Kupcová, Ľ.: Nerovnosti a nerovnice

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	Kupcová, Ľ.: Nerovnosti a nerovnice

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	štvrtok, 9 mája 2024, 13:58

Obsah

Úvod
- Ekvivalentné úpravy
- Známe nerovnosti
Riešené úlohy
Nerovnice v praxi
*Komplikované úlohy
Iné známe nerovnosti

Úvod

Pri riešení nerovníc na základnej resp. na strednej škole si musíme uvedomiť zásadný rozdiel medzi pojmami nerovnosť a nerovnica.

Nerovnosť je vzťah medzi dvoma výrazmi, ktorý sa používa na porovnanie dvoch hodnôt (čísel) v istom usporiadaní (napr. podľa ich veľkosti). Príklady nerovností
$1< 2 \\ 5 >10 \\ x+3< x$

$x$

Nerovnica je algebraická úloha, pri ktorej sa hľadajú (najčastejšie všetky) čísla danej množiny, ktoré spĺňajú danú nerovnosť. Nerovnica je otázka formulovaná ako nerovnosť medzi dvoma výrokovými formami (napr. medzi dvoma algebraickými výrazmi). Príklady nerovníc.
Tieto nerovnice obsahujú neznáme: $n,t,x, y$ .

Niektoré vlastnosti nerovností v obore reálnych čísel

$\mathbb{R}$ :

Trichtómia - práve jedno z týchto tvrdení je pravdivé:
$a\ >\ b,\; a=b,\; b\ >\ a$
Antisymetria:
$a\ >\ b \Rightarrow \neg (b\ >\ a)$
Tranzitívnosť:
$a > b ,\;b > c \;\Rightarrow \;a > c$
Pričítanie reálneho čísla:
$a > b \; \Rightarrow\; a+ c > b + c$
Násobenie a delenie oboch strán nerovnosti rovnakým kladným reálnym číslom $c \in \mathbb{R^+}$ .
$a > b \; \Rightarrow\; a \cdot c > b \cdot c$
Násobenie a delenie oboch strán nerovnosti rovnakým kladným záporným číslom $c \in \mathbb{R^-}$ .
$a > b \; \Rightarrow\; a \cdot c < b \cdot c$

Poznámky.

Vyhodnotiť vzťah nerovnosti znamená určiť pravdivostnú hodnotu daného výroku.
Riešenie nerovnosti znamená nájsť hodnoty premenných používaných v nerovnosti, ktoré po dosadení do príslušných výrokových foriem robia danú nerovnosť pravdivým výrokom. Tieto premenné sa nazývajú neznáme (okrem nich môžu existovať aj parametre). Najjednoduchšie nerovnosti sa riešia ich premenou na jednoduchšie ale zároveň rovnocenné nerovnice. Pozrite si nasledujúci príklad.

Príklad
Riešte nerovnicu v obore reálnych čísel

$\mathbb{R}$

$2x-15 > 3x$ .
Riešenie

pripočítajme k obidvom stranám nerovnice číslo 15, dostaneme jednoduchšiu nerovnicu
$2x > 3x+15$
odpočítajme od oboch strán výraz $3x$ , dostaneme nerovnicu
$-x < 15$
vynásobením oboch strán nerovnosti číslom $-1$ sa zmení znak nerovnosti a dostaneme nerovnicu
$x < -15$

Riešením nerovnice je akékoľvek reálne číslo menšie ako

$-15$ , čo zvykneme zapisovať pomocou intervalu

$(- \infty,-15)$ .

$$ .$ $

...

Ekvivalentné úpravy

Pri riešení rovníc a nerovníc v školskej matematike sa žiaci stretávajú predovšetkým s implikačnými a ekvivalentnými metódami riešenia. Implikačná úprava sa nazýva aj dôsledková úprava. V niektorých prípadoch sa pri riešení s výhodou použije aj experimentovanie. Ide predovšetkým o prípady, keď výroková forma vystupujúca v nerovnici nemá charakter kvadratickej (lineárnej) formy. Napríklad v úlohe:

Úloha
V množine

$\mathcal N= \lbrace{1,2,...,n,...}\rbrace$ riešte nerovnicu $n!>n^{n-2}$ .

Riešenie
Pri riešení postupujeme tak, že postupne dosadíme čísla

$n=1,2,...4,5, ...$ . Ľahko zistíme, že čísla 2,3,4 vyhovujú danej nerovnici (sú jej riešením) a čísla

$n>6$ nie sú riešením v množine

$\small M$ . Využitím programov GeoGebra a Excel môžeme experimentálne overiť toto tvrdenie na dostatočne veľkom počte prirodzených čísel.

Otvorte konštrukciu TuOtvorte tabuľku Excel Tu

Nerovnica

$\small Ľ(x) \leq P(x)$ . Množinu $\mathcal {O}$ nazývame obor nerovnice.
Výraz $\small Ľ(x))$ nazývame ľavá strana nerovnice, výraz $\small P(x)$ nazývame pravá strana nerovnice.
Definičný obor nerovnice $\mathcal {D}$ je podmnožina množiny $\mathcal {O}$ , v ktorej majú všetky výrazy v nerovnici zmysel.
Množina riešení $\mathcal {K}$ je množina všetkých tých prvkov množiny $\mathcal {D}$ , ktoré spĺňajú danú nerovnosť.

