Didaktika matematiky

Nech $a, b, c$ sú kladné čísla. Dokážte nerovnosť
$\large \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab} \geq a + b + c$

Riešenie
Trojnásobným použitím AG-nerovnosti obdržíme
$\frac{a^3}{bc} + b+ c \geq 3 \sqrt[3]{ \frac{a^3}{bc} . b. c} = 3a$
$\frac{b^3}{ca} + c+ a \geq 3 \sqrt[3]{ \frac{b^3}{ca} . c. a} = 3b$
$\frac{c^3}{ab} + a+ b \geq3 \sqrt[n]{\frac{b^3}{ca} . c. a} = 3c$
Sčítaním týchto nerovností dostávame
$\frac{a^3}{bc} +\frac{b^3}{ca} +\frac{c^3}{ab} + 2(a+b+c) \geq 3(a+b+c)$
Odčítaním čísla $2(a+b+c)$ dostávame potrebné. Rovnosť nastane práve vtedy, keď $a=b=c$.