Celé čísla a racionálne čísla
celé čísla
Obor celých čísel
Súčet a súčin
Relácia ekvivalencie
umožnila vytvorenie „nosiča“ pre celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel.
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
Nech
sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet
a súčin
týchto celých čísel popisujú nasledujúce dve definície.
Interpretácia definícií
![T_{(a,b)},T_{(c,d)} T_{(a,b)},T_{(c,d)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9f3cd021c7724b20e14e117b056eba29.png)
![\oplus \oplus](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aeec9c9e5d9be0dbdb9525df9a71a1a9.png)
![\otimes \otimes](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cb55666d9da0e725f3f954b511b07ad.png)
Zvoľme si celé čísla
. Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu
. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy
≝ 2,
,
≝ 3
≝ -2,
≝ -3.
Interpretujme súčet tried
Interpretujte súčin tried
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny.
Poznámky
![2,-2,3,-3 2,-2,3,-3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73f0738cd6f0022c9b94b06a73d3f043.png)
![(N \times N)/R (N \times N)/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7a9afda2a4990502d014648a2fad0385.png)
![T_{(2,0)} T_{(2,0)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eff33a7ab611ea34ae1df194aeb8e70e.png)
![T_{(3,0)} T_{(3,0)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3a58e4b3d155964fa63332932c2821b7.png)
![T_{(0,2)} T_{(0,2)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c71b2d2e44a2a2b12d1e7405bcd7501d.png)
![T_{(0,3)} T_{(0,3)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/022fe3acb1854cd94bd0586bf11b8d06.png)
Interpretujme súčet tried
![2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5 2 \oplus 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2+3,0+0)}=T_{(5,0)}=5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a55a5e387a53f39f0e6dd707ddcc25b9.png)
![3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1 3 \oplus -2=T_{(3,0)} \oplus T_{(0,2)}=T_{(3,2)}=T_{(1,0)}=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b697ee96fff0415bc8dba824170247c.png)
Interpretujte súčin tried
![2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6 2 \otimes 3=T_{(2,0)} \oplus T_{(3,0)}=T_{(2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)}=T_{(6,0)}=6](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b05d6250537e3546b15d3ecd3b1c2f2d.png)
Spočítajte ďalšie možné súčty a súčiny.
-
Súčin
si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov
.
-
Vyššie definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu „reprezentantov“
. Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie.
Ak -
Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako množinu:
alebo
.
![(p,q) \in T_{(a,b)} (p,q) \in T_{(a,b)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/029b91db7c55094656a3eebd137fb567.png)
![(r,s) \in T_{(c,d)} (r,s) \in T_{(c,d)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a7f1eeb74f0b2847c22049ea7ba2cb31.png)