Neeuklidovská geometria
Neeuklidovská geometria
Hyperbolická priamka
Pokračovanie dôkazu tvrdenia o priemete h-priamky, v ktorom využijeme tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici.
Tvrdenie
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu
.
Pri dôkaze budeme potrebovať aj pojem dvojice inverzných bodov a pojem polárneho prvku v kruhovej inverzii. Viac o kruhovej inverzii nájdete v kurze Planimetria a stereometria
Tu. Najskôr dokážeme lemu:
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu
![\omega (O,\;r \leq 1) \omega (O,\;r \leq 1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/22a767903c6c009cf596c2d8c6f16e67.png)
Lema
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu
a nech bod
je obrazom bodu
v tejto kruhovej inverzii. Zvoľme si ľubovoľnú ale pevne zvolenú kružnicu
prechádzajúcu dvojicou inverzných bodov
. Ak kružnica
pozostáva výlučne len z dvojíc inverzných bodov vzhľadom na
kružnicu - hranicu kruhu
, tak kružnica
pretína kružnicu - hranicu kruhu
kolmo.
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu
![\omega (O,\;r \leq 1) \omega (O,\;r \leq 1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04679b543fdc3d154bbd4591d6eaa1d8.png)
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a8db85f94b6271a24b69def0e4491c4b.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/035a8af1b1e30eff987dba0e34ebdd50.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small A,A' \small A,A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5d10546c844feb5be6f4042f153196d.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\omega (O,\;r \leq 1) \omega (O,\;r \leq 1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04679b543fdc3d154bbd4591d6eaa1d8.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\omega (O,\;r \leq 1) \omega (O,\;r \leq 1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04679b543fdc3d154bbd4591d6eaa1d8.png)
Dôkaz
V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie.
- Nech body
sú priemety bodov h-priamky
. Pozrite si priložený obrázok.
- Podľa predchádzajúcej časti dôkazu (i.) platí
.
- Odkiaľ: bod
je obrazom bodu
aj v kruhovej inverzii
. Podobne to môžeme povedať aj o bodoch
.
- Nech
je kružnica určená bodmi
, potom v dôsledku mocnosti bodu
ku kružnici
bude aj bod
bodom kružnice
.
- Teraz uvažujme o dotykových bodoch
na dotyčniciach z bodu
ku kružnici
.
- Mocnosť bodov
ku kružnici
- Z toho vyplýva, že body
sú samodružné v kruhovej inverzii
.
- Priamky
sú dotyčnice ku kružnici
. Odkiaľ
.
- Kružnica
je kolmá na kružnicu
.
Tým je dôkaz lemy ukončený.
V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie.
Poincarè diskový model (tiež sa používa označenie
Poincarè Disc) hyperbolickej roviny je prezentovaný v euklidovskej rovine ako
otvorený kruh
. Euklidovskú geometriu roviny môžeme považovať za „ontológiu pozadia“.
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincarè diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:
![\omega = \lbrace{(x, y) : x^2 + y^2 < 1; x,y \in \mathcal{R} }\rbrace \omega = \lbrace{(x, y) : x^2 + y^2 < 1; x,y \in \mathcal{R} }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/148de86034888e2f636a93f3d96f789c.png)
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincarè diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:
- vlastný bod je vnútorný bod kruhu, ktorý je priemetom vlastného h-bodu hyperboloidu;
- koncový bod (resp. nevlastný bod) ležiaci na hranici kruhu, ktorý je priemetom nevlastného bodu 1. druhu;
- priamka je otvorený kružnicový oblúk kruhu - je priemetom h-priamky (hyperboly), pričom tento oblúk leží na kružnici kolmej na hranicu kruhu
Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma bodmi kruhu s výhodou využijeme vlastnosti kruhovej inverzie a konštrukcie popísané v predchádzajúcom dôkaze.
Poznámky
- V ďalšej podkapitole navrhneme v prostredí GeoGebra konštrukciu a zároveň aj nástroj na zostrojenie hyperbolickej priamky určenej dvoma rôznymi bodmi v Poincarè modeli disku. V konštrukcii využijeme inverzné body.
- Pri riešení konštrukčných úloh v Poincarè modeli potrebujeme okrem konštrukcie hyperbolickej priamky potrebovať aj konštrukciu kružnice a ďalších základných euklidovských konštrukcií (kolmica, os úsečky a pod).