Didaktika matematiky

Pri riešení nerovníc na základnej resp. na strednej škole si musíme uvedomiť zásadný rozdiel medzi pojmami nerovnosť a nerovnica.

1. Nerovnosť je vzťah medzi dvoma výrazmi, ktorý sa používa na porovnanie dvoch hodnôt (čísel) v istom usporiadaní (napr. podľa ich veľkosti). Príklady nerovností
   $1< 2 \\ 5 >10 \\ x+3< x$
Posledná nerovnosť obsahuje premennú: $x$.
2. Nerovnica je algebraická úloha, pri ktorej sa hľadajú (najčastejšie všetky) čísla danej množiny, ktoré spĺňajú danú nerovnosť. Nerovnica je otázka formulovaná ako nerovnosť medzi dvoma výrokovými formami (napr. medzi dvoma algebraickými výrazmi). Príklady nerovníc.
   • Nájdite prirodzené čísla $n$, ktoré vyhovujú nerovnici
     $2n + 2 > 6$
   • Určte všetky reálne čísla $t$, ktoré sú riešením nerovnice
     $t^2+3t \leq t - 1$
   • Vyriešte nerovnicu
     $3x+2y \geq 5$
     v obore $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, kde $\mathbb{R}$ je množina všetkých reálnych čísel.
   Tieto nerovnice obsahujú neznáme: $n,t,x, y$.

Niektoré vlastnosti nerovností v obore reálnych čísel $\mathbb{R}$:

1. Trichtómia - práve jedno z týchto tvrdení je pravdivé:
   $a\ >\ b,\; a=b,\; b\ >\ a$
2. Antisymetria:
   $a\ >\ b \Rightarrow \neg (b\ >\ a)$
3. Tranzitívnosť:
   $a > b ,\;b > c \;\Rightarrow \;a > c$
4. Pričítanie reálneho čísla:
   $a > b \; \Rightarrow\; a+ c > b + c$
5. Násobenie a delenie oboch strán nerovnosti rovnakým kladným reálnym číslom $c \in \mathbb{R^+}$.
   $a > b \; \Rightarrow\; a \cdot c > b \cdot c$
6. Násobenie a delenie oboch strán nerovnosti rovnakým kladným záporným číslom $c \in \mathbb{R^-}$.
   $a > b \; \Rightarrow\; a \cdot c < b \cdot c$

Poznámky.

1. Vyhodnotiť vzťah nerovnosti znamená určiť pravdivostnú hodnotu daného výroku.
2. Riešenie nerovnosti znamená nájsť hodnoty premenných používaných v nerovnosti, ktoré po dosadení do príslušných výrokových foriem robia danú nerovnosť pravdivým výrokom. Tieto premenné sa nazývajú neznáme (okrem nich môžu existovať aj parametre). Najjednoduchšie nerovnosti sa riešia ich premenou na jednoduchšie ale zároveň rovnocenné nerovnice. Pozrite si nasledujúci príklad.

Príklad
Riešte nerovnicu v obore reálnych čísel $\mathbb{R}$
$2x-15 > 3x$.
Riešenie

1. pripočítajme k obidvom stranám nerovnice číslo 15, dostaneme jednoduchšiu nerovnicu
   $2x > 3x+15$
2. odpočítajme od oboch strán výraz $3x$, dostaneme nerovnicu
   $-x < 15$
3. vynásobením oboch strán nerovnosti číslom $-1$ sa zmení znak nerovnosti a dostaneme nerovnicu
   $x < -15$

Riešením nerovnice je akékoľvek reálne číslo menšie ako $-15$, čo zvykneme zapisovať pomocou intervalu $(- \infty,-15)$.