Ekvivalentné úpravy nerovníc

Nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej na celej množine $\mathcal {D}$ rovná.
Pripočítanie výrazu, ktorý je definovaný v celom definičnom obore nerovnice $\mathcal {D}$ , k obidvom stranám nerovnice.
Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom obore nerovnice $\mathcal {O}$ nadobúda kladné hodnoty. Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom definičnom obore nerovnice $\mathcal {O}$ nadobúda záporné hodnoty a súčasne obrátenie znaku nerovnosti.
Umocnenie resp. odmocnenie obidvoch strán nerovnice na druhú, štvrtú atď., ak obidve strany nerovnice nadobúdajú v celom definičnom obore nerovnice nezáporné hodnoty..
Nepárne umocnenie a odmocnenie oboch strán nerovnice.

___________________________________________________________________________
1)

$\mathcal {O}$ je to číselná množina, v ktorej hľadáme prvky spĺňajúce danú nerovnosť; pre naše účely bude to množinam reálnych čísel

$$ .$ $

Známe nerovnosti

Nech

$a_1,a_2, ... , a_n \in \mathbb{R}$ sú ľubovoľné reálne čísla. Potom platia nerovnosti:
Harmonický priemer

$H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$
Geometrický priemer

$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}$
Aritmetický priemer

$A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$
Kvadratický priemer

$Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$

Pre aritmetický a geometrický priemer platí nerovnosť:

$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} \leq \large \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ .

Dôkaz matematickou indukciou:

Pre $n=2$ dôkaz je prijateľný na úrovni 1. ročníka strednej škola. Použijeme najskôr algebraické úpravy, pričom nerovnosť aritmetického a geometrického priemeru
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt[]{ab}$ , $0 < a \leq b$
prepíšeme do ekvivalentnej formy
$( \sqrt[]{a} -\sqrt[]{b} )^2 \geq 0$ ,
ktorá je pravdivým výrokom pre ľubovoľné dve reálne čísla. Pre stredoškolákov je prijateľná aj geometrická verzia tohto dôkazu, kde sa využíva Euklidova veta o výške.

Uvažujme pravouhlý trojuholník $\small ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $\small C$ . Nech Tálesova polkružnica zostrojená nad preponou $\small AB$ (obrázok) má polomer $\frac{a+b}{2}$ a nech $\small C_0$ je bod, pre ktorý platí $\small AC_0=a$ a $\small C_0B=b$ . Kolmica k prepone $\small AB$ prechádzajúca bodom $\small C_0$ je zrejme výška trojuholníka $\small ABC$ pretínajúca Tálesovu polkružnicu v bode $\small C$ . Trojuholníky $\small AC_0C$ a $\small C_0CB$ sú podobné, preto platí $\frac{a}{C_0C} = \frac{C_0C}{b}$ . Odtiaľ následne $\small C_0C= \sqrt[]{ab}$ . Jednoznačne $\sqrt[]{ab} \leq$ polomer kružnice $=(a+b)/2$ . Rovnosť nastane len ak platí $a=b$ resp. $C_0=C_1$ .
Otvorte si applet Tu
Pre $n>2$ môžeme využiť nasledovný dôkaz:
Geometrický priemer čísel $a_1, a_2, ... a_n$ označme $z= \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$ , ďalej označme
$x_1= \frac{a_1}{z}$ , $x_2= \frac{a_1 a_2}{z^2}$ , ..., $x_n= \frac{a_1 a_2 ... a_n}{z^n} =1$
$y_1= \frac{1}{x_1}$ , $y_2= \frac{1}{x_2}$ , ..., $y_n= \frac{1}{x_n} =1$
Pretože sú n-tice opačne usporiadané, platí nasledujúca nerovnosť, do ktorej rovno čísla $x_i$ , $y_i$ dosadíme a ekvivalentne upravíme:
$x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \leq x_1y_n + x_2y_1+x_3y_2+...+x_ny_{n-1}$ ,
$1+1+...+1 \leq \frac{a_1}{z} +\frac{a_2}{z} +...+\frac{a_n}{z}$ ,
$n \leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{z}$
$z= \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \leq \frac{a_1+a_2+...a_n}{n}$
Tým je AG-nerovnosť pre čísla $a_1, a_2, ..., a_n$ dokázaná.

