Celé čísla a racionálne čísla
celé čísla
Obor celých čísel
Množina celých čísel
Zhrňme si naše úvahy:
- Za základnú (východiskovú) množinu zvolíme množinu prirodzených čísel
, ktorú popíšme napríklad Peanovou aritmetikou.
- Vytvoríme množinu všetkých usporiadaných dvojíc
prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu
.
- Dvojice prirodzených čísel zatriedime do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice
z rovnakej skupiny platí rovnosť
.
- Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.
Definícia.
Nech
je relácia ekvivalencie na množine
, pre ktorú platí:
a nech
je rozklad množiny
podľa relácie
. Potom prvky množiny
budeme nazývať celé čísla.
Nech
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
![N \times N N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51a3b1dd1625d51f8b73e10ddf761d48.png)
![\forall a,b,c,d \in N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b \forall a,b,c,d \in N: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=c+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/22f6557f11e2da60f5a26ce480fd1c56.png)
a nech
![Z=(N \times N)/R Z=(N \times N)/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eb5159482ba423ef974131c7cb94f343.png)
![N \times N N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51a3b1dd1625d51f8b73e10ddf761d48.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
![Z Z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/136e7596defa3afe882e06588efceef2.png)
Poznámky.
Nech
, potom v prípade:
Nech
![(a,b) \in N \times N (a,b) \in N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1e79fcb1f4dae3574e10ec3553c7ba16.png)
-
triedu rozkladu
budeme označovať symbolom
, kde
je prirodzené číslo, zrejme platí
.
Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom.
-
triedu rozkladu
budeme označovať symbolom
, kde
je prirodzené číslo, zrejme platí
.
Tieto čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých záporných čísel symbolom.
- Pokúste sa definovať kladné čísla.