Nasledujúci

Úvod

Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa geometrické útvary študujú pomocou súradnicovej sústavy (pomocou analytických vyjadrení - rovníc). Než pristúpime k takémuto štúdiu, tak si zopakujeme niektoré základné pojmy a vlastnosti vektorových priestorov. V záverečnej kapitole uvádzame dostatočný počet e-verzií prác.

Dnes existujú vedľa seba dva spôsoby budovania geometrie:
  1. Syntetický - bez súradníc
    • názorná, v ktorej sa konštrukcie geometrických útvarov uskutočňujú v súlade s axiomatickým systémom; dôkazy tvrdení sa robia prevažne konštrukčne;
    • vychádzame z euklidovského priestoru podľa (Euklidove Základy);
    • potom zavádzame pojem vektora a následne vektorového priestoru;
    • syntetická metóda neformuluje explicitne vzťah geometrie k základnému poľu priestoru (Čižmár, J., 2007);
    • základná schéma budovania: najprv vybudujeme euklidovský priestor a potom skonštruujeme vektorový priestor nad daným poľom,
    • s algebraickým pohľadom na štruktúru vektorových priestoroch ste sa oboznámili v kurze Lineárna algebra.
  2. Analytická – so súradnicami
    • do hry vstupuje pole – najčastejšie ide pole reálnych čísel;
    • v 19. storočí sa v analytickej metóde začali využívať vektory a začali sa skúmať afinné (polohové) vlastnosti vektorov – operácie s vektormi;
    • pri tejto metóde sa v nej pracuje ľahšie, v súčasnosti významne pomáhajú aj počítače;
    • viac príležitostí skĺznuť k mechanickému počítaniu namiesto porozumenia geometrickej podstate daného problému,
    • základná schéma budovania: najprv skonštruujeme vektorový priestor nad daným poľom a potom afinný priestor resp. euklidovský priestor.
Pohľad na historický vývoj analytickej geometrie
  1. 300 rokov pred naším letopočtom: Euklides: euklidovská rovina
  2. 1635: Descartes, Fermat: zavedenie súradníc do euklidovskej roviny.
    Zakladateľmi analytickej geometrie boli francúzski matematici Pierre de Fermat a René Descartes, ktorý v roku 1635 zaviedol súradnice bodov.
    Karteziánska súradnicová sústava je pomenovaná podľa latinského prepisu mena Descartes, t. j. Cartesius.
  3. 1804: Bolzano: operácie s bodmi a priamkami, v ktorých je badateľný koncept vektora
  4. 1843: Hamilton: kvaternióny ako lineárne kombinácie
  5. 1844: Grassmann: prvýkrát prišiel s konceptom vektorového priestoru
  6. 1888: Peano: moderná definícia vektorového priestoru
  7. 1920: Banach, Hilbert: axiomatická definícia vektorového priestoru
Nasledujúci