$
$\small=𝑎′_𝑖−𝑡[(𝑠_𝑖+𝑘(𝑏_𝑖−𝑠_𝑖))−(𝑠_𝑖+𝑘(𝑎_𝑖−𝑠_𝑖))]=$
$\small=𝑎′_𝑖+𝑡[𝑏′_𝑖−𝑎′_𝑖]$.
Dostali sme výraz, ktorý nám hovorí, že obraz $\small C'$ bodu $\small C$ v zobrazení $\small \mathcal{H}=(S,k)$ leží na priamke určenej bodmi $\small A',B'$. Odkiaľ vyplýva, že zobrazenie $\small \mathcal{H}=(S,k)$ zachováva kolineárnosť a preto je afinným zobrazením.

Syntetický (konštrukčný) dôkaz tvrdenia, že rovnoľahlosť zachováva kolineárnosť je pomerne jednoduchý. Stačí využiť vlastnosť, že v rovnoľahlosti sa rovnobežnosť zachováva. Pozrite si nasledujúci obrázok. Vlastnosť zachovania kolineárnosti vyplýva z podobnosti trojuholníkov $\small \triangle SAC,\triangle SA'C'$ a $\small \triangle SBC,\triangle SB'C'$.

Vzťah (h) je vlastne parametrické vyjadrenie a predstavuje transformáciu roviny $\small \mathbb E_2$, ktorá bodu $\small X[x,y] \in \mathbb E_2$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$ priradí bod $\small X'[x',y'] \in \mathbb E_2$. Tento vzťah môžeme po jednoduchej úprave upraviť na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych $\small x′,𝑦′$
$\small 𝑥′= 𝑘 \cdot 𝑥+0 \cdot 𝑦+o'_1$
$\small 𝑦′=0 \cdot 𝑥+𝑘 \cdot 𝑦+o'_2$,
kde $\small 𝑜′_1=𝑠_1+𝑘 \cdot (0-𝑠_1)=s_1 (1-k);𝑜′_2=𝑠_2 (1-k)$.
Usporiadaná dvojica $\small [s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]$ predstavuje súradnice obrazu počiatku $\small O[0,0]$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$. K dôkazu stačí dosadiť súradnice začiatku $\small O[0,0]$ do vzťahu (h).
Preskúmajme aké budú obrazy súradnicových ortonormálnych vektorov $\small \vec e_1=E_1-O=[1,0];\vec e_2=E_2-O=[0,1]$ v rovnoľahlosti $\small \mathcal{H}=(S,k)$. Dosadením súradníc bodov $\small E_1,E_2$ do vzťahu (h) dostaneme pre obrazy $\small E_1';E_2'$
$\small E_1'=[k+s_1(1-k),s_2(1-k)],E_2'=[s_1(1-k),k+s_2(1-k)]$,
po dosadení súradníc $\small O'[s_1(1-k),𝑠_2(1-k)]$ do rozdielov $\small E_1'-O';E_2'-O'$ dostaneme súradnice obrazov $\small \vec e_1';\vec e_2'$
$\small \vec e_1'=([k+s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(k,0)};\\ \small \vec e_2'=([s_1(1-k)]-[s_1(1-k)],[k+s_2(1-k)]-[𝑠_2(1-k)])=\pmb{(0,k)}$
Súradnice obrazov súradnicových ortonormálnych vektorov sú závisé len od koeficienta $\small k$.
V súlade s definíciou analytického vyjadrenia afinného zobrazenia môžeme vyjadriť rovnoľahlosť $\small \mathcal{H}$ v rovine pomocou rozšíreného maticového tvaru takto:

$\small \left(\begin{array}{} x'\\ y' \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{} k & 0 & o'_1 \\ 0 & k & o'_2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{} x \\ y \\ 1 \end{array} \right)$.

Poznámky.

1. Maticu $\small \left( \begin{array}{} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{array} \right)$ nazývame matica afinného zobrazenia (rovnoľahlosti), pričom prvky prvého (resp. druhého) stĺpca tejto matice predstavujú súradnice vektora $\small \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1}$ (resp. vektora $\small \vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}$), ktorý je obrazom vektora $\small \vec e_1$ (resp. vektora $\small \vec e_2$) v danej rovnoľahlosti. V rovnoľahlosti rovnobežnosť sa zachováva, preto vektory $\small \vec e_1$ a $\small \vec e_1'$ sú lineárne závislé, pričom $\small \vec e_1'=k \cdot \vec e_1$.
2. V transformačných rovniciach koeficienty pri neznámej $\small x$ (resp. $\small y$ ) predstavujú súradnice vektora $\small \vec e_1'$ (resp. vektora $\small \vec e_2'$).

Cvičenie.
V rovnoľahlosti, ktorá zobrazuje $\small A[-2,0] \rightarrow A'[-2,1],B[1,-1] \rightarrow B'[4,-1],C[-1,1] \rightarrow C'[0,3]$ nájdite obrazy začiatku $\small O[0,0]$ a jednotkových vektorov $\small \vec e_1=\overrightarrow{OE_1},\vec e_2=\overrightarrow{OE_2}$, kde $\small E_1=[1,0],E_2=[0,1]$.

Riešenie. Využite riešenie príkladu "Tri body" v kapitole "Afinné zobrazenie". Pozrite si grafické riešenie Tu.

Úloha.
Vytvorte applet v GeoGebre, ktorý bude generovať transformačné rovnice pre posunutie v rovine. 

Pomoc. Inšpirujte sa appletom pre určenie transformačných rovníc posunutia v rovine pomocou programu GeoGebra. Návrh Tu.