Trojuholník - cvičenia
Trojuholník ABC
Dve vety o trojuholníku
Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:
- vetu o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku
- trojuholníkovú nerovnosť
Tieto vety sa opierajú o tvrdenia súvisiace s uhlami pri základni rovnoramenného trojuholníka (Euklides Základy T/V), tvrdením o vonkajšom uhle trojuholníka(Základy T/XIII), tvrdením, že oproti väčšiemu uhlu trojuholníka leží väčšia strana (Základy T/XIX) a tvrdením T/XXIX.
Veta (Súčet vnútorných uhlov)
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.
Poznámka.
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia
- T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
- T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"
Interpretácia tvrdenia.
Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.
Euklidov dôkaz
applet
Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.
Euklidov dôkaz
applet
Tvrdenie (Trojuholníková nerovnosť, Euklidove Základy: Kniha prvá, Tvrdenie XX)
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.
Dôkaz:
Nech je daný trojuholník
. Na predĺžení strany
za bodom
zvoľme bod
tak, aby
(Post. 2.)
Trojuholník
je rovnoramenný, odkiaľ dostávame:
(Tvrdenie V)
Teda
. Keďže v trojuholníku
oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana, platí
(Tvrdenie XIX)
Tu otvoriť →
Zhrňme naše výsledky: Konštrukčný dôkaz - GeoGebra →
Nech je daný trojuholník
![ABC ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5128f579b83322a464b5b5065364dd8.png)
![BA BA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/890cd7f488dd4f9bd920bc004ea1386c.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
![D D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f4396bab5869c1e0c9f8a7620bf2518.png)
![DA=AC DA=AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04115fce67159592cd2129f7c803336a.png)
Trojuholník
![ACD ACD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fcb3bb8320953285e8933d5769ac808a.png)
![∡ADC= ∡ACD ∡ADC= ∡ACD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b73b524bfb82a5d4219003eda03e63ef.png)
Teda
![∡BCD >∡ADC ∡BCD >∡ADC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b373a1c6d94f7025d02d23e5ed1d2c13.png)
![DCB DCB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d05cddcb351c7a1ea47082f76bba5588.png)
![DB > BC DB > BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2ee72f25a8b38498c6f9ee4da846cc6b.png)
Zhrňme naše výsledky: Konštrukčný dôkaz - GeoGebra →