Číselné rady

Riešte úlohy

1. Súčet $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)$ zapíšte pomocou sumačnej symboliky, nájdite vzorec (formulu) pre jeho výpočet a pomocou neho vypočítajte $1 + 3 + ... + 99$.
2. Nájdite vzorec (formulu) pre výpočet súčtu: 
1. $\sum_{i=1}^{n} { \frac{1}{(3i-2)}. \frac{1}{(3i+1)} } = \frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...$.
2. $(1- \frac{1}{2^2} ).(1- \frac{1}{3^2} ).(1- \frac{1}{4^2} )...(1- \frac{1}{n^2} )$ a vypočítajte hodnotu súčinu pre $n=50$. 

1. Skúmajme čiastkové súčty:
   • $1 + 3 = 4 = 2^2$  
   • $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$ 
   • $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ 
   Pomocou matematickej indukcie dokážte, že platí: $1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2.$.
2. Súčet $1 + 3 + 5 + ... + (2n -1)$ predstavuje aritmetickú postupnosť s parametrami:  $a_1=1,d=2$
   Pre jej súčet platí: $\sum_{i=1}^{n} {(2i-1)} = \frac{n}{2} (1+(2n-1))=n^2$.

A) Skúmajme čiastkové súčty:

1. pre $i=1$ dostaneme: $\frac{1}{1.4} = \frac{1}{4}=\frac{1}{3.1+1}$
2. pre $i=2$ dostaneme: $\frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}= \frac{2}{7}=\frac{2}{3.2+1}$
3. pre $i=3$ dostaneme: $\frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}+\frac{7}{10}= \frac{3}{10}=\frac{3}{3.3+1}$ 

     Matematickou indukciou dokážte, že súčet $\frac{1}{1.4} +\frac{1}{4.7}+\frac{7}{10}+ ...$ sa rovná číslu  $\frac{n}{3.n+1}$.  
B) Rozkladom na parciálne zlomky
              $\sum_{i=1}^{n} { \frac{1}{(3i-2)}. \frac{1}{(3i+1)} } = \frac{A}{(3i-2)}-\frac{B}{(3i+1)}$ určíme $A= \frac{1}{3} ,B=\frac{1}{3}$. Potom

     $= \frac{1}{3} [(1-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+...(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1})]$,

     odkiaľ dostaneme $s_n= \frac{1}{3} [1-\frac{1}{3n+1}]$.