Číselné obory na základných a stredných školách
Číselné obory na základných a stredných školách
Reálne čísla
Pytagorova škola
Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom1)
Hippasus pravdepodobne dospel k záveru, že
![u^2=1^2+1^2 u^2=1^2+1^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de76d10c65450b442ea32e9cc16db082.png)
![u^2=2 u^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/531ea1ec0dda26c1e69c5a1e83c86e02.png)
S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel
riešenie.
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
Dokážeme to nepriamo.
Nech existuje racionálne číslo
, ktoré je riešením rovnice
. Potom zrejme
, pričom celé čísla
sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel
je rovný
.
Po dosadení do rovnice
a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť
. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo
delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá
mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo
je párne, preto musí byť aj číslo
párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare
. Po dosadení do rovnosti
dostávame
.
Analogickou úvahou zistíme, že číslo
je párne. Keďže aj číslo
je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel
je väčší alebo rovný číslu
.
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo
, kde
sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.
Nech existuje racionálne číslo
![r \in Q r \in Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17284617cc679bd6efd7e55143ba4791.png)
![x^2=2 x^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6146f5ae4c94269ed0aa72be547a5af.png)
![r= \frac{p}{q} r= \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b8792bc79b36c6b81d8214bfcc09136.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35c0804c862a635e2fe8371dc43e25d0.png)
Po dosadení do rovnice
![x^2=2 x^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6146f5ae4c94269ed0aa72be547a5af.png)
![p^2=2.q^2 p^2=2.q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7996c677ef8ecb2fac40c798948622a5.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
![p^2 p^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2eeb668df699a011c011097fd79b3ffa.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p=2k p=2k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c94398e2e3bf8ddbec4601260459d40.png)
![p^2=2.q^2 p^2=2.q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7996c677ef8ecb2fac40c798948622a5.png)
![(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2 (2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a8aa8af2b572aee74efd3cc1e63b7b9.png)
Analogickou úvahou zistíme, že číslo
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af72e5dc8af87a2580b23fbf92c543f6.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/594668f17f5992e11f1330ef50cb8494.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo
![r= \frac{p}{q} r= \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b8792bc79b36c6b81d8214bfcc09136.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
___________________________________________________________________________________________
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.