Dôkaz matematickou indukciou nájdete na Wikipédii Tu.

$$ .$ $

Riešené úlohy

Nech

$a, b, c$ sú kladné čísla. Dokážte nerovnosť

$\large \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab} \geq a + b + c$

Riešenie
Trojnásobným použitím AG-nerovnosti obdržíme

$\frac{a^3}{bc} + b+ c \geq 3 \sqrt[3]{ \frac{a^3}{bc} . b. c} = 3a$

$\frac{b^3}{ca} + c+ a \geq 3 \sqrt[3]{ \frac{b^3}{ca} . c. a} = 3b$

$\frac{c^3}{ab} + a+ b \geq3 \sqrt[n]{\frac{b^3}{ca} . c. a} = 3c$
Sčítaním týchto nerovností dostávame

$\frac{a^3}{bc} +\frac{b^3}{ca} +\frac{c^3}{ab} + 2(a+b+c) \geq 3(a+b+c)$
Odčítaním čísla

$2(a+b+c)$ dostávame potrebné. Rovnosť nastane práve vtedy, keď

$a=b=c$ .

$$ .$ $

Lineárne nerovnice

Vyriešte nerovnicu:

Kvadratické nerovnice

Pri riešení kvadratických nerovníc v obore reálnych čísel často používame tzv. intervalovú metódu, ktorú popíšeme jednoduchým algoritmom.

Na jednej strane nerovnice „vyrobíme“ nulu, ak je nula už v zadaní postúpime na ďalší krok.
Nájdeme korene odpovedajúcej kvadratickej rovnice.
Ak sú korene reálne čísla, tak nenulovú stranu nerovnice rozložíme na súčin dvoch dvojčlenov (nemusia byť nutne rôzne).
V ďalšom riešení použijeme metódu nulových bodov.
Ak neexistujú reálne korene, tak dosadíme nejaké číslo (napr. nulu) do nerovnice a zistíme, či vzniknutý výrok je pravdivý. Ak áno, tak nerovnici vyhovujú všetky reálne čísla. Ak nie, tak nerovnica nemá riešenie.

Vyriešte nerovnicu:

IKT - grafické riešenie

Čínske príslovie o vzdelávaní:
„Ak mi niečo vysvetlíš - zabudnem, ak mi to ukážeš - zapamätám si, ale ak to urobím - pochopím “

Fáza vyučovacej hodiny: precvičovanie, upevňovanie a aplikácia prebratého učiva

Možnosti pri riešení kvadratických nerovníc

klasické žiacke riešenia na tabuli resp. v zošitoch
využívanie vhodných informačných a komunikačných technológií,
ukážka použitia GeoGebry

Stiahnite si applet Tu

Cvičenie.
Vytvorte si applet (zbierku riešených úloh), ktorý využujete pri riešení nerovníc buď na základnej škole alebo na strednej škole. Stiahnite si ukážku Tu

Lineárna nerovnica s neznámou v menovateli

Vyriešte nerovnicu:

Poznámka
Vhodná metóda na riešenie nerovníc je metóda nulových bodov. Je to jednoduchá a „bezpečná“ metóda.

Vyriešte nerovnicu:

Lineárna nerovnica s neznámou v absolútnej hodnote

Vyriešte nerovnicu:

Nerovnice v praxi

1) Ak traktorista zorie denne o 2 ha viac, zorie 84 ha parcelu za menej ako 9 dní. Ak by zoral o 1 ha menej, zoral by tú istú parcelu najskôr za 12 dní. V akých hraniciach sa pohybuje jeho priemerný denný výkon?
Riešenie:
(a) Označme x denný výkon traktoristu. Prvá podmienka v úlohe hovorí, že

$\frac{84}{x+2} < 9$ , druhá podmienka, že

$\frac{84}{x-1} \geq 12$ . Matematickým zápisom úlohy je sústava nerovníc

$\frac{84}{x+2} < 9$ ,

$\frac{84}{x+2} < 9$ .
(b) Riešime zostavenú sústavu nerovníc. Vzhľadom na reálnu situáciu je zrejmé, že

$x+2 > 0$ , aj $x-1 > 0$ . Preto

$84 < 9x +18$ ∧ $84 \geq 12 x -12$

$66 < 9x$ ∧ $96 \geq 12 x$

$x > \frac{22}{3}$ ∧ $x \leq 8$

(c) Riešením danej reálnej situácie je interval $( \frac{22}{3}; 8 >$ . Priemerný denný výkon traktoristu je väčší ako $7,\overline{3}$ ha, ale nie väčší ako 8 ha.

2) Podnik vyrába dva druhy výrobkov V₁ a V₂. Oba druhy výrobkov sa vyrábajú zo surovín S₁ a S₂. Podnik má k dispozícii 22 kg suroviny S₁a 28 kg suroviny S₂. Na výrobu 1 ks výrobku V₁sa spotrebujú 2 kg suroviny S₁ a 4 kg suroviny S₂. Na výrobu 1 ks výrobku V₂sú potrebné 3 kg suroviny S₁ a 2 kg suroviny S₂. Zisk z predaja 1 ks výrobku V₁je 16 p.j. a z predaja 1 ks výrobku V₂ 12 p.j. Aké množstvo výrobkov V₁ a V₂ má podnik vyrobiť, aby dosiahol maximálny zisk?
a) zápis:

b) riešenie:

c) Odpoveď: Aby podnik dosiahol maximálny zisk, musí (pri daných podmienkach) vyrobiť 4 výrobky V₁ a 5 výrobkov V2, pričom zisk podniku je 128 p.j.

anad

$$ .$ $