Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

A) Skúmajme čiastkové súčty:

1. pre $i=1$ dostaneme: $\frac{1}{1.4} = \frac{1}{4}=\frac{1}{3.1+1}$
2. pre $i=2$ dostaneme: $\frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}= \frac{2}{7}=\frac{2}{3.2+1}$
3. pre $i=3$ dostaneme: $\frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}+\frac{7}{10}= \frac{3}{10}=\frac{3}{3.3+1}$ 

     Matematickou indukciou dokážte, že súčet $\frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}+\frac{7}{10}+ ...$ sa rovná číslu  $\frac{n}{3.n+1}$.  
B) Rozkladom na parciálne zlomky
              $\sum_{i=1}^{n} { \frac{1}{(3i-2)}. \frac{1}{(3i+1)} } = \frac{A}{(3i-2)}-\frac{B}{(3i+1)}$ určíme $A= \frac{1}{3} ,B=\frac{1}{3}$. Potom

     $= \frac{1}{3} [(1-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+...(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1})]$,

     odkiaľ dostaneme $s_n= \frac{1}{3} [1-\frac{1}{3n+1}]$.