Neeuklidovská geometria
Cvičenie I
Cvičenie.
- Zostrojte rovnoramenný trojuholník
so základňou
pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam
a k hPriamkam
určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
- Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.
- Zostrojte hyperbolickú kolmicu
na hyperbolickú priamku
, ktorá neprechádza bodom
.
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
- Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka
(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).
Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku
![\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace \omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/edb14be9d9d2288362886a80eb777e85.png)
Poznámky.
- Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
- Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka
je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice
a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
- Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.