Kupcová, Ľ.: Nerovnosti a nerovnice
Úvod
Ekvivalentné úpravy
Pri riešení rovníc a nerovníc v školskej matematike sa žiaci stretávajú predovšetkým s implikačnými a ekvivalentnými metódami riešenia. Implikačná úprava sa nazýva aj dôsledková úprava. V niektorých prípadoch sa pri riešení s výhodou použije aj experimentovanie. Ide predovšetkým o prípady, keď výroková forma vystupujúca v nerovnici nemá charakter kvadratickej (lineárnej) formy. Napríklad v úlohe:
Riešenie
Pri riešení postupujeme tak, že postupne dosadíme čísla . Ľahko zistíme, že čísla 2,3,4 vyhovujú danej nerovnici (sú jej riešením) a čísla nie sú riešením v množine . Využitím programov GeoGebra a Excel môžeme experimentálne overiť toto tvrdenie na dostatočne veľkom počte prirodzených čísel.
Otvorte konštrukciu TuOtvorte tabuľku Excel Tu
Pri riešení postupujeme tak, že postupne dosadíme čísla . Ľahko zistíme, že čísla 2,3,4 vyhovujú danej nerovnici (sú jej riešením) a čísla nie sú riešením v množine . Využitím programov GeoGebra a Excel môžeme experimentálne overiť toto tvrdenie na dostatočne veľkom počte prirodzených čísel.
Otvorte konštrukciu TuOtvorte tabuľku Excel Tu
Nerovnica
- Nerovnica je úloha, v ktorej treba nájsť všetky prvky spĺňajúce nerovnosť . Množinu nazývame obor nerovnice.
- Výraz nazývame ľavá strana nerovnice, výraz nazývame pravá strana nerovnice.
- Definičný obor nerovnice je podmnožina množiny , v ktorej majú všetky výrazy v nerovnici zmysel.
- Množina riešení je množina všetkých tých prvkov množiny , ktoré spĺňajú danú nerovnosť.
Ekvivalentné úpravy nerovníc
- Nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej na celej množine rovná.
- Pripočítanie výrazu, ktorý je definovaný v celom definičnom obore nerovnice , k obidvom stranám nerovnice.
- Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom obore nerovnice nadobúda kladné hodnoty. Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom definičnom obore nerovnice nadobúda záporné hodnoty a súčasne obrátenie znaku nerovnosti.
- Umocnenie resp. odmocnenie obidvoch strán nerovnice na druhú, štvrtú atď., ak obidve strany nerovnice nadobúdajú v celom definičnom obore nerovnice nezáporné hodnoty..
- Nepárne umocnenie a odmocnenie oboch strán nerovnice.
___________________________________________________________________________
1) je to číselná množina, v ktorej hľadáme prvky spĺňajúce danú nerovnosť; pre naše účely bude to množinam reálnych čísel
1) je to číselná množina, v ktorej hľadáme prvky spĺňajúce danú nerovnosť; pre naše účely bude to množinam reálnych čísel