Pripomenutie pojmov

Cvičenie

Riešte úlohy Pripomenutie pojmov afinnej geometrie
  1. Vektorový priestor
    1. ♥ Ukážte, že zobrazenie \small f vo vektorovom priestore \small \mathbb R^4 , ktoré vzhľadom na kanonickú bázu je vyjadrené vzťahom (pomocou bilineárnej formy)
      \small f(x,y) = x₁y₁ + x₁y₄ + 2x₂y₂ + 3x₃y₃ + 2x₃y₄ + x₄y₁ + 2x₄y₃ + 3x₄y₄
      je skalárnym súčinom. Potom ešte vyriešte čiastkové úlohy:
      • Nájdite nejakú ortogonálnu a ortonormálnu bázu priestoru \small \mathbb R^4 .
      • Zistite, či sú vektory \small \vec{x},\vec{y} na seba kolmé:
        \small \vec{x} = (1,0,3,-2), \vec{y} = (2,-1,1,2).
      • Určte, aký uhol zvierajú vektory \small \vec{u},\vec{v}:
        \small \vec{u} = (2,1,0,1), \vec{v} = (0,3,1,-1).
      • Určte ortogonálne doplnky podpriestorov \small W₁, W₂ v priestore \small \mathbb R^4 :
        \small W₁ = [x], W₂ = [u,v]. Pozrite si riešenie od Andrii Golubtsov vo forme prezentácie Tu.
    2. Daná je bilineárna forma definovaná analyticky:
      \small f(x,y)=4 x_1 y_1 - 2 x_1 y_2 + 3 x_1 y_3 - 2 x_2 y_1 + 5 x_2 y_2 - x_2 y_3 + 3 x_3 y_1 - x_3 y_2 + 6 x_3 y_3
      Zistite, či predstavuje skalárny súčin. Výpočet urobte pomocou vlastných hodnôt matice formy.
    3. Pozrite si riešené úlohy v beamer prezentácii Tu.
  2. Afinný priestor:
    1. Dokážte, že v ľubovoľnom n -rozmernom afinnom priestore je dvoma rôznymi bodmi \small P \neq Q určená práve jedna priamka.
    2. V Geogebre zostrojte priamku idúcu bodom \small L , a ktorá pechádza nedostupným priesečníkom priamok   p,q . Zadanie - pozrite obrázok Spojnica bodov.

      Obr. Spojnica bodov. Otvorte si interaktívny applet Tu.
    3. Dokážte analytickými metódami, že konštrukcia popísaná v applete z obrázka Spojnica bodov je korektná. Pozrite si dôkazy v práci [CECH, 1950] v časti: § 25 . Konstrukce a počet.
    4. Riešte úlohy z učebnice od strany 20.
\( .\)