Didaktika matematiky

Definícia (Mocnina s prirodzeným exponentom).
Pre každé reálne číslo $a$ a prirodzené číslo $n$ je: Zápis$a^n$ čítame "$n$ -tá mocnina čísla $a$". Číslo $a$ nazývame základ mocniny, číslo $n$ nazývame exponent .

Cvičenie.

1. Riešte rovnice a urobte skúšku správnosti riešenia:
   $x^{ \frac{3}{2} }= 8$
   $x^{ \frac{3}{2} }= -8$
2. Odhaľte chybný krok v zápise
   $-27=(-27)^1=(-27)^{((\frac{2}{3} )( \frac{3}{2}))}=((-27)^{(\frac{2}{3} )})^{( \frac{3}{2})}=9^{\frac{3}{2}}=27$.

Pozrite si stránku Online kalkulačka rovníc, nerovníc a systémov.

Vlastnosti.

1. Pre mocninu $a^n$ s exponentom $n$, ktorým je záporné celé číslo platí: ( a^n= \frac{1}{a^ {-n}} \).
2. Nech $a$ je kladné reálne číslo a nech $n= \frac{r}{s}$ je racionálny exponent, kde $r$ je celé číslo a $s$ je kladné celé číslo. Potom je možné robiť úpravy typu
   $a^{ \frac {r} {s} }=(a^r )^{ \frac{1}{s} }= \sqrt[s]{a^r} = ( \sqrt[s]{a} )^r=(a^{\frac{1}{s}} )^r$.
3. Pre $a$ záporné reálne číslo a racionálny exponent $n= \frac{r}{s}$, nie je možné použiť predchádzajúcu úpravu. Pozri cvičenie 2.

Definícia (Binomická rovnica).
Binomická rovnica s neznámou $x$ je rovnica v tvare $a \cdot x^n+b=0$, kde $n>1$ je prirodzené číslo a $a \neq 0 ,b$ sú komplexné čísla.

Základná veta algebry hovorí, že každý polynóm stupňa aspoň prvého s komplexnými koeficientami má v telese komplexných čísel aspoň jeden koreň.

Diskusia k riešeniu binomických rovníc $a \cdot x^n+b=0$.
Zo základnej vety algebry vyplýva, že táto rovnica má práve $n$ riešení v obore komplexných čísel (medzi nimi môžu byť aj násobné korene).
Každú binomickú rovnicu môžeme upraviť na normovaný tvar $x^n=c$. My sa budeme venovať len binomickým rovniciam, v ktorých $c$ je reálne číslo. Naviac sa zameriame na riešenie rovníc $x^{\frac{r}{s}} =c$, v ktorých exponent $n= \frac{r}{s}$ je racionálne číslo. V tomto prípade rovnicu $x^{\frac{r}{s}} =c$ najskôr transformujeme na normovaný tvar $x^r =c^s$. Takáto transformácia nie je ekvivalentnou úpravou, preto je v závere nutné urobiť skúšku správnosti riešenia. O riešení binomických rovníc odporúčame prácu "Komplexní čísla", ktorá je dostupná Tu. K praktickému riešeniu môžete využiť online kalkulačku rovníc "MathDF" dostupnú Tu.

1. Riešenie prvej rovnice $x^{ \frac{3}{2} }= 8$ z prvého cvičenia po transformácii na $x^3= 64$ s využitím online kalkulačky:
   $x_{1}=4\\x_{2}=2\,\sqrt{3}\,i-2\; \; \; \;\text{ - po dosadeni: nie je koren}\\x_{3}=-2\,\sqrt{3}\,i-2  \; \text{ - po dosadeni: nie je koren}$.
2. Riešením druhej rovnice $x^{ \frac{3}{2} }= -8$ z prvého cvičenia po transformácii na $x^3= 64$
   $x_{1}=4 \; \; \;  \; \; \;   \;  \; \; \;  \; \; \; \; \; \;\; \; \;  \text{- po dosadeni: nie je koren}\\x_{2}=2\,\sqrt{3}\,i-2\\x_{3}=-2\,\sqrt{3}\,i-2$

Pozrite si text Mocniny Tu a prácu Rovnice dostupnú Tu.

Cvičenie.
Vyriešte rovnicu $x^3=1$ v obore komplexných čísel.
Návod:
Vyjadrite hľadané riešenie $x$ v goniometrickom tvare $z=|z|(\cos\alpha + i \sin\alpha )$ alebo použite vzťah
$x^n-1=(x-1) (x^{n-1}+x^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +1 )$.

Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel, ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu.
Konštrukcia, ktorá "zostrojí" reálne číslo, bude vychádzať z "rezov" na množine racionálnych čísel. Pozrite si kurz Aritmetika Tu.

• Termín reálne číslo zaviedol René Descartes (1637) ako spoločný názov pre racionálne a iracionálne čísla.
• Viac ako dve tisíc rokov sú známe niektoré iracionálne čísla, ktoré sú vyjadrené ako odmocniny (mocniny s racionálnym exponentom) prirodzených čísel $\sqrt {2}, \sqrt[3]{2}$ ...
• Euler (1737) dokázal, že číslo $e$ je iracionálne a Lambert ((1768) dokázal, že Ludolfovo číslo $\pi$ je iracionálne.
• Charles Hermit (1873) ukázal, že číslo $\pi$ je transcendentné - nie je riešením algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientami.         
  

Poznámky.

1. Zo strednej školy si možno pamätáte, že $\sqrt {2}$ má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj.
• dokonca niektorí si pamätajú aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr. $\sqrt {2}≈1.41421$
• na stránke Wikipédie môžeme nájsť až 10 miliónov cifier 
• vyjadriť $\sqrt {2}$  konečným počtom cifier sa nikomu nemôže podariť
• existuje racionálne číslo, ktoré aproximuje $\sqrt {2}$ s danou presnosťou. 
2. Vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch. 
3. Ak vezmeme do úvahy všetky možné konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu $\sqrt {n}$. 
4. V nasledujúcich kapitolách popíšeme Dedekindove rezy, pomocou ktorých definujeme reálne čísla.