Celé čísla a racionálne čísla
celé čísla
Obor celých čísel
Definícia.
Nech
je množina všetkých prirodzených čísel. Definujme binárnu reláciu
na množine
takto:
.
Nech
![N N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4b1432432038fbb6d340407982580cb.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/665be35cfaa3a7a1f5e4efac25cfb25c.png)
![N \times N N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51a3b1dd1625d51f8b73e10ddf761d48.png)
![(a,b)R(c,d)⟺a+d=c+b (a,b)R(c,d)⟺a+d=c+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e9aba25d81a3df892487c112f10c44c1.png)
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel
sú v relácii, ak platí rovnosť
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
![(a,b),(c,d) (a,b),(c,d)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39dff7ff3035fcad3d9222cc77b8ec1d.png)
![a+d=c+b a+d=c+b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90b7132f250b630b8e4d215e11e380a1.png)
(súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice).
-
Nech
je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech
je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí
, lebo platí
. Odkiaľ dostaneme, že relácia
je reflexívna.
- Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii
.
- Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí:
.
- To je ekvivalentné so vzťahom
, preto platí: relácia
je symetrická.
- Nech platí
a zároveň
.
- Z definície relácie
vyplýva, že musí platiť
a zároveň
. Pripočítajme k prvej rovnosti číslo
a k druhej rovnosti číslo
.
- Dostaneme rovnosti
. Zrejme platí
(komutatívnosť sčítania).
- Ak využijeme, že rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme
.
- Teraz stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme
. To znamená, že relácia
je tranzitívna.